离散数学分章练习题

西南大学课程考核

),

=

)，

——————————————

密————————————

封————————————

线——————————————

4. 设N+是非零自然数集，f：N+ ×N+ →N+，y x

y

x

f=

)

,

(, ∈

y

x,N+, 则f( )

(A) 仅是单射(B) 仅是满射

(C) 是双射(D) 不是函数.

5 设集合A中有4个元素，则A上的划分共有( )个.

(A)13 (B)14 (C)15 (D)16

6. 设集合A中有99个元素，则A的子集有( )个.

(A)299. (B)99. (C) 2100. (D)100.

7. 函数的复合运算“ ”满足( )

(A)交换律. (B)结合律. (C)幂等律. (D)消去律.

8.幂集P(P(P(?))) 为( )

(A){{?}, {?, {?}}}. (B){?, {?, {?}}, {?}}.

(C){ ?, {?, {?}}, {{?}}, {?}} (D){ ?, {?, {?}}}.

三、判断

1.若一个元素a既存在左逆元l a，又存在右逆元r a，则r

l

a

a=. ( )

2.函数的复合运算“ ”满足结合律. ( )

3. 设|A| = 4，|B| = 2，则A到B的满射有30个. ( )

4. 设B

A

f→

:, C

B

g→

:, 若复合函数f g是满射, 则f必是满射. ( )

5.在自然数集N上定义运算“*”如下: x*y = x – 2y, x, y∈N, 则“*”满足结合律. ( )

6. {?}是空集. ( )

7. 设A，B，C是集合，若C

A

B

A⊕

=

⊕, 则B = C. ( )

8. P({?}) = {?} . ( )

四、综合

1、(15分)设N为实数集合，定义N 到N为的函数f和g如下：∈

?x N，1

)

(+

=x

x

f，}1

,0

max{

)

(-

=x

x

g. 证明：

——————————————

密————————————

封————————————

线——————————————

(1) f是单射而不是满射，g是满射而不是单射.

(2) I

g

f=

N但I

f

g≠

N.

2、 (10分)设A和B是集合，使B

B

A=

-成立的充要条件是什么，并给出理由.

3、(10分)已知A ={{?}, {?, 1}}, B = {{?, 1}, {1}}, 计算A∪B, A○+B，A的幂集P(A).

解

4、(15分)设)

,

(≤

A是偏序集，定义函数)

(

:A

P

A

f→如下：

对于任意A

a∈，}

,

|

{

)

(a

x

A

x

x

a

f≤

∈

=.

证明f是单射，且当b

a≤时有)

(

)

(b

f

a

f?.

5、(15分)设C

B

g

B

A

f→

→:

,

:, 若g

f 是满射，证明g是满射，并举例说明f不一定是满射.

6、(10分)设B

A

f→

:且C

B

g→

:，若g

f 是单射，证明f是单射，并举例说明g不一定是单射.

——————————————

密————————————

封————————————

线——————————————

第二章

一、填空题(每小题3分，共15分)

1.设集合A中有3个元素，则A上的二元关系有( )个，其中有( )个是A到A 的函数.

2.（C2）设集合A中有3个元素，则A上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A的函数.

3. 设|X| = n, P(X)为集合X的幂集, 则| P(X)| = ________. 在代数结构(P(X), ∪)中，则P(X) 对∪运算的单位元是________, 零元是________ .

4. 设N是自然数集合, f和g是N到N的函数, 且f(n) = 2n+1，g(n) = n2, 那么复合函数

(f f) (n)=________ , (f g) (n)=________ , (g f) (n) =________.

5. 设A ={l, 2, 3, 4}, A上的二元关系R ={(1, 2), (3, 4), (4, 3)}, S = {(l, 3), (3, 4), (4, 1)}, 则

S

R?=________, 1)

(-

?S

R=________, S

R =________.

6. 集合A上的等价关系R必满足( 、、).

7. 设|A| = 3, 则在A上可定义( )个不同的反对称关系.

二、选择

1.设R是集合A上的偏序关系，1-R是R的逆关系，则1-

?R

R是A上的

(A)偏序关系(B)等价关系(C)相容关系(D)以上结论都不成立

2.设R是集合A上的偏序关系，则1-

?R

R是( ).

(A)偏序关系(B)等价关系(C)相容关系(D)以上答案都不对

3．集合A = {1, 2, 3, 4}上的关系R= {(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 3)}, 则下列不是

．．t(R)中元素的是( )

(A) (1, 1) (B) (1, 2)

(C) (1, 3) (D) (1, 4).

