2009考研数学三真题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）函数3

()sin x x f x x

π-=的可去间断点的个数为

(A)1.

(B)2. (C)3.

(D)无穷多个.

（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2

()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则

(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，16b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，1

b =.

（3）使不等式1sin ln x t

dt x t

>?成立的x 的范围是

(A)(0,1).

(B)(1,

)2π

. (C)(,)2

π.

(D)(,)π+∞.

（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为

则函数()()0

F x f t dt =

?的图形为

(A)

(B)

(C)

(D)

（5）设,A B 均为2阶矩阵，*

,A B *

分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩

阵O A B O ?? ???的伴随矩阵为

(A)**32O B A O ?? ???.

(B)**

23O

B A O ??

???.

(C)**32O A B O ??

???

(D)**

23O A B

O ??

???

. （6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002T

P AP ?? ?= ? ???

，

若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T

Q AQ 为

(A)210110002??

? ? ???.

(B)110120002??

? ???.

(D)100020002?? ? ? ???

（7）设事件A 与事件B 互不相容，则

(A)()0P AB =.

(B)()()()P AB P A P B =. (C)()1()P A P B =-.

(D)()1P A B ?=.

（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为

1{0}{1}2

P Y P Y ====

，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z

的间断点个数为 (A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9

）cos 0x x →= .

（10）设()y x

z x e =+，则

(1,0)

x ?=? .

（11）幂级数2

(1)n n n

n e x n ∞

=--∑的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.

（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T

αβ相似于300000000??

? ? ???

，则k = .

(14)设1X ，2X ,…,n X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2

S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2

T X S =-，则ET = .

三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求二元函数()

22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. （16）（本题满分10 分）

计算不定积分ln(1dx +

(0)x >. （17）（本题满分10 分）计算二重积分

()D

x y dxdy -??

，其中22

{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. （18）（本题满分11 分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],

a b 上连续，在(),a b 上可导，则

(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.

（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,

,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +

→=，

则'

(0)f +存在，且'(0)f A +=.

（19）（本题满分10 分）

设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线

0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯

形面积值的t π倍，求该曲线的方程. （20）（本题满分11 分）

设111A=111042--?? ?- ? ?--??,1112ξ-??

= ? ?-??

（Ⅰ）求满足21A ξξ=，2

31A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ.

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. （21）（本题满分11 分）

设二次型222

1231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.

（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.

（Ⅱ）若二次型f 的规范形为22

11y y +，求a 的值.

（22）（本题满分11 分）

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0

x e y x

f x y -?<<=?

?其他

（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x ；（Ⅱ）求条件概率11P X Y =?≤≤???.

（23）（本题满分11分）

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. （Ⅰ）求10P X Z ?==???；

（Ⅱ）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题解析

（1）函数3

()sin x x f x x

π-=的可去间断点的个数为

(A)1. (B)2. (C)3.

(D)无穷多个.

【答案】C. 【解析】

()3

sin x x f x x

π-=

则当x 取任何整数时，()f x 均无意义

故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是3

0x x -=的解

1,2,30,1x =±

320032113211131lim lim sin cos 132

lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππ

ππππ

→→→→→-→---==--==

--== 故可去间断点为3个，即0,1±

（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2

()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则

(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，1

6b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，1

b =.

【答案】A.

【解析】2

()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则

222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax

g x x bx x bx bx bx

→→→→→---==-?---洛洛230sin lim 166x a ax a b b ax

→==-=-? 36a b ∴=- 故排除(B)、(C). 另外2

01cos lim

3x a ax

bx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除(D).

所以本题选(A).

（3）使不等式

sin ln x

dt x t

成立的x 的范围是 (A)(0,1).

(B)(1,

)2π

. (C)(,)2

π. (D)(,)π+∞.

【答案】A.

【解析】原问题可转化为求

111sin sin 1()ln x

x x t

t f x dt x dt dt t t t =-=-???11sin 11sin 0x x t t dt dt t t

--==>??成立时x 的

取值范围，由1sin 0t

->，()0,1t ∈时，知当()0,1x ∈时，()0f x >.故应选(A).

（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为

则函数()()0

F x f t dt =

?的图形为

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】D.

【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、

0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：

①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.

④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数

结合这些特点，可见正确选项为(D).

（5）设,A B 均为2阶矩阵，*

,A B *

分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩

阵O A B O ?? ???的伴随矩阵为

(A)**32O B A O ?? ???.

(B)**

23O B A O ??

???.

