外微分

外

微 分 尹 小 玲

以下仅在三维空间中讨论。

一、微分的外积运算

微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分dx ，dy ，dz ，其外积运算用∧表示，如dx 与dy 的外积记为dy dx ∧，它们满足以下运算法则：

（1）)()(dy dx a dy adx ∧=∧，（a 是实数）；

（2）外积运算对加法有分配律，如dz dx dy dx dz dy dx ∧+∧=+∧)(；

（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如dx dy dy dx ∧-=∧；

（4）任意一个微分与自身的外积等于0，如0=∧dx dx ；

（5）结合律，dz dy dx dz dy dx ∧∧=∧∧)()(；

dx ，dy ，dz 在几何上可以理解为有向长度微元。

dy dx dx dz dz dy ∧∧∧,,在几何上可以理解为有向面积微元，dz dy dx ∧∧在几何上可以理解为有向体积微元。因此，它们与dxdy dzdx dydz ,,，dxdydz 的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的。

把微分的外积运算与向量的外积运算b a ?相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全

类似的。而||b a ?在几何上是以b a ,为边的平行四边形的面积，对应于

dydz dz dy =∧||，dzdx dx dz =∧||，dxdy dy dx =∧||

二、外微分式及其外微分式的外积运算

设F C B A R Q P ,,,,,,都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式

F （1）

Rdz Qdy Pdx ++ （2）

dy Cdx dx Bdz dz Ady ∧+∧+∧ （3）

dz dy Fdx ∧∧ （4）

例 p 阶外微分式与q 阶外微分式的外积是q p +阶外微分式，当3>+q p 时，外积为0。

证 两个一阶外微分式的外积

∧++)(111dz R dy Q dx P )(222dz R dy Q dx P ++

)()(22212221dz R dy Q dx P dy Q dz R dy Q dx P dx P ++∧+++∧=

)(2221dz R dy Q dx P dz R ++∧+

dy

dx P Q Q P dx dz R P P R dz dy Q R R Q ∧-+∧-+∧-=)()()(212121212121

2

22111 R Q P R Q P dy

dx dx dz dz dy ∧∧∧=

一阶外微分式与二阶外微分式的外积

∧++)(R d z Q d y P d x )(dy Cdx dx Bdz dz Ady ∧+∧+∧

)(dy Cdx dx Bdz dz Ady Pdx ∧+∧+∧∧=

)(dy Cdx dx Bdz dz Ady Qdy ∧+∧+∧∧+

)(dy Cdx dx Bdz dz Ady Rdz ∧+∧+∧∧+

dz dy dx RC QB PA ∧∧++=)(dz dy dx C B A R Q P ∧∧?=}),,{},,({ 其余显然成立。

三、多变量积分中的积分微元代换公式

利用外积运算，可以推导多变量积分变量代换公式中，微元的代换公式。

（1）二重积分中极坐标变换下的面积微元

在极坐标变换θcos r x =，θsin r y =下，有公式

????'

=D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),(

其中，面积微元有关系式 θrdrd dxdy =

自然它不是通过dy dx ,的普通乘积得到的，但它可以用dy dx ,的外积运算得到：

)cos (sin )sin (cos θθθθθθd r dr d r dr dy dx +∧-=∧

)c o s (s i n s i n )c o s (s i n c o s θθθθθθθθθd r dr d r d r dr dr +∧-+∧=

θθθθθd r d r d dr r d dr r ∧=∧+∧=2

2sin cos

故 θrdrd dy dx dxdy =∧=||

（2）二重积分一般变量代换中的面积微元

在变换 ),(v u x x =，),(v u y y =下，有公式 dudv v u y x v u y v u x f dxdy y x f D D ????'??=)

,(),()),(),,((),( 其中，面积微元有关系式： dudv v u y x dxdy )

,(),(??= 同样，它符合dy dx ,的外微分运算。事实上，

)()(dv v

y du u y dv v x du u x dy dx ??+??∧??+??=∧ )()(dv v

y du u y dv v x dv v y du u y du u x ??+??∧??+??+??∧??= du dv u

y v x dv du v y u x ∧????+∧????= dv du u

y v x v y u x ∧????-????=)(dv du v u y x ∧??=),(),( 故 dudv v u y x dv du v u y x dy dx dxdy ),(),(||),(),(??=∧??=

∧= （3）三重积分变量代换中的体积微元

完全类似二重积分情形，（略）。

（4）第二型曲面积分计算公式

设曲面方程为 ),(),,(),,(v u z z v u y y v u x x ===，D v u ∈),(，

则有公式

??????±=D S dudv v u z y v u z v u y v u x P dydz z y x P |)

