圆切线证明的方法

切线证明法

切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径

切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝

OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线．

思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可．

证明：连接OC ，BC ．

∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o．

∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝21

AB ＝OB ．

∵BD ＝OB ，∴BC ＝2

1

OD ．∴∠OCD ＝90o．

∴DC 是⊙O 的切线．

【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接

OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．

图1

图2

思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明

CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90o即可．

证明：连接OD ．

∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，

∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．

∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90o．∴∠ODC ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线．

【例3】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ．

思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．

证明：连接OC ．

∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．

【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直

图3

切线．

【例4】如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？

解：AC是⊙O的切线．

理由：连接OC，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠B．

∵∠COD是△BOC的外角，

∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．

∵∠ACD=2∠B，

∴∠ACD=∠COD．

∵CD⊥AB于D，

∴∠DCO+∠COD=90°．

∴∠DCO+∠ACD=90°．

即OC⊥AC．

∵C为⊙O上的点，

∴AC是⊙O的切线．

【例5】如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB 的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．

证明：连接OC，则OA=OC，

∴∠CAO=∠ACO，

∵AC平分∠EAB，

∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，

∴AE∥CO，

又AE⊥DE，

∴CO⊥DE，

∴DE是⊙O的切线．

二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径

【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．

证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．

∵AB=AC,OB=OC．

∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO

∵⊙O与AB相切于点D，

∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO

∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．

∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径．

∴⊙O与AC边相切．

【例7】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC 于E，B为切点的切线交OD延长线于F.

求证：EF与⊙O相切.

证明：连结OE，AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC.

又∵AB=BC，

∴∠3=∠4.

⌒⌒

∴BD=DE，∠1=∠2.

又∵OB=OE，OF=OF，

∴△BOF≌△EOF（SAS）.

∴∠OBF=∠OEF.

∵BF与⊙O相切，

∴OB⊥BF.

∴∠OEF=900.

∴EF与⊙O相切.

说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

【例8】如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.

求证：PA与⊙O相切.

证明一：作直径AE，连结EC.

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.

∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.

∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.

又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E

∵AE是⊙O的直径，

∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.

∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切.

证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.

∵AD是∠BAC的平分线，

⌒⌒

∴BE=CE，

∴OE⊥BC.

∴∠E+∠BDE=900.

∵OA=OE，

∴∠E=∠1.

∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA.

又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切

说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.

证明一：连结OD.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

∵OB=OD，

∴∠1=∠B.

∴∠1=∠C. ∴OD ∥AC. ∵DM ⊥AC ， ∴DM ⊥OD.

∴DM 与⊙O 相切

证明二：连结OD ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC.

又∵AB=AC,

∴∠1=∠2. ∵DM ⊥AC ， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD ， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. 即OD ⊥DM.

∴DM 是⊙O 的切线

说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.

【例10】 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.

D

C

求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300.

∴∠BOC=∠A+∠1=600.

又∵OC=OB ， ∴△OBC 是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD ， ∴OB=BC=BD. ∴OC ⊥CD.

∴DC 是⊙O 的切线.

说明：此题解法颇多，但这种方法较好.

【例12】 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP . 求证：PC 是⊙O 的切线. 证明：连结OC

∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD ·OP ，

OC

OP

OD OC . 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC.

D

∵CD⊥AB，

∴∠OCP=900.

∴PC是⊙O的切线.

说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的

【例13】如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.

求证：CE与△CFG的外接圆相切.

分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.

证明：取FG中点O，连结OC.

∵ABCD是正方形，

∴BC⊥CD，△CFG是Rt△

∵O是FG的中点，

∴O是Rt△CFG的外心.

∵OC=OG，

∴∠3=∠G，

∵AD∥BC，

∴∠G=∠4.

∵AD=CD，DE=DE，

∠ADE=∠CDE=450，

∴△ADE≌△CDE（SAS）

∴∠4=∠1，∠1=∠3.

∵∠2+∠3=900,

∴∠1+∠2=900.

即CE⊥OC.

∴CE与△CFG的外接圆相切

二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”【例14】如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.

求证：AC与⊙D相切.

证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.

∵AB是⊙D的切线，

∴DE⊥AB.

∵DF⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC=900.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

又∵BD=CD，

∴△BDE≌△CDF（AAS）

∴DF=DE.

∴F在⊙D上.

∴AC是⊙D的切线

证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.

∵AB与⊙D相切，

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠1=∠2.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF.

∴F在⊙D上.

∴AC与⊙D相切.

说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.

【例15】已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.

求证：CD是⊙O的切线.

证明：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.

∵AC，BD与⊙O相切，

∴AC⊥OA，BD⊥OB.

∵AC∥BD，

∴∠F=∠BDO.

又∵OA=OB，

∴△AOF≌△BOD（AAS）

∴OF=OD.

∵∠COD=900，

∴CF=CD，∠1=∠2.

又∵OA⊥AC，OE⊥CD，

∴E点在⊙O上.

∴CD是⊙O的切线.