高斯消元法
高斯消元法解线性方程组
在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。
一、线性方程组
设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m
11112211211222221122+++=+++=+++=???????ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。当右端常数项b 1,
b 2, …, b m 不全为0时，
称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即
a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000
+++=+++=+++=???????ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.2） 称为齐次线性方程组。
由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。
（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。）
非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：
AX = B
其中
A = ????????????mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211，X = ????????????n x x x M 21，
B = ?????
???????n b b b M 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。将系数矩阵A 和常数矩阵B 放在一起构成的矩阵
][B A =????????????m mn m m n n b b b a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛ2121
2222111211 称为方程组（3.1）的增广矩阵。
齐次线性方程组（3.2）的矩阵表示形式为：AX = O
二、高斯消元法
（下面介绍利用矩阵求解方程组的方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方程组的解呢？我们先看一个定理。）
定理3.1 若用初等行变换将增广矩阵][B A 化为][D C ，则AX = B 与CX = D 是同解方程组。
证 由定理3.1可知，存在初等矩阵P 1, P 2, …, P k ，使 P k …P 2P 1()A B = ()C D 记P k …P 2P 1 = P ，则P 可逆，即P -1存在。 设X 1为方程组A X = B 的解，即 A X 1 = B 在上式两边左乘P ，得 P A X 1 = PB 即 C X 1= D 说明X 1也是方程组C X = D 的解。反之，设X 2为方程组C X = D 的解，即 C X 2= D 在上式两边左乘P -1，得 P -1C X 2= P -1D 即 A X 2 = B 说明X 2也是方程组AX = B 的解。 因此，方程组A X = B 与C X = D 的解相同，即它们是同解方程组。（证毕）
(由定理3.1可知，求方程组（3.1）的解，可以利用初等行变换将其增广矩阵
][B A 化简。又有第二章定理2.10可知，通过初等行变换可以将][B A 化成阶梯形矩阵。因此，我们得到了求解线性方程组（3.1）的一般方法：)
用初等行变换将方程组（3.1）的增广矩阵][B A 化成阶梯形矩阵，再写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组（3.1）的解。这种方法被称为高斯消元法，
（下面举例说明用消元法求一般线性方程组解的方法和步骤。）
例1 解线性方程组 x x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341234215320342221
+--=-+--=-++=-++-=??????? （3.3） 解 先写出增广矩阵][B A ，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即
][B A =????????????--------11122241130235111211②①③①④①+-+-+?→???()()132?????
???????---------13340577401114011211 ③②
④②++-?→???()1????????????--------22200666001114011211④③+?→???()13?????
???????-----00000666001114011211
上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广矩阵表示的线性方程组为
x x x x x x x x x 1234234342141666+--=---=+=????
? 将最后一个方程乘16
，再将x 4项移至等号的右端，得 x x 341=-+
将其代入第二个方程，解得
212=x
再将x x 23,代入第一个方程组，解得
2141+-=x x
因此，方程组（3.3）的解为
?????+-==+-=1212143
241x x x x x （3.4）
其中x 4可以任意取值。
由于未知量x 4的取值是任意实数，故方程组（3.3）的解有无穷多个。由此可知，表示式（3.4）表示了方程组（3.3）的所有解。表示式（3.4）中等号右端的未知量x 4称为自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）称为方程组（3.3）的一般解，当表示式（3.4）中的未知量x 4取定一个值（如x 4=1），得到
方程组（3.3）的一个解（如x 112=-，x 212
=，x 30=，x 41=），称之为方程组（3.3）的特解。
注意，自由未知量的选取不是唯一的，如例1也可以将x 3取作自由未知量。
如果将表示式（3.4）中的自由未知量x 4取一任意常数k ，即令x 4= k ，那么方程组（3.3）的一般解为
???????=+-==+-=k
x k x x k x 43
2112121 ，其中k 为任意常数。 用矩阵形式表示为
???????????
?+-+-=????????????k k k x x x x 121214321=????????????+????????????--0121211101k （3.5） 其中k 为任意常数。称表示式（3.5）为方程组（3.3）的全部解。
（用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。如果用矩阵将回代的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出”方程组的解。例如，）对例1中的阶梯形矩阵进一步化简，
????????????-----00000666001114011211③①③②③162++?→???????
???????00000111002004011011 ②①②141+-?→???()?????
???????0000011100210010211001 上述矩阵对应的方程组为
?????=+==+1212143
241x x x x x
将此方程组中含x 4的项移到等号的右端，就得到原方程组（3.3）的一般解，
?????+-==+-=12
12143
241x x x x x （3.4） 其中x 4可以任意取值。
例2 解线性方程组 x x x x x x x x x x x x 1231231
23123234235743992588
+-=+-=+-=+-=???????
解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵[]B A 化成阶梯阵，再求解。即
[]B A =????????????----8852993475324321→?????
???????------0210735011104321 →????????????-------1100220011104321→?????
???????---0000110011104321 →????????????0000110020107021→?????
???????0000110020103001 一般解为
x x x 123
321===?????
例3 解线性方程组 x x x x x x x x x 1231231231242253++=-+-=+-=????
? 解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵[]B A
化成阶梯阵，再求解。即 []B A =??????????---315224211111→??????????--1330333011
11
→????
