九年级数学二次函数全章教案
课题：26.1二次函数
教学目标：
1、 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，
进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、 理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。
3、 会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
4、 会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式
教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计：
一、创设情境，导入新课
问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）
二、合作学习，探索新知
请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm )
(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)
（一） 教师组织合作学习活动：
1、 先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。
x
2、 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112
（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。
教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c (a,b,c 是常数, a ≠0)的形式.
板书：我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion)
称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项，
请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 （二） 做一做
1、 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2
x y = (2) 21x
y -
= (3) 122
--=x x y （4）)1(x x y -= （5）)1)(1()1(2
-+--=x x x y
2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）12+=x y （2）12732
-+=x x y （3）)1(2x x y -= 3、若函数m
m x m y --=2
)1(2为二次函数，则m 的值为 。
三、例题示范，了解规律
例1、已知二次函数 q px x y ++=2
当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。
此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法。
练习：已知二次函数c bx ax y ++=2 ，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2。求这个二次函数的解析式。
例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm ，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH 的面积为y(cm 2),求： （1） y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围。
（2） 当x 分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH 的面积，并列表表
示。
方法：
（1）学生独立分析思考，尝试写出y 关于x 的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。
（2）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如： 求差法：四边形EFGH 的面积=正方形ABCD 的面积-直角三角形AEH 的面积DE4倍。 直接法：先证明四边形EFGH 是正方形，再由勾股定理求出EH 2
(3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。 （4）对于第（2）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x 与y 之间数值的对应关系和内在的规律性：随着x 的取值的增大，y 的值先减后增；y 的值具有对称性。 练习：
用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求： (1)写出y 关于x 的函数关系式. (2)当x=3时,矩形的面积为多少?
四、归纳小结，反思提高 本节课你有什么收获？ 五、布置作业 课本作业题
26.2二次函数的图像（1）
教学目标：
1、经历描点法画函数图像的过程；
2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；
3、
A
B
E
F
C
G
D H
x
掌握型二次函数图像的特征；
4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。 教学重点：
2ax y =型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳
教学难点：
选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 教学设计： 一、回顾知识
前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？ 先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。） 引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即2
ax y =入手。因此本节课要讨论二次函数2
ax y =（0≠a ）的图像。 板书课题：二次函数2
ax y =（0≠a ）图像 二、探索图像
1、 用描点法画出二次函数 2
x y =和2
x y -=图像 （1） 列表
①无论x 取何值，对于2
x y =来说，y 的值有什么特征？对于2
x y -=来说，又有什么特征？ ②当x 取K K 1,2
1
±±
等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征？ （2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）.
（3） 连线，用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到2
x y =和
2x y -=的图像。
2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数2
2x y = 和2
2x y -=的图像。 学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评） 3、二次函数2
ax y =（0≠a ）的图像 由上面的四个函数图像概括出：
（1） 二次函数的2
ax y =图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，
（2） 这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。
（3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y 轴的交点。 （4） 当o a φ时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x 轴的上
方(除顶点外)；当o a π时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x 轴的 下方(除顶点外)。
（最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆）
三、课堂练习 观察二次函数2
x y =和2x y -=的图像
(2)在同一坐标系内，抛物线2
x y =和抛物线2
x y -=的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数2
ax y =和2
ax y -=的图像怎样画更简便？
(抛物线2
x y =与抛物线2
x y -=关于x 轴对称，只要画出2
ax y =与2
ax y -=中的一条抛物线，另一条可利用关于x 轴对称来画) 四、例题讲解
例题：已知二次函数2
ax y =（0≠a ）的图像经过点（-2，-3）。
（1）求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。
（2）说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。
练习：（1）课本第31页课内练习第2题。
(2) 已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
五、谈收获
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线.
