随机信号与系统课第二章习题部分答案

第二章习题

2-1 激光是一种时间相干光束，也即对于任意的两个时刻t1和t2，当t2-t1不是很大时，激光器的发射光场U(t1)和U(t2)是统计相关的。令X=U(t1)，Y=U(t2)，t2-t1>0；且假设随机变量X和Y联合高斯的，即

22

2

2

(,)],(0,1)

2(1)

x y xy

p x y

ρ

ρ

ρ

+-

=-≠

-

试求随机变量X和Y的边缘密度函数。如果在时刻t1测得激光的照度X=x，那么在此条件下，随机变量Y的密度函数是否服从零均值高斯分布？

解：随机变量X和Y是联合高斯的，则其边缘概率密度函数都是一元高斯密度函数，且若N x×1和N y×1维实随机向量X和Y的二元联合高斯密度函数的表达形式为

()/21/2

T T1

1

(,)

(2π)(det)

1

exp{()()}

2

x y

N N

x

x y

y

p

+

-

=

-

??

??

?---??

??-

??

x y

C

xμ

xμyμC

yμ

其中，μx和μy分别是随机向量X和Y的期望值；C是X和Y的联合协方差函数，即

x xy

yx y

??

=??

??

C C

C

C C

则随机向量X和Y的边缘概率密度函数为

T1

/21/2

T1

/21/2

11

()exp[()()]

(2π)(det)2

11

()exp[()()]

2

(2π)(det)

x

y

x

N

x

y y y

N

y

p

p

-

-

?

=---

?

?

?

?=---

??

x x

x xμC xμ

C

y yμC yμ

C

题中X和Y

是一维变量，

22

2

2

(,)],(0,1)

2(1)

x y xy

p x y

ρ

ρ

ρ

+-

=-≠

-

，所以N x=N y=1，μx=μy=0，

1

1

ρ

ρ

??

=??

??

C，则可得随机变量X和Y的边缘密度函数为

2

2

1

())

2

1

())

2

p x x

p y y

?

=-

??

?

?=-

??

.

若随机向量x和y分别是N x×1和N y×1维实高斯向量，并且是联合高斯的，则在给定x 的条件下，随机向量y的条件密度函数p(y|x)是高斯的，即

T 1

|||/21/2

|11(|)exp[()()]2(2π)|det |

y y x y x y x N y x p -=

---y x y μC y μC 因为N x =N y =1，1|()y x y yx x x x ρ-=+-=μμC C x μ，12

|1y x y yx x xy ρ-=-=-C C C C C ，所以

在给定X=x 的条件下，随机变量Y 的密度函数为

2

2()(|)]2(1)y x p y x ρρ-=-- 可见在给定X=x

的条件下，~(Y N x ρ，其均值为ρx ，不再服从零均值高斯分布.

2-2 假设独立随机变量X i （i=1，2，…）在区间（0，T ）上服从均匀分布，试求 （1）随机变量X i 的均值和方差；

（2）随机变量X=X 1+X 2的概率密度、均值和方差；

（3）随机变量Y=X 1+X 2+X 3的的概率密度、均值和方差。

请画出相应的密度分布曲线，并根据这些分布曲线说明中心极限定理的普适性。

解：（1）因为独立随机变量X i 在区间（0，T ）上服从均匀分布，所以随机变量X i 的均

值为022i T T EX +==，方差为22

(0)1212

i T T DX -==. （2）随机变量X i 在区间（0，T ）上服从均匀分布，所以其概率密度为

1

,0()0, i i x T

p x T

?≤≤?=???其他

∵ X=X 1+X 2且X 1与X 2独立，

∴1212112212121212120000()()()(,)d d ()()d d X x x x x x x x T x T x T

x T

P x P X x P X X x p x x x x p x p x x x +≤+≤≤≤≤≤≤≤≤≤=≤=+≤=

=

??

??

∴ 0x T ≤≤时，2

212200111()d d 2x

x x X P x x x x T T T -=

?=??； 2T x T <≤时，1221201112

()d d 12x T T X T x P x x x x x T T T T

--=?=-+-??.

∴ 2'

21

,012,2()()0, X x x T T x T x T p x P x T

T ?≤≤??

?-+<≤==???

??

其他，即为随机变量X=X 1+X 2的概率密度。

∵ 2i T EX =，2

12

i T DX =，各变量X i 之间相互独立，

∴ 1212(),EX E X X EX EX T =+=+= 2

1212().6

T DX D X X DX DX =+=+= （3）∵ Y=X 1+X 2+X 3=X+X 3，各变量X i 独立，∴ 3()()()Y P y P Y y P X X y =≤=+≤

33333333020200(,)d d ()()d d .x x y x x y x T x T x T

x T p x x x x p x p x x x +≤+≤≤≤≤≤≤≤≤≤=

=

??

??

x 与x 3的概率密度p (x )与p (x 3)均已知，

故0y T ≤≤时，332300

111

()d d 6y

y x

Y P y x x x y T T T

-=?=??

； 2T y T <≤时，

3332220

0002332233232321111112

()d d d d ()d d 1111121132

22636231331

3222

y T T

T y x y y x Y y T T P y x x x x x x x x x T T T T T T T y y y y y y y T T T T T T T y y y T T T ----=?+?+-+=-+-+--+-+

=-+-+?

?????

