正弦定理教案
《正弦定理》教学案例分析
一、教学内容:
本节课主要通过对实际问题的探索,构建数学模型,利用数学实验猜想发现正弦定理,并从理论上加以证实,最后进行简单的应用。
二、教材分析:
1、教材地位与作用:本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书.数学必修5》(A版)第一章中,是在高二学生学习了三角等知识之后安排的,显然是对三角知识的应用;同时,作为三角形中的一个定理,也是对初中解直角三角形内容的直接延伸,而定理本身的应用(定理应用放在下一节专门研究)又十分广泛,因此做好该节内容的教学,使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证实,感受“类比--猜想--证实”的科学研究问题的思路和方法,体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想,养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
2、教学重点和难点:重点是正弦定理的发现和证实;难点是三角形外接圆法证实。
三、教学目标:
1、知识目标:
把握正弦定理,理解证实过程。
2、能力目标:
(1)通过对实际问题的探索,培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。
(2)增强学生的协作能力和数学交流能力。
(3)发展学生的创新意识和创新能力。
3、情感态度与价值观:
(1)通过学生自主探索、合作交流,亲身体验数学规律的发现,培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质,增强学习的成功心理,激发学习数学的爱好。
(2)通过实例的社会意义,培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心。
四、教学设想:
本节课采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引导下,以学生独立自主和合作交流为前提,以“正弦定理的发现”为基本探究内容,以四周世界和生活实际为参照对象,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合作”中增知,在“探究”中创新。设计思路如下:
五、教学过程:
(一)创设问题情景
课前放映一些有关军事题材的图片,并在课首给出引例:一天,我核潜艇A正在某海域执行巡逻任务,忽然发现其正东处有一敌艇B正以30海里/小时的速度朝北偏西40°方向航行。经研究,决定向其发射鱼雷给以威慑性打击。已知鱼雷的速度为60海里/小时,问怎样确定发射角度可击中敌舰?
[设计一个学生比较感爱好的实际问题,吸引学生注重力,使其马上进入到研究者的角色中来!]
(二)启发引导学生数学地观察问题,构建数学模型。
用几何画板模拟演示鱼雷及敌舰行踪,在探讨鱼雷发射角度的过程中,抽象出一个解三角形问题:
1、考察角A的范围,回忆“大边对大角”的性质
2、让学生猜测角A的准确角度,由AC=2BC,从而B=2A
从而抽象出一个雏形:
3、测量角A的实际角度,与猜测有误差,从而产生矛盾:
定性研究如何转化为定量研究?
4、进一步修正雏形中的公式,启发学生大胆想象:以及等
[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]
(三)引导学生用“特例到一般”的研究方法,猜想数学规律。
提出问题:
1、如何对以上等式进行检验呢?激发学生思维,从自身熟悉的特例(直角三角形)入手进行研究,筛选出能成立的等式
2、那这一结论对任意三角形都适用吗?指导学生用刻度尺、圆规、计算器等工具对一般三角形进行验证。
3、让学生总坚固验结果,得出猜想:
在三角形中,角与所对的边满足关系
[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路!]
(四)让学生进行各种尝试,探寻理论证实的方法。
提出问题:
1、如何把猜想变成定理呢?使学生注重到猜想和定理的区别,强化学生思维的严密性。
2、怎样进行理论证实呢?培养学生的转化思想,通过作高转化为熟悉的直角三角形进行证实。
3、你能找出它们的比值吗?借以检验学生是否把握了以上的研究思路。用几何画板动画演示,找到比值,突破难点。
4、将猜想变为定理,并用以解决课首提出的问题,并进行适当的思想教育。
[学生成为发现者,成为创造者!让学生享受成功的喜悦!]
(五)反思总结,布置作业
1、正弦定理具有对称和谐美
2、“类比→实验→猜想→证实”是一种常用的研究问题的思路和方法课下思考:三角形中还有其它的边角定量关系吗?