??????--200033301111
阶梯形矩阵的第三行“0, 0, 0, -2”所表示的方程为：0002123x x x ++=-，由该方程可知，无论x 1，x 2，x 3取何值，都不能满足这个方程。因此，原方程组无解。
三、线性方程组的解的判定
前面介绍了用高斯消元法解线性方程组的方法，通过例题可知，线性方程组的解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解。从求解过程可以看出，方程组（3.1）是否有解，关键在于增广矩阵[A B ]化成阶梯非零行的行数与系数矩阵A 化成阶梯形矩阵后非零行的行数是否相等。因此，线性方程组是否有解，就可以用其系数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。
推论1 线性方程组有唯一解的充分必要条件是r A ()＝r A B ()= n 。
推论2 线性方程组有无穷多解的充分必要条件是r A ()＝r A B () 例4 判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？ (1) x x x x x x x x x x x x 12312312312323117236324+-=---+=-+=-++=??????? (2) x x x x x x x x x x x x 123123123123231127236325 +-=---+=-+=-++=??????? (3) x x x x x x x x x x x x 12312312312323117236325 +-=---+=-+=-++=??????? 解 (1) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即 [A B ]=????????????------42136132711111321→ ????? ???????-------2977028770421011321 →????? ???????------10000700421011321 因为 r A B ()= 4，r A ()=3，两者不等，所以方程组无解。 (2) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即 [A B ]=????????????------52136132721111321→ … →????? ???????----00000000411011321 因为 r A B ()=r A ()=2 (3) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即 [A B ]=????????????------52136132711111321→… →????????????-----00 000700421011321 因为 r A B ()=r A ()= 3 = n ，所以方程组有唯一解。 例5 判别下列齐次方程组是否有非零解？ （机动） x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123437802544037230412160 +--=+++=----=+--=??????? 解 用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即 A =????????????--------161241327344528731→????? ???????-------85102723202018108731 →????????????---1213001313002018108731→????? ???????----10001313002018108731 因为 r A ()= 4 = n ，所以齐次方程组只有零解。 向量组的相关性 在实际问题有许多研究的对象要用n 元有序数组来表示。如总结某五年计划各年某产品产量的数据资料，某工程一年12个月份的用料情况等，就分别要用到5元和12元有序数组。 一、n 维向量的定义 定义3.2 把有顺序的n 个数n a a a ,,,21Λ称为一个n 维向量，记作 ???? ? ???????=n a a a M 21α 其中),,2,1(1n i a Λ=称为n 维向量α的第i 个分量。 例如，矩阵 A =???? ??????--735244313121中每一列都可以看作三维向量： ??????????211，??????????532，??????????--341，???? ??????743 称为矩阵A 的列向量。A 中的每一行都可以看作四维向量： []3121，[]4431-，[]7352- 称为矩阵A 的行向量。 规定：n 维向量相等、相加、数乘与列矩阵对应相等。 二、n 维向量组的线性相关性 如果把方程组 ?????=-+=-+=++735244332321 321321x x x x x x x x x （3.6） 用向量相等、向量运算关系来表示： ??????????2111x +??????????5322x +??????????--3413x =???? ??????743 那么方程组求解问题就变成了求一组使上式列向量存在某种的数321,,x x x 了。下面给出向量之间这种关系的定义。 定义3.3 对于向量α, m ααα,,,21Λ，如果有一组数m k k k ,,,21Λ，使得 α=m m k k k ααα+++Λ2211 则称α是m ααα,,,21Λ的线性组合，或称α由m ααα,,,21Λ线性表出，且称这组数m k k k ,,,21Λ为组合系数。 例1 二维向量组?? ????=011e ，??????=102e ，称为二维单位向量组。任意一个二维向量?? ????=21a a α都可以由21,e e 线性表出： 2211e a e a +=α。 例2 向量?? ????-11不是向量??????-02和??????01的线性组合，因为对于任意一组数21,k k ， ??????-021k +??????012k =????? ?+-0221k k ??????≠01 例3 向量组m ααα,,,21Λ中的任一向量)1(m i i ≤≤α都能由这个向量组线性表出： i α=m i i i ααααα00100111+++++++-ΛΛ 如果用列向量分别把方程组（3.6）的系数矩阵第j 列和常数列表示为 ??????????=2111α，??????????=5322α，??????????--=3413α，???? ??????=743β 那么方程组（3.6）可以用向量形式表示为 βααα=++332211x x x 若方程组（3.6）有解)3,2,1(==i k x i i ，则有 βααα=++332211k k k 即向量β可以由向量组321,,ααα线性表出。反之，若存在数321,,k k k 使得上式成立，则)3,2,1(==i k x i i 就是方程组（3.6）的一组解。 命题1 向量β可以由向量组m ααα,,,21Λ线性表出的充分必要条件是：以m ααα,,,21Λ为系数列向量，以β为常数列向量的线性方程组有解，并且此线性方程组的一组解就是线性组合的一组系数。 例4 设 ??????????-=2111α，??????????--=3212α，??????????-=6323α，???? ??????-=132β 判断向量β能否由向量组321,,ααα线性表出，若能够，写出它的一种表达式。 解 设βααα=++332211x x x ，由此可得 ?????-=+-=-+-=+-163233222321 321321x x x x x x x x x 因为 ][B A =??????????-----1632 3321 2211 →??????????