2019-2020年高中数学必修3线性回归方程(1)
2019-2020年高中数学必修3线性回归方程(1)
教学目标
（1）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；
（2）在两个变量具有线性相关关系时，会在散点较长中作出线性直线，会用线性回
归方程进行预测；
（3）知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．
教学重点
散点图的画法，回归直线方程的求解方法．
教学难点
回归直线方程的求解方法．
教学过程
一、问题情境
1．情境：
客观事物是相互联系的过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度所以说，函数关系存在着一种确定性关系但还存在着另一种非确定性关系——相关关系
2．问题：
某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的气温/C261813104
杯数202434385064
二、学生活动
为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标表示气温，纵坐标
表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的个数对所表示的点在坐
标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot).
从右图可以看出.这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似
地表示热茶销量与气温之间的关系.
选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系?
我们有多种思考方案:
(1)选择能反映直线变化的两个点,例如取这两点的直线；
（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；
（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；
………………
怎样的直线最好呢?
三、建构数学
1．最小平方法：
用方程为的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近。那么，怎样衡
量直线与图中六个点的接近程度呢？
我们将表中给出的自变量的六个值带入直线方程,得到相应的六个的值:
26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a +++++-+.这六个值与表中相应的实际值应该越接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和
222222
22(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)12866140382046010172Q a b b a b a b a b a b a b a b a ab b a =+-++-++-++-+
+-+-+-=++--+
是直线与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量直线与图中六个点的接近程度,所以,设法取的值,使达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法) . 先把看作常数,那么是关于的二次函数.易知,当时, 取得最小值.同理, 把看作常数,那么是
关于的二次函数.当时, 取得最小值.因此,当140382021286140460
12
a b b a -⎧=-⎪⎪⨯⎨-⎪=-⎪⎩时，取的最小值，由此解得.所求直线方程为.当时,,故当气温为时,热茶销量约为杯.
2．线性相关关系：
像能用直线方程近似表示的相关关系叫做线性相关关系.
3．线性回归方程：
当使1122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时,就称为拟合这对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线.
上述式子展开后，是一个关于的二次多项式，应用配方法，可求出使为最小值时的的值．即
1
1122
11()()()n n n i i i i i i i n n i i i i n x y x y b n x x a y bx
=====⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑,（*） , 四、数学运用
1．例题：
例1． 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线
系．计算相应的数据之和：
8888
211111031,71.6,137835,9611.7i i i i i i i i i x
y x x y ========∑∑∑∑， 将它们代入（）式计算得，
所以，所求线性回归方程为．
2．练习：
（1）第75页练习1、2
（2）下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ D ）
A ．角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积
C ．正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高
（
解：(1)散点图（略）．
故可得到 257
3075.43.399,75.430
770003.399307871752≈⨯-=≈⨯-⨯⨯-=
a b 从而得回归直线方程是．(图形略)
五、回顾小结：
1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数的计算公式，算出．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．求线性回归方程的步骤：计算平均数；计算的积，求；计算；将结果代入公式求；用 求；写出回归方程
六、课外作业：
课本第75页习题2.4第1、2、3题．
.
