高三数学教案 正弦定理2
课题: §1.1.1正弦定理
授课类型:新授课
●教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
如图1.1-1,固定ABC 的边CB 及B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考:C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B Ⅱ.讲授新课
[探索研究] (图1.1-1)
在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定
义
,
有
,
,又
,
A
则 b c 从而在直角三角形ABC 中,
C a B
(图1.1-2)
思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析)
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:
如图1.1-3,当ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=,则, C
同理可得, b a
从而
A c B
?∠∠∠?sin a
A c
=sin b
B c
=sin 1c C c
==
sin sin sin a
b
c
c A
B
C
=
=
=sin sin sin a
b
c
A
B
C
=
=
?sin sin a B b A =sin sin a
b
A
B
=
sin sin c
b
C B =
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
(图1.1-3) 思考:是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。
(证法二):过点A 作, C 由向量的加法可得
则
∴
∴,即
同理,过点C 作,可得 从而
类似可推出,当ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导)
从上面的研探过程,可得以下定理
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
[理解定理]
(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使,,; (2)
等价于
,
,
从而知正弦定理的基本作用为:
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如; ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析]
例1.在中,已知,,cm ,解三角形。 解:根据三角形内角和定理,
; 根据正弦定理,
j AC ⊥AB AC CB =+()j AB j AC CB ?=?+j AB j AC j CB ?=?+?j ()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C sin sin =c A a C sin sin =a c
A C
⊥j BC sin sin =b c B C
sin sin a
b
A B =
sin c
C
=
?sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
sin a k A =sin b k B =sin c k C =sin sin a
b
A B =
sin c
C
=
sin sin a
b
A
B
=
sin sin c
b
C
B
=
sin a
A
=
sin c
C
sin sin b A
a B
=
sin sin a A B b
=?ABC 032.0=A 081.8=B 42.9=a 0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=
;
根据正弦定理,
评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2.在中,已知cm ,cm ,,解三角形(角度精确到,边长精确到1cm )。
解:根据正弦定理,
因为<<,所以,或 ⑴ 当时,
,
⑵ 当时,
,
评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 Ⅲ.课堂练习
第5页练习第1(1)、2(1)题。
[补充练习]已知ABC 中,,求 (答案:1:2:3)
Ⅳ.课时小结(由学生归纳总结)
(1)定理的表示形式:
;
或,, (2)正弦定理的应用范围:
①已知两角和任一边,求其它两边及一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。 Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A 组第1(1)、2(1)题。 ●板书设计 ●授后记
00
sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A 00
sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0
==≈a C c cm A ?ABC 20=a 28=b 040=A 0
10
sin 28sin40sin 0.8999.20
==≈b A B a 00B 0180064≈B 0116.≈B 064≈B 00000
180()180(4064)76=-+≈-+=C A B 00
sin 20sin7630().sin sin40
==≈a C c cm A 0116≈B 00000
180()180(40116)24=-+≈-+=C A B 00
sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A ?sin :sin :sin 1:2:3A B C =::a b c sin sin a
b
A B =
sin c
C
=
=
()0sin sin sin a b c
k k A B C
++=>++sin a k A =sin b k B =sin c k C =(0)k >
北师大版高中数学必修5正弦定理2
正弦定理 教学目标 (1)要求学生掌握正弦定理及其证明; (2)会初步应用正弦定理解斜三角形,培养数学应用意识; (3)在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力. 教学重点,难点 正弦定理的推导及其证明过程. 教学过程 一.问题情境 在直角三角形中,由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数,可以由已知的边和角求出未知的边和角.那么斜三角形怎么办?我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢? 探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系,在Rt ABC ?中,设90C =?,则 sin a A c =, sin b B c =, sin 1C =, 即:sin a c A =, sin b c B =, sin c c C =, sin sin sin a b c A B C ==. 探索2 对于任意三角形,这个结论还成立吗? 二.学生活动 学生通过画三角形、测量边长及角度,再进行计算,初步得出该结论对于锐角三角形和钝角三角形成立.教师再通过几何画板进行验证.引出课题——正弦定理. 三.建构数学 探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的.不妨设C 为最大角,若C 为直角,我们已经证得结论成立,如何证明C 为锐角、钝角时结论也成立? 证法 1 若C 为锐角(图(1)),过点A 作AD BC ⊥于D ,此时有 sin AD B c =,sin AD C b =,所以sin sin c B b C =,即sin sin b c B C =.同理可得sin sin a c A C =,
所以sin sin sin a b c A B C ==. 若C 为钝角(图(2)),过点A 作AD BC ⊥,交BC 的延长线于D ,此时也有sin AD B c =,且sin sin(180)AD C C b =?-=.同样可得sin sin sin a b c A B C ==.综上可知,结论成立. 证法2 利用三角形的面积转换,先作出三边上的高AD 、BE 、CF ,则s i n A D c B =,sin B E a C =,sin C F b A =.所以111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ?===,每项同除以12abc 即得:sin sin sin a b c A B C ==. 探索 4 充分挖掘三角形中的等量关系,可以探索出不同的证明方法.我们知道向量也是解决问题的重要工具,因此能否从向量的角度来证明这个结论呢? 在ABC ?中,有BC BA AC =+ .设C 为最大角,过点A 作AD BC ⊥于D (图(3)), 于是BC AD BA AD AC AD ?=?+? .设AC 与AD 的 夹角为α, 则0||||cos(90)||||cos BA AD B AC AD α=???++? , 其中,当C ∠为锐角或直角时,90C α=?- ;当
人教版高中数学,正弦定理(一)
