线性代数习题解答(1-6)

习题一行列式

一、填空题：

1．设nn

n n n n a a a a a a a a a D 212222111211

，则

=---------nn n n n

a a a a a a a a a 21

22221

11211n )1(-D 。

2．设nn

n n n

a a a a a a a a a D

2222111211

，则=n

nn n n n

n a a a a a a a a a a a a 112

33231

22221

1)1(--n D 。 3．设d a a a a a a a a a =333231232221

1211

，则=---13

23222133

3231

222333a a a a a a a a a d 6。 4．设01

0100

=--a b

b a

，则=a 0 ，=b 0 。

5.-1

二、计算下列行列式：

1）600300301395200199

204

100103 =0315********--=100001551

83--- =2000。 2）ef cf

de cd bc

ac ab

---==---1

111

d d c

abcef 0

111d d c

abcef --

)(2d c abcef +=。

3）

025*********

-----1

135

8161

130126158160-----=------=

1441

812

02023

032

44-=----= 4）

d c

b a

10011001--- =

a a

b d

b a ab 10

110

110011010--+=

---+ )1)(1(0

)1(110

1cd ab ad cd d

a a

b +++=+--+=

。

5） =160

三、解下列方程：

1）

842

184211111

=--x x x

解2）注意方程的左边进行转置后是Vandermonde 行列式，故左边=)12)(12)(22)(1)(2))(2((---------x x x

2,1,0)2)(2)(1(12±=∴=+--=x x x x 。

习题二行列式（续）

一、计算下列行列式：

（1）a

b b b b a

b b a b

b b b a

D n

= a

b b b b a

b b a b b n a

1111))1((-+=

1))()1((0

000

))1((---+=----+=n b a b n a b

a b a b a b n a

。

（2）n

n a a a D +++=

111

11121

,,141312r r r r r r ---n

n a a a a a a a a a a 0

000000000000000001111111

11131211

-----+- n

i a a c c i

i 3,2,1.

11=+n

n n

a a a a a a a a a a a 0

0000000

00000000000111111132131211

-+++

按第一列展开⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛++++n a a a a a a a 1312111 n

a a a 000000

032

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛+=∑=n

i i a a a 111

1n a a a 32 )11)((1

21∑

=+=n

i i

n a a a a 二、解方程：

0)1(11

21111111111=----x n x x

解：左边=))2(()2)(1()2(0

000

100

000

x n x x x x

n x x -----=----

=0，

)2(,,2,1,0-=∴n x 。

三、设4

32116

11118751

A ，j A 4是A 中元素j a 4的代数余子式)4,3,2,1(=j 。求44434241A A A A +++的值。

解：44434241A A A A +++=

111630211118

751=。

四、齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++0

200

321

321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？

μλμμμλ

-==1

2111

13D ，

齐次线性方程组有非零解，则03=D 即 0=-μλμ 得 10==λμ或

不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.

习题三矩阵的概念及代数运算

一、填空题：

1．取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4332A ，⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+++-=y x t s t x y x B 22，若B A =，则=x 3；=y 1；=s 9；=t -3。

2．设)3,1,2(=α，T )3,2,1(=β，则=αβ13；=T

T βα⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛963321642。

3．设)(2

E B A +=

，则当且仅当=2B E 时，A A =2。 4．))((2

B A B A B A -+=-的充分必要条件是BA AB =。

二、设⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=143022011B ，试计算：1）BA AB -；2）22B A -；

3）))((A B B A --；4）B A T 2。

解：1）;4189332141

,6158228114,.2317116

055⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛----=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=BA AB BA AB 2）2

2B A -;7263450

149171402201181911472158⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 3）))((A B B A --;100510182122100143022100143022⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

4）B A T

2⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=412168223462220。

三、计算：

设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ001001A ，求k

A A A ,,43（k 为正整数）。

解：,0

020

1222

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣

⎡=λλλλ

λA ,0

030

33323

33⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣

⎡=λλλλλλA ,0

040

64434

44⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣

⎡=λλλλλλA ⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡-=---k

k k k k k

k k k k k A λ

λλλλλ0

)1(1

。

四、设⎥

⎦

⎤⎢

⎣⎡-=2322A ，8)(2

--=x x x f ，143)(2+-=x x x g ，计算：)(A f ；)(A g ；)()(A g A f ；)()(A f A g 。

解：;43

8)(22⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--=--=E A A A f =)(A g ;30961814322