(C)**32O A B O ??

???

(D)**

23O A B

O ??

???

. 【答案】B.

【解析】根据CC C E *

=，若1

1,C C C C

C C

--*

分块矩阵O A B O ?? ???

的行列式

1236O A A B B O ?=-=?=（），即分块矩阵可逆 1

11661O B B

O A O A O A O B B O B O B O A

O A O A **

---*?? ???????

?=== ? ? ?

???????

123

6132

O B O B A

O A O ***

? ?

== ? ? ???

???

故答案为(B).

（6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002T

P AP ?? ?= ? ???

，

若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T

Q AQ 为

(A)210110002??

? ? ???.

(B)110120002??

? ???.

(D)100020002?? ? ? ???

【答案】A.

【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα??

??=+==??????

，即： 12121212122112(1)

[(1)][(1)](1)[](1)

100(1)01

0(1)0021101

001002100100101101100010

02001002T T T

T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===??

??=??????

????????

????????==???

?????????????????????

（7）设事件A 与事件B 互不相容，则

(A)()0P AB =.

(B)()()()P AB P A P B =. (C)()1()P A P B =-.

(D)()1P A B ?=.

【答案】D.

【解析】因为,A B 互不相容，所以()0P AB = (A)()()1()P AB P A

B P A B ==-，因为()P A B 不一定等于1，所以(A)不正确.

(B)当(),()P A P B 不为0时，(B)不成立，故排除. (C)只有当,A B 互为对立事件的时候才成立，故排除.

(D)()()1()1P A

B P AB P AB ==-=，故(D)正确.

（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为

1{0}{1}2

P Y P Y ====

，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z 的间断点个数为（） (A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.

【答案】 B.

【解析】()()(0)(0)(1)(1)Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y =≤=≤==+≤==

[(0)(1)]2

[(00)(1)]2

P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=+≤==?≤=+≤=

,X Y 独立

()[(0)()]2

Z F z P x z P x z ∴=?≤+≤

（1）若0z <，则1

()()2Z F z z =Φ

（2）当0z ≥，则1

()(1())2

Z F z z =+Φ

0z ∴

=为间断点，故选(B).

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）cos 0x x →=

【答案】

e . 【解析】cos cos 10x x x x -→→=02(1cos )lim 13

x e x x

→-=20212

lim 13x e x x →?=32e =. （10）设()y x

z x e =+，则(1,0)

x ?=? .

【答案】2ln21+. 【解析】由(

y z x e

=+，故()(),01x

z x x =+

()''ln(1)ln(1)1ln(1)1x x x x x dz x x e e x dx x ++??????=+==++??????+?

代入1x =得，()

ln 21,01ln 22ln 212z e x

?=+=+ ???

（11）幂级数2

(1)n n n

n e x n ∞

=--∑的收敛半径为 . 【答案】

. 【解析】由题意知，()

10n

n n e a n

--=> ()

()

()11

2212

2111()11111n n n n n n

n n n

n e e e

a n n e n a n e n e e +++++????--?? ???--????=?

=?→→∞??

+--+??--??

???????

所以，该幂级数的收敛半径为1e

（12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元. 【答案】8000.

【解析】所求即为()QP Q P Q ''=+ 因为0.2p Q P

ξ'=

=-，所以0.2Q P Q '=- 所以()0.20.8QP Q Q Q '=-+= 将10000Q =代入有()8000QP '=.

（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T

αβ相似于300000000?? ? ? ???

，则k = .

【答案】2.

【解析】T αβ相似于300000000??

????????

，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T

αβ的特征值为

3，0，0.而T αβ为矩阵T

αβ的对角元素之和，1300k ∴+=++，2k ∴=.

(14)设1X ，2X ,…,n X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2

S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2

T X S =-，则ET = . 【答案】2

【解析】由222

()(1)ET E X S E X ES np np p np =-=-=--=.

三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求二元函数()

22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.

【解析】2(,)2(2)0x f x y x y '=+=，2

(,)2ln 10y f x y x y y '=++=，故1

0,x y e

= =

. 221

2(2),2,4xx

yy xy

f y f x f xy y

''''''=+ =+ =. 则12(0,)1

2(2)xx

f e ''=+

，1(0,)0xy

f ''=，1

(0,)yy e

f e ''=.

0xx

f ''>而2()0xy xx yy f f f ''''''-< ∴二元函数存在极小值11(0,)f e e

=-.