2.图象关于y轴对称,顶点是坐标原点
3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点六、作业：见作业本。
课题：26.2二次函数的图像（2）
教学目标：
1、经历二次函数图像平移的过程；理解函数图像平移的意义。
2、了解2
ax y =，2
)(m x a y +=，k m x a y ++=2
)(三类二次函数图像之间的关系。 3、会从图像的平移变换的角度认识k m x a y ++=2
)(型二次函数的图像特征。 教学重点：从图像的平移变换的角度认识k m x a y ++=2
)(型二次函数的图像特征。 教学难点：对于平移变换的理解和确定，学生较难理解。 教学设计： 一、知识回顾
二次函数2
ax y =的图像和特征：
1、名称 ；
2、顶点坐标 ；
3、对称轴 ；
4、当o a φ时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线上的最 点，图像在x 轴的 (除顶点外)；当o a π时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线上的最 点图像在x 轴的 (除顶点外)。 二、合作学习
在同一坐标系中画出函数图像221x y =，,)2(212+=x y 2)2(2
1
-=x y 的图像。 （1） 请比较这三个函数图像有什么共同特征？
（2） 顶点和对称轴有什么关系？
（3） 图像之间的位置能否通过适当的变换得到？ （4）
由此，你发现了什么？
三、探究二次函数2
ax y =和2
)(m x a y +=图像之间的关系 1、 结合学生所画图像，引导学生观察,)2(2
12+=
x y 与221
x y =的图像位置关系，
直观得出221x y =的图像??
???→?向左平移两个单位
,)2(2
12+=x y 的图像。 教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系 ，如：
（0，0）??
???→?向左平移两个单位
（-2，0） （2，2）?????→?向左平移两个单位
（0，2）； （-2，2）??
???→?向左平移两个单位
（-4，2） ②也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。 2、 用同样的方法得出2
21x y =
的图像?????→?向右平移两个单位
2)2(2
1-=x y 的图像。
3、请你总结二次函数y=a(x+ m)2的图象和性质.
2ax y =（0≠a ）的图像个单位
时向右平移当个单位
向左平移时
当m 0m m 0m πφ?????→?2)2(21-=x y 的图像。 函数2
)(m x a y +=的图像的顶点坐标是（-m,0）,对称轴是直线x=-m 4、做一做
（2）、填空：
①、由抛物线y=2x2向 平移 个单位可得到y= 2(x +1)2
②、函数y= -5(x -4)2的图象。可以由抛物线 向 平移 4 个单位而得到的。
3、对于二次函数2
)4(3
1--=x y ，请回答下列问题： ①把函数231x y -=的图像作怎样的平移变换，就能得到函数2)4(3
1
--=x y 的图像？
②说出函数2)4(3
1--=x y 的图像的顶点坐标和对称轴。
第3题的解答作如下启发：这里的m 是什么数？大于零还是小于零？应当把
231
x y -=的图像向左平移还是向右平移？在此同时用平移的方法画出函数
2)4(31--=x y 的大致图像（事先画好函数23
1
x y -=的图像）
，借助图像有学生回答问题。
五、 探究二次函数k m x a y ++=2
)(和2
ax y =图像之间的关系 1、在上面的平面直角坐标系中画出二次函数3)2(2
1
2++=x y 的图像。 首先引导学生观察比较,)2(212+=
x y 与3)2(2
1
2++=x y 的图像关系，直观得出：,)2(212+=x y 的图像?????→?个单位
向上平移
33)2(2
12++=x y 的图像。（结合多媒体演示）
再引导学生刚才得到的221x y =的图像与,)2(21
2+=x y 的图像之间的位置关系，
由此得出：只要把抛物线22
1
x y =先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得
到函数3)2(2
1
2++=x y 的图像。
2、做一做：请填写下表：
3、 总结k m x a y ++=2
)(的图像和2
ax y =图像的关系
2ax y =（0≠a ）的图像个单位
时向右平移当个单位
向左平移时
当m 0m m 0m πφ?????→?2)2(21-=x y 的图像个单位
时向下平移当个单位
向上平移时
当m 0k m 0k πφ?????→
?k m x a y ++=2)(的图像。
k m x a y ++=2)(的图像的对称轴是直线x=-m ，顶点坐标是（-m ，k ） 。
口诀：（m 、k ）正负左右上下移 （ m 左加右减 k 上加下减） 4、练习：课本第34页课内练习地1、2题 六、谈收获：
1、函数k m x a y ++=2
)(的图像和函数2
ax y =图像之间的关系。
2、函数k m x a y ++=2)(的图像在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质。 七、布置作业
课本第35页作业题
预习题：对于函数122+--=x x y ，请回答下列问题：
（1）对于函数122
+--=x x y 的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？ （2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？
课题：26.2二次函数的图像（3）
教学目标：
1、了解二次函数图像的特点。
2、掌握一般二次函数c bx ax y ++=2
的图像与2
ax y =的图像之间的关系。 3、会确定图像的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴。 教学重点：二次函数的图像特征
教学难点：例2的解题思路与解题技巧。 教学设计： 一、回顾知识
1、二次函数k m x a y ++=2
)(的图像和2
ax y =的图像之间的关系。 2、讲评上节课的选作题
对于函数122
+--=x x y ，请回答下列问题：
（1）对于函数122
+--=x x y 的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？ （2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？
思路：把122+--=x x y 化为k m x a y ++=2)(的形式。
=[
][
]
2)1(2)1(2)12()12(2
2
2
2
+--=-+-=-++-=-+-x x x x x x
在2)1(2
+--=x y 中，m 、k 分别是什么？从而可以确定由什么函数的图像经怎样的平移得到的？
二、探索二次函数c bx ax y ++=2
的图像特征
1、问题：对于二次函数y=ax2+bx+c （ a ≠0 ）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？学生有难度时可启发：通过变形能否将y=ax2+bx+c 转化为y = a(x+m)2 +k 的形式 ？
c bx ax y ++=2
=a b ac a b x a a c a b a b x a b
x a a c x a b x a 44)2()2()2()(222222
-+
+=?????