----521051102211 →??????????-010********* →???? ??????010********* 方程组的解为 0,5,7321===x x x 。 所以 321057αααβ++=。 定义3.3 对于向量组m ααα,,,21Λ，若存在m 个不全为零的数m k k k ,,,21Λ，使得 02211=+++m m k k k αααΛ （3.7） 则称向量组m ααα,,,21Λ线性相关；否则称向量组m ααα,,,21Λ线性无关。 例5 式证单位向量组 ????? ???????=00011e ，????????????=00102e ，????????????=01003e ，???? ????????=10004e 是线性无关的。 证 设 044332211=+++e k e k e k e k 。即 ????????????00011k +????????????00102k +????????????01003k +????????????10004k =???? ? ???????0000 由上式得唯一解0,0,0,04321====k k k k 。所以，4321,,,e e e e 线性无关。 可以证明，n 维单位向量组n e e e ,,,21Λ是线性无关的。 n 维单位向量组 ????? ???????=0011M e ，????????????=0102M e ，… ，???? ????????=100M n e 如果把定义3.3中的（3.7）式看作以m ααα,,,21Λ为系数列向量，以m k k k ,,,21Λ为未知量的齐次线性方程组，那么 定理3.2 对于向量组m ααα,,,21Λ，若齐次线性方程组 02211=+++m m e k e k e k Λ （3.8） 有非零解，则向量组m ααα,,,21Λ线性相关；若齐次线性方程组（3.8）只有零解， 则向量组m ααα,,,21Λ线性无关。 定理3.3 关于向量组m ααα,,,21Λ，设矩阵 []m A ααα,,,21Λ= 若m A r =)(，则向量组m ααα,,,21Λ线性无关；若m A r <)(，则向量组m ααα,,,21Λ线性相关。 推论 任意n +1个n 维向量一定线性相关。 例6 判断下列向量组的相关性： (1) []'-=2111α，[]'=1202α，[]'=1113α； (2) []'-=21011α，[]'---=42112α，[]'-=105323α； (3) []'=2311α，[]'-=1212α，[]'-=4563α，[]'-=6784α。 解 (1) 因为 A =??????????-112121101→???? ??????-110220101→??????????-200220101 m A r ==3)(，所以向量组321,,ααα线性无关。 (2) 因为 B = ????????????-----1042521310211→????????????----620310310211→????? ???????--000000310211 m B r <=2)(，所以向量组321,,ααα线性相关。 (3) 由推论知道，四个三维向量一定是线性相关的。 上面介绍了利用定理3.3来判断向量组的相关性，下面再介绍一个揭示同组向量之间具有某种相关性的特点。 定理3.4 向量组m ααα,,,21Λ，)2(≥m 线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个向量可以由其余向量线性表出。 （证明请参阅教材） 推论 向量组m ααα,,,21Λ，)2(≥m 线性无关的充分必要条件是：其中每一个向量都不能由其余向量线性表出。 例7 试证：若向量组的一个部分向量组线性相关，则整个向量组也线性相关。 证 不妨设向量组m ααα,,,21Λ中的部分向量组s ααα,,,21Λ)(m s <线性相关，则存在不全为零的数s k k k ,,,21Λ，使得 02211=+++s s k k k αααΛ 从而有 00012211=+++++++m s s s k k k αααααΛΛ 其中0,,0,,,,21ΛΛs k k k 不全为零，所以向量组m ααα,,,21Λ线性相关。 可以证明：若一个向量组线性无关，它的任意一个部分向量组也线性无关 例8 设向量组m ααα,,,21Λ线性无关，而向量组m ααα,,,21Λ，β线性相关，证明β一定可以由m ααα,,,21Λ线性表出。 证 因为向量组m ααα,,,21Λ，β线性相关，即存在不全为零的数m k k k ,,,21Λ和k ，使得 02211=++++βαααk k k k m m Λ 若0=k ，则上式为 02211=+++m m k k k αααΛ，且m k k k ,,,21Λ不全为零，得m ααα,,,21Λ线性相关，与条件矛盾。因此0≠k ，且 m m k k k k k k αααβ---- =Λ2211 即β可以由m ααα,,,21Λ线性表出。 三、向量组的秩 （下面简单地介绍向量组的秩的概念及计算方法，首先向量组的极大无关组的定义） 定义3.4 若向量组S 中的部分向量组0S 满足： (1) 0S 线性无关； (2) S 中的每一个向量都是0S 中向量的线性组合，则称部分向量组0S 为向量组S 的极大无关组。 可以证明：对于一个向量组，其所有极大无关组所含向量个数都相同。因此向量组的秩定义如下： 定义3.5 对于向量组S ，其极大无关组所含向量个数称为向量组S 的秩。 利用定义求向量组的秩是比较困难的。但是，我们可以利用矩阵与列向量组之间的关系，把求向量组的秩的问题转化为求矩阵的秩序。这是因为 定理3.7 矩阵A 的秩=矩阵A 列向量组的秩=矩阵A 行向量组的秩。 例9 设向量组 ????????????-=00211α，????????????--=11112α，????????????-=11103α，???? ? ???????-=12414α 求向量组的秩及其一个极大无关组。 解 作矩阵A =[]4321αααα，用初等行变换求A 的秩，即 A = ????????????-----1110211041121011????????????--→3000211021101011????? ???????--→00 00300021101011 所以),,(4,321ααααr =3，且421,,ααα为其中的一个 极大无关组。 线性方程组解的结构 前两讲介绍了方程组的有关概念，方程组的解的几种情况及判定，向量组的相关性。这一讲主要介绍方程组解的结构。 一、齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组的矩阵形式为：AX = O a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000 +++=+++=+++=???????ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.2） 解的情况可以归纳为： 1．齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是r A ()= n 。 2．齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是r A () 注意：当A 为n 阶方阵时也可利用矩阵行列式A 判断。 3．当r A ()= r 齐次线性方程组AX = O 解的性质： 性质1 若1X 和2X 为齐次线性方程组AX = O 的解，则1X +2X 亦为AX = O 的解。 