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=+-E A A

)()(A g A f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=138906018；)()(A f A g ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=138906018。

五、1）设A 、B 均为n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =。

证明：已知A 、B 均为n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵AB AB T

=⇔)(⇔=⇔AB A B T

AB BA =。

六、设A 、B 为n 阶矩阵，且满足A A =2，B B =2及B A B A +=+2

)(，证明：O AB =。证明：,)(2

B A B BA AB A B A +=+++=+因为A A =2，B B =2，所以O BA AB =+。这样，,)(2

O ABA AB ABA B A BA AB A =+=+=+O BA ABA BA ABA A BA AB =+=+=+2

)( ，因此，,BA AB =所以，O AB =

习题四逆矩阵

一、填充题：

（1）设A 为3阶方阵，且2=A ，则=-12A 4，=*A 4， =**)(A 16，=-1*)(A 1/4。

（2）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-100110202211

A ，则=A ⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-200220201。（3）设⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=400043004320

4321A ，则

=-1

*)(A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛610

0061810061811210618112

1241

。（4）设三阶方程B A ,满足关系式，BA A BA A +=-61

，且

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=7/10004/10003/1A ，则=B ⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛123。二、设A 为3阶方阵，且2=A ，求*123A A --的值。解：因为,211

--==A A

A A 所以2

)1(432313111*1-=-=-=-=------A A A A A A 。

三、求下列矩阵的逆矩阵

（1）⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--32543

675

2 解：1324

3)1(1

111-=---=+A ，383

6)1(2

112=--=+A ，27253

6)1(3

113-=--=+A ，

1327

)1(1

221=---=+A ，413

)1(2

222---=+A ，292

)1(3

223=--=+A ，

375)1(1331-=-=+A ，344

672)1(2

332=-=+A ，243

652)1(3

333-=-=+A ，

1752131211-=++=A A A A ，

⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----==∴-242927344138111

A A A 。

四、设矩阵B A ,满足如下关系式B A AB 2+=，其中⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321011324A ，求矩阵B 。解：A B E A B A AB =-∴+=)2(,2 。

E A E A 2,011

011

322

2-∴≠-=--=- 可逆，

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=∴--321011324461351341321011324121011322

)2(1

1A E A B

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-----=9122692683。

五、设n 阶矩阵A 和B 满足AB B A =+，（1）证明E A -为可逆矩阵；（2）证明BA AB =（3）已知

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=200012031B ，求矩阵A 。

证明（1）E A E E B E A AB B A -∴=--∴=+,))((, 可逆。

（2）由（1）))()(())((E E A E B E B E A =--=--。化简即得。（3）B E B A B A AB =-∴+=)(, 。由（1）知E B -可逆，

所以，1

100002030200012031)

(--⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=E B B A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-

=20

001310211。六、已知n 阶矩阵A 满足3

)(2A E A A =-，证明A E -可逆，并求1

)(--A E 。

证明： 3

)(2A E A A =-，E A A A E =--+∴3

222。变形可得：

E A A E A E =+--))((2

。因此)(A E -可逆，且21

)(A A E A E +-=--。

七、设A 为n 阶可逆矩阵，证明（1）1

-=n A A ，

证明：（1）由于,*

E A AA =所以，

n A E A E A A A AA ====*

*，由于A 可逆，所以0≠A ，因此， 1

-=n A

A 。

习题五分块矩阵和矩阵的秩

一、填充题：

（1）如B A ,分别是m 阶和n 阶可逆矩阵，则=⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-1

A ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--00

11A B 。（2）已知⎪⎪

⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝

⎛=250033000012

0025A ，则=-1

A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛----31950031920000520021。（3）已知⎪⎪

⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝

⎛-=00110021120

02500A ，则=-1

A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---00520021313100323100。二、求下列矩阵的逆矩阵：

（1）⎪⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛-00

000000000

012

n n a

a a a （其中n i a i ,,2,1 ,0 =≠）

解：设⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=0021A A A ，其中1A 为1-n 阶矩阵，2A 为一阶矩阵，则