,(),(|

)),(),,(),,(( ),,( ??????±=D S dudv v u x z v u z v u y v u x Q dzdx z y x Q |)

,(),(|)),(),,(),,((),,( ??????±=D

S dudv v u y x v u z v u y v u x R dxdy z y x R |),(),(|

)),(),,(),,((),,( 其中符号±视S 的方向而定。注意到这里dxdy dzdx dydz ,,都是有向的，而等式右边的dudv

是无向的，利用二重积分变量代换中已证得的面积微元关系，有

dv du v u z y dz dy ∧??=∧),(),(，dv du v u x z dx dz ∧??=∧),(),(，dv du v u y x dy dx ∧??=∧)

,(),( 取绝对值后，立即得到上述公式。

（5）第一型曲面积分中的面积微元

设曲面S 的方程为 ),(),,(),,(v u z z v u y y v u x x ===，D v u ∈),(，则有

dudv C B A dS 222++= 其中),(),(v u z y A ??=，),()

,(v u x z

B ??=，),()

,(v u y x C ??=。

因为

dv du v u z y dz dy ∧??=∧),()

,(，dv du v u x z dx dz ∧??=∧),()

,(，dv

du v u y x dy dx ∧??=∧),()

,( 而dxdy dzdx dydz ,,分别是S 在三坐标面上的投影，则

222)()()(dxdy dzdx dydz dS ++=222)()()(dy dx dx dz dz dy ∧+∧+∧= dudv v u y x v u x z v u z y 222)),(),(()),(),(()),(),((??+??+??=dudv C B A 222

++=

特别，若曲面方程为 ),(y x f z =，D y x ∈),(，则

dy dx y x f dy y x f dx y x f dy dz dy x y x ∧-=+∧=∧),()),(),((

dy dx y x f dx dy y x f dx y x f dx dz y y x ∧-=∧+=∧),()),(),((

故

222)()()(dy dx dx dz dz dy dS ∧+∧+∧=dxdy y x f y x f y x ),(),(122++=

四、各阶外微分式的外微分运算

在三维空间中，对于系数是可微函数的各阶外微分式（1）~（4），定义其外微分： dz z F

dy y F dx x F

dF ??+??+??=

dz dR dy dQ dx dP Rdz Qdy Pdx d ∧+∧+∧=++)(

dy dx dC dx dz dB dz dy dA dy Cdx dx Bdz dz Ady d ∧∧+∧∧+∧∧=∧+∧+∧)(

dz dy dx dF dz dy Fdx d ∧∧∧=∧∧)(

注1 对基本外微分式的外微分，规定

0)()()(===dz d dy d dx d

在这个规定下，外微分算子d 的作用类似与普通微分算子，即对每一项进行运算，在每一项中又分别对每个因子进行运算，其余因子不动。所不同的是外微分算子在运算后进行外积运算，而普通微分算子在运算后进行普通乘积。例如

)()()()(dz Rd dz dR dy Qd dy dQ dx Pd dx dP Rdz Qdy Pdx d +∧++∧++∧=++ dz dR dy dQ dx dP ∧+∧+∧=

注2 零阶外微分式的外微分就是普通的微分。

性质： p )2,1,0(=p 阶外微分式的外微分是1+p 阶外微分式，三阶外微分式的外微分等于0，且它们与场论中的三度（梯度，旋度，散度）有如下联系：

（1） },,{dz dy dx gradF dz z

F dy y F dx x F dF ?=??+??+??= （2） },,{},,{)(dy dx dx dz dz dy R Q P rot Rdz Qdy Pdx d ∧∧∧?=++

R Q P z

y x dy

dx dx dz dz dy ??????∧∧∧=

（3）dz dy dx C B A div dy Cdx dx Bdz dz Ady d ∧∧=∧+∧+∧},,{)(

证 （1）显然成立。

（2） )(Rdz Qdy Pdx d ++ dx dz z P dy y P dx x P ∧??+??+??=)(dy dz z

Q dy y Q dx x Q ∧??+??+??+)( dz dz z

R dy y R dx x R ∧??+??+??+)( dy dx y

P x Q dx dz x R z P dz dy z Q y R ∧??-??+∧??-??+∧??-??=)()()( },,{},,{dy dx dx dz dz dy R Q P rot ∧∧∧?=

R Q P z

y x dy

dx dx dz dz dy ??????∧∧∧=

（3）)(dy Cdx dx Bdz dz Ady d ∧+∧+∧

)dy dx dz z

C dx dz dy y B dz dy dx x A ∧∧??+∧∧??+∧∧??= dz dy dx z C y B x A ∧∧??+??+??=)(

dz dy dx C B A div ∧∧=},,{

五、牛顿-莱布尼兹公式，斯托克斯公式，格林公式，高斯公式的统一描述

（1） 牛顿-莱布尼兹公式

b

a b a x F dx x f )()(=? 其中)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数。