证 因为1X 和2X 为方程组AX = O 的两个解，故有 A 1X = O ， A 2X = O A （1X +2X ）= A 1X + A 2X = O 所以，1X +2X 亦为AX = O 的解。 性质2 若1X 为齐次线性方程组AX = O 的解，则k 1X 亦为AX = O 的解，其中k 为任意常数。 证 因为1X 为方程组AX = O 的解，故有 A （k 1X ）= k （A 1X ）= O 所以，k 1X 亦为AX = O 的解。 由性质1，2可知，若1X ，2X ，…，s X 为方程组AX = O 的解，则11X k +22X k +…+s s X k 亦为AX = O 的解，其中s k k k ,,,21Λ为任意常数。 若1X ，2X ，…，s X 线性无关，且方程组AX = O 的任何一个解X 都可以被1X ，2X ，…，s X 线性表出，则AX = O 的全部解就是 11X k +22X k +…+s s X k 其中s k k k ,,,21Λ为任意常数。 定义3.6 齐次线性方程组AX = O 满足下列两个条件的一组解向量，称为AX = O 的基础解系。 (1) 线性无关； (2) 方程组AX = O 的任何一个解都可以用它们线性表出。 （由定义3.6可知）方程组AX = O 的基础解系就是其全部解向量的一个极大无关组。 当r A ()= n 时，方程组AX = O 只有零解，故不存在基础解系；而当r A ()= r ( 4．当r A ()= r 11X k +22X k +…+r n r n X k -- （3.9） 其中s k k k ,,,21Λ为任意常数。 （3.9）式称为AX = O 的通解。 如何求方程组AX = O 的基础解系呢？ (1) 把齐次线性方程组的系数写成矩阵A ； (2) 用初等行变换把A 化为阶梯阵； (3) 把阶梯阵中非主元列所对应的变量作为自由未知量 (4) 分别令自由未知量中一个为1其余全部为0的办法，求出n -r 个解向量，这n -r 个解向量构成了基础解系。 例1 设齐次线性方程组 ???????=-+++=+++=-+++=++++0 33450623032305432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 求其基础解系和通解。 解 先写出系数矩阵A ，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即 A =???? ????????--13345623103112311111???→?-+-+)5()3(①④①②????????????--------622 10623106221011111 ???→?-++)1(②④② ③????????????----0000 0001006221011111 再进一步化简，得 ???→?+-+2)1(③②③①????????????---00000001006201011011??→?-+)1(②②①????? ???????--0000 0001006201051001 由此可知54,x x 为自由未知量。 令14=x ，05=x ，得解向量??????? ?????????-=010211X ； 令04=x ，15=x ，得解向量??????? ?????????-=100652X ； 于是{1X ，2X }为方程组的基础解系。通解为 11X k +22X k 其中21,k k 为任意常数。 二、非齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组的矩阵表示形式为：AX = B a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m 11112211211222221122+++=+++=+++=???????ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 非齐次线性方程组AX = B 的解的情况可以归纳为： 1．方程组AX = B 有解的充分必要条件是][B A r =r A ()。 2．若][B A r =r A ()= n 时，方程组AX = B 有唯一解。 3．若][B A r =r A ()= r 未知量。 在非齐次线性方程组AX = B 中，令B = O ，得到相应的齐次方程组AX = O 。 方程组AX = B 与相应的AX = O 之间有密切的关系，满足如下性质： 性质3 若1X 和2X 为非齐次线性方程组AX = B 的解，则1X -2X 必为AX = O 的解。 证 因为1X 和2X 为方程组AX = B 的两个解，故有 A 1X = B ， A 2X = B A （1X -2X ）= A 1X - A 2X = B -B = O 所以，1X -2X 为AX = O 的解。 性质4 若0X 为非齐次线性方程组AX = B 的解，X ~为相应的方程组AX = O 的解，则0X +X ~必为AX = B 的解。 证 因为0X 为方程组AX = B 的解，X ~为方程组AX = O 的解，故有 A 0X = B ， A X ~= O A （0X +X ~）= A 0X +A X ~=B+ O= B 所以，0X +X ~为AX = B 的解。 例1 解线性方程组 x x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341234215320342221 +--=-+--=-++=-++-=??????? （3.3） 解 先写出增广矩阵][B A ，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即 ][B A =????????????--------11122241130235111211②①③①④①+-+-+?→???()()132????? ???????---------13340577401114011211 ③② ④②++-?→???()1????????????--------22200666001114011211④③+?→???()13????? ???????-----00000666001114011211 上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广矩阵表示的线性方程组为 x x x x x x x x x 1234234342141666+--=---=+=???? ? 将最后一个方程乘16 ，再将x 4项移至等号的右端，得 x x 341=-+ 将其代入第二个方程，解得 212=x 再将x x 23,代入第一个方程组，解得 2141+-=x x 因此，方程组（3.3）的解为 ?????+-==+-=1212143 241x x x x x （3.4） 其中x 4可以任意取值。 由于未知量x 4的取值是任意实数，故方程组（3.3）的解有无穷多个。由此可知，表示式（3.4）表示了方程组（3.3）的所有解。表示式（3.4）中等号右端的未知量x 4称为自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）称为方程组（3.3）的一般解，当表示式（3.4）中的未知量x 4取定一个值（如x 4=1），得到 方程组（3.3）的一个解（如x 112=-，x 212 =，x 30=，x 41=），称之为方程组（3.3）的特解。 注意，自由未知量的选取不是唯一的，如例1也可以将x 3取作自由未知量。 如果将表示式（3.4）中的自由未知量x 4取一任意常数k ，即令x 4= k ，那么方程组（3.3）的一般解为 ???????=+-==+-=k x k x x k x 43211 2121 ，其中k 为任意常数。 用矩阵形式表示为 ??????????? ?