《微积分(下)》第7章多元函数微积分学__练习题

第七章 多元函数微积分学 第一部分：多元函数微分学

一、二元函数的极限专题练习：

1.求下列二元函数的极限: (1) ()

2

1

1(,)2,2lim

2;y xy x y xy +?

?→- ?

?

?+ (2)

()

()2222

(,),3

lim

sin

;x y x y x y

→∞∞++ (3) ()(,)0,1sin lim

;x y xy

x → (4)

(

(,)0,0lim

x y →

2．证明：当()(,)0,0x y →时，()

44

3

4

4(,)x y f x y x

y

=+的极限不存在。

二、填空题

3. 若22),(y x y y x f -=+，则=),(y x f ；

4.

函数22(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域是D = ； 5. 已知2

(,)x y f x y e = ，则 '(,)x f x y = ； 6. 当23(,)5f x y x y =,则 '(0,1)x f = ； 7. 若2yx e z xy +=，则=??y

z ；

8. 设)2ln(),(x

y

x y x f +

=，则'(1,0)y f =；

9. 二元函数xy

xe z =的全微分=dz ；

10.arctan()Z xy =设，则dz= .

三、选择题

11.设函数 ln()Z xy =，则

Z

x

?=? ( ) A 1y B x y C 1x D y x

12.设2sin(),Z xy = 则

Z

x

?=? ( ) A 2cos()xy xy B 2cos()xy xy - C 22cos()y xy - D 22cos()y xy

13.设 3xy Z =，则

Z

x

?=? ( ) A 3xy y B 3ln3xy C 13xy xy - D 3ln 3xy y

14.已知

0>??x

f

，则（ ） A ()y x f ,关于x 为单调递增；B ()0,>y x f ；C 022>??x

f ；D ()()1,2

+=y x y x f .

15函数()y x f z ,=在点()00,y x 处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）

A 必要而非充分条件；

B 充分而非必要条件；

C 充分必要条件 ；

D 既非充分又非必要条件.

四、计算与应用题

16. (1) 22

e x y z +=, 求(0,1),(1,0)x y z z ''； (2) arctan

y

z x

=, 求(1,1),(1,1)x y z z ''--；

17.2(,),(,)(,)xy x y f x y e yx f x y f x y ''=+已知求和

18.已知 2242(3),x y Z Z Z x y x y

+??=+??设求和

19.22

e xy

z x y

=+，求y x z z '';。

20.设函数 2ln()Z x y =+，求 dZ

21.222ln(),,

Z

Z

Z x x y x

x y

??=+???设求

22.计算下列函数的二阶偏导数:

(1) 22

x z x y

=+； (2) (cos sin )e xy

z x y x =+；

23．求复合函数的偏导数或导数:

(1) 2

22ln ,,y

z u v u v x y x

===+，求,z z x y ????；

(2) e ,arctan uv

y

z u v x

===，求

,z z x y ????；

24.设 (,)Z Z x y = 由方程 2ln 0Z e x y Z ++= 确定，求 dZ

25.设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，求y

z x z ??+??

26．求下列函数的极值

(1) 3

3

3z x y xy =+-； (2) 2

2

2ln 2ln z x y x y =+--； (3) (

)12

2e

x z x y =+；

27．求下列函数的最值（选做题）：

(1) 3

2

2

42,14,11=-+--≤≤-≤≤z x x xy y x y ；

(2) 2

2

,3,0,0=+---+≤≥≥z x y x y xy x y x y ；

28. （选做题）设由方程0),(=++

x

z

y y z x F 确定),(y x z z =，F 具有一阶连续偏导数，证明：xy z y

z y x z x

-=??+??