4．若R和S是集合A上的两个关系，则下述结论正确的是( )

(A) 若R和S是自反的, 则R∩S是自反的

——————————————

密————————————

封————————————

线——————————————

(B) 若R和S是对称的, 则R S是对称的

(C) 若R和S是反对称的, 则R S是反对称的

(D) 若R和S是传递的, 则R∪S是传递的.

5．集合A = {1, 2, …, 10}上的关系R ={(x, y)|x + y = 10, x, y ∈A}, 则R的性质是( )

(A) 自反的(B) 对称的

(C) 传递的、对称的(D) 反自反的、传递的.

2. 设集合A中有4个元素，则A上的等价关系共有( )个.

(A)13 (B)14 (C)15 (D)16

6.设R是集合A上的偏序关系，1-R是R的逆关系，则1-

?R

R是A上的

(A)偏序关系(B)等价关系(C)相容关系(D)以上结论都不成立

三、判断

1. 设R和S是集合A上的等价关系，则S

R 是A上的等价关系. ( )

2. 关系矩阵

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1

1

1

1

1

1

对应的关系具有自反性. ( )

四、综合

1、 (10分) 设R和S是集合A上的对称关系，证明S

R 对称的充要条件是R

S

S

R

=.

2、(15分)设}

,

,

,

{d

c

b

a

A=,A上的关系

)}

,

(),

,

(),

,

(),

,

(),

,

(),

,

(),

,

(),

,

(),

,

{(c

d

b

d

a

d

c

c

b

c

a

c

c

a

b

a

a

a

R=, 1〉.画出R的关系图R

G.

2〉.判断R所具有的性质.

3〉.求出R的关系矩阵R

M.

3、(10分) 在整数集合Z上定义关系R如下：对于任意∈

y

x,Z，

y

y

x

x

R

y

x+

=

+

?

∈2

2

)

,

(.

判断R是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性及传递性.

——————————————

密————————————

封————————————

线——————————————4、(10分) 设A ={a, b, c, d}，R={(a, b), (a, d), (b, c), (c, a), (d, a)}，求用关系图计算R的传递闭包t(R).

5、(10分)设R是集合A上自反和传递的关系，试证明：R R=R.

6、(10分)设A ={2, 3, 6, 12, 24, 36}, 请画出A上整除关系“|”的哈斯图，并给出子集{6, 12, 24, 36}的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界.

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密————————————

封————————————

线——————————————

第三章

一、填空.用联结词?，∧表示联结词∨, →和联结词?：B

A∨= ________, B

A→=________, B

A?=________.

二、选择

1. 下列( )组命题公式是等值的.

(A)B

A

B

A∨

?

∧

?,. (B))

(

),

(B

A

A

A

B

A?

→

→

?

→

→.

(C))

(

),

(B

A

B

B

A

B∨

∧

?

∨

→. (D) B

B

A

A),

(∧

∨

?.

2.由2个命题变元p和q组成的不等值的命题公式的个数有

(A)2 (B)4 (C)8 (D)16

3.下列( )组命题公式是不等值的.

(A))

(B

A→

?与B

A?

∧. (B) )

(B

A?

?与)

(

)

(B

A

B

A∧

?

∨

?

∧.

(C))

(C

B

A∨

→与C

B

A→

?

∧)

(. (D))

(C

B

A∨

→与)

(C

B

A∨

∧

?.

4.下列联结词中，不满足交换律的是( ).

(A)∧. (B)∨. (C)⊕. (D) →.

三、判断

1. {→

?,}是最小功能完备联结词集合. ( )

2. 任意最小联结词集至少有2个联结词. ( )

3. 若?(p∧q)→r为真, 则(p, q, r) = (0, 0,1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1,1). ( )

4. 设A, B, C是命题公式，则)

(C

A

C

B

A→

→

?

∨

∨也是命题公式. ( )

5. 逻辑联结词“→”满足结合律. ( )

6. 设x和y是实数集中的变量, 则x + y > 0是命题函数. ( )

四、综合

——————————————

密————————————

封————————————

线——————————————1、(10分)利用真值表求命题公式))

(

(

))

(

(p

q

r

r

q

p

A→

→

?

→

→

=的主析取范式和主合取范式.

2、((10分)利用真值表求命题公式

)

(

))

(q

p

q

p

A?

→

?

→

?

=

的主析取范式和主合取范式.

