八种通项公式求解方法

求数列通项公式的八种方法

总述：

一．利用递推关系式求数列通项的8种方法：

累加法、

累乘法、

待定系数法、

阶差法（逐差法）、

对数变换法、

倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、

数学归纳法、

二.等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三.求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：----------这是广义的等差数列累加法是最基本的

二个方法之一。

2．若，

则

两边分别相加得

例1已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由得则

所以数列的通项公式为。

例2已知数列满足，求数列的通项公式。

解法一：由得则

所以

解法二：两边除以，得，

则，故

因此，

则

评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.

若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

例3.已知数列中,且,求数列的通项公式.

解:由已知得,

化简有,由类型(1)有,

又得,所以,又,,

则

二、累乘法

1.适用于：----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法

之二。2．若

，则

两边分别相乘得，∏=+=n

k n k f a a 1

11

)(例4已知数列满足

，求数列的通项公式。

解：因为

，所以

，则

，故

所以数列的通项公式为

例5.设是首项为1的正项数列，且

（

=1，

2，3，…），则它的通项公式是=________.

解：已知等式可化为：

()

(n+1)

,即

时，

==.

评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.

三、待定系数法适用于

基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1．形如,其中)型

（1）若c=1时，数列{}为等差数列;

（2）若d=0时，数列{}为等比数列;

（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法

构造辅助数列来求.

待定系数法：设,

得,与题设比较系数得

,所以所以有：

因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，

所以即：.

规律：将递推关系化为,构造成公比为c的

等比数列从而求得通项公式

逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列

,进而求得通项公式.,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

例6已知数列中，，求数列的通项公式。

解法一：

又是首项为2，公比为2的等比数列

，即

解法二：

两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……

2．形如：(其中q是常数，且n0,1)

若p=1时，即：，累加即可.

若时，即：，

求通项方法有以下三种方向：.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列

即：,令，则,然后类型1，累加

求通项.

.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。

即：,

令,则可化为.然后转化为类型5来解，

.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列

设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求p q，否则待定系数法会失效。

例7已知数列满足，求数列的通项公式。

解法一（待定系数法）：设，比较系数得

，

则数列是首项为，公比为2的等比数列，

所以，即

解法二（两边同除以）：两边同时除以得：，下面

解法略

解法三（两边同除以）：两边同时除以得：，下面解法略

3．形如(其中k,b是常数，且)

方法1：逐项相减法（阶差法）

方法2：待定系数法

通过凑配可转化为;

解题基本步骤：

1、确定=kn+b

2、设等比数列，公比为p

3、列出关系式,即

4、比较系数求x,y

5、解得数列的通项公式

6、解得数列的通项公式

例8在数列中，求通项.（逐项相减法）

解：，

时，，

两式相减得.令,则

利用类型5的方法知即

再由累加法可得.亦可联立解出.

例9.在数列中，,求通项.（待定系数法）

解：原递推式可化为

比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为

所以是一个等比数列，首项,公比为.

即：

故.

4．形如(其中a,b,c是常数，且)

基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

例10已知数列满足，求数列的通项公

式。

解：设

比较系数得，

所以

由，得

则，故数列为以

为首项，以2为公比的等比数列，因此

，则。

5.形如时将作为求解

分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得

，数列为等比数列。

例11已知数列满足，求数列的通项公

式。

解：设

比较系数得或，不妨取，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）

则，则是首项为4，公比为3的等比数列

，所以

四、对数变换法适用于(其中p,r为常数)型p>0，

例12.设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.

解：两边取对数得：，，设

，则是以2为公比的等比数列，

，，，∴

例13已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：因为，所以。

两边取常用对数得

设（同类型四）

比较系数得，

由，得

，

所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此

则。

五、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

例14已知数列满足，求数列的通项公式。

解：求倒数得为等差数列，首项，

公差为，

六、换元法适用于含根式的递推关系

例15已知数列满足，求数列的通项公式。

解：令，则

代入得

即

因为，

则，即，

可化为，

所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即

，得

。

七、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。

例16已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由及，得

由此可猜测，下面用数学归纳法证明这个结论。

（1）当时，，所以等式成立。

（2）假设当时等式成立，即，则当时，

由此可知，当时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。

八、阶差法（逐项相减法）

1、递推公式中既有，又有

分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。

例17已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，

且成等比数列，求数列的通项公式。

解：∵对任意有

∴当n=1时，，解得或

当n≥2时，⑵

（1）－（2）整理得：

∵各项均为正数，∴

当时，，此时成立

当时，，此时不成立，故舍去

所以

2、对无穷递推数列

例18已知数列满足，求

的通项公式。

解：因为①

所以②

用②式－①式得

则故

所以③由，，则

，又知，则，代入③得。

所以，的通项公式为

总结：四种基本数列

1.形如型等差数列的广义形式，见累加法。

2.形如型等比数列的广义形式，见累乘法。

3.形如型

（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项.

例19.数列{}满足,,求数列{a n}的通项公式.

分析1：构造转化为型

解法1：令

则.

时,各式相加:

当n为偶数时，.此时当n为奇数时，

此时,所以.故解法2：

时，，两式相减得：.

构成以,为首项，以2为公差的等差数列;

构成以,为首项，以2为公差的等差数列

.

评注：结果要还原成n的表达式.

4.形如型

（1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数

列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.