2017年上海市数学中考真题(含答案)

2017年上海市初中毕业统一学业考试

数学试卷

考生注意： 1．本试卷共25题；

2．试卷满分150分，考试时间100分钟

3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 4．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列实数中，无理数是

（ ）

A ．0；

B ；

C ．2-；

D ．

2

7

2．下列方程中，没有实数根的是

（ ）

A ．2 20x x -=；

B ．2210x x --=；

C ．2210x x -+=；

D ．2220x x -+=．

3．如果一次函数y kx b =+（k 、b 是常数，0k ≠）的图像经过第一、二、四象限，那么k 、b 应满足的条件是

（ ）

A ．0k >，且0b >；

B ．0k <，且0b >；

C ．0k >，且0b <；

D ．0k <，且0b <． 4．数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是

（ ）

A ．0和6；

B ．0和8；

C ．5和6；

D ．5和8． 5．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是

（ ）

A ．菱形；

B ．等边三角形；

C ．平行四边形；

D ．等腰梯形．

6．已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是

（ ）

A ．BAC DCA ∠=∠；

B ．BA

C DAC ∠=∠；

C ．BAC AB

D ∠=∠；

D ．BAC ADB ∠=∠．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7．计算：22a a ?=____▲____． 8．不等式组26

20

x x >??

->?的解集是▲．

91=的根是____▲____．

10．如果反比例函数k

y x

=

（k 是常数，0k ≠）的图像经过点()2,3，那么在这个函数图像所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而___▲___．（填“增大”或“减小”）

11．某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了10%．如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今年PM2.5的年均浓度将是___▲___微克/立方米．

12．不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率是___▲___．

13．已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为()0,1-，那么这个二次函数的解析式可以是___▲___．（只需写一个）

14．某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图1所示，又知二月份产值是72万元，那么该企业第一季度月产值的平均数是___▲___万元．

15．如图2，已知AB ∥CD ，2CD AB =，AD 、BC 相交于点E ．设AE a =uu u r r ，CE b =uur r ，那么向量CD uuu r 用向量a r 、b r

表示为___▲___．

图1

图2

图3

图4

16．一副三角尺按图3的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA 与边FE 叠合，顶点B 、C 、D 在一条直线上）．将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转n o 后（0180n <<），如果//EF AB ，那么n 的值是___▲___．

17．如图4，已知Rt ABC V ，90C ∠=?，3AC =，4BC =．分别以点A 、B 为圆心画圆，如果点C 在A e 内，点

B 在A e 外，且B e 与A e 内切，那么B e 的半径长r 的取值范围是___▲___．

18．我们规定：一个正n 边形（n 为整数，4n ≥）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”，记为n λ，那么6λ=___▲__．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）

)1

1

2

2

1

19

2

-

??

-+ ?

??

20．（本题满分10分）

解方程：

2

31

1

33

x x x

-=

--

21．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）

如图5，一座钢结构桥梁的框架是ABC

V，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD BC

⊥．（1）求sin B的值；

（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上2

BE AE

=，且EF BC

⊥，垂足为点F．求支架DE的长．

22．（本题满分10分，每小题满分各5分）

甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费用y （元）与绿化面积

x （平方米）是一次函数关系，如图6所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿

化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元． （1）求图6所示的y 与x 的函数解析式；（不要求写出定义域）

（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．

23．（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）

已知：如图7，四边形ABCD 中，//AD BC ，AD CD =，E 是对角线BD 上一点，且EA EC =． （1）求证：四边形ABCD 是菱形；

（2）如果BE BC =，且:2:3CBE BCE ∠∠=，求证：四边形ABCD 是正方形．

24．（本题满分12分，每小题满分各4分）

已知在平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线2

y x bx c =-++经过点()2,2A ，对称轴是直线1x =，顶点为

B ．

（1）求这条抛物线的表达式和点B 的坐标；

（2）点M 在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m ，联结AM ，用含m 的代数式表示AMB ∠的余切值； （3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C 在x 轴上．原抛物线上一点P 平移后的对应点为点Q ，如果

OP OQ =，求点Q 的坐标．

25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）

如图9，已知O e 的半径长为1，AB 、AC 是O e 的两条弦，且AB AC ，BO 的延长线交AC 于点D ，联结OA 、OC ． （1）求证：OAD ABD V :V ；