（16）（本题满分10 分）

计算不定积分ln(1dx +

(0)x >.

t =得222

12,1(1)tdt

x dx t t -= =--

2221

ln(1ln(1)1ln(1)11111

dx t d t t dt t t t =+-+=---+???

而

22111112

()11411(1)111ln(1)ln(1)2441

dt dt

t t t t t t t C t =---+-++--++++??

所以

2ln(1)111

ln(1ln 1412(1)1ln(1.2t t dx C t t t x C ++=+-+--+=+-?

（17）（本题满分10 分）计算二重积分

()D

x y dxdy -??

，其中22

{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. 【解析】由22

(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，

32(sin cos )

()(cos sin )0

x y dxdy d r r rdr πθθθθθπ

+∴-=-???

332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ?+?=-?????? 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-?+?+?

3384(cos sin )(sin cos )34

d πθθθθθπ=-?+?

3444

38814(sin cos )(sin cos )(sin cos )334

d ππ

πθθθθθθπ=++=?+?83

=-.

（18）（本题满分11 分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],

a b 上连续，在(),a b 上可导，则

(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.

（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,

,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +

→=，

则'

(0)f +存在，且'(0)f A +=.

【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()

()()()()f b f a x f x f a x a b a

?-=--

--，易验证()x ?满足：

()()a b ??=；()x ?在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且

''()()

()()f b f a x f x b a

?-=-

根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'

()0?ξ=，即

'()f ξ'()()

0,()()()()f b f a f b f a f b a b a

ξ--

=∴-=--

（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足：在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈?，使得

()

0'00()(0)

x f x f f x ξ-=

-……()*

又由于()'

lim x f x A +

→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：

()()

000000'''0

000()00lim lim ()lim ()0

x x x x x f x f f f f A x ξξξ+

+++→→→-====- 故'

(0)f +存在，且'(0)f A +=.

（19）（本题满分10 分）

设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线

0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯

形面积值的t π倍，求该曲线的方程.

【解析】旋转体的体积为2

2()()11

x x t t V f dx f dx ππ==??

曲边梯形的面积为：()1x t

s f dx =

?，则由题可知

22()()()()1111

x x x x t t t t

V ts f dx t f dx f dx t f dx πππ=?=?=????

两边对t 求导可得2

()()()()()()11t x t t t x t t f f dx tf f tf f dx =

+?-=??

继续求导可得'

2()()()()()f t f t f t tf t f t --=，化简可得

1(2())()2()12dt f t t f t f t t dy y -=?+=，解之得1

t c y y -=?+

在

式中令1t =，则2

(1)(1)0,

()0,(1)1f f f t f -=>∴=，代入1

t cy

y -

得11,2)33c t y =∴=+.

所以该曲线方程为：230y x +=.

（20）（本题满分11 分）

设111A=11

1042--?? ?- ? ?--??,1112ξ-?? ?

= ? ?-??

. （Ⅰ）求满足21A ξξ=，2

31A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ.

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=

()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------??????

? ? ?

=-→→ ? ? ? ? ? ?---??????

()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =

故21101021k ξ???? ? ?

=-+ ? ? ? ?????

，其中1k 为任意常数

解方程2

31A ξξ=

2220220440A ?? ?=-- ? ???

()2

11110

22012,2201000044020000A ξ-?

? ?

-?? ? ?=--→

? ? ? ?-?? ?

故有两个自由变量，令231,0x x =-=，由2

0A x =得11x = 令230,1x x ==-，由2

0A x =得10x =

求得特解21200η??- ? ?

= ? ? ???

故 3231102100010k k ξ??

???? ? ? ?=-++ ? ? ? ? ? ?-???? ?

，其中23,k k 为任意常数

（Ⅱ）证明：由于

121

212121221111

12(21)()2()(21)22

221

k k k k k k k k k k k k k -+

--=+++-+-+-+102=≠

故123,,ξξξ 线性无关.

（21）（本题满分11 分）

设二次型222

1231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.

（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.

（Ⅱ）若二次型f 的规范形为22

11y y +，求a 的值.

【解析】（Ⅰ） 0

101111a A a a ?? ?

=- ? ?--??

0110||01

()

111

E A a

a a a λλλλλλλλ-----=

-=---+---+

222()[()(1)1][0()]

()[()(1)2]()[22]

(){[(12)]}

()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--

123,2,1a a a λλλ∴==-=+.

（Ⅱ）若规范形为22

12y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则

1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意 2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合

3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意综上所述，故2a =

（22）（本题满分11 分）

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0

x e y x

f x y -?<<=?