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修1-2)教师用书：第1章 1.2 回归分析
1.2 回归分析 1.会用散点图分析两个变量是否存在相关关系.(重点) 2.会求回归方程、掌握建立回归模型的步骤，会选择回归模型.(重点、难点) [基础·初探] 教材整理1 线性回归模型 阅读教材P 10～P 12，完成下列问题. 1.回归直线方程 其中b ^的计算公式还可以写成b ^＝ ∑xiyi －n x － y － ∑x 2i －n x －2. 2.线性回归模型 y ＝bx ＋a ＋εi ，其中εi 称为随机误差项，a 和b 是模型的未知参数，自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量. 设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2， … ，n )，用最小二乘法建立的回归方程为 y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中正确的是________(填序号). (1)y 与x 具有正的线性相关关系；
(2)回归直线过样本点的中心(x －，y －)； (3)若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ； (4)若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg. 【解析】 回归方程中x 的系数为0.85>0，因此y 与x 具有正的线性相关关系，(1)正确； 由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(x －，y －)，(2)正确； 依据回归方程中b ^的含义可知，x 每变化1个单位，y ^ 相应变化约0.85个单位，(3)正确； 用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故(4)不正确. 【答案】 (1)(2)(3) 教材整理2 相关性检验 阅读教材P 13～P 15例3以上部分，完成下列问题. 1.相关系数 (1)作统计假设：x 与Y 不具有线性相关关系； (2)根据小概率0.05与n －2在附表中查出r 的一个临界值r 0.05； (3)根据样本相关系数计算公式算出r 的值； (4)作统计推断.如果|r |>r 0.05，表明有95%把握认为x 与y 之间具有线性相关关系.如果|r |≤r 0.05，没有理由拒绝原来的假设. 1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求回归直线方程前必须进行相关性检验.( ) (2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强.( ) (3)若相关系数r ＝0，则两变量x ，y 之间没有关系.( ) 【解析】 (1)正确.相关性检验是了解成对数据的变化规律的，所以求回归方程前必须进行相关性检验. (2)错误.相关系数|r |越接近1，线性相关程度越强；|r |越接近0，线性相关程度越弱. (3)错误.若r ＝0是指x ，y 之间的相关关系弱，但并不能说没有关系.
(完整版)人教版高中数学必修3各章知识点总结,推荐文档
高中数学必修3知识点 第一章算法初步 i.i.i 算法的概念 算法的特点： (i)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的^ (2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是 后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题^ (4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法^ (5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2 程序框图 1、程序框图基本概念： (一)程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的 图形。 一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。 (二)构成程序框的图形符号及其作用
学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下: 1、使用标准的图形符号。 2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 3、除判断框外，大多数流程图符号只有一 个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两 分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常 简练清楚。 (三)、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若1 个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B 框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执 行B框所指定的操作。 2、条件结构： 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B 框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。 3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结 构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分 为两类： (1)、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。 (2)、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然 不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。
人教版高中数学必修三 第四章 线性回归方程 Word版含解析