（2）当OCD V 是直角三角形时，求B 、C 两点的距离；

（3）记AOB V 、AOD V 、COD V 的面积分别为1S 、2S 、3S ，如果2S 是1S 和3S 的比例中项，求OD 的长．

2017年上海市初中毕业统一学业考试

数学试卷参考答案

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1、B ；

考察方向：基础概念。

知识内容：本题考查无理数的定义，选项设置分别为“自然数/整数”、“无理数”、“负数/整数”、“分数” 2、D ；

考察方向：基础知识和基本技能/理解初中数学有关基础知识 知识内容：方程与代数/一元二次方程根的判别式

方法：本题考查一元二次方程的根与判别式的关系。经计算，D 选项：40?=-<。 本题也可通过配方的方式，得到答案。 3、B ；

考察方向：基础概念，函数图像。 方法：数形结合。

知识内容：本题考查一次函数图像性质，经过二、四象限，可知0k <，经过一、二象限，可知0b >。 4、C ；

考察方向：基础概念。 方法：数据重排。

知识内容：本题考查统计量基本概念，将数据重排：0，1，2，5，6，6，8，可看出中位数为5，众数为6。 点评：A 选项如果不进行重排，可作为干扰项；但如果本题能将D 选项改成“6和5”，那就会从审题上进一步提高干扰难度（看错中位数和众数的顺序）。 5、A ；

考察方向：基础概念。

知识内容：本题考查轴对称基本概念，同时要求学生掌握各类四边形的基本形状特征。 6、C ；

考察方向：几何图形性质判定。 方法：直接法。

知识内容：本题考查轴对称基本性质的应用--特殊的平行四边形，A 选项对任意平行四边形均成立；B 选项可得到对角线评分一组对角，因此是菱形；C 选项可判定对角线的一半相等，因此对角线相等，从而是矩形，正确。D 选项比较有挑战性，若能用直接法判定C 选项，D 可直接跳过，而D 选项，由BAC ADB ∠=∠可推知BAO BDA V :V ，∴

21

2BA BD BD BD =

??=，因此，在画图的时候，可先画线段BD ，然后以B 为半径做圆，在圆上任取不与BD 相交的点，都可作为A 点，因此D 无法断定为矩形。

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7、32a ；

考察方向：基础计算。

知识内容：本题考查幂指数运算。 8、3x >；

考察方向：基础计算。

知识内容：本题考查不等式解法，以及通过数轴作图的方式得到不等式组最终答案。 9、2x =；

考察方向：基础计算。 知识内容：本题考查根式方程。

1=，既能考查根式方程，二次方程，又可以考查增根，考查效果会更好。 10、减小；

考察方向：基础概念及性质，概念计算。

知识内容：本题考查反比例函数性质，概念计算，经过点()2,3，可知在1，3象限，故填“减小”。 11、40.5；

考察方向：百分比概念，数学建模，基础计算。

知识内容：本题考查百分数的计算，认真审题之后，得到式子()()50110%110%?-?-，即可得到答案。 点评：结合实际问题，需要考生认真审题，理清三年之间的关系即可。 12、

310

； 考察方向：基本概念，概率计算。

知识内容：本题考查概率的计算，抽取1次，很基础的计算。 13、2

1y x =-等； 考察方向：基础概念。

知识内容：本题考查二次函数顶点式，由题意可设置二次函数顶点式()2

01y a x =--，任取0a >，即可。 14、80；

考察方向：统计饼状图，审题。

知识内容：本题考查饼状图百分比计算，算出二月份占比30%，因此三个月总数240万，然后计算出一季度总产值108万，但此时特别注意问题“第一季度月产值的均值”，还要÷3．

15、2a b +r r ；

考察方向：掌握向量加减基本方法。

知识内容：本题考查平行线性质，实数与向量相乘的几何意义，向量的加减．综合性较好，适合在15题开始抬升难度梯度． 16、45o

；

能力要求：空间观念/能进行几何图形的基本运动和变化 知识内容：图形与几何/平行线的判定和性质

点评：题中有限制条件，旋转角在0~180°之间。从某种程度上降低了一定难度；本题如果进一步改编，如果“//DE AB ”难度就可以上升到17题水平。相应解法使用“高”。 17、810r <<；

能力要求：空间观念/能够从复杂的图形中区分基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系 知识内容：图形与几何/平行线的判定和性质

