集合的关系及运算

集合（二）（讲义）

知识点睛

一、元素与集合的关系

运用元素与集合间的关系解决问题，关键是确定元素间的对应关系以及元素满足的条件．

说明：（1）满足题目本身对元素与集合关系的要求；

（2）满足集合中元素的特征：互异性．

二、集合间的基本关系

1.集合间基本关系的证明

（1）集合相等，即A=B：

①?x∈A，都有x∈B，得A?B；

②?x∈B，都有x∈A，得B?A；

③A=B．

（2）集合间的包含关系或真包含关系．

①A?B??x∈A，都有x∈B．

②A B??x∈A，都有x∈B；?x0∈B，且x0?A．

2.含参数的集合

（1）由集合相等求未知数

根据_______________________切入_______________，求出未知数，结合______________________．

（2）由集合间的包含（真包含）关系求未知数

首先考虑________，其次找对应关系，把_________________转化为___________________．

三、集合之间的运算

1.并集、交集向集合间基本关系的转化

（1）A∪B=B?A?B；

（2）A∩B=B?B?A．

2.并集、交集及补集的混合运算常借助Venn图解决问题．

精讲精练

1.设A表示集合{2，3，a2+2a-3}，B表示集合{|a+3|，2}，若已知5∈A，且5?B，

求实数a的值．

2.已知集合A={1，3，a2+a，a+1}，若a∈A，求实数a的值．

3.设y=x2-ax+b，A={x|y-x=0}，B={x|y-ax=0}，若A={-3，1}，试用列举法表

示集合B．

4.已知集合A={x|ax2-3x+2=0，a∈R}．

（1）若1∈A，求集合A；

（2）若A=?，求a的取值范围；

（3）若A中只有一个元素，求a的值组成的集合；

（4）若A中至多只有一个元素，求a的值组成的集合．

5.设M={a|a=x2-y2，x，y∈Z}．

（1）求证：2k+1∈M（其中k∈Z）；

（2）属于M的两个整数，其积是否仍属于M？

6.已知集合A={x|x=8m+14n，m，n∈Z}，B={x|x＝2k，k∈Z}，求证：A=B．

7.设集合M={x|x=n2，n∈N}，T={x|x=4k或x=4k+1，k∈N}，

求证：M T．

8.已知集合A={1，3，a}，集合B={1，a2-a+1}，且A?B，求实数a的值．

9.设集合A={x，x2，xy}，集合B={1，x，y}，若A=B，求实数x，y的值．

10.若集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}，B A，求m的值．

11.已知集合A={x|-3≤x≤4}，B={x|2m-1

范围．

12.设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}．

（1）若A∪B=B，求a的值；

（2）若A∩B=B，求a的值．

13.设全集U=R，集合A={x|x2+ax-12=0}，B={x|x2+bx+b2-28=0}，

若A∩(C U B)={2}，求a，b的值．

14.设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x|x2+ax+b=0}，

B={x|x2+cx+6=0}，C U(A∪B)={1，4，5}，A∩B={2}，求a，b，c的值．

回顾与思考

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

【参考答案】

【知识点睛】

二、2.（1）两个集合中元素一样

找对应关系 集合中元素的互异性检验 （2）空集 集合间的关系

元素与集合的关系

【精讲精练】

1．a =-4

2．a =3

3．{323323}B =---+， 4．（1）A ={1，2}；（2）98a >

；（3）9{0}8，；（4）9{|0}8

a a a ≥或= 5．（1）证明略；（2）属于

6．证明略

7．证明略

8．a =2或-1

9．x =-1，y =0

10．m =0，12-或13

11．1m ≥- 12．（1）1；（2）11a a ≤或-=

13．a =4，b =2

14．a =-4，b =4，c =-5

集合（二）（随堂测试）

1. 已知三个集合A ={x |x 2-3x +2=0}，B ={x |x 2-ax +a -1=0}，C ={x |x 2-bx +2=0}，问：

同时满足B A ，A ∪C =A 的实数a ，b 是否存在？若存在，求出a ，b 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．

【参考答案】

1.a=2，3

b b

-<<=

集合（二）（作业）

15.数集A满足条件：若a∈A，则1

1

a

a

+

-

∈A(a≠1)．若1

3

∈A，求集合A．

16.设集合U={2，3，a2+2a-3}，A={|2a-1|，2}，C U A={5}，求实数a的值．

17.集合A中元素为正整数，且满足：若x∈A，则10-x∈A．

（1）写出有且只有一个元素的集合A；

（2）写出有且只有两个元素的集合A；

（3）直接写出满足条件的集合A至多有多少个元素．

18. 给定一个数集A 和运算法则“*”：若对于这个集合A 中的任意两个元素12x x ，

，都有12x x *仍然是集合A 中的元素，那么我们就称集合A 对运算法则“*”是封闭的．

现设{|}Z A x x m m n ==+∈，． （1）证明：集合A 对加法和乘法是封闭的；

（2）集合A 对除法是封闭的吗？若封闭，请证明，若不封闭，请说明理由．

19. 若A ={x |x =2n +1，n ∈Z }，B ={ y | y =4k ±1，k ∈Z }，证明：A =B ．

20. 已知集合A ={x ||x -a |=4}，集合B ={1，2，b }．

（1）是否存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ?B ？若存在，求出对应的a ，若不存在，试说明理由；

（2）若A ?B 成立，求出对应的实数对(a ，b )．

21.已知A={x|2

（1）是否存在实数a，使得A∩B={x|3

（2）若A∩B=?，求a的取值范围．

22.设A={x||x-a|<3}，B＝{x|

2

2

1

x

x

+

-

≥}，若A∪B=A，求实数a的取值范围．

23.集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，

若A∩B≠?，A∩C=?，求实数a的值．

24.设U=R，集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+(m+1)x+m=0}．若(C U A)∩B=?，求

m的值．

【参考答案】

1．11{23}32

A =--，，， 2．a =2

3．（1）{5}；（2）{1，9}，{2，8}，{3，7}，{4，6}；（3）9

4．（1）证明略；（2）不封闭（提示：举出一个反例，令11x =，22x =）

5．证明略

6．（1）不存在；（2）(-3，-7)，(-2，-6)，(5，9)，(6，10)

7．（1）存在，a =3；（2）243

a a ≤≥或 8．14a ≤<

9．a =-2

10．m =1或2