浙教版初中数学第一章 二次函数 全章教案

1.1二次函数

教学目标：

1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步

体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。

3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。

4、会用待定系数法求二次函数的解析式。

教学重点：二次函数的概念和解析式

教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。教学设计：

一、创设情境，导入新课

问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？

问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？

这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）

二、合作学习，探索新知

请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：

（1）面积y (cm2)与圆的半径x( Cm )

(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文x两年后王先生共得本息y元;

(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om, 室内通道的尺寸如图,设一条边长为x (cm), 种植面积为y (m2)

（一）教师组织合作学习活动：

1、先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。

2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。

（1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x )2 = 20000x 2+40000x +20000

(3) y = (60－x －4)(x －2)=－x 2+58x －112

（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？

让学生充分发表意见，提出各自看法。

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数, a ≠0)的形式.

板书：我们把形如y =ax 2+bx +c (其中a ,b ,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic

funcion )

称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项，

请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项

（二） 做一做

1、 下列函数中，哪些是二次函数？

(1)2x y = (2) 21x

y -= (3) 122--=x x y （4）)1(x x y -= （5）)1)(1()1(2-+--=x x x y

2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

（1）12+=x y （2）12732-+=x x y （3）)1(2x x y -=

3、若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 。

三、例题示范，了解规律

例1、已知二次函数 q px x y ++=2

当x =1时，函数值是4；当x =2时，函数值是－5。求

这个二次函数的解析式。

此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书

示范，强调书写格式和思考方法。

练习：已知二次函数c bx ax y ++=2 ，当x =2时，函数值是3；当x =－2时，函数值是2。

求这个二次函数的解析式。

例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm ，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部

分）。设AE =BF =CG =DH =x (cm ) ,四边形EFGH 的面积为y (cm 2),求：

（1） y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围。

（2） 当x 分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH 的面积，并列表表示。

方法：

（1）学生独立分析思考，尝试写出y 关于x 的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。

（2）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：

求差法：四边形EFGH 的面积=正方形ABCD 的面积－直角三角形AEH 的面积DE 4倍。

直接法：先证明四边形EFGH 是正方形，再由勾股定理求出EH 2

(3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。

（4）对于第（2）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x 与y 之间数值的对应关

系和内在的规律性：随着x 的取值的增大，y 的值先减后增；y 的值具有对称性。

练习：

用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x ,矩形的面积为y ,求：

(1)写出y 关于x 的函数关系式.

(2)当x =3时,矩形的面积为多少?

课题：1.2二次函数的图像

教学目标：

1、了解二次函数图像的特点。

2、掌握一般二次函数c bx ax y ++=2的图像与2

ax y =的图像之间的关系。

3、会确定图像的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴。

教学重点：二次函数的图像特征

教学难点：例2的解题思路与解题技巧。

教学设计：

一、回顾知识

1、二次函数k m x a y ++=2)(的图像和2ax y =的图像之间的关系。

2、讲评上节课的选作题

对于函数122+--=x x y ，请回答下列问题：

（1）对于函数122+--=x x y 的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？

（2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？

思路：把122+--=x x y 化为k m x a y ++=2)(的形式。

122+--=x x y =[][]

2)1(2)1(2)12()12(2222+--=-+-=-++-=-+-x x x x x x

在2)1(2+--=x y 中，m 、k 分别是什么？从而可以确定由什么函数的图像经怎样的平移

得到的？

2、二次函数c bx ax y ++=2的图像特征

（1）二次函数 c bx ax y ++=2( a ≠0)的图象是一条抛物线； （2）对称轴是直线x =a b 2-，顶点坐标是为（a b 2-，a

b a

c 442

-） (3)当a >0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。

当a <0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。

三、巩固知识

1、例1、求抛物线2

53212-+-=x x y 的对称轴和顶点坐标。 有由学生自己完成。师生点评后指出：求抛物线的对称轴和顶点坐标可以采用配方法或者是

用顶点坐标公式。

2、做一做课本第36页的做一做和第37页的课内练习第1题

3、（补充例题）例2已知关于x 的二次函数的图像的顶点坐标为（－1，2），且图像过点

（1，－3）。

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。(此小题供血有余力的学生解答)

