排列组合公式及恒等式推导、证明

排列组合公式及恒等式推导、证明（word版）

说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word还是pps附带公式编辑经常是出错用不了。下载此word版的，记得下载MathType公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有PPt课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。

一、排列数公式：

推导：把n个不同的元素任选m个排次序或n个全排序，按计数原理分步进行：

第一步，排第一位：有 n 种选法；

第二步，排第二位：有（n-1）种选法；

第三步，排第三位：有（n-2）种选法；

┋

第m步，排第m位：有（n-m+1）种选法；

┋

最后一步，排最后一位：有 1 种选法。

根据分步乘法原理，得出上述公式。

二、组合数公式：

推导：把n个不同的元素任选m个不排序，按计数原理分步进行：

第一步，取第一个：有 n 种取法；

第二步，取第二个：有（n-1）种取法；

第三步，取第三个：有（n-2）种取法；

┋

第m步，取第m个：有（n-m+1）种取法；

┋

最后一步，取最后一个：有 1 种取法。

上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m 个，就有m!种排排法，选n 个就有n!种排法。故取m 个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。

证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。 将部分排列问题m n A 分解为两个步骤：

第一步，就是从n 个球中抽m 个出来，先不排序，此即定义的组合数问题

m n C ；

第二步，则是把这m 个被抽出来的球全部排序，即全排列m

m A 。 根据乘法原理，m m m n n m A C A = 即：

组合公式也适用于全组合的情况，即求?C(n,?n)的问题。根据上述公式，

C(n,?n)?=?n!/n!(n-n)!?=?n!?/?n!0!?=?1。

这一结果是完全合理的，因为从n 个球中抽取所有n 个出来，当然只有1种方法。?

三、重复组合数公式：

重复组合定义:从n 个不同的元素中每次取一个，放回后再取下一个，如此连续m 次所得的组合。

重复组合数公式：1m m n n m R C +-= （m 可小于、大于、等于n,n ≥1） 推导：可以把该过程看作是一个“放球模型”：

n 个不同的元素看作是n 个格子，其间一共有（n-1）块相同的隔板，用m 个相同的小球代表取m 次；则原问题可以简化为将m 个不加区别的小球

放进n个格子里面，问有多少种放法；这相当于m个相同的小球和（n-1）块相同的隔板先进行全排列：一共有（m+n-1）！种排法，再由于m个小球和（n-1）块隔板是分别不加以区分的，所以除以重复的情况：m！*（n-1）！

左边=右边

1m m

n n n A A n m

-=- 证明：右边=(1)!(1)!

()!m

n

n n n A n m n m n m -?

=----

左边=右边

证明：右边

=(1)!!()!()!

m n

n n n

A n m n m -==--

左边=右边

11n n n

n n n nA A A ++=-

证明：右边

=11(1)!!(1)!!!n n n

n n n A A n n n n n n n nA ++-=+-=+-==g g

右边=左边

证明：右边=1

!!(1)!!(1)!

()!

(1)!(1)!(1)!m n n n n m n m n n m

A n m n m n m n m +-+-++===--+-+-+g

1!22!33!!(1)!1n n n +??+?+-L

证明：左边=(2-1)1！+（3-1）2！+（4-1）3!+…（n+1-1）n!

=2!-1!+3!-2!+4!-3!…(n+1)!-n! =(n+1)!-1！ =右边 六、组合恒等式的证明

首先明弄清组合的两个性质公式：

②

③

④

⑤

⑥

1

1m m m n n n C C C -+=+ 要么含有新加元

证明：

111(1)!!

()(1)!(1)!!()!

11!!

(1)!(1)!!()!m m

n n m m

n n m m n n C C n m n m m n m m n m n m n m n n C C m m m n m m n m +-++===--+----+-+===--+-g

!

!()!

m

n n C m n m ==-

证明：

右边= (1)!!(1)!()!!()!m

n

n n n C m m n m m n m -==---g

=左边

证明：根据组合性质，左边各式可写成： 左右两边相加即得：

证明：

用数学归纳法证明。

1）当n=1时，0111122C C +==所以等式成立。 2）假设n=k 时，（k≥1，k∈N*）时等式成立。 即：0122k

k k k k k C C C C ++++=L

⑤

11

2

1

r

r r r r r

r r n

n C C

C

C

C

++++++++=L ⑥ 0

12

n n

n

n

n

C

C

C

+++=L

当n=k+1时，

0121

11111

001121111

0120121

()()()()()222k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C ++++++-+++++++++=++++++++=+++++++++==L L L L g

∴等式也成立

由1)、2)得，等式对n∈N*都成立。 也可用二项式定理证明（略）

证明：用归纳法同上（略）

也可利用上述结论证明（略） 本课件尽量避开用二项式定理，但这比较简单，暂且用一下： 设

135

24n n n n

n

n

a C C C

b C C C =+++=+++L

L

由（1+1）n 可得：a+b=2n =2×2n-1 由（1-1）n 可得a-b=0 ∴a=b=2n-1 (不懂的去学学二项式定理)

证明：

由11m m m n n C nC --=可得:（还记得这个恒等式吗，不记得就回过头去看③的证明） 左边

注：同时利用了⑥的结论。

用二项式定理证明太麻烦了。能偷懒就不要太勤快了。 ⑦ 1350241

2

n n n n n n n

C C C C C C -++=++=L L ⑧ 1231

232

n n n n n n C C C nC n -++++=L g ⑨ 0110r r r r m n m n m n n m

C C C C C C C

-+++++=L r ≤min{m,

n}

观察左边的每一项，发现均是分别从m 个不同素和n 个不同元素中取r 个元素的一个组合，其各项之和就是所有取法，即所有组合数。其所有组合数当然等于右边。

还是用偷懒法：根据第⑨的结论并结合组合的互补性质，若r=m=n 即得些结论。

⑩

021222()()()n n n n n n C C C C +++=L