椭圆的常见题型及解法(一)
椭圆的常见题型及其解法(一)
椭圆是圆锥曲线的内容之一,也是高考的热点和重点,椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习,笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨,希望对学习椭圆的同学有所帮助.
一、椭圆的焦半径
椭圆上的任意一点到焦点F 的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义,很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导
设P(
,
）是椭圆上的任意一点,
分别是椭圆的左、右焦点,椭圆
,求证，。
证法1:
。
因为，所以
∴
又因为，所以
∴
，
证法2：设Ｐ到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知
11
PF e d ,又
,所以
,而
。
∴
,
。
2.公式的应用
例1 椭圆
上三个不同的点A()、B(）、C （)到焦点F （4,0）
的距离成等差数列，则
12
x x + .
解：在已知椭圆中，右准线方程为
25
4x =
,设Ａ、Ｂ、C 到右准线的距离为
，则
、
、。
∵
，
，
,而|AF|、|B Ｆ｜、|ＣF|成等差数列。
∴,即,。
例２．12,F F 是椭圆22
14x y +=的两个焦点，P
是椭圆上的动点，求
的最大值和
最小值。 解:设
，则1020332,2.22PF x PF x =+
=-2
12034.4
PF PF x ?=-
P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4,最小值为1．
变式练习1：． 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦A Ｂ的长度。
解:由已知可得
，所以直线AB 的方程为
,代入椭圆方程得
设
，则
,从而
变式练习２. 设Ｑ是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上任意一点，求证：以2QF (或1QF ）为直
径的圆C 与以长轴为直径的圆相内切。 证明：设
，圆C 的半径为r
即
也就是说：两圆圆心距等于两圆半径之差。故两圆相内切 同理可证以
为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切。
３.椭圆焦半径公式的变式
P 是椭圆x a y b a b 222
210+=>>()上一点，E 、F 是左、右焦点，ＰE 与ｘ轴所成的角为
α，PF 与ｘ轴所成的角为β,c 是椭圆半焦距，则（１)||cos PE b a c =-2
α;（2）
||cos PF b a c =+2
β
。
P 是椭圆y a x b a b 222
210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点,ＰE 与x 轴所成的角为α,PF
与x 轴所成的角为β,ｃ是椭圆半焦距，则（３)||sin PE b a c =+2
α
;（４）||sin PF b a c =-2β。
证明:（１)设P 在x 轴上的射影为Q ，当α不大于90°时，在三角形PEQ 中，有
|
|||||cos PE c
x PE EQ P +==
α 由椭圆焦半径公式（1)得 ||PE a ex P =+。 消去x P 后，化简即得(1）||cos PE b a c =-2
α
。
而当α大于90°时，在三角形P ＥQ 中,有|
|||||)cos(PE x c PE EQ P
--==
-απ
?=
+cos ||
αx c
PE P ， 以下与上述相同。（2）、（３）、（4）的证明与（1）相仿，从略。
4.变式的应用
对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。
例1． （20０5年全国高考题)P 是椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()上一点，Ｅ、F 是左右
焦点,过P 作x 轴的垂线恰好通过焦点F ，若三角形PE Ｆ是等腰直角三角形,则椭圆的离心率
是＿___＿＿_____。
解：因为ＰF ⊥ＥF,所以由(2）式得 ||cos PF b a c b a
=+=22
90°。再由题意得
222222
0222||||e a ac c ac c a a
b c PF EF ?=-+?=-?=?=＋210e -=。
注意到0121<<=
-e e 解得。
例２． P 是椭圆
x y 22
10064
1+=上且位于ｘ轴上方的一点,E ，F 是左右焦点,直线P Ｆ的斜率为-43，求三角形ＰEF 的面积。
解:设ＰＦ的倾斜角为β，则:
tan cos sin βββ=-=-=431743
7
，，。因为a ＝1０，b ＝８,c ＝6,由变式（2)得
||()
PF =
+-=81061
7
72
× 所以三角形P ＥF 的面积
3247
3462721sin ||||21===
××××βEF PF S 变式训练１．经过椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()的左焦点F １作倾斜角为60°的直线和
椭圆相交于A ，Ｂ两点,若||||AF BF 112=,求椭圆的离心率。
解:由题意及变式（2)得
b a
c b a 22
60260180-=-+cos cos()
°×°°
化简得212322
3
a c a c c a e c a -=+
?=?==。 变式训练２.设F 是椭圆x y 2
2
21+=的上焦点，PF FQ →→与共线,MF FN →→与共线，且PF MF →→
·=０。求四边形PMQ Ｎ面积的最大值和最小值。
解：设PF 倾斜角为α,则由题意知PF ⊥MF,所以ＭF 倾斜角为90°＋α，而
a b c ===211，，,由题意及（3）式得
||||||
sin sin()sin PQ PF FQ =+=-+
-+=
-121
21802222ααα
° 同理得||cos MN =
-22
22
α
。由题意知四边形PMQ Ｎ面积 S PQ MN =
1
2
|||| α
αα
αααα
α4cos 17322sin 816cos sin 4816
cos sin 24cos 222sin 2222122
22222-=
+=+=+=--=·
· 当cos41α=时，S max =
-=32171
2;当cos41α=-时,S min ()=--32171=16
9。
二 椭圆的焦点弦
设椭圆方程为22222
221(0,)x y a b c a b a b
+=>>=-过椭圆右焦点且倾斜角为
()2πθθ≠的直线方程为sin ()cos y x c θ
θ
=-，此直线交椭圆于,A B 两点，求焦点弦AB 的长.