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----010

000

0000

11000001

n n a a a a A A A

。三、设⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-=22000200003

40043A ，求8

A 及4A 。解：1004252

23443-=⨯-=-=

A ，

1688

810)100(=-==A A 。

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=166400016000062500006250

0424

A A A 。四、用矩阵的初等行变换求下列矩阵的秩

（1）⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-------81507113

1223123 A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→81507113

1214431⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→1273321019117014431⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-----→4000019117014431 所以3)(=A R 。

五、如⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 2

2221

212111，其中0,≠j i b a ，n j i ,,2,1, =，求)(A R 。

解：⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛→00000000

12121

21 n n n n b b b b b b b b b b b b A ，1)(=∴A R 。六、已知矩阵⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=455325110141322

3211

a A 的秩是3，求a 的值。解：⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------→03600021110221100321122511021110221100321

1a a a a a a a a A

2036,3)(,036000221100211103211=∴=-∴=⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛------→a a A R a a a

a 。七、用初等行变换求下列矩阵A 的逆矩阵

（1）⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡323513123 解：⎪⎪⎪⎭

⎫-- ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101211001200010123101011001200410123100010001323513123

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

----

⎝

⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

---- ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎭⎫----

⎝

⎛→210

211

2332671000100

0121021211

29227100010003210

1211423100010103 ，

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛----=∴-210

21211

2332671

A 。

习题六线性方程组

一、填空题：

1．设A 是n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0=AX 只有零解的充要条件是n A R =)(，有非零解的充要条件是n A R <)(。

2．设A 是n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组b AX =有唯一解的充要条件是

n A R A R ==)~()(，有无穷多解的充要条件是n A R A R <=)~

()(，无解的充要条件是)~

()(A R A R ≠。

二、求解下列线性方程组：

1． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=+++-=+++-=+++-0

1543903205260362309432654321543215

432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

解：⎪⎪

⎪

⎭⎫

⎝

⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛----=00000010003010

090

0136172003810038100362

131514393205263621394326A

原方程组等价于,00

30934

53521⎪⎩⎪

⎨⎧==-=+-x x x x x x 令2512,t x t x ==，则方程组的解为 212154321,,10303000131t t t t x x x x x ⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛为任意实数。

2.⎪⎩

⎪

⎨⎧-=-+--=-+-=+-+13

11744175227

23432143214321x x x x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=1125178011251780696311311744175

2272113~

A ,00000811825817

1081583830

1⎪

⎪⎪

⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛

--→令,,2413t x t x ==则2143211082583018178300811815t t x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪

⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。

3．⎪⎩⎪

⎨⎧=+-+-=-+=-+3862134321432321x x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2212602111

011401318612111010311~A ⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--

-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→9594100913950109119700110818002111011401，令,4t x =则t x x x x ⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛19495970959139114321。其中t 为任意实数。

四、判断下列线性方程组是否有解？若有解，解是否唯一？

互异）d c b a d x c x b x a d x c x b x a d

cx bx ax x x x ,,,(13

33231

322212321

321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++

解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333322221111~d c b a d

c b a

d c b a A ，d c b a ,,,互异， 0))()()()()((~

≠------=a b a c b c c d b d a d A

3)(4)~

(=≠=A R A R ，故方程组无解。

四、问b a ,取何值时，下列方程组有非零解，并求其解。 ⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++0

20 0321

321321x bx x x bx x x x ax

解：)1(1

2111

1a b b b

A -==，当0=b 或1=a 时，0=A ，方程组有非零解。

当0=b 时，R t t a x x x a a a A ∈⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,111,00011010

11011110110110111321。

当1=a 时，R t t x x x b b b b A ∈⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,101,000010101012001011112111111321。

最全线性代数习题及参考答案

第一章：一、填空题： 1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D a a a a a D n nn n n nn n n n )1(11111111-=----= ∴== 2、设321,,x x x 是方程03 =++q px x 的三个根，则行列式1 3 2 213 3 21 x x x x x x x x x = ；解：方程02 3 =+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为： a d x x x a c x x x x x x a b x x x ///321133221321-==++-=++ 所以方程03 =++q px x 的三个根与系数之间的关系为： q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210 033)(33212213213 332311 3 2 2133 21=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x 3、行列式 1 000 0000199800019970 020 01000 = ；解：原式按第1999行展开：