+-+-=????????????k k k x x x x 121214321=????????????+????????????--0121211101k （3.5） 其中k 为任意常数。称表示式（3.5）为方程组（3.3）的全部解。 （用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。如果用矩阵将回代的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出”方程组的解。例如，）对例1中的阶梯形矩阵进一步化简， ????????????-----00000666001114011211③①③②③162++?→??????? ???????00000111002004011011 ②①②141+-?→???()????? ???????00000 11100210010211001 上述矩阵对应的方程组为 ?????=+==+1212143 241x x x x x 将此方程组中含x 4的项移到等号的右端，就得到原方程组（3.3）的一般解， ?????+-==+-=12 12143 241x x x x x （3.4） 其中x 4可以任意取值。 例2 解线性方程组 x x x x x x x x x x x x 1231231 23123234235743992588 +-=+-=+-=+-=??????? 解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵[]B A 化成阶梯阵，再求解。即 []B A =????????????----8852993475324321→????? ???????------0210735011104321 →????????????-------1100220011104321→????? ???????---0000110011104321 →????????????0000110020107021→????? ???????0000110020103001 一般解为 x x x 123 321===????? 例3 解线性方程组 x x x x x x x x x 1231231231242253++=-+-=+-=???? ? 解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵[]B A 化成阶梯阵，再求解。即 []B A =??????????---315224211111→???? ??????--133033301111 →???? ??????--200033301111 阶梯形矩阵的第三行“0, 0, 0, -2”所表示的方程为：0002123x x x ++=-，由该方程可知，无论x 1，x 2，x 3取何值，都不能满足这个方程。因此，原方程组无解。 二、线性方程组的解的判定 前面介绍了用高斯消元法解线性方程组的方法，通过例题可知，线性方程组的解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解。从求解过程可以看出，方程组（3.1）是否有解，关键在于增广矩阵[A B ]化成阶梯非零行的行数与系数矩阵A 化成阶梯形矩阵后非零行的行数是否相等。因此，线性方程组是否有解，就可以用其系数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。 定理3.9 线性方程组（3.1）有解的充分必要是 r A ()=][B A r 。 将上述结论应用到齐次线性方程组（3.2）上，则总有r A ()＝r A B ()。因此齐次线性方程组一定有解。 例4 判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？ (1) x x x x x x x x x x x x 12312312312323117236324+-=---+=-+=-++=??????? (2) x x x x x x x x x x x x 123123123123231127236325 +-=---+=-+=-++=??????? (3) x x x x x x x x x x x x 12312312312323117236325 +-=---+=-+=-++=??????? 解 (1) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即 [A B ]=????????????------42136132711111321→ ????????????-------29770287704210113 21 →????????????------10 000700421011321 因为 r A B ()= 4，r A ()=3，两者不等，所以方程组无解。 (2) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即 [A B ]=????????????------52136132721111321→ … →????? ???????----00000000411011321 因为 r A B ()=r A ()=2 (3) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即 [A B ]=????????????------52136132711111321→… →????? ???????-----00000700421011321 因为 r A B ()=r A ()= 3 = n ，所以方程组有唯一解。 例5 判别下列齐次方程组是否有非零解？ x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123437802544037230412160 +--=+++=----=+--=??????? 解 用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即 A =137825443723141216--------?? ??????→13780118200223270158-------?? ?? ???? →1378011820001313001312---?? ??????→13780118200013130001----?? ?? ???? 因为 r A ()= 4 = n ，所以齐次方程组只有零解。 高斯消元法解线性方程组 在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。 一、线性方程组 设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m 11112211211222221122+++=+++=+++=???????ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。当右端常数项b 1, b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即 a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000 +++=+++=+++=???????ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.2） 称为齐次线性方程组。 由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。 （利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。） 