?+-++=++ 由此可见函数c bx ax y ++=2的图像与函数2
ax y =的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。
练习：课本第37页课内练习第2题（课本的例2删掉不讲） 2、二次函数c bx ax y ++=2
的图像特征
221y x x =--+
（1）二次函数 c bx ax y ++=2
( a ≠0)的图象是一条抛物线；
（2）对称轴是直线x=a b 2-，顶点坐标是为（a
b
2-，a b ac 442-）
(3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 三、巩固知识
1、例1、求抛物线2
5
3212-+-
=x x y 的对称轴和顶点坐标。 有由学生自己完成。师生点评后指出：求抛物线的对称轴和顶点坐标可以采用配方法
或者是用顶点坐标公式。
2、做一做课本第36页的做一做和第37页的课内练习第1题
3、（补充例题）例2已知关于x 的二次函数的图像的顶点坐标为（-1，2），且图像过点（1，-3）。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。(此小题供血有余力的学生解答) 分析与启发：（1）在已知抛物线的顶点坐标的情况下，将所求的解析式设为什么比较简便？ 4、练习：（1）课本第37页课内练习第3题。
（2）探究活动：一座拱桥的示意图如图（图在书上第37页），当水面宽12m 时，桥洞顶部离水面4m 。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么?如果以水平方向为x 轴，取以下三个不同的点为坐标原点： 1、点A 2、点B 3、抛物线的顶点C
所得的函数解析式相同吗？请试一试。哪一种取法求得的函数解析式最简单？ 四、小结
1、函数c bx ax y ++=2
的图像与函数2
ax y =的图像之间的关系。 2、函数c bx ax y ++=2的图像在对称轴、顶点坐标等方面的特征。 3、函数的解析式类型： 一般式：c bx ax y ++=2 顶点式：k m x a y ++=2
)( 五、布置作业
课题：2.3二次函数的性质（1）
教学目标：
1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.
2.了解二次函数与二次方程的相互关系.
3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 教学重点：
二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 教学难点：二次函数的性质的应用. 教学过程： 复习引入
二次函数: y=ax2 +bx + c (a ≠ 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢?
补充:
当a 的绝对值相等时,其形状完全相同,当a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立.
二,新课教学:
1.探索填空:
根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是 ， 在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0.
2. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空： 抛物线y= 2x 2的顶点坐标是 , 对称轴
是 ，在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减少；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>0
3.归纳:
二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值
当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x
的增大而增大；当 时，函数y 有最小值 。当a ﹤0时， a
2b
x -=a
4ac
4b
2-
在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。当
时，函数y有最大值
4.探索二次函数与一元二次方程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0
有根吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0
的根有什么关系?