原式=!19981998199721)1(0 00199800199700 200 1 000 219981999-=⨯⨯⨯-=+++ 4、四阶行列式 4 4 332211 000 00a b a b b a b a = ；解：原式按第一行展开：原式= ) )(()()(0 00 0041413232432432143243214 332 214 33 22 1b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=- 5、设四阶行列式c d b a a c b d a d b c d c b a D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式， 44342414A A A A +++= 01 11111111 1 11==d a c d d c c a b d b a c b d d b c c b a 6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为；

线性代数第五版答案(全)

线性代数课后习题答案第一章行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2

=(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n ); 解逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个)

线性代数课后习题答案解析

线性代数课后题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油（1） 3811411 02 ---；（2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ；（4） y x y x x y x y y x y x +++. 解注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯ )1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；

（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式：多练习方能成大财（1）⎥⎥ ⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢ ⎢⎣⎢711 00251020214214；（2）⎥⎥⎥⎥⎦ ⎥ ⎢⎢⎢ ⎢⎣⎢-26 0523******** 12；（3）⎥⎥⎥⎦ ⎥⎢⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）⎥⎥ ⎥⎥⎦ ⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a 100 110011001 解 (1) 7 1 100251020214 2 1434327c c c c --0 10 01423102 02110214---

线性代数习题解答(1-6)

习题一行列式一、填空题： 1．设nn n n n n a a a a a a a a a D 212222111211 = ，则 =---------nn n n n n a a a a a a a a a 21 22221 11211n )1(-D 。 2．设nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 = ，则=n nn n n n n a a a a a a a a a a a a 112 11 21 33231 22221 1)1(--n D 。 3．设d a a a a a a a a a =333231232221 13 1211 ，则=---13 12 11 23222133 3231 222333a a a a a a a a a d 6。 4．设01 0100 =--a b b a ，则=a 0 ，=b 0 。 5.-1 二、计算下列行列式： 1）600300301395200199 204 100103 =0315********--=100001551 4 83--- =2000。 2）ef cf bf de cd bc ae ac ab ---==---1 1 1 111 d d c abcef 0 2 111d d c abcef -- )(2d c abcef +=。 3） 30 12 4 025********* -----1 8 12 34 135 8161 8 12 34 130126158160-----=------=

1441 812 02023 032 44-=----= 4） d c b a 10 1 10011001--- = d c a a b d c b a ab 10 110 110 110011010--+= ---+ )1)(1(0 )1(110 1cd ab ad cd d c a a b +++=+--+= 。 5） =160 三、解下列方程： 1） 01 842 184211111 3 2 =--x x x 解2）注意方程的左边进行转置后是Vandermonde 行列式，故左边=)12)(12)(22)(1)(2))(2((---------x x x 2,1,0)2)(2)(1(12±=∴=+--=x x x x 。习题二行列式（续）一、计算下列行列式：（1）a b b b b a b b b b a b b b b a D n = a b b b b a b b b b a b b n a 1111))1((-+= 1))()1((0 00 000 11 1 1 ))1((---+=----+=n b a b n a b a b a b a b n a 。

线性代数第五版答案(完整版)

线性代数第五版课后习题答案第一章行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).

(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n ); 解逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个)

(完整版)线性代数习题集带答案

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n (C) k n 2 ! (D)k n n 2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2 n (C) )!2( n (D) )!1( n 4． 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 5. 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211 a a a a a a a a a D ，则 32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 8．若 a a a a a 22 2112 11，则 21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka (C)a k 2 (D)a k 2 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4 , 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2 , 则 x ( ). (A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 二、填空题

线性代数习题(带答案解析)

0010 01 00 10 第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 2．如果 n 阶排列 j 1j 2 j n 的逆序数是 k, 则排列 j n (A)k (B)n k (C)n! k 2 3. n 阶行列式的展开式中含 a 11a 12 的项共有 ( )项 0 0 0 1 4． 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 (A) 0 (B)n 2 ( ). (C) (n 2)! (D)24351 j 2 j 1的逆序数是 ( ). (D)n(n 1) k 2 . (D) (n 1)! (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 00 ( 01 00 ).

