简论电磁学的相对论效应

简论电磁学的相对论效应

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简论电磁学的相对论效应

田宇明江彪于哲宇陈旼嘉刘思皓

（西安交通大学能源与动力工程学院710049）

摘要：狭义相对论推翻了经典力学下的绝对时空观，却与经典电磁学不相冲突，这体现出电磁学中必然蕴含着更深层、更本质的思想。而经典电磁学理论的协变性揭示出了相对论原理与电动力学存在着内在联系，这些联系可以体现在基于相对论推演电磁学理论等诸多方面。然而，在实际的教学中对协变性的推导十分复杂，不利于理解。本文由较为简单的情况出发，避免四维矢量分析，由相对论洛伦兹变换推演电磁学理论的基本方法，提供一种相对论协变性的简单理解，由此整理电磁学相对论效应的结论，并从相对论的观点理解麦克斯韦方程组。

关键词：电动力学；协变性；高斯定理；安培环路定则；电磁场

不同于经典力学的绝对时空观被相对论时空观推翻，经典电磁学在洛伦兹变换下具有协变性，使得经典电磁学理论符合相对论时空观。这意味着，从相对论出发，结合电磁学基本原理也可以推演出电磁学其他理论，如运用狭义相对论结论，再以电量作为洛伦兹不变量和库仑定律、叠加原理为基础，推演出电磁学理论的基本内容。[1]故而，相对论与经典电磁学存在着内在的联系，而分析这种联系，就要从协变性和电磁学定律的推演来实现，最终重新从相对论的观点分析理解经典电磁学规律。

经典电磁学规律

经典电磁学中静止电荷间的相互作用满足库仑定律

r F r

30

Qq ·41πε=

是电磁学基本规律之一。对库仑定律有着多种理解，比如可以将电场高斯定律视作更基本的规律，从而推导出库仑定律。另一方面，电磁场是一种物质且电场和磁场是其不同的表现形式，那么电磁相互作用可以被理解为电场间和磁场间的相互作用。

现在考虑相距a 的两个点电荷Qq ，令Q 位于原点，q 在x 轴正半轴上，则空间的电场分布

()????

??????++-++-+++++=??

??

? ?

?

--+=))(())(()()(41r r Q ·412

32222322203

30k z j y i a x z y a x q k z j y i x z y x Q a

r a r q E πεπε

其能量密度为：2021U E ε=

；空间的总能量为dv E 202

1

U ε???=；现在让q 向x 轴正半轴移动x δ，舍去高阶小量，空间能量密度分布改变为：

x a

Qq

Edv E U δπεδεδ200·41

=

=???

这样，整个空间的电场能量变化量与电势能变化量相同，即与库仑定律相符合，说明电场力可以理解为电场间的相互作用，当然这种相互作用用库仑定律可以很方便的描述。 库仑定律的另一个理解角度是其与高斯定律的关系。

高斯定律：

·

εin

q ds E =??

从数学上讲，高斯定律与库仑定律等价，而库仑定律经试验以相当高的精度验证，也验证了高斯定律作为麦克斯韦方程组之一的可靠性。另一方面，高斯定律从通量的角度描述了电场，可以理解为这种相互作用的总强度不随空间“扩散”而改变。有理论认为电磁相互作用是通过交换光子完成的，光子没有静止质量使得电磁相互作用的总强度不改变。[?]这就好比泉水不断的流出并在大地上扩散，在大地平面内任意取一个封闭曲线，由于任何一个地方的水都不会“堆积”或“减少”，则流入量等于流出量。从这个角度看，电荷就表现为这股泉水

向外冒水的“水流量”，而高斯定律在电磁学中也有着较库仑定律更重要的意义。

经典电磁学中另一个十分重要的基础公式是磁场的毕奥-萨伐尔-拉普拉斯定律

3

0·4r r

Il B ?=

πμ 这与库仑定律相同，是一个实验定律。与前者相似，磁场的强度也随距离的二次方成反比，也说明了磁场与电场在某些方面具有相同的特点。根据经典电磁学理论，电场与磁场是电磁场的不同表现形式，故而电流元产生的磁场随距离平方反比衰减也容易理解。另一方面，由于不存在磁单极子，磁场高斯定律中任意闭合曲面的磁通量为零，相当于“泉水”没有冒出来，但是水可以旋转流动，形成“漩涡”，使处处也没有水量的增减，却形成了水流。这样看，“漩涡”的形成虽不需要水源，但需要一定的水量；类比得出磁场虽没有源头，但需要电场存在磁场才能存在，或者说磁场反映了电场与旋转有关的某些特性。事实上，磁场可以被看作电场的相对论效应。[2]而这种效应可以被精确地推演出来。

除此以外，电场与磁场间也存在着相互作用，其量化表现为洛伦兹力

B v F ?=q

如果可以通过与分析库仑力相同的方法分析，那么洛伦兹力的形成原理也可以得到统一的解释，即电磁场可以统一理解为一种物质。总体来说，电磁规律可以归结为两个麦克斯韦电磁场运动方程和一个洛伦兹力公式。[3]由于相对论在经典力学与电磁场理论的矛盾中承认经典电磁学正确，电磁学规律必然满足相对论协变性，而从相对论出发也应当能够推演出电磁场规律。