归纳:(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点,
②有一个交点,
③没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当b2-4ac﹥0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax2+bx+c 的两个根x1与x2；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2-4ac﹤0时，抛物线与x轴没有交点。
举例:求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2,0）
5.例题教学:例1:已知函数
⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图像的草图；
(2)自变量x在什么范围内时，y随着x的增大而增大？何时y随着x的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值。
a2
b
x-
=a4
ac
4b2
-
2
15
x7
2
1
y x2+
-
-
=
归纳:二次函数五点法的画法
三.巩固练习:请完成课本练习：p42. 1,2
四.尝试提高:1
五.学习感想:1、你能正确地说出二次函数的性质吗？
2、你能用“五点法”快速地画出二次函数的图象吗？你能利用函数图象回答有关性质吗？
六：作业：作业本,课本作业题1、2、3、4。
课题：26.3二次函数的性质（2）
教学目标：
1、掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函
数的解析式。
2、能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性。
3、能根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质。 教学重点：二次函数的解析式和利用函数的图像观察性质 教学难点：利用图像观察性质 教学设计： 一、复习
1、抛物线5)4(22
-+-=x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，即x_____0时， y 随着x 的增大而增大； 在 侧，即x_____0时,
y 随着x 的增大而减小；当x= 时，函数y 最 值是____。
2、抛物线6)3(22
+-=x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，即x_____0时， y 随着x 的增大而增大； 在 侧，即x_____0时,
y 随着x 的增大而减小；当x= 时，函数y 最 值是____。 二、例题讲解
例1、根据下列条件求二次函数的解析式： （1）函数图像经过点A （-3，0），B （1，0），C （0，-2） (2) 函数图像的顶点坐标是（2，4）且经过点（0，1）
（3）函数图像的对称轴是直线x=3,且图像经过点（1，0）和（5，0）
说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件。一般来说：任意给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标（或对称轴或最值）及另一个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与x 轴的两个交点坐标，则用分解式较为快捷。
例2 已知函数y= x 2 -2x -3 ,
（１）把它写成k m x a y ++=2
)(的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？
（2）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值； （3）求出图象与坐标轴的交点坐标； （4）画出函数图象的草图；
(5)设图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于P 点，求△APB 的面积；
（6）根据图象草图，说出 x 取哪些值时， ① y=0; ② y<0; ③ y>0. 说明：（1）对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化；
（2）利用函数图像判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图像，要使
y<0;，其对应的图像应在x 轴的下方，自变量x 就有相应的取值范围。
例3、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则： a 0; b 0;c 0;ac b 42
- 0。
说明：二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与系数a 、b 、c 、
ac b 42-的关系 ：
三、小结本节课你学到了什么？
四、布置作业：课本作业题第5、6题
补充作业题：已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c ﹤0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
课题：26.4二次函数的应用（1）
教学目标：
1、经历数学建模的基本过程。
2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。
3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。 教学重点和难点：
重点：二次函数在最优化问题中的应用。
难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。 教学设计：
一、创设情境、提出问题
出示引例 （将作业题第3题作为引例） 给你长8m 的铝合金条，设问： ①你能用它制成一矩形窗框吗？ ②怎样设计，窗框的透光面积最大？ ③如何验证？
二、观察分析，研究问题
演示动画，引导学生观察、思考、发现：当矩形的一边变化时，另一边和面积也随之改变。深入探究如设矩形的一边长为x 米，则另一边长为(4-x)米，再设面积为ym 2,则它们的函数关系式为x x y 42
+-=
??
?-o x x φφΘ40
40ππx ∴
并当x =2时（属于40ππx 范围）即当设计为正方形时，面积最大=4(m 2)
引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决。 步骤：
第一步设自变量；
第二步建立函数的解析式； 第三步确定自变量的取值范围；
第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）。 三、例练应用，解决问题
在上面的矩形中加上一条与宽平行的线段，出示图形 设问：用长为8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，
问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ 引导学生分析，板书解题过程。
变式（即课本例1）：现在用长为8米的铝合金条制成如图所示的窗框改为上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形）透光面
积最大？（结果精确到0.01米）
练习：课本作业题第4题
四、知识整理，形成系统
这节课学习了用什么知识解决哪类问题？
解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？
学到了哪些思考问题的方法？
五、布置作业：作业本
课题：26.4二次函数的应用(2) 教学目标：
1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。
2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。
3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。 教学重点和难点：
重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。
难点：例2将现实问题数学化，情景比较复杂。 教学过程： 一、复习：
1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：
(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。
(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。 2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题。出示上节课的引例的动态