点评：题中有限制条件，旋转角在0~180°之间。从某种程度上降低了一定难度；本题如果进一步改编，如果“//DE AB ”难度就可以上升到17题水平。相应解法使用“高”。

解析：设A e 半径为R ，则581035r R r R -=??<

18

、

2

； 能力要求：解决简单问题的能力/初步掌握观察、操作、比较、类比、归纳的方法；懂得“从特殊到一般”、“从一般到 特殊”及“转化”等思维策略。

知识内容：图形与几何/多边形及其有关概念，锐角三角比

点评：本题只需弄清概念即可，针对问题6n =的情况，画图，然后明确角度，将提干的定义转化为合适的三角比，本题即可求解。

解析：如图，在正六边形ABCDEF 中，AE 是一条最短的对角线，EB 是一条最长的对角线.，60CBA ∠=?，所以

3

sin 60

AE EB ==

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（本题满分10分）

能力要求：基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算

知识内容：数与运算/实数的运算；方程与代数/分数指数幂的概念和运算；方程与代数/

二次根式的性质及运算 解析：原式

(3322=--+=

20．（本题满分10分）

能力要求：基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算 知识内容：方程与代数/分式方程的解法 解析：去分母，得233x x x -=-． 移项、整理得2230x x --=． 解方程，得13x =，21x =-．

经检验：13x =是增根，舍去；21x =-是原方程的根． 所以原方程的根是1x =-．

19、20题点评：两道基础计算题，并没有特别大的变化，只需要保证计算的正确率和过程的完整性，就可以不失分。

21．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分） 能力要求：

（1）运算能力/知道有关算理，能根据问题条件，寻找和设计合理、有效的运算途径 （2）运算能力/知道有关算理，能根据问题条件，寻找和设计合理、有效的运算途径

运算能力/能通过运算进行推理和探求 知识内容：

（1）图形与几何/等腰三角形的性质

图形与几何/勾股定理

图形与几何/锐角三角比（锐角的正弦、余弦、正切、余切）的概念 （2）图形与几何/画已知直线的垂线，尺规作线段的垂直平分线

图形与几何/勾股定理

解析：（1）∵D 是BC 中点，18BC =，∴9BD =

又∵6AD =，且AD BC ⊥，∴在Rt ABD 中，AB =

∴sin

AD B AB =

==

（2）∵2BE AE =，∴

2

3

BE BA =． ∵EF BC ⊥，AD BC ⊥，∴//EF AD ，∴

2

3

BF EF BE BD AD BA ===， 又∵6AD =，9BD =，∴4EF =，6BF =，∴963DF BD DF =-=-=

∴在Rt DEF 中，5DE =

=

22．（本题满分10分，每小题满分各5分） 能力要求：

（1）解决简单问题的能力/知道一些基本的数学模型，并通过运用，解决一些简单的实际问题 （2）基础知识与基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算 知识内容：

（1）函数与分析/用待定系数法求一次函数的解析式

函数与分析/一次函数的应用

（2）函数与分析/函数以及函数值等有关概念

解析：（1）设y 关于x 的函数解析式为()0y kx b k =+≠

由题意，得4000900100b k b =+??=?+?，解得5400k b =??=?

（2）设乙公司每个月收取费用为z ，由题意，()()()550010005500410001000x z x x ≤??=?

+->??

。 若1200x =，代入第（1）问，得甲公司方案费用：512004006400y =?+= 代入z 的解析式，得乙公司方案费用：()55004120010006300z y =+?-=< ∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．

点评：第二问中关于乙公司的函数关系，需要用分段函数的表示，然后利用函数值的大小比较得到最终的答案。 23．（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分） 能力要求：

（1）逻辑推理能力/能简明和有条理地表述演绎推理过程，合理解释推理演绎的正确性 （2）空间观念/能够从复杂的图形中区分基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系 知识内容：

（1）图形与几何/平行四边形的判定和性质 图形与几何/等腰三角形的性质 图形与几何/菱形的判定和性质 （2）图形与几何/等腰三角形的性质 图形与几何/三角形的内角和 图形与几何/正方形的判定

解析：（1）∵AD DC

EA EC ED ED =??

=??=?