若记)(x F =λ，则)(x dF d =λ，则牛顿-莱布尼兹公式可写为

??=},{],[b a b a d λλ

（2） 斯托克斯公式 ?++L

Rdz Qdy Pdx ????????=S R

Q P z y x dxdy

dzdx dydz 或 },,{},,{??L dz dy dx R Q P ???=S dxdy dzdx dydz R Q P rot },,{},,{

其中S 是以分段光滑曲线L 为边界的光滑曲面，L 与S 的方向遵从右手法则。

在这个公式中，由于L 与S 都是有向的，故dz dy dx ,,是有向长度微元，d x d y d z d x d y d z ,,是有向面积微元，若记Rdz Qdy Pdx ++=λ，则

},,{},,{dy dx dx dz dz dy R Q P rot d ∧∧∧?=λ

故斯托克斯公式可写为

?L λ??=S

d λ 格林公式作为斯托克斯公式的特殊情形，自然也具有上述形式。

（3） 高斯公式

??++S Rdxdy Qdzdx Pdydz dz dxdy z

R y Q x P V ?????+??+??= ][ 或 ???S dxdy dzdx dydz R Q P },,{},,{dz dxdy R Q P div V ???= },,{

其中空间闭区域V 以分片光滑曲面S 为边界，曲面S 取外侧。 在这个公式中，由于S 是有向的，故V 也可看作有向的。若记

dy Rdx dx Qdz dz Pdy ∧+∧+∧=λ 则 dz dy dx R Q P div d ∧∧=},,{λ

故高斯公式可写为

??S λ???=V d λ

综合上述，可以将上述各公式统一为

??=?M M d λλ 其中，M 是)3,2,1(=k k 维区域，而M ?是M 的边界（因而是1-k 维的），λ是1-k 阶外微分（因而λd 是k 阶外微分）。

六、庞加莱（Poincare)引理及其逆

性质1 （庞加莱（Poincare)引理）设λ是三维空间中任意外微分式，其系数有二阶连续偏导数，则

0)(=λd d

证 因为 0 =F grad rot ，0=A rot div

（1）λ是零阶外微分式F

},.{dz dy dx gradF dz z

F dy y F dx x F dF ?=??+??+??= 0},,{)(=∧∧∧?=dy dx dx dz dz dy gradF rot dF d

（2）λ是一阶外微分式Rdz Qdy Pdx ++=λ

},,{},,{)(dy dx dx dz dz dy R Q P rot Rdz Qdy Pdx d d ∧∧∧?=++=λ

0},,{)(=∧∧=dz dy dx R Q P rot div d d λ

（3）λ是二阶外微分式，则λd 是三阶外微分式，从而0)(=λd d 。

（4）λ是三阶外微分式，则，故0)(=λd d 。

性质2 （庞加莱引理之逆）设λ是三维空间中的)1(≥p p 阶外微分式，其系数有一阶连续偏导数，且0=λd ，则存在一个1-p 阶外微分式，使得ωλd =。

证 （1）设λ是一阶外微分式},,{},,{dz dy dx R Q P ?=λ

0},,{},,{=∧∧∧?=dy dx dx dz dz dy R Q P rot d λ

故 0},,{=R Q P rot

因为 },,{0},,{R Q P R Q P rot ?=是无旋场},,{R Q P ?是梯度场

?存在零阶外微分式ω，使得ωgrad R Q P =},,{

于是 ωωλd dz dy dx grad dz dy dx R Q P =?=?=},,{},,{},,{

（2）设λ是二阶外微分式},,{},,{dy dx dx dz dz dy C B A ∧∧∧?=λ，且

0},,{=∧∧=dz dy dx C B A div d λ

故 0},,{=C B A div

因为 },,{0},,{C B A C B A div ?=是无源场},,{C B A ?是管量场

?存在矢量},,{R Q P ，使得},,{},,{R Q P rot C B A =

记},,{},,{dz dy dx R Q P ?=ω，则ω是一阶外微分式，且

ωλd dy dx dx dz dz dy R Q P rot =∧∧∧?=},,{},,{。

（3）设λ是三阶外微分式dz dy Fdx ∧∧=λ，且0=λd

令 dz dy dt z y t F x

∧=?0),,(ω， 则ωλd =。 从证明过程可见，庞加莱引理中0)(=λd d ，当λ是零阶外微分式时，等价于场论中

的0 =λgrad rot ；而当λ是一阶外微分式时，等价于场论中的0=A rot div 。