2 2x x 1 6．在函数 f(x) 1 x 1 3 2 x 0 (A) 0 (B) 1 a 11 a 12 a 13 7. 若 D a 21 a 22 a 23 1 2 ，则 a 31 a 32 a 33 (A) 4 (B) 4 8．若 a 11 a 12 a ，则 a 12 ka 22 a 21 a 22 a 11 ka 21 ( (A)ka (B) ka D 1 1 2 3 1 9．已知 2,5,1,x , (A) 0 10. 若 D (A) 1 11. 若D 中 x 3 项的系数是 ( (C) 2a 11 2a 21 2a 31 a 13 a 23 a 33 (C) 2 ). (C)k 2a ). (D) 2 a 11 2a 12 a 21 2a 22 a 31 2a 32 ). (D) 2 (D) k 2 a 4 阶行列式中第 1 行元依次是 4,0,1,3, 第 3 行元的余子式依次为 8 6 1 4 7 2 1 3 ). (B) 3 (C) 3 (D) 2 3 1 0 5 0 1 1 3 4 3 1 7 3 1 1 5 (B) 2 4 1 0 2 0 1 0 2 ，则 D 中第一行元的代数余子式的和为 ( (C) 3 (D)0 ，则 D 中第四行元的余子式的和为 ( ). ).

线性代数课后习题答案(共10篇)(共6页)

线性代数课后习题答案(共10篇) [模版仅供参考，切勿通篇使用] 感恩作文线性代数课后习题答案（一）: 高等数学线性代数,概率统计第二版课后答案姚孟臣版最佳答案: 您好,我看到您的问题很久没有人来回答,但是问题过期无人回答会被扣分的并且你的悬赏分也会被没收!所以我给你提几条建议: 线性代数课后习题答案（二）: 谁知道《线性代数与解析几何教程》(上册)的课后习题答案在哪下?但一定要真实, 这本书是大一要学的,樊恽,刘宏伟编科学出版社出版.急不知道线性代数课后习题答案（三）: 线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值答案书上突然冒出一句“显然R(A)=1”,让我非常困惑, R(A) = R(aaT) 线性代数课后习题答案（四）: 求线性代数（第三版）,高等教育出版社的习题参考答案华中科技大学数学系的线性代数课后习题答案

书店都有卖的,尤其是华科附近的小书店,盗版一大堆~ 线性代数课后习题答案（五）: 线性代数：假如一道题目要求某矩阵,如果我求出的矩阵与答案所给的矩阵是等价的,能算是正确答案么? 如果只是某两行或某两列位置调换了一下，也不能算是正确答案吗？线性代数课后习题答案应该不正确吧.以我理解矩阵的等价是说 QAP=B A等价到B 是通过了一系列的初等变化,那你求出的矩阵只有一个,要想变成其他还要再变换,就不是原题目的条件了还是不正确啊.行调换或列调换等于在原矩阵左边或右边乘上个初等矩阵线性代数课后习题答案（六）: 线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值; 求出来对角阵只有一个非零特征值,为什么0就是A的N-1重特征值了? 再问一下当0是特征值时对应的特征向量有什么特点么? 所求得的对角阵与A 相似,所以A 与对角阵有相同的特征值,看对角阵,有一个非零特征值和0(N –1)重.所以A 也是这样应该懂了吧线性代数课后习题答案（七）: 线性代数问题.设A=E-a^Ta,a=[a1,a2,……,an],aa^T=1,则

线性代数课后习题答案全)习题详解

第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x y y x y x +++. 解（1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.

解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.

线性代数练习题及答案

线性代数练习题及答案线性代数作为一门重要的数学学科，对于理工科学生来说是必修课程之一。在学习线性代数的过程中，练习题是非常重要的一环，通过练习题的完成，可以巩固理论知识，提高解题能力。本文将介绍一些常见的线性代数练习题及其答案，希望对读者有所帮助。一、向量与矩阵 1. 给定向量a=(2,3,1)和b=(1,-1,2)，求向量a与向量b的内积及外积。答案：向量a与向量b的内积为a·b=2*1+3*(-1)+1*2=1，向量a与向量b的外积为a×b=(7,3,-5)。 2. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵和逆矩阵。答案：矩阵A的转置矩阵为A^T = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]，矩阵A的逆矩阵不存在，因为A的行列式为0。二、线性方程组 1. 解方程组： 2x + 3y - z = 1 3x - 2y + 4z = 5 x + y + 2z = 0 答案：通过高斯消元法，可以得到方程组的解为x = -1，y = 2，z = -1。 2. 解方程组： x + 2y + z = 3 2x + 4y + 2z = 6 3x + 6y + 3z = 9