，∴()AED CED SSS ?,

∴ADE CDE ∠=∠

又∵//AD BC ,∴ADE CBE ∠=∠, ∴CDE CBE ∠=∠,∴CD CB =,

∴AD BC =,又//AD BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 又AD DC =,∴ABCD 是菱形，即证

（2）∵BE BC =，∴BEC 是等腰三角形，∴BEC BCE ∠=∠

∵:2:3CBE BCE ∠∠=，∴设2CBE x ∠=，则3BEC BCE x ∠=∠= 在△BEC 中，8180CBE BEC BCE x ∠+∠+∠==，∴245x =．

∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 平分ABC ∠，∴2490ABC EBC x ∠=∠== ∴菱形ABCD 是正方形

点评：23题证明并未涉及相似的知识点，仅考察八年级下内容，题目较为简单。 24．（本题满分12分，每小题满分各4分） 能力要求：

（1）基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画（作）图 （2）基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画（作）图 运算能力/知道有关算理，能根据问题条件，寻找和设计合理、有效的运算途径 （3）逻辑推理能力/能简明和有条理地表述演绎推理过程，合理解释推理演绎的正确性 基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画（作）图 知识内容：

（1）函数与分析/待定系数法求二次函数解析式 函数与分析/函数值等有关概念 （2）图形与几何/锐角三角比的概念 图形与几何/平面直角坐标系的有关概念

（3）图形与几何/直角坐标平面上点的平移、对称以及简单图形的对称问题 函数与分析/函数值等有关概念 解析： （1）对称轴122

b

x b =

=?= ，22y x x c =-++代入点()2,2A ，得4422c c -++=?=. 所以抛物线的解析式为2

22y x x =-++.

配方得：()2

13y x =--+，所以顶点B 的坐标为()1,3.

（2）过点A 向抛物线的对称轴作垂线，垂足为D .则(1,2)D 在Rt △AMD 中，1AD =，2MD m =-， 所以cot 2MD

AMB m AD

∠=

=-(3)m >． （3）原抛物线向下平移后得到的新抛物线的解析式为()2

1y x =--.

由题意可设(,),(,3)P x n Q x n - ，因为P 、Q 两点的横坐标相同，当OP OQ =时，

P 、Q 两点的纵坐标互为相反数，所以332n n n -=-?=

，3

(,)2

Q x -

所以()2

3

12

x --=-

. 解得22x =或22x +=

所以点Q 的坐标为2322??- ? ???，或23,22??

+- ? ???

答案：（1）2

22y x x =-++;(1,3)B （2）cot 2,(3)AMB m m ∠=->

（3）2322??-

? ???或322??

- ? ???

25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分） 能力要求：

空间观念/能够从复杂的图形中区分基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系。 空间观念/能由基本图形的性质导出复杂图形的性质。

逻辑推理能力/能简明和有条理地表述演绎推理过程，合理解释推理演绎的正确性 运算能力/能通过运算进行推理和探求。

解决简单问题的能力/初步掌握观察、操作、比较、类比、归纳的方法；懂得“从特殊到一般”、“从一般到特殊”及“转化”等思维策略。

知识内容：

（1）图形与几何/圆的概念

图形与几何/相似三角形的判定和性质及其应用 （2）图形与几何/等腰三角形的性质与判定

（3）数与运算/比、比例和百分比的有关概念及比例的基本性质 方程与代数/一元二次方程的概念及解法 解析：

（1）如图，因为OA OB OC ==，所以12∠=∠，34∠=∠. 所以2123AOB AOC ∠+∠=∠+∠

因为弦AB AC =，所以圆心角AOB AOC ∠=∠，所以13∠=∠. 又因为ADO BDA ∠=∠，所以△OAD

△ABD .

（2）OCD 为直角三角形有两种情况：

①如图，当90ODC ∠=?时，OD ⊥AC ，所以BD 垂直平分AC ，AB CB ∴=.

所以△ABC 是等边三角形，O 是等边三角形的中心，此时22cos303BC

AC DC OC ====.

②如图，当90COD ∠=

?时，△BOC

是等腰直角三角形，此时BC =

=

（3）如图，因为AB AC =，所以O 点到弦AB AC ，的距离相等 所以：123::::S S S AB AD DC =

当2S 是1S 和3S 的比例中项时，2213S S S =??2AD AB CD =?即：2

AD AC CD =?

所以点D

是线段AC 的黄金分割点，

32S CD S AD =

=

所以

32121

=

2

S S OD S OB

S ==

，所以OD ==

.

答案：

（1）证明见解析

（2

（3）

1 2