浅谈导数及应用毕业论文

0000/)()(lim )()(lim lim )(0x x x f x f x x f x x f x y x f x x o x o x --=?-?+=??=→→?→?； 2． 导数的几何意义：函数y =f (x )在0x 处的导数的几何意义，就是曲线y =f (x )在点),(00y x 处的切线的斜率，即斜率为)(0x f '

过点P 的切线方程为：))((000x x x f y y -'=-.

3. 导函数、可导：如果函数y =f (x )在开区间),(b a 的每点处都有导数，即对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(0x f '，从而构成了一个新的函数)(0x f ', 称这个函数)(0x f '为函数y =f (x )在开区间的导函数，简称导数。此时称函数y =f (x )在开区间),(b a 可导.

4． 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点0x 处可导，那么函数y =f (x )

在点0x 处连续.

5. 依定义求导数的方法：

（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -?+=?

（2）求平均变化率

x

x f x x f x y ?-?+=??)()( （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0lim 6．几种常见函数的导数：

0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；

x x sin )'(cos -=；x x 1)'(ln =；e x

x a a log 1)'(log =；x x e e =)'(；a a a x x ln )'(=。 7．导数的四则运算法则：

)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±；[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+；

[()]'()Cu x Cu x '=；'

2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 8． 复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或'x y =f ′(u ) ?′(x ).

9. 求导数的方法:

(1)求导公式 (2)导数的四则运算法则

(3)复合函数的求导公式 (4)导数定义

10.导数的概念及运算的相关例题

例1（1）求曲线1

22+=x x y 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2221t t

t S +-=，求t=3时的速度 分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y =f (x )在0x 处的导数就是曲线y =f (x )在点),(00y x p 处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间

的导数

解：（1）222

222)

1(22)1(22)1(2'+-=+?-+=x x x x x x y ， 04

22|'1=-=

=x y ，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0 因此曲线122+=x x y 在（1，1）处的切线方程为y =1 （2） )'2('1'22t t t S +??

? ??-= t t

t t t t t t 4214)1(23242++-=+--= 27

26111227291|'3=++-==t S 注：切线是导数的“几何形象”,是函数单调性的“几何”解释,要熟练掌握求切线方程的方法.

例2 若f （x ）在R 上可导，（1）求f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数的关系； （2）证明：若f （x ）为偶函数，则)(x f '为奇函数. 分析: （1）需求f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数；

（2）求)(x f '，然后判断其奇偶性.

（1）解:设f （－x ）=g （x ）,则

)(a g '= 0lim →?x x

a g x a g ?-?+)()( =0lim →?x x

a f x a f ?--?--)()( =－0lim →?-x x

a f x a f ?---?--)()(=－)(a f -' ∴f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数互为相反数.

（2）证明: )(x f '= 0lim →?x x

x f x x f ?--?+-)()( =0lim →?x x

x f x x f ?--?-)()(

=－0lim

→?x x

x f x x f ?--?-)()(=－)(x f ' ∴)(x f '为奇函数. 注: 用导数的定义求导数时，要注意Δy 中自变量的变化量应与Δx 一致. 例3 已知函数23)(x x x f +=，数列{})0(,>n n x x 的第一项11=x ，以后各项按照如下方式取定：曲线y ＝()f x 在11(,())n n x f x ++处的切线与经过（0，0）和))(,(n n x f x 两点的直线平行（如图）。求证：当n ∈*N 时：

（I ）221132n n n n x x x x -++=+；（II ）1211()()22

n n n x --≤≤ 证明：（I ）∵'2()32,f x x x =+

∴曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线斜率

1

21132.n n n k x x +++=+ ∵过(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线斜率是2,n

n x x + ∴221132n

n n n x x x x +++=+. （II ）∵函数2()h x x x =+当0x >时单调递增，

而221132n

n n n x x x x +++=+21142n n x x ++≤+211(2)2n n x x ++=+， ∴12n n x x +≤，即11,2

n n x x +≥ 因此1121211().2

n n n n n n x x x x x x x ----=??????≥ 又∵1

2212(),n n n n x x x x +++≥+ 令2,n n n y x x =+则11.2

n n y y +≤ ∵21112,y x x =+= ∴12111()().22

n n n y y --≤?=

因此221(),2n n n n x x x -≤+≤ 故1211()().22

n n n x --≤≤ 例4. 已知一个函数d cx bx x x f +++=23)(的图像过点P （0，2），并且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x ．