重点列表： 重点详解： 1．变量间的相关关系 常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是________；与函数关系不同，相关关系是一种________关系，带有随机性． 2．两个变量的线性相关 (1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有____________，这条直线叫________． (2)从散点图上看，如果点分布在从左下角到右上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________；如果点分布在从左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________. ※ (3)相关系数 r ＝ ∑∑∑===----n j j n i i n i i i y y x x y y x x 1 2 1 2 1 )()() )((，当r ＞0时，表示两个变量正相关；当r ＜0时，表示两个 变量负相关．r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系． 3．回归直线方程 (1)通过求Q ＝ ∑=--n i i i x y 1 2)(βα的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回
归直线的距离的平方和最小的方法叫做____________．该式取最小值时的α，β的值即分别为，. (2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程 为a x b y ˆˆˆ+=，则 ⎪⎪ ⎪⎩⎪⎪⎪ ⎨⎧ -=--=---=∑∑∑∑====.ˆˆ, )())((ˆ1 2 21 121x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i 【答案】 1．相关关系 非确定性 2．(1)线性相关关系 回归直线 (2)正相关 负相关 (3)1 0 3．最小二乘法 重点1：相关关系的判断 【要点解读】 在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手．对于散点图，可以做出如下判断： (1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系． (2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系． (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． 【考向1】确定性关系与随机关系 【例题】下列变量之间的关系不是．． 相关关系的是( ) A ．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a ，c 是已知常数，取b 为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b 2－4ac B ．光照时间和果树亩产量 C ．降雪量和交通事故发生率 D ．每亩施用肥料量和粮食亩产量
高中数学 第2章 统计 2.4 线性回归方程教材梳理导学案 苏教版必修3
2.4 线性回归方程 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、相关关系 变量之间的常见关系： 一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示.如正方形的边长l与面积S 之间就是确定性函数关系，可以用函数S=l2表示； 一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达.如人的体重y与身高x有关.一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系. 在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断. 辨析比较函数关系与相关关系的区别与联系 相同点：两者均是指两个变量间的关系； 不同点： ①函数关系是一种确定性关系，自变量的任一取值，因变量都有唯一确定的值与之对应；相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有一定的随机性； ②函数关系是因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系； ③相关关系的分析方向及方法，由于相关关系的不确定性，在寻找变量间相关性的过程中，统计发挥着重要的作用，而函数关系则可以通过函数的性质来进行研究. 二、线性回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析. 通俗地讲，回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性. 1.散点图 我们把表示具有相关关系的两个变量x、y的一组数据（x n，y n）（n=1，2，3，…）对应的一些点（即样本点）画在坐标系内，得到的图形叫做散点图. 如：某地农业技术指导站的技术员，经过在7块并排大小相同的试验田上进行施化肥量对水 观察表中数据，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加.只是表中两者之间的关系表现得不是很确切，需要对数据进行分析.为此我们可以作统计图表，以便对两者有一个直观的印象和判断.除上述的统计图表外，我们还可以用另一种统计图——散点图来分析. 以x轴表示施肥量，y轴表示水稻产量，可得散点图如图2-4-1： 图2-4-1
人教版高中数学必修三 第二章 统计变量间的相关关系(线性回归)
变量间的相关关系(线性回归) 一、变量之间的相关关系 1、凭我们的学习经验可知，物理成绩与数学成绩有一定的关系，数学成绩的好坏会对物理成绩造成影响。但除此以外，还存在其他影响物理成绩的因素。例如，是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等。当我们主要考虑数学成绩对物理成绩的影响时，就要考察这两者之间的相关关系。 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。 2、相关关系与函数关系的异同点 相同点：两者均是指两个变量的关系。 不同点：（1）函数关系是一种确定的关系。如匀速直线运动中时间t 与路程s 的关系；相关关系是一种非确定的关系。如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系。事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。 （2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系，然而学会新词并不能使脚变大，而是涉及第三个因素――年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大。 （3）相关关系的分析方向 由于相关关系的不确定性，在寻找变量间相关关系的过程中，统计发挥着非常重要的作用。我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，对它们的关系作出判断。 二、两个变量的线性相关 1、回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。 一般地，对于某个家庭来说，它的年饮食支出不一定随年收入的增加而增加或减少。但如果是大量的个体，可能就会表现出一定的规律来。观察表中数据，大体上来看，随着家庭看收入的增加，年饮食支出也在增加。为了确定这一相关关系的细节，我们需要进行数据分析。与以前一样，我们可以作统计图、表。通过作统计图、表，可以使我们对两个变量之间的关系有一个直观上的印象和判断。 除我们在前面所学的有关图、表外，我们还可以通过另外一种图――散点图来分析两个变量之间的关系。 2、散点图 将样本中n 个数据点(,) i i x y （1,2,,i n ）描在平面直 角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。 如上例中，为了更清楚地看出两变量是否有相关关系，我们以年收入x 的取值作为横坐标，把年饮食支出y 的相应取值作为纵坐标，可得相应散点图。如图所示。 散点图形象地反映了各对数据的密切程度。由图可见，年 收入越高，年饮食支出超高。图中点的趋势表明两个变量间确实存在一定的关系。 3、正相关、负相关 从散点图可以看到点散布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关。如年龄由小变大时，体内脂肪含量也在由小变大。 反之，如果两个变量的散点图中散布的位置是从左上角到右下角的区域。即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关。如汽车的重量和汽车每消耗1L 汽油所行驶的路程成负相关。汽车越重，每消耗1L 汽油所行驶的平均路程就越短。 4、如果关于两个变量统计数据的散点图呈现如图的形状，则 这两个变量之间不具有相关关系。例如，学生的身高与学生的数学成绩没有相关关系。 利用散点图可以判断变量之间有无相关关系。 三、回归直线方程
2020年高中数学必修三第二章《统计》2.3.1变量之间的相关关系-2.3.2两个变量的线性相关
2020年高中数学必修三第二章《统计》 2．3.1变量之间的相关关系 2．3.2两个变量的线性相关 学习目标 1.了解变量间的相关关系，会画散点图；2.根据散点图，能判断两个变量是否具有相关关系；3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程． 知识点一变量间的相关关系 思考1粮食产量与施肥量间的相关关系是正相关还是负相关？ 答案在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高，所以是正相关． 思考2怎样判断一组数据是否具有线性相关关系？ 答案画出散点图，若点大致分布在一条直线附近，就说明这两个变量具有线性相关关系，否则不具有线性相关关系． 梳理 1．相关关系的定义 变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系．2．散点图 将样本中n个数据点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图．3．正相关与负相关 (1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关． (2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关． 知识点二两个变量的线性相关 思考任何一组数据都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？ 答案用最小二乘法求线性回归方程的前提是先判断所给数据是否具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的线性回归方程是无意义的．
梳理 回归直线的方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程． (3)最小二乘法： 求线性回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． ⎩⎪ ⎨⎪⎧ b ^ ＝∑i ＝1 n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1 n (x i －x )2 ＝∑i ＝1 n x i y i －n x y ∑i ＝1 n x 2i －n x 2 ，a ^ ＝y －b ^x ， 其中，b ^ 是线性回归方程的斜率，a ^ 是线性回归方程在y 轴上的截距． 类型一 相关关系的判断与应用 命题角度1 判断两个变量的相关性 例1 为了研究质量对弹簧长度的影响，对6根相同的弹簧进行测量，所得数据如下： 判断它们是否有相关关系，若有，判断是正相关还是负相关． 解 散点图如图： 由散点图可以看出两个变量对应的点大致分布在一条直线附近，因此可以得出结论：质量与
必修三第2章第4节+线性回归方程
年级高二学科数学版本苏教版 课程标题必修三第2章第4节线性回归方程 编稿老师褚哲 一校林卉二校黄楠审核孙永涛 一、学习目标 1. 能通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。 2. 了解线性回归的方法；了解用最小二乘法研究两个变量的线性相关问题的思想方法；会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（不要求记忆系数公式）。 二、重点、难点 重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系。 难点：变量间的相关关系，利用散点图直观体会这种相关关系。 三、考点分析 1. 以考查线性回归系数为主，同时可能考查利用散点图判断变量间的相关关系； 2. 相关关系的要求均属了解层次，考查重点是回归方程与回归直线，对于本讲内容小题为主，若是解答题也会是难度低的问题。 1. 两变量间的相关关系 （1）相关关系与函数关系不同。函数关系中的两个变量间是一种确定性关系。