合肥市2020年高三第一次教学质量检测数学试题(理科)

合肥市2020届高三第一次教学质量检测

数学试题(理科)

(考试时间：120分钟 满分：150分)

第Ⅰ卷 (60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}220A x x x =--<，{}210B x x =->，则A B =U ( ).

A.()1-+∞，

B.1 12?? ???，

C.1 22?? ???，

D.1 2??

+∞ ???

，

2.设复数z 满足1i z z -=-(i 为虚数单位)，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ).

A.y x =-

B.y x =

C.()()22111x y -+-=

D.()()22

111x y +++= 3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．

的是( ).

A.这五年，2013年出口额最少

B.这五年，出口总额比进口总额多

C.这五年，出口增速前四年逐年下降

D.这五年，2017年进口增速最快 4.下列不等关系，正确的是( ).

A.234log 3log 4log 5<<

B.243log 3log 5log 4>>

C.243log 3log 5log 4<<

D.234log 3log 4log 5>> 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =-，47329a a +=，则

7S 的值等于( ).

A.21

B.1

C.-42

D.0

6.若执行右图的程序框图，则输出i 的值等于( ). A.2 B.3 C.4 D.5

7.函数22cos x x

y x x

--=-的图象大致为( ).

8.若函数()sin 2f x x =的图象向右平移116

π

个单位得到的图象对应的函数为()g x ，则下列说法正确的是( ). A.()g x 的图象关于12

x π

=-

对称 B.()g x 在[]0π，上有2个零点

C.()g x 在区间5 36ππ?? ???，上单调递减

D.()g x 在 02π??

-????，上的值域为3 0??-????

， 9.已知双曲线C ：22

221x y a b

-=(00a b >>，)的左右焦点分别为12F F ，，圆2F 与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆2F 与双

曲线C 的一个交点.若12=0F M F M ?u u u u r u u u u u r

，则双曲线C 的离心率等于( ).

53210.射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241(241Am )低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( ).

(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931≈，结果精确到0.001) A.0.110 B.0.112 C.0.114 D.0.116

11.已知正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，则： ①平面α分正方体所得两部分的体积相等； ②四边形1BFD E 一定是平行四边形； ③平面α与平面1DBB 不可能垂直； ④四边形1BFD E 的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为( ).

A.①④

B.②③

C. ①②④

D. ①②③④

12.已知函数() 01ln 0x x e x f x xe x x x -?-≤?=?--->??

，

，，则函数()()()()F x f f x ef x =-的零点个数为( ) (e 是自然对数的

底数).

A.6

B.5

C.4

D.3

第Ⅱ卷 (90分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.

13.已知向量a =r (1，1)，() 2b m =-r ，

，且a r ∥()

2a b +r r

，则m 的值等于 . 14.直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等

于 .

15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有 种.

16.已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切(2n ≥，且n N *∈)，则球1O 的体积等于 ，球n O 的表面积等于 .

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分12分) 在ABC ?中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2a =，cos cos 2cos 0a C c A b B +=. (1)求B ；

(2)若BC 边的中线AM 长为5ABC ?的面积.

18.(本小题满分12分)

“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型 科技体验游 民俗人文游 自然风光游

学校数 40 40 20

的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)：

(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率； (2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望.

19.(本小题满分12分) 如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11AAC C ⊥平面ABC ，

1AA AC =，

AC BC ⊥. (1)证明：1A C ⊥1AB ；

(2)设2AC CB =，160A AC ∠=o ，求二面角11C AB B --的余弦值.

20.(本小题满分12分)

设椭圆:C 22

221x y a b

+=(0a b >>)的左右顶点为12A A ，，上下顶点为12B B ，，菱形

1122A B A B 的内切圆C '2，椭圆的离心率为2. (1)求椭圆C 的方程；

(2)设M N ，是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P 满足PM PN =，试判断直线PM PN ，与圆C '的位置关系，

并证明你的结论.

21.(本小题满分12分)

已知函数()2

1x x f x e

-=(e 为自然对数的底数).

(1)求函数()f x 的零点0x ，以及曲线()y f x =在0x x =处的切线方程；

(2)设方程()f x m =(0m >)有两个实数根1x ，2x ，求证：121212x x m e ?

?-<-+ ???

.

请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2

321x y ?=????