图形（在周长为8米的矩形中）（多媒体动态显示）
设问：（1）对角线（L ）与边长（x ）有什何关系？
222)4(x x l -+= )40(9622ππx x x l +-=
（2）对角线（L ）是否也有最值？如果有怎样求？ L 与x 并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于x 的二次函数，并且有最小值。引导学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算术平方根也越大（小）。指出：当被开方数9622
+-x x 取最小值时，对角线也为最小值。 二、例题讲解
例题2：B 船位于A 船正东26km 处，现在A 、B 两船同时出发，A 船发每小时12km 的速度朝正北方向行驶，B 船发每小时5km 的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？
(精)人教版数学九年级上册《二次函数》全章教案(最新)
22．1二次函数的图像和性质（一） 一、学习目标 1．知识与技能目标： （1）理解并掌握二次函数的概念； （2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式； （3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。 三、教学过程 （一）创设情境、导入新课： 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ （二）自主探究、合作交流： 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。 问题5：什么是二次函数？ 形如。 问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？
（三）尝试应用： 例1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值． 注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2． 已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法) （四）巩固提高： 1．下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x － 2+x ． 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5， 求这个二次函数的解析式． （五）小结： 1．二次函数的一般形式是 。2．会用 法求二次函数解析式。 （六）作业设计 22．1二次函数 y=ax 2的图像和性质（二） 一．学习目标： m m 2 21)x (m y --=
新人教版九年级上第22章《二次函数》基础练习含答案(5套)
基础知识反馈卡·22.1.1 时间：10分钟满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) 1．若y＝mx2＋nx－p(其中m，n，p是常数)为二次函数，则() A．m，n，p均不为0 B．m≠0，且n≠0 C．m≠0 D．m≠0，或p≠0 2．当ab>0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是() 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．若y＝x m－1＋2x是二次函数，则m＝________. 4．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图J22-1-1，则k的取值范围为________． 图J22-1-1
三、解答题(共11分) 5．在如图J22-1-2所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数 y ＝2x 2 和y ＝－12 x 2的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边 长为1)： 图J22-1-2 (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线y ＝2x 2，当x ______时，抛物线上的点都在x 轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数y ＝－12 x 2 ，对于一切x 的值，总有函数y ______0；当 x ______时，y 有最______值是______．
基础知识反馈卡·22.1.2 时间：10分钟 满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) 1．下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( ) A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝(x ＋1)2 D ．y ＝(x －1)2 2．二次函数y ＝－x 2＋2x 的图象可能是( ) 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．抛物线y ＝x 2 ＋14 的开口向________，对称轴是________． 4．将二次函数y ＝2x 2＋6x ＋3化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式是________． 三、解答题(共11分) 5．已知二次函数y ＝－1 2 x 2＋x ＋4. (1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
二次函数教案设计(全)
课题：1.1二次函数 教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、 合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 x
【新人教版】九年级数学上册第22章《二次函数》教案
第二十二章二次函数 22．1 二次函数的图象和性质 22．1.1 二次函数 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 重点 二次函数的概念和解析式． 难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力． 一.创设情境，导入新课 问题1 现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．
二.合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000 (3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式． 板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c
(完整word版)第22章《二次函数》全章初备教案
第二十二章二次函数 22．1二次函数的图象和性质 22．1.1二次函数 教学目标 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系． 2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 教学重点 二次函数的概念和解析式． 教学难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力． 教学过程 一、创设情境，导入新课 问题1现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)． 二、合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000(3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a ≠0)的形式． 板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
新人教版九年级上册第22章二次函数全章教案