； 23T y T <≤时，

23332220000232232323211112112

()d d ()d d ()d d 113113

422621391

46222T

T

y T T T y x Y T y T P y x x x x x x x x x

T T T T T T T T y y y y y

T T T T T T y y y T T T T

---=?+-++-+=-+-+-+=-++??????-

；∴ 2

32'

32

31,02133(),2()()241(3),2320, Y

y y T T y T T y T p y P y T T y T T y T T ?≤≤??

?--+<≤?==??-<≤????其他

，即为随机变量Y=X 1+X 2+X 3的概率密度。

（1）~（3）相应的密度分布曲线分别如下图所示：

（1） （2）

（3）

可见这些独立同分布的随机变量的个数越多，他们的和就越接近正态分布，中心极限定理的普适性越高。

2-3 设独立的随机变量X i （i=1，2，…）具有标准的柯西（Cauchy ）密度分布：

2()1/[π(1)]i p x x =+

相应的特征函数为

()exp(||)i Φωω=-

（1）试证明和式

1

1n

i i S X n ==∑

仍然服从标准柯西分布而非高斯分布。

（2）为什么中心极限定理在此不成立？请说明理由。

解：（1）设1i i Y X n =，则11

1n

n

i i i i S X Y n ====∑∑.

1

()()()|d /d |

i i i p y p x np ny y x =

=，

11()()exp()d ()exp()d()Y i i p y j y y np x j x x n n

Φωωω

∞∞

-∞-∞

==?

? = ()exp()d ()i X p x j

x x n n

ω

ω

Φ∞-∞

=?

∴ ()[()][()].n

n

S Y X n

ω

ΦωΦωΦ==

∴ ||||

lim ()lim[()]lim()lim exp(||)(),n n

n

n n

S X X n n n n e

e

n

ω

ωω

ΦωΦωΦω--

→∞

→∞

→∞

→∞

====-=

∴ 和式1

1n

i i S X n ==∑仍然服从标准柯西分布而非高斯分布。

（2）中心极限定理成立的条件是各独立同概率分布的随机变量X k 的数学期望值μx 和方差σx 2都是有限值。而对于具有标准柯西密度分布2()1/[π(1)]i p x x =+的随机变量X i ，其数学期望为

2

1210

1

1

11

111()d d d d ln 12122u x t u t i i t x

EX xp x x x u t t x u t ππ

π

π

==+∞

∞

∞∞

=∞

=-∞-∞===

===∞++???

?

可见此题中的变量不满足期望为有限值的条件，所以中心极限定理在此不成立。

2-4 已知平稳过程样本x (t )～N (0，σx 2)，试求y (t )=x 2(t )的方差σy 2。

2-5 已知两个平稳过程样本x 1(t )～N (0，σ12)，x 2(t )～N (0，σ22)，试证明y (t )=x 1(t ) x 2(t )的协方差函数C y (τ)为

2222

12121,21,2()()()y C τσσσσρτρτ=?+???-

式中，ρ1,2(τ)表示x 1(t )和x 2(t )的互相关系数。

2-6 考虑限时限带的零均值实高斯样本x T (t )（0

/2/2/2/2

1()cos()d (0,1,,)1()sin()d T n n T T n n T a x t t t T n TB b x t t t T ωω--?=??=?

?

=-????

试证明x (t )的傅里叶系数a n 和b n 是不相关的。

2-5 试应用MATLAB/Simulink 软件工具，仿真图2-6所示的似然比检测系统，并解释仿真结果的物理意义。

2-7 如果图2-6所示系统的输入信号与噪声彼此不独立，或者M 个水听器输出噪声e i (t )

（i=1，2，…，M ）彼此不独立。试问能否应用似然比检测系统来准确无误地区分H 0和H 1的情况？请用图2-6的仿真结果加以说明。

2-8 请构造一限时限带的高斯过程x (t )，并应用正交变换方法，产生一组独立的高斯过程y 1(t )和y 2(t )。

2-9 考虑RC 积分器，它的频率特性为

()1/(1j )I RC ωω=+

（1）试证明RC 积分器的等效时间T eq =2RC ；

（2）说明RC 积分器的时间常数T 应取何值，才能获得与理想积分器（积分时间为T i ）完全一样的输出信噪比。

2-10 已知谐波信号：

()cos(2π),

0,1/c c c c s t A f t t T f T =≤≤=

观测样本为

)()()(t e t s t x +=

其中，e (t )是均值为0，方差为σ2的高斯白噪声。要求设计一个与s (t )相匹配的滤波器，并计算

（1）匹配滤波器的输出y (T c )； （2）y (T c )数学期望和方差。

2-11 已知发射机发出的信号s (t )分别为

1()cos(2π),0,1/c c c c s t A f t t T f T =≤≤= 2()sin(2π),

0,

1/c c c c s t A f t t T f T =≤≤=

假定接收机端的输入为x (t )= s (t )+ e (t )，其中e (t )～N (0，σe 2

)。要求在接收机端设计一个匹配滤波器接收信号s 1(t )。试证明

（1）匹配滤波器的输出为

21020

cos(2π)()d ,()()()

2

()cos(2π)()d ,()()()

c c

T c

c c T c A T A f t e t t x t s t e t y T A f t e t t x t s t e t ?+?=+??=?

??=+????

（2）匹配滤波器输出的数学期望为

212,()()()2[()]0,

()()()

c

c A T x t s t e t E y T x t s t e t ?=+?=??=+?

这意味着匹配滤波器可以用来识别两个互为正交的信号。