高考文科导数考点汇总

高考导数文科考点总结

一、考试内容

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；

两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。导数概念与运算知识清单 1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0

处有增量 x

，那么函数y 相应地有增量 y

=f （x 0+x

）－（fx 0

）， y

y

f(x 0

x) f(x 0) 比值 x

叫做函数y=f （x ）在x 0

到x 0

+

x

之间的平均变化率，即x

=

x 。

y

如果当

x0时，

x

有极限，我们就说函数 y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做 f （x ） 在点x 0处的导数，记作

x x

f ’（x 0

）或y ’|0。

y

lim f(x 0 x)

f(x 0)

lim

x

即f （x 0

）=x0

x

=

x0 。

说明：

y

y

（1）函数f （x ）在点x 0

处可导，是指 x

时， x 有极限。如果 x 不存在极限，就说函 数在点x 0

处不可导，或说无导数。

（2） x 是自变量x 在x 0

处的改变量， x 0时，而 y

是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函

数

y=f （x ）在点x 0

处的导数的步骤（可由学生来归纳） ：

（1）求函数的增量 y

=f （x 0+

x

）－f （x 0

）；

y f(x 0 x) f(x 0) （2）求平均变化率 x =

x

；

lim y

0 x 。 （3）取极限，得导数 0

x f ’(x)= 2．导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0

处的导数的几何意义是曲线

y=f （x ）在点p （x 0

，f （x 0

））处的切线的斜

率。也就是说，曲线 y=f （x ）在点p （x 0

，f （x 0

））处的切线的斜率是 f ’（x 0

）。相应地，切线 方程为y －y 0

=f/（x 0

）（x －x 0

）。

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3．几种常见函数的导数 :

①C

0;② x n

nx n1

; (sinx) cosx ; ④

(cosx)

sinx ;

③

1

1

⑤

(e x ) e x

;⑥(a x

) a x lna ; ⑦ lnx x ; ⑧ log a x x log a e

. 4．两个函数的和、差、积的求导法

则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和 (或差)，

即：(uv)'

u ' v '

.

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数 ,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即： (uv)'

u '

v

uv '

.

若C 为常数,则

(Cu)'

C 'uCu '

0 Cu '

Cu '

.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数

的导数：

(Cu)'

Cu '

.

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除

u

u'v uv' 以分母的平方： v

‘=

v 2

（v0）。

形如y=f (x) 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法

则：

y ＇

|X

=y ＇|U

·u ＇|X

导数应用知识清

单

单调区间：一般地，设函数

y f(x)

在某个区间可导，

如果f

如果f ' ' (x) 0，则f(x) 为增函数； (x) 0，则f(x) 为减函数； 如果在某区间内恒有 f '

(x)0，则f(x)为常数；

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值：

一般地，在区间 [a ，b]上连续的函数 f (x)

在[a ，b]上必有最大值与最小值。

①求函数?(x)

在(a ，b)内的极值；

②求函数?(x)

在区间端点的值?(a)、?(b)；

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③将函数?

(x)

的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

二、热点题型分析

题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1．

f(x)

x 3 3x 2

2在区间 1,1

上的最大值是 2

2．已知函数y f(x ) x(x c)2

在x 2处有极大值，则常数 c ＝ 6 ；

3．函数y

13x x 3 有极小值 －1 , 极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方

程

1．曲线y

4x x 3

在点

1, 3

处的切线方程是 y

x2

2．若曲线f(x) x 4 x

在P 点处的切线平行于直线 3

x y 0

，则P 点的坐标为

（1，0） 3．若曲线y

x 4

的一条切线l 与直线x

4y 8 0

垂直，则l 的方程为 4x

y30

4．求下列直线的方程：

（1）曲线y

x 3 x 2 1

在P(-1,1) 处的切线； （2）曲线y

x 2 过点P(3,5) 的切线；

解：（1） 点

P( 1,1)在曲线

y x 3 x 2 1上， y / 3x 2

2x ky /| － 1 3－

21

x 所以切线方程为 y 1 x1，即x y 2 0

（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为

A(x 0,y 0)，则y 0 x 0 2 ①又函数的导数为y/2x

， 所以过 A(x ,y ) 点的切线的斜率为 k y /

|x x 0 2x 0 ，又切线过 A(x ,y )

、P(3,5)点，所以有

0 0

0 0 y 0 5

x 1 x 05

2x 0

或 3 y 0 1 y 0

25 x ②，由①②联立方程组

得， ，即切点为（ 1，1）时，切线斜率为

0 k 12x 0

2;

；当切点为（ 5，25）时，切线斜率为 k 2 2x 0

10

；所以所求的切线有两条，方程分 别为y

1 2(x 1)或y 25 10(x 5)，

即y 2x 1或y 10x 25 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、

最值

1．已知函数

f(x)

x 3

ax 2

bx

c,过曲线y f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1

（Ⅰ）若函

数

f(x)在x 2

处有极值，求

f(x)

的表达式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函

数

y

f(x)

在[－3，1]上的最大值；

（Ⅲ）若函

数y f(x)在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围

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