例１、已知椭圆的长轴长AB 8=,焦距21F F =24,过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？ 分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦,且4=a ,22=c ，从而22=b ,故由焦
点弦长公式θ2
222
21cos 2c a ab F F -=及题设可得:24cos 816)22(4222=-??α,解得αcos ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。
例2、在直角坐标系中，已知椭圆Ｅ的一个焦点为F(3,１)，相应于F 的准线为Y 轴,直线l 通过点F ，且倾斜角为3
π
，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的
方程。
分析:由题意可设椭圆E 的方程为
1)1()3(22
22=-+--b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Ｙ轴,故有32
+=c c
a (1）， 又由焦点弦长公式有3
cos 22
222
π
c a ab -=
5
16
(2）又 222c b a += (３）。解由（1)、(２）、（3)联列的方程组得：42=a ,32
=b ,1=c ,
从而所求椭圆E 的方程为
13
)1(4)4(2
2=-+-y x 。 变式训练1、已知椭圆Ｃ：12222=+b y a x (0>>b a ),直线1l :1=-b
y
a x 被椭圆Ｃ截得的
弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的5
2
，求椭圆C 的方程。
分析：由题意可知直线1l 过椭圆C 的长、短轴的两个端点,故有82
2
=+b a , （1）
又由焦点弦长公式得θ2
222cos 2c a ab -=54a , （2） 因tan θ=3，得3
π
θ=，(3) 又 2
2
2
c b a += （４）。解由（1）、（2）、（3)、(4)联列的方程组得：62
=a ,22
=b ，
从而所求椭圆Ｅ的方程为12
62
2=+y x 。 例3.已知椭圆22
132
x y +=的左右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于,A C 两点，且AC BD ⊥,求四边形ABCD 的面积的最小值.
椭圆的常见题型及解法(一).
椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P （，）是椭圆上的任意一点， 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆 ，求证，。证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ，又，所 以， 而 。
∴，。 2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为 ， 则、、。 ∵ ， ， ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求 的最大值和最 小值。 解：设 ，则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。 解：由已知 可得 ，所以直线AB 的方程 为 ，代入椭圆方程 得 设 ，则 ，从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为
椭圆典型题型归纳(供参考)
椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 练习： 1.6=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的 另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6.设圆22 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例1.方程22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程； 例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>
(完整版)椭圆常见题型总结
椭圆常见题型总结 1、椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决； 椭圆 22 2 21(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PF F ?中，12F PF α=∠，则当P 为短轴端点时α最大，且 ① 122PF PF a +=； ②22 2 12122cos 4c PF PF PF PF α=+-； ③12 121 sin 2PF F S PF PF α?= =2tan 2 b α?（b 短轴长） 2、直线与椭圆的位置关系：直线y kx b =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>交于 1122(,),(,)A x y B x y 两点，则12AB x =-=3、椭圆的中点弦：设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同两点， 00(,)M x y 是线段AB 的中点，可运用点差法可得直线AB 斜率，且20 20 AB b x k a y =-； 4、椭圆的离心率 范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。 求椭圆离心率时注意运用：c a e = ，222c b a += 5、椭圆的焦半径 若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任一点，焦点 为1(,0)c F -，2(,0)c F ，则焦半径10PF a ex =+，10PF a ex =-； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定2 a ，2 b 值，结合焦点位置直接写出椭圆方程； ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出2 a ，2 b ，从而求出标准方程； ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为221Ax By +=；
椭圆知识点归纳总结和经典例题
椭圆的基本知识 1．椭圆的定义：把平面与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12 2=+b a （a ＞ b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0) 不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线 向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解: (相 关点法)设点M (x , y ),点P (x 0, y 0), 则x ＝x 0, y ＝ 2 0y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02 ＋y 02 ＝4, 得 x 2 ＋(2y )2 ＝4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.围. x 2≤a 2，y 2≤b 2 ，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里． 5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的 长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2 ， 即c 2＝a 2－b 2 ． 7.椭圆的几何性质：
椭圆常考题型汇总及练习进步
椭圆常考题型汇总及练习 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数 ()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ()c 2. 椭圆的几何性质:以 ()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用 于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e =，()10,0<<∴>>e c a Θ （2）22F OB Rt ?, 2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且 22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -= 越小， 椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而2 2c a b -=越大，椭圆越接近圆。
椭圆常见题型总结
椭圆常见题型总结 1椭圆中的焦点三角形： 通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决; 0)上一点P(x 0, y 0)和焦点F i ( c,0) ， F 2(C ,0)为顶点的 ① PF [ PF 2 2a ； 人任孑)，B(X 2, y 2)两点，贝U AB| J i|x 1 x 2| J ik 2J (x 1 X 2)24x 1x 2 2 2 3、椭圆的中点弦： 设A(X i , yj, B(X 2,y 2)是椭圆 务% 1(a b 0)上不同两点, a b M(x °,y °)是线段AB 的中点，可运用 点差法可得直线 AB 斜率，且k AB 4、椭圆的离心率 求椭圆离心率时注意运用： e C , a 2 b 2 C 2 a 2 2 若P(x 0, y 0)是离心率为e 的椭圆^2 1(a a b 椭圆 x 2 y2 !(a b a b PF i F 2 中，F 1PF 2 ，则当P 为短轴端点时 最大，且 ②4C 2 2 PF i 2 PF 2 2 PF 1 PF 2 COS ③ S PF 1F 2 1 1|PF i |PF 2 sin 2 =b tan ( b 短轴长) 2 2、直线与椭圆的位置关系： 直线y 2 kx b 与椭圆笃 a 2 b 1(a b 0)交于 b 2X o ； ~2~ ； a y 。 范围：0 e 1, e 越大，椭圆就越扁。 5、椭圆的焦半径 b 0)上任一点，焦点
为 F i （ c,0） , F 2C O ），则焦半径 PF i a ex o , PR a ex o ； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定 a 2, b 2值，结合焦点位置直接写出椭圆方程; ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出 准方程; ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为 Ax 2 By 2 1； 椭圆方程的常见题型 2 x 2、已知x 轴上一定点 A （1,0），Q 为椭圆 y 2 1上的动点，贝U AQ 中点M 的轨迹方程 4 的轨迹方程是（ ） 2 x 2 “ C y 1 4 6、设一动点P 到直线x 3的距离与它到点 A （1,0）的距离之比为-.3，则动点P 的轨迹方 2 2 a ， b ,从而求出标 1、点P 到定点F （4,0）的距离和它到定直线 10的距离之比为 1:2，则点P 的轨迹方程 3、平面内一点 M 到两定点F 2（0, 5）、F 2（0,5）的距离之和为 10,则M 的轨迹为（ A 椭圆 B 圆 4、经过点（2, 3）且与椭圆9x 2 4y 2 2 2 2 2 A 乞匕1 B x L 1 15 10 10 15 C 直线 D 线段 36有共冋焦点的椭圆为 （ ) 2 2 2 2 C0匕1 x D — 工1 5 10 10 5 2 2 5、已知圆x y 1，从这个圆上任意一点 P 向y 轴做垂线段 PR ，则线段PR 的中点M A 4x 2 y 2 1 B x 2 4y 2 1
高考数学-直线和椭圆(圆锥曲线)常考题型
