对偶单纯形法 哈工大

对偶单纯形法教案

一．教学目标：

通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解，让学生了解对偶单纯形法思想来源和原理和引入单纯形法的原因，了解对偶单纯形法和原始单纯形法各自特点和适用问题，掌握对偶单纯形法解题步骤并能熟练运用对偶单纯形法配合原始单纯形法解决一些线性规划问题。

二.教学内容：

1）.对偶单纯形法的思想来源(5 min)

2）对偶单纯形法原理（难点）(10 min)

3）用标准流程图表示对偶单纯形算法

4）结合实际案例讲解对偶单纯形法求解过程

5）对比分析单纯形法和对偶单纯形法，说明什么类型的问题适合转化为对偶问题求解

三．教学过程：

1）：思想来源

对偶单纯形法是美国数学家C.莱姆基于1954年提出的。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。

设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题（Dual Problem）为max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c ≤0。即知y=cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。

2）：对偶单纯形法原理

对偶单纯形法的原理，要用到前面讲到的几种性质：

弱对偶性原理：若X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解。则存

在X C ≦b Y 。

无界性原理： 若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。

最优性原理：如果x j （j=1，…，n)是原问题的可行解，y j

（i=1，…，m ）

是其对偶问题的可行解，且有∑=n j j

j

x c 1

=∑=m

i i

i

y b 1

，则x

j

（j=1，…，n ）是原问题

的最优解，

y j

（i=1，…，m ）是其对偶问题的最优解。

性质6：线性规划问题的原问题及其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w.

前面已经讲到原问题与对偶问题的解之间的对应关系时指出：在单纯形表中进行迭代时，在b 列中得到的是原问题的基可行解，而在检验数行得到的是对偶问题的基解。通过逐步迭代，挡在检验数行得到对偶问题的解也是基可行解时，根据弱对偶性原理和无界性原理可知，已得到最优解。即原问题与对偶问题都是最优解。

根据对偶问题的对称性，也可以这样考虑：若保持对偶问题的解是基可行解，即j B P B c 1-≦0，而原问题在非可行解的基础上，通过逐步迭代达到基可行解，这样也得到了最优解。其优点是原问题的初始解不一定是基可行解，可从非基可行解开始迭代，方法如下。

设原问题 max z=CX AX=b X ≧0

又设B 是一个基。不失一般性，令B=（,,21P P …m P ），它对应的变量为 =B X （,,21x x …m x ）

当非基变量都为零时，可以得到b B X B 1-=。若在b B 1-中至少有一个负分量，设0)(1<-i b B ，并且在单纯形表的检验数行中的检验数都为非正，即对偶问题保持可行解，它的各分量是

（1）对应基变量,,21x x …，m x 的检验数是

,01

=-=-=-j B i i i i P B C c z c δ i=1,2,…,m

(2)对应非基变量1+m x ，…，n x 的检验数位

j B j j j j P B C c z c 1--=-=δ≦0，j=m+1.…，n

每次迭代是将基变量中的负分量l x 取出，去替换非基变量中的k x ，经基变换，所有检验数仍保持非正。从原问题来看，经过每次迭代，原问题由非可行解往可行解靠近。当原问题得到可行解时，便得到了最优解。

对偶单纯形法的计算步骤如下：

根据线性规划问题，列出初始单纯形表。检查b 列的数字，若都为负，检验数都为非正，则已得到最优解。停止计算。若检查b 列的数字时，至少还有一个负分量，检验数保持非正，那么进行以下计算。 1确定换出基的变量