答案：该方程组为一个超定方程组，通过最小二乘法可以得到方程组的近似解为x = 1，y = 1，z = 1。三、特征值与特征向量 1. 给定矩阵A = [2 1; 1 2]，求矩阵A的特征值和特征向量。答案：首先求解A的特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ=1，λ=3。然后，将特征值代入(A-λI)x=0，得到特征向量x=(1,1)和x=(-1,1)。 2. 给定矩阵A = [3 -1; 1 3]，求矩阵A的特征值和特征向量。答案：同样地，求解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ=2，λ=4。将特征值代入(A-λI)x=0，得到特征向量x=(1,1)和x=(-1,1)。四、线性变换 1. 给定线性变换T：R^2 -> R^2，将向量(1,0)和(0,1)分别变换为(2,3)和(-1,4)，求线性变换T的矩阵表示。答案：设矩阵表示为A = [a b; c d]，则有A*(1,0)^T = (2,3)^T和A*(0,1)^T = (-1,4)^T。解得A = [2 -1; 3 4]。 2. 给定线性变换T：R^3 -> R^2，将向量(1,0,0)、(0,1,0)和(0,0,1)分别变换为(2,3)、(-1,4)和(0,5)，求线性变换T的矩阵表示。答案：设矩阵表示为A = [a b c; d e f]，则有A*(1,0,0)^T = (2,3)^T，A*(0,1,0)^T = (-1,4)^T和A*(0,0,1)^T = (0,5)^T。解得A = [2 -1 0; 3 4 5]。通过以上的练习题，我们可以对线性代数的基本概念和解题方法有一个更深入的理解。希望读者能够通过不断的练习和思考，掌握线性代数的核心知识，提高自己的数学水平。

线性代数课后习题答案第1――5章习题详解

第一章行列式 4.计算下列各行列式：（1）???? ????? ???71 10 025********* 4；（2）????????????-26 52321121314 1 2；（3）????????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）????? ???? ???---d c b a 1 00 110011001 解 (1) 71100251020214 214 34327c c c c --0 10014 2310202110 214---=3 4)1(1431022 11014+-?---=14 31022110 14-- 3 21132c c c c ++14 171720010 99-=0 (2) 260 5232112131 412-24c c -2605032122130 412-24r r -0412032122130 412- 14r r -0 000032122130412-=0 (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1 111111 11---adfbce =abcdef 4 (4) d c b a 100110011001---21ar r +d c b a ab 1001 100 110 10---+=12)1)(1(+--d c a ab 1011 1--+

2 3dc c +0 10111-+-+cd c ad a a b =23)1)(1(+--cd ad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd 5.证明: (1)1 11222 2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+; (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2 2222222 2 2222222 =++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; (4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?; (5)1 22 110000 0100001a x a a a a x x x n n n +-----ΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛn n n n a x a x a x ++++=--11 1Λ. 证明 (1)0 0122222221 312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a (2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边 bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分 bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分

线性代数习题册(答案)

线性代数习题册答案第一章行列式练习一班级学号 1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）τ （3421）= 5 ; （2）τ （135642）= 6 ; （3）τ （13⋯ （2n-1）（2n ） ⋯42） = 2+4+6+ ⋯ +（2 n-2）= n （n-1）. 2．由数字 1 到 9 组成的排列 1274i56j9 为偶排列，则 i= 8 、 j= 3 3．在四阶行列式中，项 a 12a 23a 34a 41 的符号为负 . = － 3 ＋ 3 +2= (2 )( 1)2 1 2 2 1） 2 1 2 = － 1 ＋ 2 2 1 5．计算下列行列式：－ 8）＋（－ 8 ）－（－ 4 ）或－（－ 4）―（－ 4） = － 5 1 1 2） 1 1 1 1 3 ＋1＋ 1－（－）－（－）―（－） 00 4． 0 4 21

练习班级学号 3 1．已知 3阶行列式det(a ij ) =1，则行列式det( a ij )= －1 . ( 1)3 1 1 1 1 1 2． 2 3 4 = 2 4 9 16 1 a b c (1) a 1 b c a b 1 c x y x y (2) y x y x x y x y 1 0 110 0 r1 r,r r3 0 1 1c3 c1 0 1 1 a b 1c a b 1c 11 1 a b c b1c 0 1 2 1 0 3 , 则A41 A42 1 1 0 2 5 4 1 1 3．已知 D= 1 1 用 1， 1，1，1 替换第4 行 4．计算下列行列

