题型方法归纳

决战中考

题型方法归纳——动点问题

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点

s1、 s （2009年齐齐哈尔市）直线364

y x =-

+与坐标轴分别

交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段O A 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；

（2）设点Q 的运动时间为t 秒，O P Q △的面积为S ，求出S 与

t 之间的函数关系式；

（3）当485

S =

时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四

个顶点M 的坐标．

解：1、A （8，0） B （0，6）

2、

当0＜t ＜3时，S=t 2

当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t

提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；

第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、（2009年衡阳市）

如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2c m ， ∠ABC=60o．

（1）求⊙O 的直径；

（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；

（3）若动点E 以2c m/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1c m/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

x

A O

Q

P B

y

图（3）

A

B

C O

E

F A

B

C

O

D

图（1） A

B

O

E F

C 图（2） x

y M C

D

P Q

O

A

B P

Q

A B C

D

注意：第（3）问按直角位置分类讨论

3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线O M A D ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线O M 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结B C ． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线O M 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形D A O P 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿O C 和B O 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形B C P Q 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 注意：发现并充分运用特殊角∠D AB=60°

当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。 二、

特殊四边形边上动点

4、（2009年吉林省）如图所示，菱形A B C D 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与A B C △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒；

形时x 的

（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角值是 秒；

（3）求y 与x 之间的函数关系式．

提示：第(3)问按点Q 到拐点时间B 、C 所有时间分段分类 ； 提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。

5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（3-，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．

（1）求直线AC 的解析式；

（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （0S ≠），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；

O M B H A

C

x

y 图

O M B H A

C

x

y 图（2）

（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．

注意：第（2）问按点P 到拐点B 所用时间分段分类；

第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO 与∠ABM 互余，画出点P 运动过程中， ∠MPB=∠ABM 的两种情况，求出t 值。 利用OB ⊥AC,再求OP 与AC 夹角正切值.

6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(33，2)，C （0，2)．动点D 以每秒1个单位的速度从点0出发沿O C 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿AB 向终点B 运动．过点E 作EF 上AB ，交BC 于点F ，连结D A 、DF ．设运动时间为t 秒． (1)求∠ABC 的度数； (2)当t 为何值时，AB ∥DF ； (3)设四边形AEFD 的面积为S ． ①求S 关于t 的函数关系式；

②若一抛物线y=x 2

+mx 经过动点E ，当S<23时，求m 的取值范围(写出答案即可)．

注意：发现特殊性，DE ∥O A

7、（07黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是菱形，且

∠AO C=60°，点B 的坐标是(0,83)，点P 从点C 开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB 上向点B 移动，同时，点Q 从点O 开始以每秒a （1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线O A 方向移动，设(08)t t <≤秒后，直线PQ 交O B 于点D.

（1）求∠AO B 的度数及线段O A 的长；

（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； （3）当43,33

a O D ==时，求t 的值及此时直线PQ

的解析式；

（4）当a 为何值时，以O ，P ，Q ，D 为顶点的三角形与O AB ?相似？当a 为何值时，以O ，P ，Q ，D 为顶点的三角形与O A B ?不相似？请给出你的结论，并加以证明.

8、（08黄冈）已知：如图，在直角梯形C O AB 中，O C A B ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04A B C ，，，，，，点D 为线段B C 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线O A B D 的路线移动，移动的时间为t 秒．

B

A

C

D

P O

Q

x

y

（1）求直线B C 的解析式；

（2）若动点P 在线段O A 上移动，当t 为何值时，四边形O P D C 的面积是梯形C O AB 面积的27

？

（3）动点P 从点O 出发，沿折线O A B D 的路线移动过程中，设O P D △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；

（4）当动点P 在线段AB 上移动时，能否在线段O A 上找到一点Q ，使四边形CQPD 为矩形？请求出此时动点P 的坐标；若不能，请说明理由．

9、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xo y 中,抛物线

2

141018

9

y x x =

-

-与x 轴的交点为点A,与y 轴的交点为

点B . 过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连结AC ．现有两动点P,Q 分别从O ,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P,Q 移动的时间为t (单位:秒)

(1)求A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;

(2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t ＜

92

时,△PQ F 的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由;

(4)当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程． 提示：第（3）问用相似比的代换，

得PF=OA （定值）。

第（4）问按哪两边相等分类讨论 ①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF.

A B

D

C

O P x

y A

B

D

C

O x

y （此题备

y

O x C N B

P

M A

三、 直线上动点

8、（2009年湖南长沙）如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结A C B C A C 、，、两点的坐标分别为(30)

A -，、(03)C ，，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．

（1）求实数a b c ，，的值；

（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿B A B C 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结M N ，将BMN △沿

M N 翻折，B 点恰好落在A C 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的理由． 三角形与A B C △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明

提示：第（2）问发现

特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60° 特殊图形四边形BNPM 为菱形；

第(3)问注意到△ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出

与

△ABC 相似的△BNQ ，再判断是否在对称轴上。 9、（2009眉山）如图，已知直线112

y x =+与y 轴交于点A ，与x

轴交于点D ，抛物线2

12

y x bx c =

++与直线交于A 、E 两点，与x

轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。 ⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标。

提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形----①P 为直角顶点AE 为斜边时，以AE 为直径画圆与x 轴交点即为所求点P ，②A 为直角顶点时，过点A 作AE 垂线交x 轴于点P ，③E 为直角顶点时，作法同②；

第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。

10、（2009年兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达

D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单

位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写

出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此

时P点的坐标；

(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

注意：第（4）问按点P分别在AB、BC、CD边上分类讨论；求t值时，灵活运用等腰三角形“三线合一”。

11、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为

()

6,0

A-，()

6,0

B，()

0,43

C，延长AC到点D,使CD=1

2

AC,过点D作DE∥AB交BC的延

长线于点E.