例如正 S 就是函数关系。即对于边长x的每一个确定的值，方形面积S与边长x之间的关系2x 都有面积S的惟一确定的值与之对应。相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系。例如人的身高与体重；商品的销售额与广告费等都是相关关系。 （2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。例如有人发现，对于在校儿童，身高与阅读技能有很强的相关关系。然而学会新词并不能使儿童马上长高，而是涉及到第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高，且由于长大，身高也会高些。 （3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化。例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性。而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计。 相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，
人教版高中数学必修三 第二章 统计“直线的回归方程”教学设计
“直线的回归方程”教学设计 第一部分：教学准备 1、教材分析 学生情况分析：学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算机基础，主要是电子表格的使用。 教材地位和作用：本节是高中新教材人教A版必修3第二章2.3节的内容, 本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。为以后更好地研究结合教材特点情，特制定三维教学目标如下： 2、目标定位 （1）、知识与技能： 利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式的推导过程，利用电子表格求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解 （2）、过程与方法： ①通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。 ②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引出利用计算机等现代化教学工具的必要性。 （3）、情感、态度与价值观： 类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。利用计算机让学生动手操作，合作交流激发学生的学习兴趣。 3、教学重点、难点 重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。 教学内容的难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解 教学实施过程中的难点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。4、教学媒体设计 本节课涉及大量数据计算及分析，用传统方法很难突破，故我主要采用电子表格和几何画板，通过学生动手操作、教师动画演示、师生合作交流来突出重点、突破难点。学生学习效果有明显提高。 第二部分：教学设计： 一、创设情境导入新课 师：我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？ 让学生举例，教师总结如： 生：不是。师：能否举出反例？比如，年龄与身高。生：身高与体重 生：教师水平与学生成绩。生：网速与下载文件所需时间
高中数学第二章统计2.3变量的相关性2.3.1-2.3.2变量间的相关关系两个变量的线性相关教学案新人教B版必修3
2．3.1 & 2.3.2 变量间的相关关系 两个变量的线性相关 习课本P73～78，思考并完成以下问题预 (1)相关关系是函数关系吗？ (2)什么是正相关、负相关？与散点图有什么关系？ (3)回归直线方程是什么？如何求回归系数？ (4)如何判断两个变量之间是否具备相关关系？ [新知初探] 1．两个变量的关系 分类 函数关系 相关关系 特征 两变量关系确定 两变量关系带有随机性 2．散点图 将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形． 3．正相关与负相关 (1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关． (2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关． 4．最小二乘法 设x ，Y 的一组观察值为(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ，且回归直线方程为y ^ ＝a ＋bx ，当x 取值x i (i ＝1,2，…，n )时，Y 的观察值为y i ，差y i －y ^ i (i ＝1,2，…，n )刻画了实际观察值 y i 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即Q ＝ i ＝1 n (y i －a
－bx i)2作为总离差，并使之达到最小．这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一 条．由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法．5．回归直线方程的系数计算公式 回归直线方程回归系数 系数a ^ 的 计算公式 方程或 公式 y ^ ＝a ^ ＋b ^ x b ^ ＝ ∑ i＝1 n xiyi－n x － y － ∑ i＝1 n x2i－n x2 a ^ ＝y－b ^ x － 上方加 记号“^ ” 的意义 区分y的估计值y ^ 与 实际值y a，b上方加“^ ”表示由观察值按最小二乘 法求得的估计值 [小试身手] 1．下列命题正确的是( ) ①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系； ③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的； ⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行 研究． A．①③④ B．②③④ C．③④⑤ D．②④⑤ 解析：选C ①显然不对，②是函数关系，③④⑤正确． v ， u ；对变量 1 ，得散点图图 10) ， … ， 1,2 ＝ i )( i y ， i x( 有观测数据 y ， x ．对变量 2 ) ( 由这两个散点图可以判断 2. ，得散点图图 10) ， … ， 1,2 ＝ i )( i v ， i u( 有观测数据 A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关