非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为： AX = B 其中 A = ????????????mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211，X = ????????????n x x x M 21， B = ????? ???????n b b b M 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。将系数矩阵A 和常数矩阵B 放在一起构成的矩阵 实验内容 1．编写用高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证. （1） 123 123 123 0.101 2.304 3.555 1.183 1.347 3.712 4.623 2.137 2.835 1.072 5.643 3.035 x x x x x x x x x ++= ? ? -++= ? ?-++= ? （2） 123 123 123 528 28321 361 x x x x x x x x x ++= ? ? +-= ? ?--= ? MATLAB计算源程序 1. 用高斯消元法解线性方程组b AX=的MATLAB程序 输入的量：系数矩阵A和常系数向量b； 输出的量：系数矩阵A和增广矩阵B的秩RA,RB, 方程组中未知量的个数n 和有关方程组解X及其解的信息. function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b) B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.') return end if RA==RB if RA==n disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1 for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); end end b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); end else disp('请注意：因为RA=RB #include "Stdio.h" #include "Conio.h" /*L是矩阵的行减1,从程序上看是最外层循环的次数 N 对应矩阵的行数，M对应矩阵的列数 可以通过改变L、N、M来控制矩的阶数 */ #define L 3 #define N 4 #define M 5 void gauss(double a[N][M],double x[N]) {int i,j,l,n,m,k=0; double temp[N]; /*第一个do-while是将增广矩阵消成上三角形式*/ do{n=0; for(l=k;l 《数值分析》实验报告 一、实验目的与要求 1．掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤； 2．培养编程与上机调试能力。 二、实验内容 1．编写用高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证. 5x?2x?x?80.101x?2.304x?3.555x?1.183??312312??（1）（2） 21x?8x?32x?2.137x?3.712x?4.623?1.347x???312312??1x?3x?6x??2.835x?1.072x?5.643x?3.035??132 312 2．编写用列主元高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证. 5x?2x?x?80.101x?2.304x?3.555x?1.183??312312??（1）（2） 2x?8x?3x?212.137?4.6231.347?x?3.712x?x??321321??1x?3x?6x??2.835x?1.072x?5.643x?3.035??132 312三．MATLAB计算源程序 AX?b MATLAB1. 程序用高斯消元法解线性方程组的b；输入的量：系数矩阵和常系数向量A RA,RB, n方程组中未知量的个数的秩输出的量：系数矩阵和增广矩阵BA.及其解的信息和有关方程组解X gaus(A,b) function [RA,RB,n,X]=B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('RA~=RB.') ，所以此方程组无解请注意：因为return end if RA==RB if RA==n disp('RA=RB=n.') ，所以此方程组有唯一解请注意：因为X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1 for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); 高斯消元法简介 一，教学目标 知识与技能：了解高斯消元法 过程与方法：直接演示说明，学习做简单练习 情感，态度和价值观：进一步体会解方程组的根本思想消元，通过高斯消元的学习增强学习数学的能力 二，重点与难点：高斯消元法 三，课型：新授课 四，教学过程： 1.在前面的几节课，已经用加减消元和代入消元法求解二元或者三元一次方程组，其基本的思想就是从已知的方程导出未知数较少的方程组，直到最后得到一个一元一次方程，这种做法可适用于一般的n 元线性方程组（线性方程组），但是由于未知数的增加，我们希望我们的消元是有规律的，以避免混乱，下面介绍高斯消元法 2.例1：解方程组 1234123412341234251027612632517315292763 x x x x x x x x x x x x x x x x ---=?? -++-=?? ---=??--++=-? 解：把第一个方程的2倍，-3倍，5倍分别加到第2，3，4个方程上，可以消去2，3，4个 方程的未知数1x 12342342342342510 522226 2 1 7213 x x x x x x x x x x x x x ---=?? +-=?? +-=??--+=-? 为了使以后少出现分数运算，交换第二，三个方程的位置 12342342342342510 2 1 522226 7213 x x x x x x x x x x x x x ---=?? +-=?? +-=??--+=-? 把第2个方程的-5倍，7倍分别加到第3，4个方程，可以消去第3，4个方程未知数2x 123423434342510 2 1 31221 6126 x x x x x x x x x x x ---=?? +-=?? --=??-=-? 整理一下方程，第3个方程的左右两边乘以13 - ，第4个方程左右两边乘以1 6 123423434342510 2 1 47 21 x x x x x x x x x x x ---=?? +-=?? +=-??-=-? 求解线性方程组的直接解法 5.1 Gauss 消去法 ① 三角方程组 先举一个简单的例子来说明消去法的基本思想. 例1. 用消去法解方程组 ??? ??=+-=-=++(3) .122(2) ,54(1) ,6321 32321x x x x x x x x 解 第一步.将方程(1)乘上-2加到方程(3)上去,消去(3)中的未知数1x ,得到 (4) .11432-=--x x 第二步.将方程(2)加到方程(4)上去,消去方程(4)中的未知数2x ,得到与原方程组等 价的三角形方程组 (5) .62 ,54 ,6332321?? ? ??