六、板书设计:
1正弦定理和余弦定理-教学设计-教案
教学准备 教学目标 1. 知识目标:理解并掌握正弦定理,能初步运用正弦定理解斜三角形;技能目标:理解用向量方法推导正弦定理的过程,进一步巩固向量知识,体现向量的工具性情感态度价值观:培养学生 在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; /难点教学重点2. 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判 断解的个数。教学用具 3. 多媒体标签 4. 正弦定理 教学过程 讲授新课在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角 根据锐BC=a,AC=b,AB=c, ABC.与边的等式关系。如图11-2,在Rt中,设角三角函数中正弦函数的定义,有 . ,又,则,中,ABC从而在直角三角 形.
思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: ,根上的高是CDABC1(证法一)如图.1-3,当是锐角三角形时,设边AB CD=据任意角三角函数的定义,有,则. . 同理可得,从而
是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后ABC类似可推出,当自己推导)从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 ] 理解定理[)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系 数为同1 ( ;使一正数,即存在正数k,,
等价于2(),,。从而知正弦定理的基本作用为: ;①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 . 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。. 评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 2(1)题。)、(页练习第第随堂练习[]511
正弦定理第二课时教案1
§1.1 正弦定理第二课时教案 主备人:刘权 备课组长:刘权 共2课时第二课时 一、学习目标 1. 熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用 2. 探究三角形的面积公式 3. 能根据条件判断三角形的形状 4. 能根据条件判断某些三角形解的个数 二、重难点: 重点:正弦定理的应用;难点:已知两边及其中一边对角时三角形解的个数 三、学法指导 1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化,同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用; 2.利用正弦定理判定三角形形状,常运用变形形式,结合三角函数的有关公式,得出角的大小或边的关系。 四、课前预习 1.正弦定理____________________===________ 2.正弦定理的几个变形 (1)a =________ ,b=_________ ,c=_________ (2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______ (3)a:b:c =____________________. 3.在解三角形时,常用的结论 (1)在ABC ?中,A>B ?_________?_____________ ( 2 ) sin(A+B)=sinC ( 3 ) 三角形的面积公式: ______________________________________________ 五、课堂探究 1.正弦定理:(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===; (2)正弦定理的变形形式: 1)————————————————————; 2)————————————————————; 3)————————————————————. (3)利用正弦定理和三角形内角和定理,可解决以下两类斜三角形问题:
高中数学《正弦定理》公开课优秀教学设计
2016年全国高中青年数学教师优秀课教学设计 2016年10月 正弦定理 第一课时
一、教学内容解析 本节课《正弦定理》第一课时,出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后,是三角函数知识在三角形中的具体运用,更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展,同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次:第一,从实际问题导入,在解直角三角形的边角关系的基础上,触碰解斜三角形的思维困惑点,自然生成疑问,激发学生探究欲望,从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形,实现知识的螺旋式上升,符合学生的认知思维;第二,带着疑问,在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上,以此作为启发点,首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明,得到正弦定理,以解直角三角形为知识基础,验证和证明,教学过程中充分体现了转化化归的数学思想;第三,解决引例,首尾呼应,并学以致用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看,三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中,渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次:探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来,到实际中去。课堂上,引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。 二、教学目标设置 《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是:“在本章中,学生将在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系,并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。” 根据课程目标,依据教材内容和学生情况,确定本节课的学习目标为: 1、通过观察、实验、验证、猜想、证明,从特殊到一般得到正弦定理;
2018年必修五《正弦定理》教案
§1.1.2 正弦定理 一、知识与技能 1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 2通过三角函数、正弦定理等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力. 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 三、教学重点与难点: 重点:正弦定理的探索及其基本应用。 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【授课类型】:习题拔高课 四、教学过程 一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么? 二、例题讲解 例 1试推导在三角形中 A a s i n =B b sin =C c sin =2R 其中R 是外接圆半径. 证明 如图所示,∠A =∠D ∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=,C c sin R 2= ∴ A a sin = B b sin =C c sin =2R a b c O B C A D