高中数学必修三线性回归方程
统计第三讲：变量间的相关关系 —————————————————————————————————————————————— 一、两个变量的线性相关 1、线性回归方程：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，回归直线对应的方程叫做回归直线方程（简称回归方程）。 2、回归方程求法：设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ⋅⋅⋅，直线方程y bx a =+，其中,a b 是待定参数. 经数学上的推导，,a b 的值由下列公式给出：1 1222 11 ()()()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====⎧ ---⎪ ⎪==⎪⎨--⎪⎪ =-⎪⎩∑∑∑∑. 其中，回归直线的斜率为b ，截距为a ，即回归方程为y bx a =+. 上述求回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. 3、回归方程应用：利用回归方程，我们可以进行预测并对总体进行估计. —————————————————————————————————————————————— 二、相关关系的强弱 1、相关系数：若相应于变量x 的取值i x ，变量y 的观测值为(1)i y i n ≤ ≤，则变量x 与y 的相关系数 ()() n i i x x y y r --= ∑，即n i i x y nx y r -= ∑， 2、通常用r 来衡量x 与y 之间的线性关系的强弱 （1）r 的范围为11r -≤≤，r 为正时，x 与y 正相关；r 为负时，x 与y 负相关 （2）||r 越接近于1，x 与y 的相关程度越大；当||1r =时，所以数据点都在一条直线上. （3）||r 越接近于0，二者的相关程度越小 ——————————————————————————————————————————————
高中数学北师大版必修3最小二乘估计课后作业Word版含答案
高中数学北师大版必修3最小二乘估计课后作业Word版含答 案 §8最小二乘估计 一、非标准 1.已知回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中心是(4,5),则线性回归方程是( ) A.y=4+1.23x B.y=5+1.23x C.y=0.08+1.23x D.y=1.23+0.08x 解析:由已知得b=1.23,=4,=5,于是a=-b=5-1.23×4=0.08,因此线性回归方程为y=1.23x+0.08. 答案:C 2.用回归直线方程的系数a,b的最小二乘法估计a,b,使函数Q(a,b)的值最小,则Q函数是指( ) A.(y i-a-bx i)2 B.(y i-a-bx i) C.y i-a-bx i D.(y i-a-bx i)2 答案:A 3.某地区调查了2~9岁的儿童的身高,由此建立的身高y(cm)与年龄x(岁)的回归模型为y=8.25x+60.13,下列叙述正确的是( ) A.该地区一个10岁儿童的身高为142.63cm B.该地区2~9岁的儿童每年身高约增加8.25cm C.该地区9岁儿童的平均身高是134.38cm D.利用这个模型可以准确地预算该地区每个2~9岁儿童的身高 解析:由y=8.25x+60.13知斜率的估计值为8.25,说明每增加一个单位年龄,约增加8.25个单位身高,故选B.
答案:B 4.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表: 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时的销售额为( ) A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元 解析:∵=3.5,=42, 又y=bx+a必过(), ∴42=3.5×9.4+a, ∴a=9.1. ∴线性回归方程为y=9.4x+9.1. ∴当x=6时,y=9.4×6+9.1=65.5(万元). 答案:B 5.已知x与y之间的几组数据如下表: 假设根据上表数据所得线性回归方程为y=bx+a,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b'x+a',则以下结论正确的是( ) A.b>b',a>a' B.b>b',a
8-2-1一元线性回归模型(教案) 高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
第八章成对数据的统计分析 8.2 一元线性回归模型及其应用 8.2.1一元线性回归模型 教学设计 一、教学目标 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义. 2.了解元线性回归模型参数的统计意义. 3.结合具体实例，了解一元线性回归模型随机误差产生的原因. 二、教学重难点 1、教学重点 一元线性回归模型的含义. 2、教学难点 一元线性回归模型的含义. 三、教学过程 （一）新课导入 通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以判断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等. 进一步地，如果能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型刻画两个随机变量的相关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的随机关系，并通过模型进行预测. 接下来我们就来研究当两个变量线性相关时，如何利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测的问题. （二）探索新知 探究一线性相关 生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相关，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高. 为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如下表.