2 1 5 1 1 3 0 6 0 2 1 2 1 4 7 6 1 2 1 4 0 1 2 1 1 0 1 3 0 1 3 1 5．计算下列n 阶行列式：每行都加到第一行，并提公因式。 )

线性代数(第一～三章)习题解答

习题一 1．解：(1)31542的逆序数=2+0+2+1+0=5 (2)264315的逆序数=1+4+2+1+0+0=8 (3)54321的逆序数=4+3+2+1=10 (4))12)(32(135)2)(22(246---n n n n =1+2+3+…(2n －1)＝ 2 ) 1(+n n 2．解：四阶行列式中含有31a 的项可表示为42142143121) 1() 1(j j j j j j a a a a τ-，其中421,,j j j 为2，3，4的全排列。故带有负号的项有：43312412a a a a -，44312213a a a a -，42312314a a a a - 3．解：x x x x x x 347165423112展开式中含有4 x 的项必须每行都取含x 的项相乘，即4 1863x x x x x =⋅⋅⋅=，含有3 x 的项为x x x x x x ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-2)1(763)1()1324()4231(ττ3 128x -= 4．证明：（反证法）假设该行列式不为零，则不为零的元素的个数≥n ，从而为零的元素的个数≤n n -2 ，与已知行列式中有n n -2 个以上元素为零矛盾。所以该行列式为零。 5．解：（1） 2456323 65 2-=⨯-⨯=+ （2） ))(())((22222 22 2b ab a b a b ab a b a b a b a b ab a b ab a ++--+-+=+-+++- 33b a +=3332)(b b a =-- （3） 022 =b ab ab a （4）45500 25 1 19 022124251 3 122 11 3-=-----r r r r （5）3711 107403 1 1 23117405 3 2 2243324 5 3213312 21 3=-----↔-----r r r r r r r r

(2021年整理)线性代数练习册附答案

线性代数练习册附答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（线性代数练习册附答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为线性代数练习册附答案的全部内容。

第1章矩阵习题 1. 写出下列从变量x ， y 到变量x 1， y 1的线性变换的系数矩阵：（1）⎩⎨⎧==01 1y x x ； (2) ⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 11y x y y x x 2。（通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2，b 3的交通联结情况如图所示,每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况. 3。设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--=150421321 B ,求3AB —2A 和A T B . 4. 计算 (1) 2 210013112⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ (2) ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1)1,,(2 1 22212 11211 y x c b b b a a b a a y x

5. 已知两个线性变换 3213 32123 11542322y y y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪ ⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换。

《线性代数》练习题库参考答案

《线性代数》练习测试题库一.选择题 1、=-0 0000 000 00 1 21 n n a a a a （ B ） A. n n a a a 21)1(- B. n n a a a 211)1(+- C. n a a a 21 2、n 阶行列式 0000 00 00 00 a a a a = （ B ） A.n a B. (1)2 (1) n n n a -- C. (1)n n a - 3、 n 21 ＝（ B ） A. (1)!n n - B. (1)2 (1) !n n n -- C. 1(1)!n n +- 4、 A 是n 阶方阵，m, l 是非负整数，以下说法不正确的是（ C ） . A. ()m l ml A A = B. m l m l A A A +⋅= C. m m m B A AB =) ( 5、A 、B 分别为m n ⨯、s t ⨯矩阵, ACB 有意义的条件是（ C ） A. C 为m t ⨯矩阵； B. C 为n t ⨯矩阵； C. C 为n s ⨯矩阵 6、下面不一定为方阵的是（C ） A.对称矩阵. B.可逆矩阵. C. 线性方程组的系数矩阵. 7、 ⎥ ⎦ ⎤⎢⎣⎡-1021 的伴随矩阵是（A ） A. ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡1021 B. ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡-1201 C. ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡-1021 8、分块矩阵 00A B ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ （其中A 、B 为可逆矩阵）的逆矩阵是（ A ）