经典电磁理论的相对论协变性

狭义相对论要求一切物理学规律在不同参照系中有相同表现形式，这就要求电磁场理论必须在高速运动的条件下依旧成立。有错误的理论将经典力学的时空观引入经典电磁学，结果得出了违背协变性的结论，也从另一个方面证明了狭义相对论的洛伦兹变换是电磁学及其时空观的必然要求。

1.高速状态下的电磁场规律

在推导高速状态下的库仑定律和毕奥-萨伐尔定律之前，可以先做出假设，即电场高斯定律依然成立。此时相对电荷取一高斯面，有：2

2

2

2

x r z y =++

利用洛伦兹变换

???

?

?

????-='='='-=')()(x 2c vx t t z z y y vt x γγ

其中c

v

-112

=

=

ββγ， 曲面变为2

2

2

2

2

x r z y =++γ，此时依旧有曲面上每点电场强度都相等，并结合高斯定律

??=S

·

εq

dS E ，通过变换为球坐标，并由旋转对称性省去?，得坐标变换：

θθ2222sin ;cos x r z y r =+=

可以解得：

r E 23

222

3

0)sin 1(1·r q ·41

θββπε--=

事实上，直接通过洛伦兹变换中的坐标变换和力变换也能得出相同结论。即在不默认高斯定律对任意惯性系都成立的情况下也能推导出相同的电场公式，并由此证明高斯定律具有协变性。

2.洛伦兹力公式协变性的证明

洛伦兹在1892年建立经典电子论时以基本假定的形式引入了洛伦兹力公式

B v q F ?=

对于同时存在电场和磁场时，电场力与洛伦兹力并存，即

)(q B v E F ?+=

现在上式也被称作洛伦兹力，它已被大量的物理实验和工程实践所证实。[4]若引入力的洛伦兹变换：

)

1()1(1u ·2222c

v u F F c v u F F c v u F c v F F x z z x y y x x x -='-='--

=

'γγ；；

代入洛伦兹力则有：

)

)((·41··41·41)1(q )1(·41)1(q )1(;

)(·41··411u ·32102321031022231

022232102310222k z u j y u i z u y u r q

q c v r r q q F y r q c v u c v u F F y r q c v u c

v u F F u z u y r q q c v x r q q c v u F c v

F F z z z y x x z

z x x y y z z x x x ---'

+'=='-=-='-=-=??????'+''+'''=--=πεγπεγπεγγπεγγπεγπεγ；

；

此处不加证明的引入电场与磁场在高速运动下的参考系变换结论：

???

?

??

?

?='=E v c B r r q ·1·41E 230πεγ 上式可改写成：B v q E ?+=22q F 由此证明了洛伦兹力的协变性。利用库仑定律和狭义相对论的变换关系以及电荷守恒，可以十分自然地引入电场和磁场，且与低速时的经典电磁学

理论完全一致。[2]

凭借由坐标变换得到的电场力和磁场力公式，可以证明电场和磁场的高斯定律、安培环路定则在高速运动下依旧成立，并由此证明麦克斯韦方程组也满足高速运动。[3]由于狭义相对论起源于电磁学，又假设一切物理学规律在惯性系中具有相同的表现形式，故而协变性狭义相对论协变性的必然推论。

在简单情况下推演电磁学基本内容

狭义相对论从经典电磁场理论出发，又极大的推进了经典电磁场理论。可以从最基本，最少量的假设出发，导出一系列的电磁基本规律，使一些看似毫不相关的电磁规律（例如库仑定律、比奥-萨伐尔定律、安培定律、电磁感应定律等等）有了内在的联系。[5]通具有协变性，而且在低速情况下可以用一部分电磁场方程推演另一些方程。 1.将洛伦兹力看做电场力的相对论效应

对于洛伦兹力)(q B v E F ?+=利用狭义相对论的洛伦兹变换，可以从库仑定律推演洛伦兹力。

考虑两条无限长直导线，相互间的距离为r ，通以同向电流I ，则由比奥-萨伐尔定律和洛伦兹力公式容易求得单位导线所受磁场力大小为：

r

I dx dF 2

0·2πμ= 另一方面，设导线中电子线密度为λ，则有v I λ=，此时以电子为参照系，不移动的正金属离子会逆向移动，由于狭义相对论效应，动尺收缩，其线密度会发生改变，仿照洛伦兹变换，由协变性出发，电荷线密度和电流强度也将发生类似的参考系变换效应：

因为电荷守恒定律

J -=??t

ρ

，有，)x (---t z Iz y Iy Ix v I ??+??+??===??λλλ由协变性可以认为（λ,,,I z y x I I ）与（x ，y ，z ，t ）满足相同的变换。

????

?????-='='='-='????

?