/cm 儿子身高 /cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 如图，以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系，再将表中的成对样本数据表示为散点图. 可以发现，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关. 利用统计软件，求得样本相关系数为0.886r ≈，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高. 思考：根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？ 探究二 一元线性回归模型 在上表的数据中，存在父亲身高相同，而儿子身高不同的情况. 例如，第6个和第8个观测的父亲身高均为172cm ，而对应的儿子身高分别为176cm 和174cm ；同样，第3，4两个观测中，儿子身高都是170cm ，而父亲身高分别为173cm 和169cm. 可见儿子身高和父亲身高之间不是函数关系，也就不能用函数模型刻画. 散点图中的散点大致分布在一条直线附近，表明儿子身高和父亲身高这两个变量之间有较强的线性相关关系，因此我们可以用一次函数来刻画父亲身高对儿子身高的影响而把影响儿子身高的其他因素，如母亲身高、生活环境、饮食习惯等作为随机误差，得到刻画两个变量之间关系的线性回归模型. 其中，随机误差是一个随机变量. 用x 表示父亲身高，Y 表示儿子身高，e 表示随机误差. 假定随机误差e 的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值2σ，则它们之间的关系可以表示为2()0,()Y bx a e E e D e σ =++⎧⎨==⎩.(1)
(完整版)数学必修三回归分析经典题型(带答案)
数学必修三回归分析经典题型 1．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为 93.7319.7ˆ+=x y 用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ） A.身高一定是145.83cm B.身高在145.83cm 以上 C.身高在145.83cm 以下 D.身高在145.83cm 左右 【答案】D 【解析】解：把x=10代入可以得到预测值为145.83，由于回归模型是针对3-9岁的孩子的，因此这个仅仅是估计值，只能说左右，不能说在上或者下，没有标准。选D 2．对有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程$y ＝$a ＋b $x ，关于回归系数b $，下面叙述正确的是________． ①可以小于0；②大于0；③能等于0；④只能小于0. 【答案】① 【解析】由b $和r 的公式可知，当r ＝0时，这两变量不具有线性相关关系，但b 能大于0也能小于0. 3．对具有线性相关关系的变量x 、y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，它们之间的线性回归方程是$y ＝3x ＋20，若10 1 i i x =∑＝18，则10 1 i i y =∑＝________. 【答案】254 【解析】由 10 1 i i x =∑＝18 1.8. 因为点在直线$y ＝3x ＋2025.4. 所以 10 1 i i y =∑＝25.4×10＝254. 4．下表是某厂1～4 由散点图可知，用水量其线性回归直线方程是y ＝－0.7x ＋a ，则a 等于________． 【答案】5.25 2.5 3.5， ∵回归直线方程过定点， ∴3.5＝－0.7×2.5＋a. ∴a ＝5.25. 5．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到线性回归方程$y ＝b $x ＋$a ，那么下列说法正确的是________．
线性回归方程(1) 人教版高中数学必修3全册教案
课题：§2.3.1线性回归方程（1） 一．教学任务分析: （1）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系. (2) 了解最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． (3)在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性回归直线，会用线性回归方程进行预测. 二．教学重点与难点： 教学重点：回归直线方程的求解方法． 教学难点：回归直线方程的求解方法. 三．教学基本流程: ↓ ↓ ↓ 四.教学情境设计: 1．创设情景，揭示课题 在上节课,为了了解热茶销量与气温的大致关系.
我们以横坐标x 表示气温，纵坐标y 表示热茶销量，建立 直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到散点图. 从散点图可以看出.这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线的附近. 如果散点图中点的分布从整体看大致分布在一条直线的附近,我们称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线. 如果能够求出这条回归直线的方程,我们就可以比较清楚的了解热茶销量与气温之间的关系. 2.最小二乘法 选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系? 我们有多种思考方案: (1)选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线； （2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同； （3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距； ……………… 怎样的直线最好呢? ------从整体上看,各点与此直线的距离最小. 即: 用方程为ˆy bx a =+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近.那么，怎样衡量直线ˆy bx a =+与图中六个点的接近程度呢？
2019-2020年高中数学必修三《两个变量的线性相关》第一课时教案
