(完整)圆切线练习题(含答案),推荐文档

圆切线问题典型问题

例1. 已知半径为3的⊙O上一点P和圆外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ 和圆的位置关系是（）

A. 相交

B. 相切

C. 相离

D. 位置不定

例2. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O为AB上一点，AO＝m，⊙O

的半径，问m在什么范围内取值时，AC与圆：

（1）相离；（2）相切；（3）相交。

例3. 已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，FE：FD＝4：3。

求证：AF＝DF；

例4. 已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC 交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。

例5. 如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB 相切于点D。

求证：AC与⊙O相切。

点悟：显然AC与⊙O的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。而AB与⊙O 切于D点，可连结OD，则OD⊥AB。

例6. 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。

例7. 在△ABC中，∠A＝70°，点O是内心，求∠BOC的度数。

圆切线问题典型问题答案

例1 解：∵OP＝3，PQ＝4，OQ＝5，

∴，

∴△OPQ是直角三角形，且∠OPQ＝90°，∴PQ⊥OP。

即圆心O到PQ的距离等于圆的半径。

∴PQ和圆的位置关系相切，故选B。

点拨：在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识进行推证。本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

例2.点悟：要判定直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。

解：如图所示，过O作OD⊥AC垂足为D，

，∴

（1）当，即，也即时，则AC与⊙O相离；

（2）当，即，也即时，AC与⊙O相切；

（3）当，即，也即时，AC与⊙O相交。

例3.证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC。

∵∠B＝∠CAE，∴∠BAD＋∠B＝∠DAC＋∠CAE

∵∠ADE＝∠BAD＋∠B，∴∠ADE＝∠DAE，∴EA＝ED

∵DE是半圆C的直径∴∠DFE＝90°∴AF＝DF

例4. 点悟：要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。

证明：连结OD。

∵AD∥OC，

∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD ∴∠COB＝∠COD

∵CO为公用边，OD＝OB

∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC∵BC是切线，AB是直径，

∴∠B＝90°，∠ODC＝90°，∴CD是⊙O的切线。

点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。

例5.点悟：显然AC与⊙O的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。而AB与⊙O切于D点，可连结OD，则OD⊥AB。

证明：连结OD、OA。过O作OE⊥AC，垂足为E。

∵AB＝AC，O为BC的中点，∴∠BAO＝∠CAO

又∵AB切⊙O于D点，∴OD⊥AB，又OE⊥AC，∴OE＝OD，

∴AC与⊙O相切。

点拨：此题用了切线的性质定理，同时又用了切线的判定方法“d＝r”。

例6. 点悟：要证PC＝CD，可证它们所对的角等，即证∠P＝∠CDP，又OA ⊥OB，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。

证明：连结OD，则OD⊥CE。

∴∠EDA＋∠ODA＝90°∵OA⊥OB

∴∠A＋∠P＝90°，又∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠A，∠P＝∠EDA∵∠EDA＝∠CDP，

∴∠P＝∠CDP，∴PC＝CD

点拨：在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。

例7. 点悟：已知O是内心，由内心的概念可知OB、OC分别是∠ABC、∠ACB 的平分线。

解：在△ABC中，∠A＝70°，

∵O是△ABC的内心∴

。

∴

∴