第二部分：多元函数积分学—二重积分

一、填空题

1、当函数),(y x f 在闭区域D 上________时，则其在D 上的二重积分必定存在

2、若),(y x f 在有界闭区域D 上可积，且21D D D ??，

当0),(≥y x f 时，则????2

1

),(_____________),(D D d y x f d y x f δδ；

当0),(≤y x f 时，则????2

1

),(_____________),(D D d y x f d y x f δδ

3、设βα,为常数，则

()()[]??+D

d y x g y x f σβα,,=______________________

4、区域D 由闭区域21,D D 构成，则

()??D

d y x f σ,=______________________

5、设函数()y x f z ,=在闭区域D 上连续，σ是D 的面积， 则在D 上至少存在一点()ηξ,使得()??D

d y x f σ,=______________________

6、计算

??D

xyd σ=__________，其中 D 是由直线x y x y ===,2,1所围成的闭区域。

7、设D 是顶点分别为()()()()1,0,2,1,0,1,0,0的直边梯形，计算()??+D

yd x σ1=_________

8、改变下列二次积分的积分次序

??10

10

fdy dx =______________________； ??

--2

1222

x x x fdy dx =________________；

???

?

-+10

31

30

20

y

y

fdx dy fdx dy =______________；

()?

?x

u

dv v f du 0

=________________；

9、把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分

()??≤++4

22y x dxdy y x =____________； ??

≤+??? ?

?

+x

y x dxdy x y y x f 22222arctan ,=____________；

??+D

y x dxdy e

2

2=_______________((){}

x y y x y x D >≤+≤=,41,22)；

10、??--D

y x dxdy e 2

2

=________，其中 D 是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域。

1、4321,,,D D D D 分别为圆12

2

≤+y x 在一、二、三、四象限的部分，则??1

2

D yd x

σ=

（ ） A

??2

2

D yd x σ； B ??3

2

D yd x σ； C ??4

2

D yd x σ； (D)0. 2、()?

??

?

??-≥≤+=21,1,22x y x y x D ，则

()

??+D

d y x

σ22

=（ ）

A

()

dy y x dx x x ?

?----+2

2

112

2

1

21； B

()

dx y x dy x x

?

?----+2

2

11221

2

1； C ()

dy y x

dx x ??--

-

+2

12

1

22

12

1； D

()

d y y x dx ??

--+1

1

221

2

1

.

3、设有平面闭区域(){}a y x a x a y x D ≤≤≤≤-=,,，(){}

a y x a x y x D ≤≤≤≤=,0,1，则

()??+D

dxdy y x xy sin cos =（ ）

A ??1

sin cos 2D ydxdy x ； B ??1

2D xydxdy ；

C ()??+1

sin cos 4D dxdy y x xy ； D 0.

4、二次积分??-10x

10dy )y ,x (f dx 等于( ).

A.??-10y

10dx )y ,x (f dy

B.

??

-10

10

),(x

dx y x f dy

C.?

?-x

dx y x f dy 10

1

),( D.??101

0dx )y ,x (f dy

1、计算

围成的平面区域为其中x y ,x y D ydxdy x 22D

2==??

2、设区域(){}

1,≤+=y x y x D ，计算??+D

y x dxdy e .

3、计算??

D

xydxdy ，其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的闭区域. 4、计算

()

??-+D

dxdy x y x

22

，其中D 是由抛物线x y =，2=y 及直线x y 2=所围成的闭

区域.

5、计算??

+D

y

x dxdy e 2

2，其中D 是由422=+y x 所围成的闭区域. 6、计算

()

??+D

dxdy y x

22

，其中D 是由21y x --=，直线1-=y ，1-=x 所围成的闭

区域.

7、计算下列二重积分： (1) 2

2

x y D

xye d δ+??,其中{}d y c b x a y x D ≤≤≤≤=,),(

(2)

2

2()D

x

y d δ+??,其中D 是由直线x y y ==,2，及x y 2=所围成的闭区域.

8、计算下列二重积分

(1)

22

ln(1)D

x y d δ++??

,其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.

(2)

D

δ,其中D 是由圆周Rx y x =+22所围成的闭区域

（3）222D

x y d δ+-??

,其中3:22≤+y x D

9

、计算二次积分 1

1

y x

dy e dx ?

10、计算二重积分

??-

D

y

x dxdy e

，其中D 由0,2,1,====x y y x y 围成。