（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；

（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间．

解：（Ⅰ）由)(x f y =的图像经过P （0，2），知d=2，

所以2)(23+++=cx bx x x f ,

c bx x x f ++='23)(2. 由在))1(,1(--f M 处的切线方程是.076=+-y x ，知

6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.

3

.0,3211,623-==???=--=-???=-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即

故所求的解析式是 233)(23+--=x x x x f .

（Ⅱ）0363363)(22=----='x x x x x f 令,2210.x x --=即

解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-

故233)(23+--=x x x x f 在)21,(--∞是增函数，在)21,21(+-是减函数，在),21(+∞+是增函数．

例5 证明过抛物线y =a （x －x 1）·（x －x 2）（a ≠0，x 1

解：)(221x x a ax y +-='，

)(211x x a y x x -='=，即)(21x x a k A -=，)(122x x a y x x -='=，

即)(12x x a k B -=. 设两条切线与x 轴所成的锐角为α、β，则)(tan 21x x a k A -==α，

)(tan 12x x a k B -==β，故tan α=tan β.又α、β是锐角，则α=β.

二、导数的应用

1.以导数概念为载体处理函数图像问题函数图像直观地反映了两个变量之间的变化规律，由于受作图的局限性，这种规律的揭示有时往往不尽人意. 导数概念的建立拓展了应用图像解题的空间。

例1 设函数222+-=x x y 的图像为C 1，函数b ax x y ++-=2的图像为C 2，已知在C 1与C 2的一个交点的切线互相垂直.

（1） 求a ，b 之间的关系；

（2） 若a ＞0，b ＞0，求ab 的最大值.

分析 由导数的几何意义以及两切线的位置关系即可求出a ，b 的关系，

求ab 的最大值可借助不等式求解.

解析 （1）对于C 1：222+-=x x y ，有22-='x y ，

对于C 2：b ax x y ++-=2有a x y +-='2，

设C 1与C 2的一个交点为（00,y x ），由题意知过交点（00,y x ）的两条切

线互相垂直，

∴()()122200-=+--a x x 即()012224020

=-++-a x a x ① 又点（00,y x ）在C 1与C 2上，

故有()0222220200200

0200=-++-????++-=+-=b x a x b ax x y x x y ② 由①②消去0x 可得2

5=+b a ，

（2）由于a ＞0，b ＞0且25=+b a ，所以ab ≤162522

=??? ??+b a ， 当且仅当45==b a 时，取等号，即ab 的最大值为16

25. 本题以函数图像为背景考查导数的几何意义和语言转化能力，而应用导数的几何意义是解决这类问题的关键，即某一点的导数值，即为该点的切线斜率.

2．以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究，导数作为强有力的工具提供了简单、程序化的方法,具有普遍的可操作方法。利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数)(x f '，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间)(x f '的符号，来确定函数)(x f 在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．

例2 讨论下列函数的单调性：

1．x x a a x f --=)(（0>a 且1≠a ）；

2．)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）；

解： 1．函数定义域为R ．).(ln )(ln ln )(x x x x a a a x a a a a x f --+='-??-=' 当1>a 时，.0)(,0,0ln >'∴>+>-x f a a a x x

∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是增函数．

当10<+<-x f a a a x x

∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是减函数．

2．函数的定义域是3

1>x 或.2-

2)(13(log )56()253(253log )(22+-+='-+?-+='x x e x x x x x e x f a a 若1>a ，则当3

1>x 时，0)2)(13(,056,0log >+->+>x x x e a ，