例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中,===? 解:∵213 60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b ,C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角, 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中,===? 解2 3245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴< 6.4.2第二课时余弦定理、正弦定理【课时分层练】 2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】 一、单选题 1.在ABC 中,内角A ?B ?C 所对的边分别是a ?b ?c ,已知14 b c a -=,2sin 3sin B C =,ABC 的 ,则a =( ) A .2 B .3 C .4 D .5 2.在ABC 中,2sin 22C a b a -=,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,则ABC 的形状为( ) A .等边三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .直角三角形 3.德国著名的天文学家开普勒说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割,如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是两底角为72?的等腰三角形(另一种是两底角为36?的等腰三角形),例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金ABC 中, 12 BC AC =.根据这些信息,可得sin54?=( ). A B C D 4.在200m 高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30、60,则塔高为( ) A .4003m B .300m C .400m D .600m 5.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知6a =cos 3sin A a B =,则ABC 面积的最大值是( ) A . B . C . D .6.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且A ,B ,C 成等差,1b =,则a c +的取值范围是( ) A .(]1,2 B .(]0,2 C .( D .( 7.在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式,利用三角形的三边长求三角形的面积, 若三角形的三边长分别为,,a b c ,则其面积S =,其中()12 p a b c =++,现有一个三角形边长,,a b c 满足7,5a b c +==,则此三角形面积最大值为( ) A . B C . D 8.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 已知21sin 222A b c +=,则△ABC 的形状为( ) A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰三角形 D .等腰直角三角形 9.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c .若3A π ∠=,4AC = , ABC S =,则 sin sin a b A B +=+( ) A . B .3 C D 正弦定理应用教案 【篇一:正弦定理、余弦定理应用举例教案】 第7讲正弦定理、余弦定理应用举例 【考查要点】利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题. 【基础梳理】 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型。如测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、 物理问题等. 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的 角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图(1)). (2)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如b点 的方 (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 3、解三角形应用题的一般步骤: (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量 与量 之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近 似计算的要求等. 4、解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上 的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐 步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 【例题分析】 一、基础理解 a..3 m c. m 2 解:如图.答案 b 例4.一船向正北航行,看见正西方向相距10海里的两个灯塔 恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船 a.5海里 b.3海里 c.10海里 d.海里 5里),于是这艘船的速度是=10(海里/时).答案 c 0.5 二、测量距离问题 例1、如图所示,为了测量河对岸a,b两点间的距离,在这岸 [分析] 在△bcd中,求出bc,在△abc中,求出ab. 例2、如图,a,b,c,d 都在同一个与水平面垂直的平面内, b、d为两岛上的 试探究图中b、d间距离与另外哪两点间距离相等,然后求b, d的距离. 故cb是△cad底边ad的中垂线,所以bd=ba. 2+同理,bd(km).故b、d km. 2020 三、测量高度问题 [分析] 过点c作ce∥db,延长ba交ce于点e,在△aec中 解得x=10(33) m.故山高cd为10(33 ) m. 总结:(1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念;(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理., cd cdx ab解:在△abc中,ab=5,ac=9,∠bca=sin∠acb 9同理,在△abd中,ab=5,sin∠bad 10 abbd∠adb=, sin∠bdasin∠bad 22解得bd故bd的长为22 总结:要利用正、余弦定理解决问题,需将多边形分割成若干个三角形,在分割时,要注意有利于应用正、余弦定理. 点,ad=10,ac=14,dc=6,求ab的长. 解:在△adc中,ad=10,ac = 14,dc=6, 【篇二:《正弦定理》教学设计】 课题:§2.1.1正弦定理 教学目标: 1.知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 3.情感目标:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教材版本:北师大必修5 教学课时:1 教学过程: 一、新课引入: 如左图,在ABC Rt ?中,有 s i n ,s i n ,s i n 1 a b A B C c c ===。 经过变形有,,sin sin sin a b c c c c A B C ===, 所以在ABC Rt ?中有:c C c B b A a ===sin sin sin 思考:在其他任意三角形中是否也有 s i n s i n s i n a b c A B C ==等式成立呢,这个时候 ?sin sin sin ===C c B b A a 观察下图,无论怎么移动B ’,都会有角B ’=B,所以在C AB '?中,c B b B b ==sin sin ', c6.4.2 第二课时 余弦定理、正弦定理(原卷版)-高一数学同步备课系列
正弦定理应用教案
正弦定理教案