教学内容 二次函数的图象与性质（1） 本节共需7课时 本课为第1课时 主备人：黄维贤 教学目标 会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． 教学重点 通过画图得出二次函数特点 教学难点 识图能力的培养 教具准备 坐标小黑板一块 课型 新授课 教学过程 初 备 统 复 备 情境导入 我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数 x y 3= x y 3 =的图象分别是 、 ，那么二次函数2 x y =的图象是什么呢？ （1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时 如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的 值时，y 的值如何？ （2）观察函数2 x y =的图象，你能得出什么结论？ 实践与 探索1 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？ （1）22x y = （2）2 2x y -= 共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点． 不同点：2 2x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边， 曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升． 22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最 高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降． 注意点： 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．
实践与探 索2 例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2． （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2． 分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内． 解（1）由题意，得)0 ( 16 1 2> =C C S． 列表： 描点、连线，图象如 图26．2．2． （2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周 长是4cm． （3）根据图象得， 当C≥8cm时，S≥4 cm2． 注意点： （1）此图象原点处为空心点． （2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． 2 4 6 8 … … 小结与作 业课堂小结： 通过本节课的学习你有哪些收获？课堂作业： 课本P 习题 家庭作业： 《九年级教辅资料》对应题 教学后记：
第22章二次函数单元教学计划
单元备课 一、单元名称：二次函数 二、单元教学内容及教材分析 “二次函数”这章主要要求学生在掌握好原来的一次函数、正比例函数的基础上，进一步学习二次函数的初步知识。本章采用由简入繁的方式对各种形式的二次函数进行了系统的学习。尤其与旧教材不同的是，加入了函数的平移，从而对函数的图像进行了更深入的理解。 对二次函数的表达式问题中，要求了三种形式，而且对二次函数表达式的确定要求的也非常具体。对二次函数与一元二次方程的关系中，也与旧教材有鲜明的对比。在这一节中，一直采用探究的形式对一元二次方程的根的情况和二次函数进行对比、研究。最后，对二次函数的应用部分，教材中大胆采用了前几年的部分中考题，让人感到紧跟中考方向。另外，从题目的难度看，虽然比旧教材的题目减少了，但是题目的难度却有增无减，这给教师的教和同学们的学都是一个大的考验。 三、单元教学重点难点 重点：1.掌握各种形式的二次函数的图像和性质，并会求解二次函数的表达式。 2.学会分析简单的二次函数的有关问题。 难点1、二次函数与一元二次方程的关系。 2、二次函数的应用题。 四、单元教学目标 1.知识与技能：让学生掌握各种形式的二次函数的图像和性质，并会求解二次函数的表达式。 2.过程与方法：通过学习和探究会分析简单的二次函数的有关问题。 3.情感态度价值观：要让学生认识到轴对称图形的美感，并理解二次函数的应 用之广泛。 五、主要教学方法、手段、选用的教学媒体 本章主要采用讨论探索和类比学习的方法，对教材内容让学生先学后教，让学生首先有一个基本的认识，然后指导学生先对基本的题目进行自学、讨论，然后总结规律，最后教师进行点评。选用班班通媒体辅助教学。 六、单元课时安排 22.1 二次函数的图象和性质 7课时 22.2 二次函数与一元二次方程 2课时 22.3 实际问题与二次函 3课时 小结 1课时 第二十二章单元测试题选讲 2课时
《二次函数》整章教案
二次函数 【教学目标】 （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围； （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯。 【重点难点】 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 【教学过程】 一、试一试 问题1(P2) 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中： 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1：可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2：可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3：教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．
二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 三、观察，概括 1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个) (2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式? (分别是二次多项式) (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的) (4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？ 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项． 四、课堂练习 1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=5x＋1；(2)y=4x2－1；(3)y=2x3－3x2；(4)y=5x4－3x＋1 2．P4练习第1，2题。 五、小结 1．请叙述二次函数的定义． 2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。 六、作业：P4习题26.1 第1-4题。 【课后反思】
人教版九年级上册二次函数全章教案
26.1.1 二次函数 1. 了解二次函数的有关概念． 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 一、知识链接： 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数 二、自主学习： 1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。 分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。 5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、合作交流： （1）二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 （2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 四、跟踪练习 1．观察：①2 6y x =；②2 35y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④3 2y x x =-；⑤ 213y x x =-+；⑥()2 21y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。（只填序号） 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
新人教版22章二次函数全章教案
第二十二章二次函数分析与教学建议 （一）．二次函数在初中数学教材中的分析 二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。 二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。 （二）本章课时安排 本章教学时间约需15课时，具体安排如下： 22．1节二次函数…………………………7课时