=??(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标

系中，曲线C 的方程为4cos 6sin ρθθ=+.

(1)求曲线C 的直角坐标方程；

(2)设曲线C 与直线l 交于点M N ，，点A 的坐标为(3，1)，求AM AN +.

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数()2f x x m x =--+(m R ∈)，不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，. (1)求m 的值；

(2)若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值.

C

B

1C 1

A 1

合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)

参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空

题：本大题共4小

题，每小

题5分，共20分.

13.-2 14.3π或23π

15.72

6π，164n π-(第一空2分，第二空3分)

三、解答题：大题共6小题，满分70分.

17.(本小题满分12分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B

解：(1)在ABC ?中，

sin sin sin a b c

A B C

==

，且cos cos 2cos 0a C c A b B ++=， ∴sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B B ++=，∴()

sin 12cos 0B B ?+=， 又∵sin 0B ≠，∴2cos B =-

. ∵B 是三角形的内角， ∴34

B π

=. ………………………………5分

(2)在ABM ?中，3154

BM AM B AB c π

====，，，，

由余弦定理得()2

222cos AM c BM c BM B =+-??，∴2240c c +-=， ∵0c >，∴2c =.

在ABC ?中，2a =，2c =，34

B π=

， ∴ABC ?的面积1sin 12

S ac B ==. ………………………………12分

18.(本小题满分12分)

(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为1

5

，

∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：

2

2

223

3211218

5555125P C C ????????=+=

? ? ? ?????????. ………………………………5分 (2)X 可能取值为0，1，2，3.

则()303

32705125P X C ??=== ???，()2

132354155125

P X C ????=== ???

????， ()223

2336255125P X C ????===

? ?????，()3

332835125P X C ??

=== ???

， ∴X X

0 1 2 3

P

27125 54125 36125 8125

∴01231251251251255

EX =?+?+?+?=. ……………………………12分

或解：∵随机变量X 服从23 5X B ??

???

～，，∴26355EX np ==?=. ……………………………12分

19.(本小题满分12分) (1)连结1AC .

∵1AA AC =，四边形11AAC C 为菱形，∴11AC AC ⊥. ∵平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C I 平面ABC AC =，

BC ?平面ABC ，BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面11AAC C .

又∵11//BC B C ，∴11B C ⊥平面11AAC C ，∴111B C AC ⊥. ∵1111AC B C C =I ，

∴1A C ⊥平面11AB C ，而1AB ?平面11AB C ， ∴

1A C ⊥1AB . …………………………5分

(2)取11A C 的中点为M ，连结CM .

∵1AA AC =，四边形11AAC C 为菱形，160A AC ∠=o

，∴11CM AC ⊥，CM AC ⊥.

又∵CM BC ⊥，以C 为原点，CA CB CM ，，为正方向建立空间直角坐标系，如图. 设1CB =，22AC CB ==，1AA AC =，160A AC ∠=o ，

∴C (0，0，0)，1A (1，0，3)，A (2，0，0)，B (0，1，0)，1B (-1，1，3).

由(1)知，平面11C AB 的一个法向量为()

1103CA =u u u v

，，.

设平面1ABB 的法向量为()n x y z =v ，，，则1 n AB n AB ⊥⊥v u u u v v u u u u v ，，∴10

n AB n AB ??=???=??v u u u v

v u u u u v

. ∵()2 1 0AB =-u u u v ，，，()

13 1 3AB =-u u v ，，，∴20

330x y x y z -+=???

-++=??

. 令1x =，得23y z ==，，即 123n ?= ??

?v ，，.

∴1113

cos 1623

CA n CA n CA n

?<>==

=??

u u u v v

u u u v v u u u v v ，， ∴二面角11C AB B --的余弦值为3

-. ……………………………12分

20.(本小题满分12分)

(1)设椭圆的半焦距为c .由椭圆的离心率为

2

知，2b c a b ==，. 设圆C '的半径为r ，则22r a b ab ?+=， ∴2232b b ?=，解得3b =，∴6a =，

∴椭圆C 的方程为22

163

x y +=. ……………………………5分

(2)∵M N ，关于原点对称，PM PN =，∴OP MN ⊥. 设()11M x y ，，()22P x y ，.

当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+.