3、(15分)设p, q, r为命题变元，分别用等值演算法和真值表法计算(p→q)→r的主合取范式.

4、 (15分)分别利用(1)等值演算法和(2)真值表求命题公式

))

(

(

))

(

(r

q

p

p

q

r

A∨

→

→

→

∨

?

=

的主析取范式和主合取范式.

5、(15分)构造下面推理的证明：如果小张和小王去看电影, 则小李也去看电影. 小赵不去看电影或小张去看电影. 小王去看电影. 所以, 当小赵去看电影时, 小李也去.

6、(10分) (1)列出与非联结词“↑”的运算表.

(2)仅使用与非联结词“↑”分别表示∨

∧

?,

,.

——————————————

密————————————

封————————————

线——————————————

第四章

一、填空

1.令G(x): x是金子，F(x): x是闪光的，则命题“金子都是闪光的，但闪光的未必是金子”符号化为( ).

2. 令Z(x): x是整数，O(x): x是奇数，则“不是所有整数都是奇数”符号化为( ).

3. 令C(x): x是计算机，D(x, y): x能做y，I(x): x是智能工作，则命题“并非所有智能工作都能由计算机来做”符号化为( ).

4.谓词公式))

(

)

(

(

))

(

)

(

(y

P

y

Q

y

x

Q

x

P

x?

∧

?

∧

→

?中量词x

?的辖域为( ), 量词y?的辖域为( ).

5. 在公式)

,

(

)

(

)

,

(

)

,

(

)

)(

(y

x

P

x

z

x

Q

y

x

P

y

x?

→

∨

?

?中x

?的辖域为P(x, y). ( )

二、选择

1．在公式(x

?)F(x, y)→(?y)G(x，y)中变元x是( )

(A) 自由变元(B) 约束变元

(C) 既是自由变元，又是约束变元(D) 既不是自由变元，又不是约束变元.

2．设p：我们划船，q：我们跑步, 则有命题“我们不能既划船又跑步”符号化为( )

(A) ?p∧?q(B) ?p∨?q

(C) ? (p? q) (D) ? (?p∨?q).

3.谓词公式)

(

))

(

)

(

(x

R

y

yQ

x

P

x→

?

∨

?中，x

?的辖域为( ).

(A)))

(

)

(

(y

yQ

x

P

x?

∨

?. (B))

(x

P. (C))

(

)

(y

yQ

x

P?

∨. (D))

(x

P和)

(x

R.

三、综合

1、(10分)求)))

,

(

)

,

(

(

)

,

,

(

(v

y

vQ

u

x

uQ

z

y

x

zP

y

x?

→

?

∧

?

?

?的前束范式.

2、(10分)符号化下面命题，并构造推理证明：人是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底

——————————————

密————————————

封————————————

线——————————————是要死的.

3、(10分)举例说明))

(

)

(

(

)

(

)

(x

B

x

A

x

x

xB

x

xA∧

?

?

?

∧

?不成立.

4、(10分)符号化下面命题，并构造推理证明：人是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的.

——————————————

密————————————

封————————————

线——————————————

第五章

一、填空

1.6阶非Abel群的2阶子群共有( )个，3阶子群共有( )个，4阶子群共有( )个.

2. 设集合A关于*满足( 、)，则(A, *)构成独异点.

3. 任意6阶群的平凡子群一定是( )群.

4.6阶非Abel群的2阶子群共有( )个，3阶子群共有( )个，4阶子群共有( )个.

二、选择

1. 设A是奇数集合，×为乘法运算，则(A，×)是( )

(A) 半群(B) 群

(C) 循环群(D) 交换群.

2. 非零实数集合R– {0}关于数的乘法运算“?”构成一个群，令f: R– {0}→ R– {0},定义如下

x

x

f

1

)

(=，则Ker f = ( ).

(A)0. (B) R– {0}.

(C)1. (D) {1}.

3.下列代数结构(G, *)中，( )是群.

(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q, “*”是数的乘法.

(C)G = Z, “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法.

4. 设A是奇数集合，×为乘法运算，则(A，×)是( )

(A) 半群(B) 群

(C) 循环群(D) 交换群.

三、判断

1.任意有限域的元素个数为2n. ( )

2.若H，K均为G的子群，则H?K也是G的子群. ( )

3. 4阶循环群必存在4阶元素. ( )

4. 任意有限群都与某置换群同构. ( )

——————————————

密————————————

封————————————

线——————————————

四、综合

1、 (10分)设),

(?