(公开课一等奖)二次函数复习课教案
《二次函数复习》教学案 班级：初三18班年级：九设计者：李玲时间：2015年10月16日
关基础知识．同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性． 基础知识之基础演练 二次函数是生活中最常见的一类函数，它有着自己固有的性质，反映的是轴对称性和增减性； 我们要突出反映二次函数的轴对称性、顶点坐标，我们就可以把一般式改写成顶点式；如果想知道抛物线与x轴两个交点的情况，我们可以把一般式写出交点式； 刚刚我们回顾了二次函数的性质，我们发现二次函数的图像能够直观地反映函数的特性，而数又能细致刻画函数图像的大小和位置，下面就让我们遵循着数形结合的线索，继续对二次函数进行深入的研究。
难点突破之思维激活1、如果把抛物线绕 ()4 12+ + - =x y顶点旋转 180°，则该抛物线对应的解析式是 . 若把新抛物线再向右平移2个单位，向下平 移3个单位，则得到的抛物线对应的解析式 是 . 抛物线的平移——点的平移 难点突破之聚焦中考2、问题①，结合图像思考： 方程 ()1 4 12= + + -x 有几个实数解？ 问题②，结合图像思考： 当m为何值时，方程 ()m x= + + -4 12 1）有两个不相等的实数根； 2）有两个相等的实数根； 3）没有实数根？ 问题③ 其实方程、不等式本身就 有一个代数的解法，我们现在 也用图像解法 我们通过三个题目把这 个知识的层次性展示出来，方 程、不等式都可以转化成函数 的图像来解
若直线 m kx y +=1与抛物线 c bx ax y ++=22交于A （1,0） 、B （-1，4） 两点，观察图像填空： 1）方 程 m kx c bx ax +=++2的解 为 ； 2）不等式 m kx c bx ax +>++2的解 为 ； 3）不等式 m kx c bx ax +<++2的解 为 ； 反思与 提高 1、本节课你印象最深的是什么？ 2、通过本节课的函数学习，你认为自己 还有哪些地方是需要提高的？ 3、在下面的函数学习中，我们还需要注意 哪些问题？ 教者归纳本章知识网络图示 让学生自己总结一节课的得失，教者进行适当的点评．真正体现出学生是学习的主体．为今后自主学习奠定基础，由此达到数学教学的新境界——提升思维品质，形成数学素养．
第22章-二次函数单元测试题(含答案)
第22章 二次函数单元测试题 一、选择题（共24分） 1、抛物线1)3(22+-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．(3，1) B ．(3，－1) C ．(－3，1) D ．(－3，－1) 2、将抛物线y =（x ﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ） A ． y =（x ﹣2）2 B ． y =（x ﹣2）2+6 C ． y =x 2+6 D ． y =x 2 3、已知二次函数y =x 2－3x +m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x 2－3x +m =0的两实数根是（ ） A ．x 1=1，x 2=－1 B ．x 1=1，x 2=2 C ．x 1=1，x 2=0 D ．x 1=1，x 2=3 4、下列二次函数中，图像以直线x =2为对称轴，且经过点(0,1)的是 （ ） A 、1)2(2+-=x y B 、1)2(2++=x y C 、3)2(2--=x y D 、3)2(2-+=x y 5、若x 1,x 2(x 1 ＜x 2)是方程(x －a )(x －b ) = 1(a < b )的两个根，则实数x 1,x 2,a,b 的大小关系为（ ） A ．x 1＜x 2＜a ＜b B ．x 1＜a ＜x 2＜b C ．x 1＜a ＜b ＜x 2 D ．a ＜x 1＜b ＜x 2 6、)0(1≠+=k n kx y 与二次函数)0(2 2≠++=a c bx ax y 的图象相交于A (1-，5)、B (9，2)两点，则关于x 的不等式c bx ax n kx ++≥+2 解集为( ) A 、91≤≤-x B 、91<≤-x C 、91≤<-x D 、1-≤x 或9≥x 7、已知两点),3(),,5(21y B y A -均在抛物线)0(2 ≠++=a c bx ax y 上，点 ),(00y x C 是该抛物线的顶点，若021y y y ≥>，则0x 的取值范围是（ ） A ．50->x B ．10->x C ．150-<<-x D ．320<<-x 8、若二次涵数y =ax +bx +c (a ≠0)的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1 [初二数学]二次函数整章教案 教学内容27.2.1二次函数 的图象与性质 本节共需7 课时 本课为第1 课时 主备人： 牟文 教学目标会用描点法画出二次函数2ax y 的图象，概括出图象的特点及函数的性质． 教学 重点 通过画图得出二次函数特点 教学 难点 识图能力的培养 教具 准备 坐标小黑板一块课型新授课教学 过程 初备统复备 情境导入 我们已经知道，一次函 数1 2+ =x y，反比例函数x y 3 = x y 3 =的图象分别是、，那 么二次函数2x y=的图象是什么呢？ （1）描点法画函数2x y=的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？ （2）观察函数2x y=的图象，你能得出什么结论？ 实践与探索1 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？ （1）22x y=（2）22x y- = 共同点：都以 y轴为对称 轴，顶点都在 坐标原点． 不同点：22x y= 的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升． 2 2x y- =的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降． 注意点： 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 实践与探索2 例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2． （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2． 分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要 注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内． 解（1）由题意，得 )0 ( 16 1 2> =C C S． 列表： 描点、连 线，图象如 图26．2．2． （2）根据 图象得 S=1 cm2 时，正方形 的周长是 4cm． （3）根据图象得，当C≥8cm 时，S≥4 cm2． 注意点： （1）此图象原点处为空心点． （2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． 2 4 6 8 … … 第单元.第课时.总第课课 题 22.1 二次函数 教学目标 （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教 法 教 具 问题引导法 课时 安排 一课时 课 前 准 备 复习初二一次函数的相关内容，作为二次函数的铺垫 教学过程一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中， AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长(m) 12 面积y(m2) 48 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC 的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2] 5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 [y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)] 将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为： y=－2x2＋20x (0＜x＜10) (1) 将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为： y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2) (2) 三、观察；概括 1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个) (2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式? (分别是二次多项式) (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的) (4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？ 