高考数学 直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =r r g 2、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 3、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB = 或者AB = 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解： 14m m ≤≠且。 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2 (1)y k x y x =+?? =?消y 整理，得2222 (21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得 2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即2 1 04 k << ② 由韦达定理，得：212221 ,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22211 (,)22k k k -- 。 线段的垂直平分线方程为：2 21112()22k y x k k k --=--
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
（一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：
椭圆题型归纳大全
椭圆题型归纳大全
椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆2 2:(4)100 C x y ++=相内切，且 过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 例2. 方程 2 x =++所表示的曲线是 练习： 1.方程 6 =对应的图形是 （ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2. 10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 3.方程 10 =成立的充要条件是 （ ） A. 2 2 12516x y += B.2 2 1 259 x y += C. 22 11625 x y += D. 22 1925 x y +=
4. 1 m =+表示椭圆，则 m 的取值范围是 5.过椭圆2 2941 x y +=的一个焦点1 F 的直线与椭圆相 交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2 F 构成的2 ABF ?的周长等于 ； 6.设圆2 2(1) 25 x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点， Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点 M ，则点M 的轨迹方程 为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例 1.方程 22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例 3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 1 P 、2 (P ，求椭圆的方程；
椭圆综合专题整理(供参考)
椭 圆专题总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程； （提醒：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0； ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题” （如：AQ QB λ= ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；
①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性， 关键是积累“转化”的经验； 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型： 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题 1、已知点00(,)P x y 是椭圆2 2:12 x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。
高中数学椭圆题型完美归纳(经典)
椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形， 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点 椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .
|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2． 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2 OM AB b k k a ?=-，即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e
椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归 纳 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
椭圆常见题型与典型方法归纳 考点一 椭圆的定义 椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两 定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e= a c (0
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点， 在x 轴上是否存在一点E(0 x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0 x ；若不存在，请说明理由。 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2 y x =相交A 、B 两点， 则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 3 倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+， k ≠，1 1 (,)A x y ，2 2 (,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =? 消y 整理，得2 2 22(21)0 k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2 242(21)4410 k k k ?=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理，得： 2122 21 ,k x x k -+=-121 x x =。则线段AB 的中点为
22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0 211 22x k = -，则2 1 1 (,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形，∴2 1 1(,0)22 E k -到 直线AB 的距离d 为 32 AB 。 2 2 1212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -= +g 212k d k +=222 23141122k k k k k -+∴+=g 解得39 13 k =± 满足②式此时0 53 x = 。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 3倍，将k 确定，进而求出0 x 的坐标。 例题2、已知椭圆 12 22 =+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
椭圆经典例题分类汇总
椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为： 116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆 19 82 2=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82 +=k a ，92 =b ，得12 -=k c ．由2 1 =e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92 =a ，82 +=k b ，得k c -=12 ． 由21= e ，得 4191=-k ，即4 5 -=k ． ∴满足条件的4=k 或4 5 -=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ? ??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<
求椭圆离心率范围的常见题型及解析
求椭圆离心率范围的常见题型解析解题关键:挖掘题中的隐含条件,构造关于离心率e的不等式. 一、利用曲线的范围，建立不等关系 例１已知椭圆22 2 2 1(0) x y a b a b +=>>右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OＰ垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围. 例2 已知椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为 12 (,0),(,0) F c F c -,若椭圆上存在 一点P使 1221 sin sin a c PF F PF F =,则该椭圆的离心率的取值范围为() 21,1 -.