G是群，若函数1

)

(

,

:-

=

→x

x

f

G

G

f是G的自同态，则G是Abel群.

2、(10分)设),

(?

G是群，G

K

H≤

,，若G

K

H=

?，则G

H=或G

K=.

3、(10分)证明：任意有限群G中，阶大于2的元素个数必是偶数.

——————————————

密————————————

封————————————

线——————————————

第六章

一、填空

1.设}

24

,

12

,8,6,4,3,2,1{

=

L，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元.

2. 有限域的元素个数为( ), 其中( )且( ).

3. 设),

,

(?+

R是整环, 则)

,

(+

R是________, ),

(?

R是运算可交换的含幺________且_____零因子.

4. 设)

,

(≤

L是分配格，对于任意L

z

y

x∈

,

,，若z

x

y

x+

=

+且z

x

y

x?

=

?，则( ).

5.设}

24

,

12

,8,6,4,3,2,1{

=

L，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元.

二、选择

1.图1的Hasse图所示的格中，( )没有补元

.

(A) a. (B) c. (C) e. (D) f.

2.设R是实数集合，≤是其上的小于等于关系，则(R, ≤)是

(A)有界格(B)分配格(C)有补格(D)布尔格

3．下列所示的哈斯图所对应的偏序集中能构成格的是( )

密————————————

封————————————

线——————————————

4．在代数系统中，整环和域的关系是( )

(A) 整环一定是域(B) 域不一定是整环

(C) 域一定是整环(D) 域一定不是整环.

5.设}

,

,

{c

b

a

X=，则下列集合中，( )不是)

),

(

(?

X

P的子布尔代数.

(A){?, X}. (B) {{b}, {a, c}, X}. (C){ ?, {a}, {b, c}, X}. (D){ ?, {c}, {a, b}, X}.

6.设)

,

(≤

L是至少3个元素的一条链，则)

,

(≤

L( ).

(A)不是格. (B)是有补格. (C)是分配格. (D)是布尔格.

7.下列集合( )关于给定的运算构成整环.

(A)∈

+b

a

b

a,

|

2

{3Z}关于数的加法和乘法.

(B)∈

+b

a

b

a,

|

2

{Z}关于数的加法和乘法.

(C)∈

??

?

?

?

?

b

a

a

b

b

a

,

|

{Z}关于矩阵的加法和乘法.

(D) n{阶实矩阵}关于矩阵的加法和乘法.

8. 下列偏序集，( )是格.

密————————————

封————————————

线——————————————

9.设p是素数且n是正整数，则任意有限域的元素个数为

(A)n

p+(B)pn(C)n p(D)p n

10.设Z+为正整数集合，E为正偶数集合，则格(Z+, |)与格(E, |)的关系为( )，其中“|”为整除关系.

(A)同构. (B)自同构. (C)不同态. (D)不同构.

三、判断

1. 在同构意义下，有限布尔代数只有,

,

,

),

(

(?

?

X

P?, X). ( )

2.任意有限域的元素个数为2n. ( )

3. 在任意格),

,

(?+

L中，有)

(

)

(c

b

a

c

b

a?

+

≤

?

+. ( )

4. 任意两个具有2n)1

(≥

n个元素的有限布尔代数都是同构的. ( )

5. 设是格, 其中L ={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}, ≤为整除关系, 则3的补元是8. ( )

6.整环不一定是域. ( )

7. 任意链均为分配格.

四、综合：(10分)设)

,

(≤

L是格，对于任意L

z

y

x∈

,

,有)

(

)

(

)

(z

x

y

x

z

y

x+

?

+

≤

?

+.

——————————————

密————————————

封————————————

线——————————————

第七章

一、填空、

1.设有向图G = (V, E)，V = {v1，v2，v3，v4}，若G的邻接矩阵A=

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1

1

1

1

1

1

1

1

1

, 则v1的出度deg+(v1) =________, v1的入度deg-(v1) =________, 从v2到v4长度为2的路有________条.

2.当n( )时，n阶完全无向图n K是平面图，当当n为( )时，n K是欧拉图.

二、选择

1. 一棵树有3个5度点、1个4度点、3个2度点，其它的都是1度，那么它的边数是（）

(A) 17 (B) 18

(C) 19 (D) 20.

2.若简单无向图G与其补图G同构，则称G为自补图. 5阶不同构的自补图有( )个.

(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.