由直线和椭圆方程联立得()2

226x kx m ++=，即()222124260k x kmx m +++-=，

∴1222

1224212621km x x k m x x k ?

+=-??+?-?=?+?. ∵()11OM x y =u u u u v ，，()22OP x y =u u u v

，， ∴()()12121212OM OP x x y y x x kx m kx m ?=+=+++u u u u v u u u v

()()()22

2

2

2

121222264112121

m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+?+?+++()222322021m k k --=

=+， ∴22220m k --=，2222m k =+，

∴圆C '的圆心O 到直线PM 的距离为2

21

m

r k ==+，∴直线PM 与圆C '相切.

当直线PM 的斜率不存在时，依题意得()11,N x y --，()11,P x y -.

由PM PN =得1122x y =，∴221

1

x y =，结合22

11163

x y +=得212x =，

∴直线PM 到原点O 的距离都是2， ∴直线PM 与圆C '也相切.

∴直线PM 、PN 与圆C '相切. …………………………12分

21.(本小题满分12分)

(1)由()2

10x

x

f x e -=

=，得1x =±，∴函数的零点01x =±. ()221

x

x x f x e --'=

，()12f e '-=，()10f -=. 曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()21y e x =+.

()2

1f e

'=-，()10f =，

∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()2

1y x e

=--.………………………5分 (2)()221

x

x x f x e

--'=. 当(() 1212x ∈-∞+∞U ，，时，()0f x '>；当(122x ∈，时，()0f x '<. ∴()f x 的单调递增区间为(() 12 12-∞+∞，，，，单调递减区间为(122，. 由(1)知，当1x <-或1x >时，()0f x <；当11x -<<时，()0f x >.

下面证明：当()1 1x ∈-，时，()()21e x f x +>. 当()1 1x ∈-，

时， ()()()21112121002x x x x e x f x e x e e

+--+>?++>?+>.

易知，()11

2

x x g x e +-=+在[]1 1x ∈-，

上单调递增， 而()10g -=，

∴()()10g x g >-=对()1 1x ?∈-，

恒成立， ∴当()1 1x ∈-，

时，()()21e x f x +>. 由()21y e x y m

?=+??

=??得12m x e =-.记112m x e '=-.

不妨设12x x <，则121121x x -<<<，

∴121221212m x x x x x x x e ??

''-<-=-=-- ???

.

要证121212x x m e ??-<-+ ???，只要证2112122m x m e e ???

?--≤-+ ? ?????

，即证21x m ≤-.

又∵2221x x m e -=，∴只要证22

2211x x x e

-≤-，即()()()2

22110x x e x -?-+≤.

∵()

212x ∈，，即证()2

210x e x -+≥.

令()()()11x x x e x x e ??'=-+=-，.

当()

12, 0x ∈时，()0x ?'<，()x ?为单调递减函数； 当()0,1x ∈时，()0x ?'>，()x ?为单调递增函数. ∴()()00x ??≥=，∴()2

210x e x -+≥，

∴121212x x m e ?

?-<-+ ???

. …………………………12分

22.(本小题满分10分)

(1)曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+，∴24cos 6sin ρρθρθ=+，∴2246x y x y +=+， 即曲线C 的直角坐标方程为：()()2

2

2313x y -+-=. …………………………5分

(2)把直线23:21x l y ?=????

=??代入曲线C 得22221213t ???+-= ? ? ????， 整理得，23280t t --=.

∵(2

32320?=-+>，设12t t ，为方程的两个实数根，则 1232t t +=128t t =-，∴12t t ，为异号，

又∵点A (3，1)在直线l 上， ∴()

2

1212121245052AM AN t t t t t t t t +=+=-+-=.

…………………………10分

23.(本小题满分10分)

解：(1)∵()2f x x m x =--+，∴()220f x x m x -=---≥的解集为(] 4-∞，

， ∴2x m x --≥，解得28m +=，即6m =. …………………………5分 (2)∵6m =，∴212a b c ++=.

又∵0a >，0b >，3c >，

∴()()()()()()12231132

a b c a b c ++-++-=

()()()3

3

3

122311211232232323a b c a b c ++++-??++????≤===?? ? ???????

， 当且仅当1223a b c +=+=-，结合212a b c ++=解得3a =，1b =，7c =时，等号成立， ∴()()()113a b c ++-的最大值为32.

…………………………10分