-=-=-=++x x x x x x 显然,方程组(5)是容易求解的,解为.)3,2,1(T x =* 上述过程相当于 332331 (-2) 6-56 20014011111-56 140140111156 122140111)|(r r r r r r b A →+→+??? ? ?? ??--→????? ??---→????? ??--= 其中用i r 表示矩阵的第i 行. 下面我们讨论求解一般线性方程组的高斯消去法. 一般地 ???????==++=+++n n nn n n n n b x a b x a x a b x a x a x a 2 222211212111 当a 11a 22…a nn ≠0时,可解出 x n =b n /a nn for k=n-1:1 x k =(b 1- a k,k+1x k +1-…- a kn x n )/ a kk end 注: k k b x ,可用同一组单元.并可解出一个未知数即代入其它方程消去该未知数 Gauss 消元法的流程图为: 流程图中，,(,1,2,...,)ij i a b i j n 分别为线性方程组的系数矩阵和常数向量； k 是循环次数。 ② 顺序消去法 一般地,k =1对n 阶方程组消去第k 个元(a kk ≠0): 这里向你推荐一下克鲁特算法（其实就是对高斯列主元消元法进行优化，使之更适合于计算机编程），首先将矩阵A进行LU分解（将系数矩阵分解成一个上三角矩阵和一个下三角矩阵），分解的过程中用到了隐式的主元寻找法，同时利用克鲁特算法可以将两个n*n矩阵压缩到一个n*n矩阵中，大大节省了存储空间提高了计算速度。 方程可化为L*U*x=B，令U*x=y --->L*y=B 然后利用回代先求y，再利用y求x 因为该方法在求解过程中不涉及增广矩阵所以矩阵B几乎不参与什么运算，所以它的计算速度应该能够达到高斯列主元消元法的三倍，但原理与其基本一致。 而且我在程序中使用了动态数组方便你今后进行扩展。 以下程序按照《矩阵论第二版》和《C语言数值计算法方法大全》编写，LU分解部分程序主要参考了《C语言数值计算法方法大全》第二章的程序 如果你需要详细的理论讲解我可以将这两本书和源程序发给你.，我的邮箱 hu_hu605@https://www.360docs.net/doc/c32662430.html, 计算结果： A矩阵: 2 2 5 3 4 7 1 3 3 B矩阵: 5 6 5 解矩阵: x 1=-7 x 2=0.333333 x 3=3.66667 Press any key to continue #include 高斯消元法(完整) 高斯消元法解线性方程组 在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。 一、线性方程组 设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m 11112211211222221122+++=+++=+++=??????? （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。当右端常数项b 1, b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即 a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000 +++=+++=+++=??????? （3.2） 称为齐次线性方程组。 由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。 （利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。） 非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为： AX = B 其中 A = ????????????mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，X = ????????????n x x x 21， B = ????? ???????n b b b 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。将系数矩阵A 和常数矩阵B 放在一起构成的矩阵 高斯列主元消元法解线性方程组 一、题目：用Gauss 列主元消去法解线性方程组Ax b =，其中， A=17.031 -0.615 -2.991 1.007 -1.006 0.000-1.000 34.211 -1.000 -2.100 0.300 -1.7000.000 0.500 13.000 -0.500 1.000 -1.5004.501 3.110 -3.907 -61.705 12.170 8.9990.101 -8.012 -0.017 -0.910 4.918 0.1001.000 2.000 3.000 4.500 5.000 21.803?? ? ? ? ? ? ? ? ??? 0.230 -52.322 54.000 240.236 29.304 -117.818b ?? ? ? ?= ? ? ? ? ??? T X=(0.907099 -1.961798 3.293738 -4.500708 3.029344 -5.255068) 二、原理及步骤分析 设 n n ij R a A ?∈=][)1(，n n R b b b b ∈=],,,[)1()2(2)1(1 。若约化主元素 ),,2,1(0)(n k a k kk =≠，则通过高斯消元法将方程b AX =约化为三角形方程组求解。 如果在消元过程中发现某个约化主元0) (=k kk a , 则第K 次消元就无法进行。此外，即 使所有约化主元全不为零，虽然可以完成方程组的求解，但也无法保证结果的可靠性，因为计算过程中存在舍入误差。 为减少计算过程中的舍入误差对解的影响，在每次消元前，应先选择绝对值尽可能大的元作为约元的主元，如果在子块的第一列中选取主元，则相应方法称为列主元消元法。相应过程为： （1）选主元：在子块的第一列中选择一个元) (k k i k a 使) (max k ik n i k k k i a a k ≤≤= 并将第k 行元与第k i 行元互换。 （2）消元计算：对k=1,2,……n-1依次计算 ()()()???? ?????++=-=++=-=++==++n k k i b m b b n k k j i a m a a n k k i a a m k k ik k i k i k kj ik k ij k ij k kk k ik k ik ,,2,1,,2,1,,,2,1)()() 1() ()()1()() ()( （3）回代求解 ???? ????????? ??-==∑+=) (1) ()()() (i ii n i j j i ij i i i n nn n n n a x a b x a b x ()1,,2,1 --=n n i 高斯消元法解线性方程组 在工程技术与工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型得数学模型,这些模型中方程与未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同.那么这样得线性方程组就是否有解呢？如果有解，解就是否唯一？若解不唯一，解得结构如何呢？这就就是下面要讨论得问题. 一、线性方程组 设含有n个未知量、有m个方程式组成得方程组 （3、1） 其中系数，常数都就是已知数,就是未知量（也称为未知数）。当右端常数项，，…，不全为0时,称方程组（３、１)为非齐次线性方程组；当== …＝= 0时,即 （3、2） 称为齐次线性方程组. 