分析与启发：（1）在已知抛物线的顶点坐标的情况下，将所求的解析式设为什么比较简便？

4、练习：（1）课本第37页课内练习第3题。

（2）探究活动：一座拱桥的示意图如图（图在书上第37页），当水面宽12m 时，桥洞顶部

离水面4m 。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工

作是什么?如果以水平方向为x 轴，取以下三个不同的点为坐标原点：

1、点A

2、点B

3、抛物线的顶点C

所得的函数解析式相同吗？请试一试。哪一种取法求得的函数解析式最简单？

四、小结

1、函数c bx ax y ++=2的图像与函数2ax y =的图像之间的关系。

2、函数c bx ax y ++=2的图像在对称轴、顶点坐标等方面的特征。

3、函数的解析式类型：

一般式：c bx ax y ++=2

顶点式：k m x a y ++=2)(

五、布置作业

课本作业题

课题：1.3二次函数的性质

教学目标：

1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.

2.了解二次函数与二次方程的相互关系.

3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次

函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性

教学重点：

二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法.

教学难点：二次函数的性质的应用.

教学过程：

复习引入

二次函数: y =ax 2 +bx + c (a ≠ 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢?

补充: 当a 的绝对值相等时,其形状完全相同,当a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立.

二,新课教学:

1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y = －2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是 ， 在 侧，即x _____0时, y 随着x 的增大而增大；在 侧，即x _____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x = 时，函数y 最大值是____. 当x ____0时,y <0.

2. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空： 抛物线

y = 2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是 ，在 侧，即x _____0时, y 随着x 的增大而减少；在 侧，即x _____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x = 时，函数y 最小值是____. 当x ____0时,y >0

3.归纳: 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象和性质

(1).顶点坐标与对称轴

(2).位置与开口方向

(3).增减性与最值

当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大；当 时，函数y 有最小值 。当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小。当 时，函数y 有最大值

4.探索二次函数与一元二次方程

二次函数y =x 2+2x ,y =x 2－2x +1,y =x 2－2x +2的图象如图所示.

(1).每个图象与x 轴有几个交点？

(2).一元二次方程x 2+2x =0,x 2－2x +1=0有几个根?验证一下一元二次方程x 2－2x +2=0有

根吗?

a 2

b x -

=a 2b x -

=a 4ac 4b

2-

(3).二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方程ax 2+bx +c =0的根有什么关系?

5.例题教学:例1: 已知函数

⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图像的草图；

(2)自变量x 在什么范围内时， y 随着x 的增大而增大？何时y 随着x 的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值。

归纳:二次函数五点法的画法

三.巩固练习: 请完成课本练习：p 42. 1,2

四.尝试提高:1

五.学习感想: 1、你能正确地说出二次函数的性质吗？

2、你能用“五点法”快速地画出二次函数的图象吗？你能利用函数图象回答有关性质吗？ 六：作业：作业本,课本作业题1、2、

3、4。

课题：1.4二次函数的应用

教学目标：

1、经历数学建模的基本过程。

2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。

3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。

教学重点和难点：

重点：二次函数在最优化问题中的应用。

难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。

教学设计：

一、创设情境、提出问题

2

15x 721y x 2+--=

出示引例 （将作业题第3题作为引例）

给你长8m 的铝合金条，设问：

①你能用它制成一矩形窗框吗？

②怎样设计，窗框的透光面积最大？

③如何验证？

二、观察分析，研究问题

演示动画，引导学生观察、思考、发现：当矩形的一边变化时，另一边和面积也随之改变。深入探究如设矩形的一边长为x 米，则另一边长为(4－x )米，再设面积为ym 2,则它们的函数关系式为x x y 42+-=

???-o

x x 40 40 x ∴

并当x =2时（属于40 x 范围）即当设计为正方形时，面积最大=4(m 2)

引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决。

步骤：

第一步设自变量；

第二步建立函数的解析式；

第三步确定自变量的取值范围；

第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）。

三、例练应用，解决问题

在上面的矩形中加上一条与宽平行的线段，出示图形

设问：用长为8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，

问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？

引导学生分析，板书解题过程。