A. 1100A B --⎡⎤ ⎢ ⎥⎣⎦ B. 00B A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1 100B A --⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 9、线性方程组Ax b = 有唯一解的条件是（ A ） A.()()r A r A b A ==的列数 B.()()r A r A b = . C.()()r A r A b A ==的行数 10、线性方程组 ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧=++=++=++23213213211 a ax x x a x ax x x x ax 有唯一解的条件是（A ） A. 2,1-≠a B. 21-==a a 或. C. 1≠a 11、的是则下面向量组线性无关），，，＝（），，，＝（)6,2,4(054312--=--γβα（B ） A. 0，，βα B. γβ， C. γα， 12、设A 为正交矩阵，下面结论中错误的是（ C ） A. A T 也为正交矩阵. B. A -1也为正交矩阵. C. 总有 1A =- 13、二次型()2 33221214321342,,,,x x x x x x x x x x f --+=的矩阵为（ C ） A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---340402021 B 、⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡---320201011 C 、⎥⎥ ⎥⎥ ⎦⎤⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡---000 003200201001 1 14、设r 是实二次型),,,(21n x x x f 的秩，p 是二次型的正惯性指数，q 是二次型的负惯性指数，s 是二次型的符号差，那么（ B ） A. q p r -=； B. q p r +=； C. q p s +=； 15、下面二次型中正定的是（ B ） A. 21321),,(x x x x x f = B.2 3 22213212),,(x x x x x x f ++= C.22213212),,(x x x x x f += 二、判断题 1、若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0. （ ⨯ ） 2、A 与B 都是3×2矩阵，则A 与B 的乘积也是3×2矩阵。（ ⨯ ） 3、A 是3×2矩阵，B 是2×3矩阵，则A 与B ，B 与A 都可以相乘。（ ∨ ） 4、A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，则AB 是s m ⨯矩阵。 (∨ ） 5、设A 、B 是同阶方阵，则555()AB A B = （ ⨯ ） 6、设A 、B 是同阶方阵，则由AB O =，可得到 .A O B O ==或（ ⨯ ） 7、设A 、B 是同阶可逆方阵，则⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡=⎥⎦ ⎤⎢ ⎣⎡---00 00111 B A B A （ ⨯ ）

线性代数习题解答第一二三章

β （图1）总习题一一、问答题 1. 试解释二、三阶行列式的几何意义. 解在平面解析几何中，已知两向量),(),,(2121b b a a ==βα如图，以βα,为邻边的平行四边形的面积为 ><=βαβα,sin ||||S 平行四边形，而| |||,cos βαβαβα⋅>=< ，故 |-1|2 ><=βαβα,sin ||||S 平行四边形 || ||2 1 211221b b a a b a b a =-= 这就是说，二阶行列式 2 1 21b b a a 表示平面上以),(),,(2121b b a a ==βα为邻边的平行四边形的有向面积，这里符号规定是当这个平行四边形由向量α沿逆时针方向转到向量β而得到时面积取正值；当这个平行四边形由向量α沿顺时针方向转到向量 β而得到时面积取负值．空间三向量),,(),,,(),,,(321321321c c c b b b a a a ===γβα的混合积)(γβα⨯⋅的绝对值等于这三个向量张成的平行六面体的体积，即 =平行六面体V |||)(3 2 1 321 321 c c c b b b a a a |=⨯⋅γβα 三阶行列式3 2 1321 3 21 c c c b b b a a a 表示以γβα，，为相邻棱的平行六面体的有向体积，当γβα，，构成右手系时，体积取正值；当γβα，，构成左手系时，体积取负值．实际上改变任意两向量次序，取值符号改变．类比二、三阶行列式，n 阶行列式|,,,|D n n ααα 21=是由n 维向量n ,,,ααα 21张成的n 维平行多面体的有向体积．尽管我们不能看见n 维平行多面体，但是有2，3维空间做蓝本，我们却能够通过现象抓住行列式概念的本质，进行想象．行列式的性质均可以通过几何直观解释，这就是了解几何背景的优势．

线性代数习题参考答案

第一章行列式 §1 行列式的概念 1．填空 (1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。 (2) i= ，j= 时，排列1274i56j9为偶排列。 (3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。 (4) 在6阶行列式中，含 152332445166 a a a a a a的项的符号为，含 324314516625 a a a a a a的项的符号为。 2．用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 2223 3233 00 0 a a a a a 解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。 (2) 1 2,12 1,21,11, 12,1 000 00 n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a - ---- - 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。

3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。 4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c

同济大学第四版线性代数习题解答

线性代数答案解答第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1） 381141102 ---；（2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ；（4） y x y x x y x y y x y x +++. 解（1） =---3 811411 02 811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯ )1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11 c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3