????-='='='-=')()

(I )()(x 2y 2c vI I I I

I t I c vx t t z z y y vt x x z

z y x x

λγλλγγγ可得由 这样原本电中性的导线将带有正电荷，使得负电子受到吸引，称这种电荷为“表观电荷”。[5]由于0=λ，带电量x I c v

2γ

λ-='，在另一导线处的电场为 2

00I ·21·21

rc v r E γπελπε='=

代入0

01

c με=

，

上式可近似为： r Iv E ·

20πμ=，r

I dx dF 2

0·2πμ= 上式与磁场力的表达完全相同。令表观电荷产生的电场力等于磁场力，可得2

·c E

v B =

。在更复杂的情况中，已有相当多的文献证明在宏观低速条件下，洛伦兹力公式)(q B v E F ?+=可以由电场力导出。[3]这种导出同样需要对电学量进行参考系变换，一般用在三维空间中使用（z y x J J J ,,,ρ）与（t ，x ，y ，z ，）对应，可以证明任意宏观低速情况下，洛伦兹力公式都可以导出。[5]

2.基于狭义相对论推演安培环路定则

与洛伦兹力的证明类似，洛伦兹变换同样能导出毕奥-萨伐尔定律。利用之前的结论：

??????

??='=E v c B r r

q E 2301·41πεγ

并代入

r E 2

3

222

30)sin 1(1·r

q ·41

θββπε--= 由此，磁场变化为

r v r

q ?--=))

sin 1(1(

4B 2

322230θββπμ

在宏观低速的情况下近似为：

3

0·4B r r v q ?=

πμ 使得原本作为实验定律而出现的毕奥萨伐尔定律现在成了相对论协变性的必然推论。[1]

再重新考虑一无限长直导线，代入之前的结论，在距离r 处磁感应强度为：

r v r ?=

20·2B λπμ，使得I dl r v r

dl B l =?=??·)(2·l 2πλ，即满足了安培环路定则。若考虑有限长直导线通过叠加法并考虑由于电荷在导线两端堆积在周围所激发的位移电流，可证明安培环路定则对有限长导线也成立，由此证明普遍的安培环路定则。[6] 3.结论

从相对论的洛伦兹变换出发，可以推导出毕奥-萨伐尔定律和洛伦兹力公式、安培环路定则，由此可以证明磁场高斯定律和电场安培环路定则（法拉第电磁感应定律）。[7]即说明了相对论起源于电磁学，又发展推广了电磁学，支持了洛伦兹变换而非伽利略变换。另一方面，也说明在某种程度上，既可以由麦克斯韦方程组证明协变性，也可由协变性推演麦克斯韦方程组，可以认为狭义相对论的协变性与麦克斯韦电磁场理论具有相同的内涵。

总结与展望

在低速情况下，磁场完全可以被理解为电场的一种相对论效应。这种效应可以认为是洛伦兹变换这种“时空伸缩”导致的电场线的空间分布发生了变化，导致了电场需要一种修正，这种修正就是磁场。这也解释了磁场存在的地方电场必定存在。由于这种修正很小，使得低速情况下磁场力远小于电场力。在高速运动状态下，洛伦兹变换不在满足这种近似，磁场与电场不再是线性关系，将磁场看做电场的衍生品也不在有利于表达电磁场理论，此时更应将磁场与电场都视作电磁场的一部分，是其不同的表现。

然而，经典电磁学也表现出一些局限性：对于电荷做加速运动时，会激发出电磁辐射，而在高速运动中，必然牵扯到广义相对论，使得经典电磁学理论出现较大偏差[8]；另一方面，对于微观状态下的电磁学，由于各种物理量都是量子化的，经典电磁学也将不再适用。[4]故而，经典电磁学只与狭义相对论相对应。总而言之，从狭义相对论的坐标变换可以推演电磁学结论，说明从相对论时空观理解电磁学现象是十分可行的，使得电与磁成为了同一种事物，即电磁场的不同方面性质的描述，而电与磁之间的关联性也成为了相对论效应的体现。

参考文献

1. 杨素珍狭义相对论与电磁学[J]重庆师范学院学报（自然科学版）1997.6

2. 汤国兴电磁感应与安培力的相对论注释[J]青岛大学学报2001.7

3. 屠德雍狭义相对论与麦克斯韦电磁理论的关系及其在电磁学中的应用[J]浙江工业大学学报1995.3

4. 张祥雪，程艳霞，范秀华，刘家冈洛伦兹力可看做静止电荷所受电场力的相对论效应——兼论洛伦兹力公式具有与库仑定律相同的实验精度[J] 2006.4

5. 赵敏电流的相对论效应[J]北京联合大学学报（自然科学版）200

6.3

7. 毛多鹭基于相对论对安培环路定理的证明[J]青海师范大学学报（自然科学版）2012.2 2. 郭硕鸿电动力学[M]北京：高等教育出版社2008.6

9. 周岚，王立尧双星引力辐射的电磁学模型[J]安徽大学学报（自然科学版）2007.9