?其他

（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x （Ⅱ）求条件概率11P X Y =?≤≤??? 【解析】

（Ⅰ）由0(,)0

x y x

e f x y -<

()0x

x x x f x e dy xe x --=

= >?

故 |(,)1

(|)0()y x x f x y f y x y x f x x

= <<

即 |1

(|)0y x y x

f y x x ? 0<

（Ⅱ）[1,1]

[1|1][1]

P X Y P X Y P Y ≤≤≤≤=

≤

而1

[1,1](,)12x

x x y P X Y f x y dxdy dx e dy xe dx e ---≤≤≤≤=

===-????

()|

,0x x y

Y y

f y e dx e e y y

+∞

---+∞==-= >? 11101

[1]|110

y y P Y e dy e e e ----∴ ≤==-=-+=-?

11122

[1|1]11

e e P X Y e e ----∴ ≤≤==--.

（23）（本题满分11分）

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. ①求10P X Z ?==???.

②求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.

【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球

12113324

(10)9

C P X Z C C ?∴====?.

（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故

()()()()()()()()()1111332311116666111

2231111

6666112211661122116611

0,0,1,046111

2,0,0,13631

1,1,2,10

0,29

1,20,2,20

C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ??========

????========???=======??====

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考研数学(数学三)公认教材及参考书

考研数学（数学三）公认教材及参考书高等数学：同济五版线性代数：同济六版概率论与数理统计：浙大三版推荐资料： 1、李永乐考研数学3--数学复习全书+习题全解(经济类) 2、李永乐《经典400题》 3、《李永乐考研数学历年试题解析（数学三）真题》考研数学规划：课本＋复习指导书＋习题集＋模拟题＋真题＝KO 复习资料来说：李永乐的不错，注重基础；陈文灯的要难一些。经济类一般都用李永乐的（经济类数学重基础不重难度），基础好的话可以考虑下陈文灯的书。李永乐的线性代数很不错陈文灯的高等数学很不错 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）考试大纲考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构：（一）试卷满分为150分考试时间为180分钟. （二）内容结构：高等教学约56％线性代数约22% 概率论与数理统计约22％（三）题型结构：单项选择：8小题，每小题4分，共32分填空题：6小题，每小题4分，共24 解答题(包括证明题)：9小题，共94分全国硕士研究生入学统一考试英语考试大纲完形填空：10分（20道选择题每题0.5分）[可以抛弃的题型] 阅读：60分其中阅读A部分（阅读理解）：40分（20道选择题每题2分）（这个是重中之重）阅读B部分（新题型）：10分（5道题每题2分一共有四种题型）阅读C部分（翻译）：10分（5道题每题2分）作文：30分（除了阅读A之外最重要的部分）小作文（书信作文）：10分大作文（图画作文）：20分

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三考试大纲考点归纳（三）概率论与数理统计一随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验二随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布三多维随机变量的分布考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度，边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见的二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数分布四随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值)方差标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫不等式矩协方差相关系数及其性质五大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努力大数定律辛钦大数定律棣莫弗-拉普拉斯定理列维-林德伯格定理六数理统计的基本概念考试内容总体个体简单的随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩X2的分布t分布F分布分位数正态总体的常用抽样分布七参数估计考试内容点估计的概念估计量和估计值矩估计法最大似然估计法

2009考研数学三真题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）函数3 ()sin x x f x x π-=的可去间断点的个数为 (A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个. （2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2 ()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则 (A)1a =，16b =-. （B ）1a =，16b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，1 6 b =. （3）使不等式1sin ln x t dt x t >?成立的x 的范围是 (A)(0,1). (B)(1, )2π . (C)(,)2 π π. (D)(,)π+∞. （4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0 x F x f t dt = ?的图形为 (A) (B)

(C) (D) （5）设,A B 均为2阶矩阵，* ,A B * 分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩阵O A B O ?? ???的伴随矩阵为 (A)**32O B A O ?? ???. (B)** 23O B A O ?? ???. (C)**32O A B O ?? ??? . (D)** 23O A B O ?? ??? . （6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ?? ?= ? ??? ，若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T Q AQ 为 (A)210110002?? ? ? ???. (B)110120002?? ? ? ???. (C)200010002?? ? ? ??? . (D)100020002?? ? ? ??? . （7）设事件A 与事件B 互不相容，则 (A)()0P AB =. (B)()()()P AB P A P B =. (C)()1()P A P B =-. (D)()1P A B ?=. （8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为 1{0}{1}2 P Y P Y ==== ，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z

2009考研数学一真题及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8 小题,每小题4分,共32分. (1) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则 ( ) (A) 11,6a b ==- . (B) 1 1,6a b ==. (C) 11,6a b =-=-. (D) 1 1,6 a b =-=. (2) 如图,正方形(){} ,1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =,cos k k D I y xdxdy = ??, 则{}14 max k k I ≤≤= ( ) (A) 1I . (B) 2I . (C) 3I . (D) 4I . (3) 设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0 x F x f t dt = ?的图形为 ( ) (A) (B) -1 -1 1 1 x y 1D 2D 3D 4D

(C) (D) (4) 设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞ =,则 ( ) (A) 当 1n n b ∞ =∑收敛时, 1n n n a b ∞ =∑收敛. (B) 当 1n n b ∞ =∑发散时, 1n n n a b ∞ =∑发散. (C) 当 1 n n b ∞ =∑收敛时, 221 n n n a b ∞ =∑收敛. (D) 当 1 n n b ∞ =∑发散时, 22 1 n n n a b ∞ =∑发散. (5) 设123,,ααα是3维向量空间3 R 的一组基,则由基12311 , ,23 ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为 ( ) (A) 101220033?? ? ? ??? . (B) 120023103?? ? ? ??? . (C) 1 112461 112461112 4 6??- ? ? ? - ? ? ?- ??? . (D) 1112221 114441116 6 6??- ? ? ?- ? ? ?- ??? . (6) 设,A B 均为2阶矩阵,* * ,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3A B ==,则分块矩阵 O A B O ?? ??? 的伴随矩阵为 ( ) (A) **32O B A O ?? ???. (B) ** 23O B A O ?? ???. (C) **32O A B O ?? ???. (D) ** 23O A B O ?? ??? .

2009年考研数学试题答案与解析(数学一)

2009年考研数学试题答案与解析（数学一）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分. （1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则 (A)11,6a b ==-. (B)1 1,6a b ==. (C)11,6a b =-=-. (D)1 1,6 a b =-=. 【答案】 A. 【解析】2 ()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则 222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx →→→→→---==-?---洛洛230sin lim 166x a ax a b b ax a →==-=-? 36a b ∴=- 故排除(B)、(C). 另外2 01cos lim 3x a ax bx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除(D). 所以本题选（A ）. （2）如图，正方形 (){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos k k D I y xdxdy = ??，则{}14 max k k I ≤≤= (A)1I . (B)2I . (C)3I . (D)4I . 【答案】 A. 【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性. 24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==; 13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012 cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>?? ； {} 3(,),012 cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=

-历年考研数学三真题及答案解析

是k cx 等价无穷小，则(A) 1,4k c == (B) 1,4k c ==- (C) 3,4k c == (D) 3,4k c ==- (2) 已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =,则2330()2() lim x x f x f x x →-= (A) ' 2(0)f - (B) ' (0)f - (C) ' (0)f (D) 0 (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 (A) 若 1n n u ∞ =∑收敛，则 21 21 ()n n n u u ∞ -=+∑收敛 (B) 若 21 21()n n n u u ∞ -=+∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 (C) 若 1n n u ∞ =∑收敛，则 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛 (D) 若 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 (4) 设4 ln(sin )I x dx π=? ,40 ln(cot )J x dx π =?,40 ln(cos )K x dx π =? 则I ,J ,K 的大小关系是 (A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3 行得单位矩阵记为11001 10001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ? = ? ??? ，则A = (A)12P P (B)112P P - (C)21P P (D) 1 21P P - (6) 设A 为43?矩阵,1η, 2η , 3η 是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，1k ,2k 为任意常数，则Ax β=的通解为 (A) 23 121()2 k ηηηη++-

2009年考研数学三真题及解析

全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）函数3 ()sin x x f x x π-=的可去间断点的个数为 (A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个. （2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2 ()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则 (A)1a =，16b =-. （B ）1a =，16b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，1 6 b =. （3）使不等式1sin ln x t dt x t >?成立的x 的范围是 (A)(0,1). (B)(1, )2π . (C)(,)2 π π. (D)(,)π+∞. （4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0 x F x f t dt = ?的图形为 (A) (B)