3.3阶完全无向图

3

K的不同构的生成子图有

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

4.4阶完全无向图

4

K中含3条边的不同构的生成子图有

(A)3 (B)4 (C)5 (D)2

5．设G为有n阶简单图, 则有( )

(A) Δ(G)＜n(B) Δ(G)≤n

(C) Δ(G)＞n(D) Δ(G)≥n.

10.任何无向图中，节点之间的可达关系是( )关系.

(A)等价. (B)相容. (C)偏序. (D)拟序.

6. 不同构的(5, 3)简单图有( )个.

(A)4 (B)5 (C)3 (D)2

——————————————

密————————————

封————————————

线——————————————

7.4阶完全无向图

4

K中含3条边的不同构的生成子图有

(A)3 (B)4 (C)5 (D)2

三、判断

1. .设G是n(n为奇数)简单图，则G与G中度数为奇数的节点个数相同. ( )

2. 设G是简单无向图，则G或G必连通. ( )

3. 设G是简单图，则G与G中度数为奇数的节点个数相同. ( )

四、综合

1、(10分)证明：一个图是强连通的，当且仅当图中有一个回路，它至少包含每个结点一次.

2、(10分)下图给出了一个有向图.

(1) 求出它的邻接矩阵A和可达矩阵P.

(2) 求出A2，A3，A4.

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密————————————

封————————————

线——————————————

第八章

一、填空

1. 对于n阶完全无向图K n, 当n为( )时是Euler图，当n ( )时是Hamilton 图，当n ( )时是平面图.

2. 当________时, 完全图K n是非平面图. 对于二部图K m, n, 当________时, K m, n是平面图，当________时，K m, n是非平面图.

3. 在下图中，_______________________________是其Euler轨迹(或Euler路

).

4.当n( )时，n阶完全无向图n K是平面图，当当n为( )时，n K是欧拉图.

5. 完全二部图K m,n为哈密尔顿图，当且仅当( ).

6. 当________时, 完全图K n是非平面图. 对于二部图K m, n, 当________时, K m, n是平面图，当________时，K m, n是非平面图.

7. 设G是(7, 15)简单平面图，则G一定( )连通图，其每个面恰由( )条边围成，G的面数为( ).

8. ( )无向图称为无向树.

二、选择

1. 下面既是汉密尔顿图又是欧拉图的图是( )

——————————————

密————————————

封————————————

线——————————————

2．具有4个结点的非同构的无向树的数目是( )

(A) 2 (B) 3

(C) 4 (D) 5.

三、判断

1.任何)

,

(m

n平面图的面数2

+

-

=n

m

r. ( )

2. Hamilton图是连通图.( )

3. 若G为平面图，则存在节点v, deg(v) ≤ 5. ( )

四、综合

1、(10分)设G是(n, m)无向图，若n

m≥，证明G中必存在圈.

2、(10分)设)

,

(E

V

G=是连通赋权图，其各边上的权均不相同，}

,

{

2

1

V

V是V的划分，则

1

V

与

2

V间的权最小的边必在G的最小生成树上.

3、(10分)证明：在至少两个人的人群中，必有两个人有相同个数的朋友.

4、(10分)将6阶完全无向图K6的边随意地涂上红色或蓝色，证明：无论如何涂法，总存在红色的K3或蓝色的K3.

5、(10分)(1)给出(n, m)连通平面图的面数r计算公式.

(2)若(n, m)连通平面图的每个面至少由5条边围成，给出n和m所满足的关系式.

(3)证明：Petersen图不是平面图.

6、(10分)今有n个人, 已知他们中任何2人的朋友合起来一定包含其余n -2人. 试证明：

——————————————

密————————————

封————————————

线——————————————

(1) 当n≥3时，这n个人能排成一列，使得中间任何人是其两旁的人的朋友，而两头的人是其左边(或右边)的人的朋友.

(2) 当n≥4时，这n个人能排成一圆圈，使得每个人是其两旁的人的朋友.

7、(10分)设G是(n, m)无向图，若n

m≥，证明G中必存在圈.

8、(10分)设)

,

(E

V

G=是连通赋权图，其各边上的权均不相同，}

,

{

2

1

V

V是V的划分，则

1

V

与

2

V间的权最小的边必在G的最小生成树上.

9、(10分)证明: 对于任意)2

(≥

n

n个人的组里，必有两个人有相同个数的朋友..

10、(10分)用有序树表示代数式)

11

/3

(

))

/4

3(

)

2

((+

-

+

-

-x

b

a.