由n个数, , …, 组成得一个有序数组（，，…，),如果将它们依次代入方程组(3、１)中得，，…, 后，(3、1）中得每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（，，…，)为方程组（3、1)得一个解。显然由=0, =0, …, =0组成得有序数组（0，0,…，0）就是齐次线性方程组(３、２)得一个解，称之为齐次线性方程组(3、２）得零解，而当齐次线性方程组得未知量取值不全为零时,称之为非零解. （利用矩阵来讨论线性方程组得解得情况或求线性方程组得解就是很方便得。因此,我们先给出线性方程组得矩阵表示形式。) 非齐次线性方程组(3、1)得矩阵表示形式为： AX =Ｂ 其中 A＝，X＝，B = 称A为方程组(3、１）得系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。将系数矩阵Ａ与常数矩阵B放在一起构成得矩阵 = 称为方程组（３、1)得增广矩阵。 齐次线性方程组（3、2)得矩阵表示形式为:ＡＸ=O 二、高斯消元法 (下面介绍利用矩阵求解方程组得方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方程组得解呢?我们先瞧一个定理。) 定理３、1若用初等行变换将增广矩阵化为,则AＸ= Ｂ与CX =D就是同解方程组。 证由定理3、1可知，存在初等矩阵,，…, ,使 …＝ 记…= P，则P可逆,即存在。 设为方程组A X＝Ｂ得解,即 A＝ B 在上式两边左乘Ｐ,得 P A = PB 即 Ｃ＝D 说明也就是方程组C X＝D得解。反之，设为方程组C X ＝D得解,即 数值分析 程 序 设 计 学院：计算机学院 姓名：袁薪洋 时间：2012年10月10日 1．实验目的： 1熟练掌握C语言程序设计，编程求解问题。 2.运用高斯消元法求解线性方程组。 2．实验内容： 用高斯消元法求解方程组。 0.001 2.000 3.000 x1 1.000 -1.000 3.172 4.623 x2 = 2.000 -2.000 1.072 5.643 x3 3.000 程序的完整代码： #include for(i=0;i （Gauss-Jordan）消元法 选主元的高斯-约当（Gauss-Jordan）消元法在很多地方都会用到，例如求一个矩阵的逆矩阵、解线性方程组（插一句：LM算法求解的一个步骤），等等。它的速度不是最快的，但是它非常稳定（来自网上的定义：一个计算方法，如果在使用此方法的计算过程中，舍入误差得到控制，对计算结果影响较小，称此方法为数值稳定的），同时它的求解过程也比较清晰明了，因而人们使用较多。下面我就用一个例子来告诉你Gauss-Jordan法的求解过程吧。顺便再提及一些注意事项以及扩展话题。 对本文中所提到的“主元”等概念的解释，可以参考此链接。 假设有如下的方程组： 写成矩阵形式就是：AX=B，其中： 且X=(X 1, X2, X3)T。 文章来源：https://www.360docs.net/doc/c32662430.html,/ 现对矩阵A作初等变换，同时矩阵B也作同样的初等变换，则当A化为单位矩阵的时候，有： 显而易见，我们得到了方程组的解X=(1, 2, 4)T。 所以，我们要以一定的策略，对A和B施以一系列的初等变换，当A化为单位矩阵的时候，B就为方程组的解。 选主元的G-J消元法通过这样的方法来进行初等变换：在每一个循环过程中，先寻找到主元，并将主元通过行变换（无需列变换）移动到矩阵的主对角线上，然后将主元所在的行内的所有元素除以主元，使得主元化为1；然后观察主元所在的列上的其他元素，将它们所在的行减去主元所在的行乘以一定的倍数，使得主元所在的列内、除主元外的其他元素化为0，这样就使得主元所在的列化为了单位矩阵的形式。这就是一个循环内做的工作。然后，在第二轮循环的过程中，不考虑上一轮计算过程中主元所在的行和列内的元素，在剩下的矩阵范围内寻找主元，然后（如果其不在主对角线上的话）将其移动到主对角线上，并再次进行列的处理，将列化为单位矩阵的形式。余下的步骤依此类推。具体的计算过程的一个例子，请看下面我举的求逆矩阵的过程。 如果要解系数矩阵相同、右端向量不同的N个方程组，在设计程序的时候，没有必要”解N 次方程组“，我们完全可以在程序中，将所有的右端向量以矩阵的数据结构（类似于二维数组）来表示，在系数矩阵作行变换的时候，矩阵里的每一个右端向量也做同样的变换，这样，我们在一次求解运算的过程中，实际上就是同时在解N个方程组了，这是要注意的地方。 文章来源：https://www.360docs.net/doc/c32662430.html,/ 那么，G-J法为什么可以用来求逆矩阵？ 假设AX=E，其中，A为n阶系数矩阵（与上面的解线性方程组对照）；E为单位矩阵，即E=(e1,e2,…,e n)，其中e i (i=1,2,…,n) 为单位列向量；X为n个列向量构成的矩阵，即 X=(x1,x2,…,x n)，其中x i (i=1,2,…,n) 为列向量。于是，可以把等式AX=E看成是求解n个线性方程组Ax i=e i(i=1,2,…,n)，求出了所有的x i之后，也即得到了矩阵X。而由AX=E可知，矩阵X是A的逆矩阵，即X=A-1。这样，就求出了A的逆矩阵了。于是，求逆矩阵的过程被化成了解线性方程组的过程，因此我们可以用Gauss-Jordan消元法来求逆矩阵。 求逆矩阵时，系数矩阵A和单位矩阵E可以共用一块存储区，在每一次约化过程中，系数矩阵逐渐被其逆矩阵替代。 在这里，我用一个实际的例子来说明G-J法求逆矩阵的过程： 有如下的方程组： 显而易见，该方程组对应的系数矩阵A和右端向量矩阵B（此处只有一个右端向量）分别为： 高斯消元法解线性方程组 在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。 一、线性方程组 设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m 11112211211222221122+++=+++=+++=??????? （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。当右端常数项b 1, b 2, …, b m 不全为0时， 称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即 a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000 +++=+++=+++=??????? （3.2） 称为齐次线性方程组。 由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。 （利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。） 非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为： AX = B 其中 A = ????????????mn m m n n a a a a a a a a a 21 2222111211，X = ????????????n x x x 21，B = ????????????n b b b 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。将系数矩阵A 和常数矩阵B 放在一起构成的矩阵高斯消元法(完整)
高斯消元法 主元消去法
高斯消元法讲解
完整版高斯消元法MATLAB实现
高斯消元法简介
高斯消元法
高斯消元法
高斯消元法(完整)教学内容
高斯列主元消元法解线性方程组
高斯消元法(完整)
高斯消元法求解线性方程组
(Gauss-Jordan)消元法
高斯消元法(完整)