二、利用曲线的平面几何性质,建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点,满足 的点P 总在椭圆内部，则椭圆离心 率的取值范围是( ) A.(0,1) Ｂ. 1(0, ]2 Ｃ．2 (0, )2 D.2[,1)2 ?三、利用点与椭圆的位置关系,建立不等关系 例4已知ABC ?的顶点Ｂ为椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 短轴的 一个端点,另两个顶点也在椭圆上，若ABC ?的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ，求椭圆离心率的范围. x y O F 1 F 2
四、利用函数的值域，建立不等关系 例5椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=?OB OA (Ｏ为原点），若椭圆长轴长的取值范围为 []6,5，求椭圆离心率的范围. 五、利用均值不等式，建立不等关系. 例６ 已知F １、Ｆ2是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点，∠F １P Ｆ2＝６０°.求椭圆离心率的范 围； 解 设椭圆方程为错误!未定义书签。+ｙ2 b 2＝１ (a ＞b>0),|PF 1|＝ｍ,|PF 2|＝ｎ，则ｍ+n ＝2a. 在△ＰF 1F 2中，由余弦定理可知, 4c 2=ｍ２+n 2－2ｍｎc ｏs 6０°=(m ＋ｎ)2－3m ｎ ＝4a 2-3mn ≥４ａ2-3·错误!2=4ａ2－3a 2=ａ２ (当且仅当m ＝n 时取等号).∴错误!未定义书签。≥错误!未定义书签。,即ｅ≥错误!未定义书签。. 又０ 椭圆各类题型分类汇总 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8- 椭圆经典例题分类汇总 1. 椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例2 已知椭圆 19822=++y k x 的离心率2 1 =e ，求k 的值． 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 例4 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 例5 已知动圆P 过定点()03， -A ，且在定圆()64322 =+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13 42 2=+ y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2 已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ，长轴 端点为 1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点， θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）． 3.第二定义应用 例1 椭圆112 162 2=+ y x 的右焦点为F ，过点() 31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标． 例2 已知椭圆1422 22=+b y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距 离． 例3 已知椭圆15 92 2=+ y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． (1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求22 3 PF PA + 的最小值及对应的点P 的坐标． 4.参数方程应用 例1 求椭圆13 22 =+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 例2 (1)写出椭圆1492 2=+ y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积． 例3 椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使 AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围． 5.相交情况下--弦长公式的应用 例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为 5 10 2，求直线的方程． 例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为 3 π 的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 6.相交情况下—点差法的应用 高中数学重难点 椭圆 一、考点、热点回顾 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹 （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离 间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动 点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）? { cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为 参数），焦点在y 轴上时2222b x a y +＝1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？ （ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值 范围为____（答：11 (3,)(,2)22 ---）；（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____， 22y x +的最小值是___2） 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程 1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)23,1()1,( --∞） (2)方程() 22 2 211x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点： 两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =， 椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆1522=+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或3 25 ）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长 轴的最小值为__（答：22） 二、典型例题 考点11 椭圆 1.（2010·广东高考文科·Ｔ7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A ． 45 B ．35 C ．25 D ．15 【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，列出a 、b 、c 的关系，再转化为a 、c 间的关系，从而求出e . 【规范解答】选B .Q 椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,∴ 2b a c =+， ∴ 224()b a c =+，即： 22242b a ac c =++，又 222a b c =+， ∴ 224()a c -=222a ac c ++，即 223250a ac c --=，()(35)0a c a c +-=，∴ 0a c +=（舍去）或 350a c -=，∴ 3 5 c e a = =，故选B . 2.（2010·福建高考文科·Ｔ１1）若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ?u u u r u u u r 的最大值为（ ） A.2 B.3 C.6 D.8 【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值. 【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设P 为动点，依题意写出OP FP ?u u u r u u u r 的表达式，进而转化 为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解. 【规范解答】选C ，设()00P x ,y ，则2222 0000x y 3x 1y 3434 +==-即，又因为()F 1,0- ()2000OP FP x x 1y ∴?=?++u u u r u u r 2001x x 34=++()2 01x 224 =++，又[]0x 2,2∈-， () []OP FP 2,6∴?∈u u u r u u r ，所以 ()max 6OP FP ?=u u u r u u u r . 3.（2010·海南高考理科·T20）设12,F F 分别是椭圆E:22 221x y a b +=（a>b>0）的左、右焦 点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列. （Ⅰ)求E 的离心率； （Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程. 椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得 2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是( ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ，M 是α内的动点，且a MF MF 221=+,判断动点M 的轨迹. 5. 椭圆19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。 (二) 标准方程求参数范围 1. 若方程13 52 2=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围.（3，4）U （4，5） 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 已知方程11 252 2=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是 . 4. 已知方程222=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 5. 方程2 31y x -=所表示的曲线是 . 6. 如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围。 7. 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。 8. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为 26； （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）； （3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求 椭圆方程. 2. 以)0,2(1-F 和)0,2(2F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点，则该椭圆的方程 为 。 3. 如果椭圆：k y x =+224上两点间的最大距离为8，则k 的值为 。 4. 已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆3694:222=+y x C 的两个焦点一个正方 形的四个顶点，且椭圆C 过点A （2，－3），求椭圆C 的方程。 5. 已知P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离为 354和3 52，过点P 作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。 6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程椭圆各类题型分类汇总修订稿
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