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y 取得最大值。 2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系 人教版九年级数学（下）第二十六章 二次函数课时教学案 26．1二次函数（一） 一、学习目标 1．知识与技能目标： （1）理解并掌握二次函数的概念；（2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式；（3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。 （一）前置作业、导入新课： 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ （二）自主探究、合作交流： 问题1： 正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x ，表面积为y ，写出y 与x 的关系。 问题2： n 边形的对角线数d 与边数n 之间有怎样的关系? 问题3： 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定，y 与x 之间的关系怎样示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有 的形式。 问题5：什么是二次函数？ 形如 。 问题6：函数y=ax2+bx+c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ （三）尝试应用： 例1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值． 注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2． 已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函 m m 2 21)x (m y --= 第二十二章二次函数单元教学计划 （一）．二次函数在初中数学教材中的分析 二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。 二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。 （二）本章课时安排 本章教学时间约需15课时，具体安排如下： 22．1节二次函数…………………………7课时 （1 （2 教学重点： 值围。 教学难点： 教学过程： 一、问题引新 1. 出矩形的另一边中， 2．x 3 面积y等于多少? 1 2、观察概括 y=6x2 以上 3 的二次函数，a 4、课堂练习 （1）(口答 (1)y=5x (3)y=2x （2）．P3 五、小结 六、作业：课本第 七、板书 第二课时：26.1 二次函数（2） 教学目标： 1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。 2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。 教学重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象 教学难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质。 教学过程： 一、问题引新 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么? 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢? 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? 二、学习新知 1、例1、画二次函数y=2x2与y=2x2的图象。（有学生自己完成） 解：(1)列表：在x的取值围列出函数对应值表： 找一名学生板演画图 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? （让学生观察，思考、讨论、交流，） 2、归纳： 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点坐标（0，0） 3、运用新知 （1）．观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? （2）．课件出示：在同一直角坐标系中，y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较 （3）．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?（课件出示）让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空； 当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。 当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______ 三、总结：函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是（0，0）。 四、课堂练习：练习册P 练习1、2、3、4。 五、作业：1．画出函数y=1/2x2的图象? 2．写出函数y＝ax2具有哪些性质? 二次函 数（1） 一．导入：用长为20cm 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为x cm ，面积为y 2cm . 求：y 与x 的函数关系式. 二．二次函数：形如c bx ax y ++=2（其中b 、c 为常数，且0≠a ）的函数叫做x 的二次函数. 注：0≠a ，若0=b 可化为c ax y +=2；0≠a ，若0=c 可化为bx ax y +=2 三．例题与练习： 1．下列各式中：①2x y =，②012=-+y x ，③122=-y x ，④1212 -+- =x x y ，⑤1+=x y ，⑥ 012=--x y ，其中y 是x 的二次函数的是 . 练习：下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ．12=+x xy Ｂ．0222=-+y x Ｃ．22-=-ax y Ｄ．012=++y x 2．若函数()22++-=x x m y m 是二次函数，则m 的值为 . 练习：若函数()1311 2 +-+=+x x m y m 是二次函数，则m 的值为 . 3．若二次函数12++=mx x y 的图象经过点（2，1），则m 的值为 . 练习：若二次函数()32122--+++=m m x x m y 图象经过原点，则m 的值为 . 4．若二次函数c bx ax y ++=2满足1=++c b a ，则此二次函数的图象必经过点 ；若满足0=+-c b a ，则此二次函数的图象必经过点 . 练习：若二次函数c bx ax y ++=2满足024=+-c b a ，则此二次函数的图象必经过点 . 5．将函数3822--=x x y 化成 练习：将函数1632+--=x x y 化成 ()k h x a y +-=2的形式 ()k h x a y +-=2的形式 7．将进货单价为30元的故事书按40元售出时，就能卖出500本书，已知这种书每本每涨价1元，其销售量就会减少10本.设销售单价为x 元，销售总利润为y 元. ⑴写出y 与x 的函数关系式； ⑵求当销售单价为多少元时，销售总利润最大？最大利润为多少？ 练习：某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元.市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60kg ，单价每降低1元，日均多售出2kg ，在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天，俺整天计算）.设销售单价为x 元，日均获利为y 元.[初二数学]二次函数整章教案
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