2019-2020年高中数学必修三《两个变量的线性相关》第一课时教案 教学分析 变量之间的关系是人们感兴趣的问题.教科书通过思考栏目“物理成绩与数学成绩之间的关系”,引导学生考察变量之间的关系.在教师的引导下,可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.随后,通过探究人体脂肪百分比和年龄之间的关系,引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型）.教科书在探索用多种方法确定线性回归直线的过程中,向学生展示创造性思维的过程,帮助学生理解最小二乘法的思想.通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考,使学生了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程,体会线性回归方程作出的预测结果的随机性,并且可能犯的错误.进一步,教师可以利用计算机模拟和多媒体技术,直观形象地展示预测结果的随机性和规律性. 三维目标 1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系. 2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系. 3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程． 重点难点 教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程． 教学难点：变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；理解最小二乘法的思想. 课时安排 2课时 教学过程 第1课时 导入新课 思路1 在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢? 请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）: 好中差你的数学成绩 你的物理成绩 学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系.（似乎就是数学好的,物理也好；数学差的,物理也差,但又不全对.）物理成绩和数学成绩是两个变量,从经验看,由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法.数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的.但决非唯一因素,还有其他因素,如是否喜欢物理,用在物理学习上的时间等等.（总结：不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少.但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义.）为很好地说明上述问题,我们开始学习变
2019-2020年高中数学人教A版选修(2-3)3.1《回归分析的基本思想及其初步应用第3课时》教案
2019-2020年高中数学人教A版选修（2-3）3.1《回归分析的基本思 想及其初步应用第3课时》教案 【学情分析】： 教学对象是高二理科学生，学生已经学会建立回归模型的基本步骤，并有检验回归方程的拟合精确度的方法，并能解决一些实际问题。两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，通过探究使学生体会对回归模型的选择，非线性模型可以通过变换转化为线性回归模型，让学生直观的观察、思考，借助于线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系，并通过回归分析体会不同模型拟合数据的效果。 【教学目标】： （1）知识与技能：了解回归模型的选择；进一步理解非线性模型通过变换转化为线性 回归模型；体会不同模型拟合数据的效果。 （2）过程与方法：从实例出发，求出相应的回归直线方程，从中也找出存在的不足， 从而有进行回归分析的必要性，通过学习相关指数，用相关指数来刻 画回归的效果，进而归纳出回归分析的一般步骤，并对具体问题进行 回归分析，用于解决实际问题。 （3）情感态度与价值观：任何事物都是相对的，但又有一定的规律性，我们只要从实 际出发，不断探求事物的内在联系，就会找出其中的规律性， 形成解决实际问题的方法和能力。 【教学重点】： 1.加深体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型； 2.了解在解决问题的过程中寻找更好的模型的方法。 【教学难点】： 1.了解常用函数的图像特点，选择不同的模型建模； 2.通过比较相关指数对不同的模型进行比较。
i y i i i y y e ˆˆ-=()2 2 ˆˆy y e -=
R比二次函数模型的从相关指数的计算结果来看，指数函数模型的2 2 R更接近于1，所以指数函数模型的回归效果好。 再从残差图看： 从图中可看出指数函数模型的残差点比较均匀地落在水平的带状域中，所以指数函数模型拟合精度较二次函数模型的高。 通过学生自己动手计算感受，归纳判断模型拟合效果的方法： ⑴可以通过变换后的散点图观察两个新变量之间是否存在线性回归方程； ⑵通过残差分析比较两种模型的拟合效果。一般情况下，比较两个模型的残差比较困难（某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反），故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果。残差平方和越小的模型，拟合的效果越好。 某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下:
2019-2020学年高一数学苏教版必修3同步练习：2.4 线性回归方程 Word版含答案
2.4 线性回归方程 1、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表: 根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A. 63.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元 2、某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查,y 与x 具有相关关系,回归方程为0.66.52ˆ16y x =+,若某城市居民人均消费水平为7.675千元,估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( ) A.83% B.72% C.67% D.66% 3、变量X 与Y 相对应的一组数据为()()()()()10,1,11.3,2,11.8,3,12.5,4,13,5,变量U 与V 相对应的一组数据为()()()()()10,5,11.3,4,11.8,3,12.5,2,13,1.1r 表示变量X 与Y 之间的线性相关系数,2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数,则( ) A.210r r << B.210r r << C.210r r << D.21r r = 4、四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论: ①y 与x 负相关且 2.34.4ˆ7623y x =-; ②y 与x 负相关且 3.476 5.6ˆ48y x =-+; ③y 与x 正相关且 5.43.4ˆ7893y x =+; ④y 与x 正相关且 4.326 4.5ˆ78y x =--. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 5、已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数3x =, 3.5y =,则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )