管理运筹学习题3解答

《管理运筹学》习题3及参考答案

1、某公司从三个产地A1，A2，A3将物品运往三个销地B1，B2，B3，产量平衡表和单位运价表如表1所示。问如何调运，使得总运输费用最小？

表1 产销平衡表和单位运价表

要求：（1）请建立该问题的线性规划模型，然后再化为标准问题。（2）用表上作业法求解：用最小元素法确定初始方案；用位势法验证初始方案是否最优？如果非最优，请用闭回路法调整，直至求出最优方案。

解：

（1）设第i个产地（i=1,2,3）到第j个销地（j=1,2,3）的该种商品的数量为x ij吨，则可以建立以下模型：

（2）因为总产量60（＝10+30+20）大于总需求量50（＝20+10+20），所以本问题不是标准运输问题。增加一个虚拟销地，它的单位运价c14＝c24＝c34，需求量为60-50=10。

（3）第一步：用最小元素法确定初始方案（方案不唯一，增补的零元素不能位于同行或同列）。

方法二：伏格尔法（最接近最优解）

是否为最优方案。

x33为进基变量。

3333

法二：用闭回路法求检验数

σ12=5-0+0-1=4；σ13=7-0+0-5=2；σ21=6-3+0-0=3；σ32=4-2+3-0+0-1=4（注：图中画出了非基变量x33的闭回路）；σ33=3-2+3-0+0-5=-1；σ34=0-2+3-0=1

因为min(σ33)＝σ33=-1<0，所以初始方案并非最优方案，需进一步调整，x33为进基变量。第三步：求θ值，调整方案。

过程如下：

以X33作为进基变量。调整量θ＝min(10,20,20)=10，按照上图所示进行调整，选择x14 作为出基变量。

方案调整后为方案二，如下：

ij

第四步：

决策结论：产地一向销地一调拨物资10吨，产地二分别向销地二、销地三调拨物资各10吨，产地二过剩生产的物资为10吨；产地三分别向销地一、销地三调拨物资10吨、10吨。最小总运费＝10×3+10×1+10×5+10×2+10×3=140（百元）。 2、求下列线性规划问题的对偶问题：

解：根据原模型很容易判断x 1是自由变量，而x 2≥0。 方法一：按对称形式变换

（1）原模型可变换为如下模型：

（2）按对称形式变换关系可写出它的对偶问题，模型如下：

(3)令112233445566778,,,,,,y k k y k y k y k y k y k y k =-======，将上一步得到的模型整理为：

方法二：根据原问题和对偶问题的对应关系直接变换 （1）将原模型作如下变换：

（2）根据上述问题和对偶问题的对应关系，直接写出其对偶问题，即：（实际上和方法一得到的结果是一样的）

()()123456723451

267123

12311min 16252105252337

325..322848 y 2,4,60;y 3,5,70

j j w y y y y y y y y y y y y y y y y y y s t y y y y y j j =-+--+++-++=??+++≥-??--+≥-??

--≥??-=?=≤=≥?? 3、有下列线性规划问题，Z 代表三种产品的利润总和（单位：千元）。 下表是单纯形法求解的最优表： 请回答下列问题：

（1）如果每吨产品C 的利润提高到6（千元），那么各产品最优产量计划是否改变？如果要改变，求出改进的最优产量安排？

（2）如果每吨产品A 的利润提高到4（千元），那么各产品最优产量计划是否改变？如果要改变，求出改进的最优产量安排？

（3）当劳动力约束由1变为2，总利润将增加多少？求出劳动力数量在什么范围内变动，上述表格的最优基不变？

（4）有一种新产品D ，它的单位利润是3千元／吨，生产一吨新产品D 需投入全部劳动工时及耗费一吨原材料。它是否值得生产？如果生产它，那么上述最优表对应的最优方案如何改进？

（5）比如现在需要考虑设备的生产能力限制，设台时消耗不能超过4个单位，而三种产品的单位台时消耗分别为1、2、1个单位，那上述最优表对应的产量最优方案需要改进吗？如果需要，求出改进的产量最优方案。

解：（1）x 3为非基变量，c 3由1变为6，∵()333162

3202B c c P σ-??

'''=-=-=> ???

∴各产品最优产量计划要改变。以x 3为进基变量，在最优表基础上继续迭代，直至求出新为自由变量；

j X *=(2,0,1,0,0)T

,max z=10 即：A 、B 、C 的产量调整为2吨、0吨、1吨，利润总和上升到10（千元）。 （2）x 1为基变量，若所有非基变量检验数

()()11111141(100)354330211j j B j c c B P c c c c σ---??'=-=-=--+-≤ ?-??

即3/4≤c 1≤3（千元/吨）时，原最优解不变。但c 1由2变为4，34

4[,3]?，所以最优产量

j X *=(3,0,0,0,2)T

,max z=12 即：A 、B 、C 的产量调整为3吨、0吨、0吨，利润总和上升到12（千元）。 （3）若11314

410,3113b B b b --????

=≥≤≤?

???-????

即（吨）时，上述最优基不变。 劳动力约束增加1个单位时总利润的增加量就是劳动力资源的影子价格，显然总利润增

加量＝-σ4=-(-5)=5（千元）。或者：∵31

42[,3]b '=∈，∴原问题最优基不变。总利润增加量()1125185()3B B c B b c B b --??

'-=-= ???

千元。（注：c B B -1

就是最优表上松弛变量检验数

的相反数）

（4）设生产产品D 为x '

4单位，()'14441351301B c c B P σ-??''=-=-=-< ???

Q ∴新产品D 不值得生产。

（5）新的设备台时约束条件：12324x x x ++≤。代X *=(1,2,0,0,0)T 入此条件，可知该条件不成立。所以原问题最优表对应的产量最优方案需要改进。 由最优表第一行约束条件得到：134514x x x x =+-+； 由最优表第二行约束条件得到：234522x x x x =-+-

将上述两个表达式带入设备台时约束条件，并添加松弛变量x 6，整理得到：

3456221x x x x ---+=-。将其添加到原问题最优表上，用对偶单纯形法继续迭代求解，

j X *

=(2,1,0,0,1)T

,max z=7 即：A 、B 、C 的产量调整为2吨、1吨、0吨，利润总和下降到7（千元）。 4、（选做题）已知目标规划问题

用单纯形法求解时，得到如下最优表。分析目标函数分别变为①、②两种情况时解的变化。（1）

()

53112231434

min z p d p d p d p d d -++--

=++++

（2）

()

12 112233441

min z p d p d p w d w d p d -+--+=++++??

（w 1,w 2为权重比例且都大于零）

解：①如图1所示：依次满足目标P 1、P 2和P 3的区域是线段CEBD 。方程：x 1+2x 2=6 C(0,3)、E(2,2)、B(5,1/2)、D (6,0)。 令t=5d 3-+3d 4-

当x 1≤2时，t=5d 3-=5(4-x 1+2x 2)=5(10-2x 1) ∴min t=30,此时对应x 1=2,x 2=2 当2

∴min t=9/2,此时对应x 1=5,x 2=1/2。

综上所述，满意解为x 1=5,x 2=1/2。可见，

交换目标等级，满意解发生了变化，由(13/2,5/4)→(5,1/2)。 本小题也可以用单纯形法求解，学生可自行运算，这里略去。

(2)①用图解法。 令a=w 1/w 2, t= ad 3-+d 4-(a>0) 由（1）分析知道：满足目标P 1、P 2 的区域为x 1+2x 2=k(6≤k ≤9),它与

直线x 2=2、x 1-2x 2=4分别交于C(k-4,2) 、D(2+k/2,k/4-1)两点。

当x 1≤k-4时，t= ad 3-=a(4-x 1+2x 2)= a(4-k+4x 2)

∴当k=9, x 2=2, x 1=5时,min t 1=3a;

当k-4≤x 1≤2+k/2时，t= ad 3-+d 4-= a(4-x 1+2x 2)+(2-x 2)=(4-k)a+2+(4a-1)x 2

∴若a ≥1/4时k=9, x 2=5/4, x 1=13/2时,min t 2=3/4; 若0

当k ≥x 1≥2+k/2时，t= d 4-=2-x 2 ∴当x 2=k/4-1=9/4-1=5/4, x 1=13/2时,min t 3=3/4。 综上所述:

当w 1/w 2＝a>1/4时,min(min t 1,min t 2,min t 3)=3/4=min t 2=min t 3,此时满意解为x 1=13/2, x 2=5/4; 当0

当a= w 1/w 2=1/4时, min t 1=min t 2=min t 3=3/4,此时满意解为x 1=5, x 2=2和x 1=13/2, x 2=5/4。 可见，当：当w 1/w 2≥1/4时,满意解为x 1=13/2, x 2=5/4;当0< w 1/w 2≤1/4时,满意解为x 1=5, x 2=2。 5、（选做题：华中科技大学考研试题）公司计划生产A 、B 两种产品，须分别经过甲、乙、丙三道工序，其有关数据如下表所示。问：（1）如何安排生产计划，使得公司的产值和利润尽可能的高（要求建立目标规划模型，不须求解该模型）？（2）若公司认为利润比产值更12（1）分别就两个不同的目标求解线性规划，用单纯形法或图解法(这里略去，请大家自行计

D

C

B

算)分别求得：产量最大的最优解为X(1)*=(20,40)T，z1*=3800；利润最高的最优解为X(2)*=(30,30)T，z1*=540。

要使得目标确定为产值和利润尽可能达到3800和540，则得到如下目标规划模型：（2）若认为利润比产值重要，则赋予d2-比d1-更大的权系数，例如：min z= d1- +2d2-，其他条件不变。或者用偏差变量的不同优先级给定，此处min z= p1d2- +p2d1-。