（1）求D点的坐标；

（2）作C点关于直线D E的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线y k x b

=+将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

（3）设G为y轴上一点，点P从直线y k x b

=+与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线G A上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

提示：第（２）问，平分周长时，直线过菱形的中心；

第（３）问，转化为点Ｇ到Ａ的距离加Ｇ到（２）中直线的距离和最小；发现（２）中直线与ｘ轴夹角为６０°.见“最短路线问题”专题。

A

D

P

C

B

Q 图1

D

A

P

C B

（Q ） 图2

图3

C A

D P

B

Q 12、(2009年上海市)

已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB

上，且满足

AB

AD PC

PQ =（如图1所示）．

（1）当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段P C 的长；

（2）在图8中，联结AP ．当3

2AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBC

S y S =△△，其中A P Q S △表示△APQ 的面积，PBC S △表示P B C △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）当A D A B <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求QPC ∠的大小． 注意：第（2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变

量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当PC ⊥BD 时，点Q 、B 重合，x 获得最小值； 当P 与D 重合时，x 获得最大值。

第（3）问，灵活运用SSA 判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用

SSA 来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证∠BQP ＝∠BCP ，得B 、Q 、C 、P 四点共圆也可求解。

13、（08宜昌）如图，在Rt △ABC 中，AB

＝AC ，P 是边AB （含端点）上的动点．过

P 作BC 的垂线PR ，R 为垂足，∠PRB 的

平分线与AB 相交于点S ，在线段RS 上存在一点T ，若以线段PT 为一边作正方形

PTEF ，其顶点E ，F 恰好分别在边BC ，AC 上．

（1）△ABC 与△SBR 是否相似，说明理由；

（2）请你探索线段TS 与PA 的长度之间的关系；

（3）设边AB ＝1，当P 在边AB （含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF 的面积y 的最小值和最大值．

提示：第（3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p 运动到使T 与R 重

(第13

T

P

S

R E

A

B

C

F

(第13T

P

S

R E

A

B C

F

A

C

B

P

Q E

D

合时，PA=TS 为最大；当P 与A 重合时，PA 最小。此问与上题中求取值范围类似。

14、(2009年河北)如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ；

（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）

（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；

（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．

提示：（３）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t 值；有二种成立的情形，

ＤＥ∥ＱＢ，ＰＱ∥ＢＣ；

（４）按点P 运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t 值；有二种情形， ＣＱ＝ＣＰ＝ＡＱ＝t 时， ＱＣ＝ＰＣ＝６－ｔ时．

15、（2009年包头）已知二次函数2y a x b x c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，

(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由． 提示：

第（2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；

第（3）问，四边形ABEF 为平行四边形时，E 、F 两点纵坐标相等，且AB=EF ，对第（2）问中两种情形分别讨论。

O y x

B

E A

D

C

F 四、

抛物线上动点

16、（2009年湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标

．

注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时，以C 为圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，②M 为顶点时，以M 为圆心MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，③P 为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。

第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。 17、（2009年黄石市）正方形A B C D 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在x 轴正半轴上，

D 在y 轴的负半轴上，AB 交y 轴正半轴于

E B C ，交x 轴负半轴于

F ，1O E =，抛物线

2

4y a x b x =+-过A D F 、、三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）Q 是抛物线上D F 、间的一点，过Q 点作平行于x 轴的直线交边A D 于M ，交B C 所在直线于N ，若32

F Q N A F Q M S S =

△四边形，则判断四边形A F Q M 的形状；

（3）在射线D B 上是否存在动点P ，在射线C B 上是否存在动点H ，使得A P P H ⊥且

A P P H =，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．

注意：第（2）问，发现并利用好NM ∥FA 且NM ＝FA;

第（3）问，将此问题分离出来单独解答，不受其它图形的干扰。需分类讨论，先画出

合适的图形，再证明。

数学难题。

某市今年第一季度的茶叶比去年同期价格的10倍，由于天气因素，第一季度的产量是198.6克，比去年同期减少了87.4克，但销售收入比去年同期增加了8500元。求，茶农今年第一季度的茶青销售额是多少元？

近三年黄冈中考数学

“坐标几何题”（动点问题）分析

三年共同点：07 08 09

动点个数两个一个两个

问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边

上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动

考查难点探究相似三角形探究三角形面积函

数关系式

探究等腰三角形

考点①菱形性质

②特殊角三角函数

③求直线、抛物线解析式

④相似三角形

⑤不等式

①求直线解析式

②四边形面积的表

示

③动三角形面积函

数④矩形性质

①求抛物线顶点坐标

②探究平行四边形

③探究动三角形面积是定

值

④探究等腰三角形存在性

特点①菱形是含60°的特殊菱形；

△AO B是底角为30°的等腰三

角形。

②一个动点速度是参数字母。

③探究相似三角形时，按对应

角不同分类讨论；先画图，再

探究。

④通过相似三角形过度，转化

相似比得出方程。

⑤利用a、t范围，运用不等式

求出a、t的值。

①观察图形构造特

征适当割补表示面

积

②动点按到拐点时

间分段分类

③画出矩形必备条

件的图形探究其存

在性

①直角梯形是特殊的（一底

角是45°）

②点动带动线动

③线动中的特殊性（两个交

点D、E是定点；动线段

PF长度是定值，PF=OA）

④通过相似三角形过度，转

化相似比得出方程。

⑤探究等腰三角形时，先画

图，再探究（按边相等分

类讨论）

①特殊四边形为背景；

②点动带线动得出动三角形；

③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；

④求直线、抛物线解析式；

⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。大趋势：