-历年考研数学三真题及答案解析

是c+等价无穷小，则 (C) R = 3,c = 4 已知 f(x)在 X = O 处可导，且 /(0) = 0,则 Iim x ~f M ~ 2 / CV ) Λ→0 设｛冷｝是数列，则下列命题正确的是 OO X 若￡心收敛’则∑(∕G H -I +U 2π)收敛 /1-1 n-1 X OC 若￡(%如)收敛，则收敛 “■] /1-1 OO X 若X ?收敛，则X(∕Y 2^1 T6)收敛 ∕ι≡l π-! 若X("2-1 Tf 2』收敛‘则X ?收敛 π-l ∕ι≡l π JT π 设/ =JJIn(Sin x)dx , J = JJ In(COt x)dx, K = U In(COS x)dx 贝IJ 八 J , K 的大小关系是解，k lt k 2为任意常数.则Ax = β的通解为 (A) k = l,c = 4 (B) IC = ^C =-4 ⑷-2/(0) (B) -/'(O) (C) /(O) (D) 0 (C) (D) (A) I “3 是非齐次线性方程组AX = 0的3个线性无关的 (B) P^P I (A)砒 ,则4 =

(B)t h∑211 + k2{η2-η^ (C)T h；+ & (% - 帀)+ ￡(“2 - 7) (D)+ ?2(〃2 一〃1)+ 鸟3(〃3一帀) (7)设F i(x), F2(X)为两个分布函数，其相应的概率密度f l(x), /I(X)是连续函数, 则必为概率密度的是 (A)∕1U)Λ(x)(B) If2(X)FM (C) ∕1(X)F2(X)(D) f l(x)F2(x) + f2(x)F i(x) (8)设总体X服从参数2(Λ>0)的泊松分布，X P X l,..?X,1(∕z≥2)为来自总体的简 1" IilZil 单随即样本，贝IJ对应的统iiS7；=-yx(., T l =——Vx1-+-X,, 刃台^ H-I ?r IJ ' (A) ET i > ET2i DT l > DT2(B) ETl > ET^DT i < DT2 (C) ET x < ET2.DT x > DT1(D) ET x < ET1,DT x < DT1 二、填空题：旷14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. X (9)设/(x) = IimX(I+ 3r)7,则 / (X) = __ ? ∕→0 X (10)设函数2 = (1 +丄)匚则^I(II= _______ ? y (11)曲线tan(x + y + -)="在点(0,0)处的切线方程为_______ ? 4 (12)曲线y = 直线X = I及X轴所囤成的平面图形绕X轴旋转所成的旋转体的体积 _____ . (13)设二次型/(X P X2,X3)= XΓAΛ-的秩为1, A中行元素之和为3,则/在正交变换下X = Qy的标准型为 ____ ? (14)设二维随机变?(X,K)服从N(“,“;bSb?;。),则E(XY2)= _____________ . 三、解答题：15-23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2009年全国硕士研究生入学考试数学三真题完整版(可打印)

2009年全国硕士研究生入学考试数学三真题完整版一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）函数 3 () sin x x f x x π - =的可去间断点的个数为 (A)1.(B)2. (C)3.(D)无穷多个. （2）当0 x→时，()sin f x x ax =-与2 ()ln(1) g x x bx =-是等价无穷小，则 (A)1 a=， 1 6 b=-.（B）1 a=， 1 6 b=. (C)1 a=-， 1 6 b=-.（D）1 a=-， 1 6 b=. （3）使不等式 1 sin ln x t dt x t > ?成立的x的范围是 (A)(0,1).(B)(1,) 2 π . (C)(,) 2 π π.(D)(,) π+∞.（4）设函数() y f x =在区间[] 1,3 -上的图形为则函数()() x F x f t dt =?的图形为 (A)(B) O 23 1 -2 -1 1 O23 1 -2 -1 1 1 -2 O 23 -1 1

(C) (D) （5）设,A B 均为2阶矩阵，* ,A B * 分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩阵O A B O ?? ???的伴随矩阵为 (A)**32O B A O ?? ???. (B)** 23O B A O ?? ???. (C)**32O A B O ?? ??? . (D)** 23O A B O ?? ??? . （6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ?? ?= ? ??? ，若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T Q AQ 为 (A)210110002?? ? ? ???. (B)110120002?? ? ? ???. (C)200010002?? ? ? ??? . (D)100020002?? ? ? ??? . （7）设事件A 与事件B 互不相容，则 (A) ()0P AB =. (B)()()()P AB P A P B =. (C)()1()P A P B =-. (D)()1P A B ?=. （8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为 1{0}{1}2 P Y P Y ==== ，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z O 2 3 1 -1 1 O 2 3 1 -2 1