人教版高中数学同步练习 第一章 解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理(一) 课时目标 1.熟记正弦定理的内容; 2.能够初步运用正弦定理解斜三角形. 1.在△ABC 中,A +B +C =π,A 2+B 2+C 2=π2 . 2.在Rt △ABC 中,C =π2,则a c =sin_A ,b c =sin_B . 3.一般地,把三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 4.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即a sin A =b sin B =c sin C ,这个比值是三角形外接圆的直径2R . 一、选择题 1.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若A ∶B ∶C =1∶2∶3,则 a ∶b ∶c 等于( ) A .1∶2∶3 B .2∶3∶4 C .3∶4∶5 D .1∶3∶2 答案 D 2.若△ABC 中,a =4,A =45°,B =60°,则边b 的值为( ) A.3+1 B .23+1 C .2 6 D .2+2 3 答案 C 解析 由正弦定理a sin A =b sin B , 得4sin 45°=b sin 60° ,∴b =2 6. 3.在△ABC 中,sin 2A =sin 2B +sin 2C ,则△ABC 为( ) A .直角三角形 B .等腰直角三角形 C .等边三角形 D .等腰三角形 答案 A 解析 sin 2A =sin 2B +sin 2C ?(2R )2sin 2A =(2R )2sin 2B +(2R )2sin 2C ,即a 2=b 2+c 2,由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形. 4.在△ABC 中,若sin A >sin B ,则角A 与角B 的大小关系为( ) A .A > B B .A sin B ?2R sin A >2R sin B ?a >b ?A >B . 5.在△ABC 中,A =60°,a =3,b =2,则B 等于( ) A .45°或135° B .60°
高中数学教案必修四:正弦定理
课 题 1.1.1 正弦定理 授课人 雷 娜 授课时间 5月 日 年 级 高 一 班 次 1321、1322 教学目标 知识与技能: 通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的 内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法: 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中, 边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到 一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 情感、态度、价值观: 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形 函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 内容分析 重 点: 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难 点: 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 关 键: 掌握正弦定理的内容并能够灵活应用 教学方法 探究式教学 教 学 过 程 一、课题导入: 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? 二、新课探究 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C === A B C B A C
正弦定理第二课时教案1
§1.1 正弦定理第二课时教案 主备人:刘权 备课组长:刘权 共2课时第二课时 一、学习目标 1. 熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用 2. 探究三角形的面积公式 3. 能根据条件判断三角形的形状 4. 能根据条件判断某些三角形解的个数 二、重难点: 重点:正弦定理的应用;难点:已知两边及其中一边对角时三角形解的个数 三、学法指导 1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化,同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用; 2.利用正弦定理判定三角形形状,常运用变形形式,结合三角函数的有关公式,得出角的大小或边的关系。 四、课前预习 1.正弦定理____________________===________ 2.正弦定理的几个变形 (1)a =________ ,b=_________ ,c=_________ (2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______ (3)a:b:c =____________________. 3.在解三角形时,常用的结论 (1)在ABC ?中,A>B ?_________?_____________ ( 2 ) sin(A+B)=sinC ( 3 ) 三角形的面积公式: ______________________________________________ 五、课堂探究 1.正弦定理:(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===; (2)正弦定理的变形形式: 1)————————————————————; 2)————————————————————; 3)————————————————————. (3)利用正弦定理和三角形内角和定理,可解决以下两类斜三角形问题:
高一数学正弦定理余弦定理习题及答案
高一数学正弦定理余弦定理习题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
正 余 弦 定 理 1.在ABC ?中,A B >是sin sin A B >的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02C x x A B -?+ =的两根之和等于两根之积的一半,则ABC ?一定是 ( ) (A )直角三角形(B )钝角三角形(C )等腰三角形(D )等边三角形. 3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边,若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 4、如图,在△ABC 中,若b = 1,c =3,23C π∠= ,则a= 。 5、在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为a ,b ,c ,若2a =,2b =,sin cos 2B B +=,则角A 的大小为 . 6、在?ABC 中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,且2 74sin cos 222 B C A +-= (1)求A ∠的度数 (2)若3a =,3b c +=,求b 和c 的值 7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 8、如图,在△ABC 中,已知3=a ,2=b ,B=45? 求A 、C 及c . A B 323 π
1、解:在ABC A B ?>中,2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ?>?>?>,因此,选C . 2、【答案】由题意可知:211cos cos cos 2sin 222 C C A B -=??=,从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+- cos cos sin sin 1A B A B +=,cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=,所以ABC ?一定是等腰三角形选C 3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用. 【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小,求出C ,从而求出sin .C 【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =,由正弦定理得 1sin sin 60A =得1sin 2 A =,由a b <知60A B <=,所以30A =,180 C A B =-- 90=,所以sin sin 90 1.C == 4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。 【思路点拨】对C ∠利用余弦定理,通过解方程可解出a 。 【规范解答】由余弦定理得,222121cos 33 a a π+-???=,即220a a +-=,解得1a =或2-(舍)。【答案】1 【方法技巧】已知两边及一角求另一边时,用余弦定理比较好。 5、【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理,考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。
正弦定理教案
课题:§2.1.1正弦定理 教学目标: 1.知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 3.情感目标:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教材版本:北师大必修5 教学课时:1 教学过程: 一、新课引入: 如左图,在ABC Rt ?中,有 s i n ,s i n ,s i n 1 a b A B C c c ===。 经过变形有,,sin sin sin a b c c c c A B C ===, 所以在ABC Rt ?中有:c C c B b A a ===sin sin sin 思考:在其他任意三角形中是否也有 s i n s i n s i n a b c A B C ==等式成立呢,这个时候 ?sin sin sin ===C c B b A a 观察下图,无论怎么移动B ’,都会有角B ’=B,所以在C AB '?中,c B b B b ==sin sin ', c