对于小于0的i b ，令r b =min{i b }，其对应变量r x 为换出基的变量. 2确定换入基的变量：

（1）为使迭代后的表中第r 行基变量为正值，因而只有对应

a

rj

<0(j=m+1,…,n)的非基变量才可以考虑作为换入基的变量；

（2）为使迭代后的表中的对偶问题的解仍为可行解，令

?=min j

{a z c rj

j j

-|a

rj

<0}=a

z

c rs

s

s -

称a rs 为主元素，x s 为换入基的变量。 设迭代后表中的检验数为（c j

-z j ）’则（c j

-z j ）’=（c j

-z j ）

-

a rj

(c s -z s )/a

rs

=

a

rj

[(

c j

-z j )/a rj

-(c s -z s )/a

rs

],选取主元素时，一定能保证有（

c j

-z j ）

’≤0（j=1，…，n ），下面分两点说明：

（a ）对

a

rj

≥0，因

c j -z j ≤0，故（c j -z j )/a rj ≤0,又因主元素a rs

<0,故有

(c s

-z s )/a rs

≥0，因此（c j

-z j ）’≤0

（b ）对a rj <0,因[(c j -z j )/a rj -(c s -z s )/a rs ]>0,故同样（c j

-z j ）’≤0

3、用换入变量替换换出变量，得到一个新的基。用新的基再检查是否所有b

i

（i=1，…，m ）≥0。如果是，则找到了问题最优解，否则回到第一步重复计算。

若原问题出现无可行解，对b r

<0,而对所有j=1，…，n,有

a

rj

≥0。因为这

种情况下，把表中第r 行的约束方程列出有

x r

+a

m r 1

,+x

m 1

++...+a n

r ,x n

=b r

，因

a

rj

≥0（j=m+1，…，n),又b r <0,故不可能存在

x j

≥0（j=1，…，n)的解，故原

问题无可行解，这时对偶问题的目标函数值无界。

3）为什么要引入对偶单纯形法：

从理论上来说，原始单纯形法可以解决一切线性规划问题，然而实际问题中，由于考虑问题的角度不同，变量设置的不同，便产生了原问题及其对偶问题，用原始单纯形法计算时，要求右端项全部为正，因此约束条件中若有大于等于，则必须在确定初始基可行解时引入人工变量，计算量较大。而对偶单纯形法对右端项无要求，运用对偶单纯形法时，初始解可以是非可行解，只要检验数全部非正数时，就可以进行基变换。因此不需要引进人工变量，这样可以简化计算。应用对偶问题与原问题的关系，对变量较少而约束较多的线性规划问题先变换成对偶问题，再用对偶单纯形法求解，可以减少计算工作量。灵敏度分析中有时需要用到对偶单纯形法，可使问题的处理简化。

例如有一线性规划问题：

Min ω=21x +32x +43x max z =-21x -32x -43x 1x +22x +3x ≧3 -1x -22x -3x +4x =-3

21x - 2x +33x ≧4

-21x +2x -33x + 5x =-4

1x ，2x ，3x ≧0 j x ≧0，j=1,2，…，5

如果用原始单纯形法求解，则需引入人工变量求解，而用对偶单纯形法求解时，则直接按右边的标准型列出单纯形表求解即可，简化了计算量。 4）对偶单纯形算法标准流程图：

问题开始

将原问题化成标准形式，得到对偶问题初始

可行基，建立初始单纯形表。

i b 列数字是否均为非

是

得到最优解

问题结束

否

确定换出基的变量：对于小于0的

i b r b =min{i b }，变量r x 为换出基的变量

对

b r

这一行，a rj 是

否均≥0

无可行解

问题结束

否

确定换入基的变量：θ=min{(

c j

-z j )/a

rj

│

a

rj

<0}=(

c s

-z s )/a rs

,以x s

为换入变量，称

a rs

为主元素并标记

列出新的单纯形表。1.用非基变量x s

替换基变量x r 2.

用主元行（第r 行）令b r

/a rs b r

,a rj /a rs 对主

元列（第s 列）

令1

a rs

，0 其他元素4.表中其他行列元素令a ij

-a rj

a is

/a rs

a ij ，

b i -b r a is /a rs

b i

5）例题讲解：

用对偶单纯形法求解

Min ω=21x +32x +43x max z =-21x -32x -43x

1x +22x +3x ≧3 -1x -22x -3x +4x =-3 21x - 2x +33x ≧4 -21x +2x -33x + 5x =-4

1x ，2x ，3x ≧0

j x ≧0，j=1,2，…，5

建立此问题的初始单纯形表，如下表。

C

j

→

-2 -3

-4 0 0

C B X B

b 1x

2x

3x

4x

5x

0 0

4x

5x

-3 -4

-1 【-2】 -2 1 -1 -3 1 0 0 1 j j z c -

-2

-3

-4

从上表看到，检验数行对应的对偶问题的解是可行解。因b 列数字为负，故需进行迭代运算。

换出变量的确定：按上述对偶单纯形法计算步骤（2），计算 Min （-3，-4）=-4 故5x 为换出变量。

换入变量的确定：按上述对偶单纯形法计算步骤（3），计算 θ=min {-2/-2，-，-4/-3}=1

故1x 为换入变量。换入，换出变量的所在列，行的交叉处“-2”为主元素。按单纯形法计算步骤进行迭代，得到下表2-7。

由表2-7看出，对偶问题仍是可行解，而b 列中仍有负分量。故重复上

化为标准形

述迭代步骤，得到表2-8. 表2-7

C

j

→

-2

-3 -4 0 0

C B X B

b 1x

2x

3x

4x

5x

0 -2

4x

1x

-1 2

0 1 【-5/2】

-1/2 1/2 3/2 1 0 -1/2 -1/2 j j z c -

-4

-1

-1

表2-8

C

j

→

-2

-3 -4 0 0

C B X B

b 1x

2x

3x

4x

5x

-3 -2

2x

1x

5/2 11/5

0 1 1 0 -1/5 7/5 -2/5 -1/5 1/5 -2/5 j j z c -

-3/5

-8/5

-1/5

表2-8中，b 列数字全为非负，检验数全为非正，故问题的最优解为 *X =（11/5,2/5,0,0,0）

若对应两个约束条件的对偶变量分别为1y 和2y ，则对偶问题的最优解为

*Y =（,1*y *

2y ）=（8/5,1/5）

四.总结:

1. 对偶单纯形法的优点：

(1)初始解可以是非可行解，当检验数都为负数时，就可以进行基的变换，这时不需要加入人工变量，因此可以简化计算。

(2)当变量多于约束条件，对这样的线性规划问题，用对偶单纯形法计算可以减少计算工作量，因此对变量较少，而约束条件很多的线性规划问题，可先将它变换成对偶问题，然后用对偶单纯形法求解。

(3)在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中，有时需要用对偶单纯形法，这

样可以使问题的处理简化。

2.对偶单纯形法的局限性：

对大多数线性规划问题，很难找到一个初始可行基，因而这种方法在求解线性规划问题时很少单独应用。