线性系统综述报告

线性系统理论应用综述

系统控制的理论与实践被认为是20 世纪中对人类生产和社会生活活动产生重大影响的科学领域之一。其中，线性系统理论是系统控制理论的一个最为基本的与成熟发展的分支。

线性系统理论发展经历了“经典线性系统理论”与“现代线性系统理论” 两个阶段。经典理论形成于20 世纪三四十年代，以三项理论为标志。1932年，美国物理学家H.奈奎斯特运用复变函数理论的方法建立了根据频率响应判断反馈系统稳定性的准则；波特（H.W.Bode）于20 世纪40 年代初期引入了波特图；1948年，美国科学家伊万思(W.R.Evans)提出了名为根轨迹的分析方法，用于研究系统参数（如增益）对反馈控制系统的稳定性和运动特性的影响，并于1950年进一步应用于反馈控制系统的设计，构成了经典控制理论的另一核心方法──根轨迹法。在第二次世界大战中, 经典理论的应用取得了巨大成功。20 世纪50 年代以后，随着航天等技术的发展和控制理论应用范围的扩大，经典线性控制理论的局限性日趋明显，这种状况推动线性系统的研究，线性系统理论在1960 年开始从经典理论向现代理论过渡。美国学者卡尔曼（R.E.Kalman）把分析力学中的状态空间描述引入于对多变量线性系统的研究，并提出了能控性和能观测性及相应的判别准则。1963 年他又和吉尔伯特一起得出揭示线性系统结构分解的重要结果，为现代线性系统理论的形成和发展作了开创性的工作。20世纪60年代后期和70年代早期，线性二次型理论推广到无穷维系统(即以偏微分方程、泛函微分方程、积分微分方程和在巴拿赫空间的一般微分方程描述的系统)的工作得到很大进展。20世纪70年代末80年代初，反馈控制的设计问题经历了一个重新修正的过程。随着人工智能的发展和引入了新的计算机结构，控制理论和计算机科学的联系愈来愈密切，使得最近25年线性系统理论的研究非常活跃。

经典控制理论的主要研究对象是单输入、单输出的线性定常系统。经典控制理论的数学基础是傅里叶变换和拉普拉斯变换，占主导地位的分析和综合方法是频率域方法。经典控制理论主要研究系统运动的稳定性、时间域和频率域中系统的运动特性、控制系统的设计原理和校正方法。经典控制理论包括线性控制理论、采样控制理论、非线性控制理论三个部分。经典控制理论的特点是以输入输出的传递函数和频率响应为系统数学模型，采用频率响应法和根轨迹法这些图解分析方法，分析系统性能和设计控制装置，故物理概念清晰，研究思路直观，易于理解与掌握。

现代控制理论建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是线性控制理论的一个主要组成部分。在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是采用状态空间描述系统内部，并对系统的分析与综合直接置于时间域来进行，可适用于单输入单输出系统和多输入多输出系统，线性时不变系统和线性时变系统，所处理的问题的领域非常宽泛。线性系统理论中最为基本的特性是基于状态空间描述上的能控性与能观性这两个概念。能控性与能观性的引入导致了线性系统的分析与综合在在指导原则性的根本变革。现代控制理论所包含的学科内容十分广泛，主要的方面有：线性系统理论、非线性系统理论、最优控制理论、随机控制理论和适应控制理论。在分析和综合方法方面以时域方法为主，兼而采用频域方法；使用更多的数学工具，除经典理论中使用的拉普拉斯变换外，现代线性系统理论大量使用线性代数、矩阵理论和微分方程理论等。所采用的方法和算法更适合于在数字计算机上进行。

线性系统理论的主要是研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可行性和方法，建立和揭示系统的结构、参数、行为和性能间的确定的和定量的关系。

1．基于物理规律和输入输出实测数据建立系统的数学模型

不管是分析问题还是综合问题或设计，都必须建立系统的数学模型。建立系统的数学模

型时，最重要的是确定需要反映和研究的主要系统属性。建立系统数学模型的基本途径只要有解析法和实验法。解析法通过分析系统的机制直接运用物理原理来建立表征系统动态过程的数学描述；实验法是通过实验取得数据和按照相应准则处理数据的基础上来导出最接近系统实际情况的简化数学描述。在建立系统的数学模型时，要在系统模型的简单性和分析结果的准确性之间做出适当的折中。

2．对所建数学模型进行系统分析

线性系统的分析包含两个大方面：定量分析和定性分析。定量分析是建立系统状态或输出相对输入的因果关系的一般表达式，以对系统的响应与性能进行分析。当对系统的定量分析得不到答案时，我们只能对系统进行定性分析。定性分析主要研究系统的运动稳定性、能控能观性，互质性等对结构特性。

3．对线性系统进行综合设计

系统综合就是同时基于系统模型与期望性能指标确定满足总和要求的控制器，目的是时系统的性能达到期望的指标或实现最优化。那么，如何实现对系统的干预和控制呢？每一个系统都有一定的输入变量和输出变量，通过调整状态变量来达到改变原有系统结构及性能的目的。在满足一定条件时，状态反馈、输出反馈、从输出到状态矢量导数的反馈都可以实现极点的配置，即达到改变系统的性能目的。

很多实际系统都可用线性系统模型近似地描述，而线性系统理论和方法又比较成熟，因此它的应用范围十分广泛。在航空、航天、航海、机械、电器、力学等技术领域中，线性系统理论都有应用实例。在科学领域中，线性系统理论的研究不但为控制理论的其他分支提供了理论基础，而且对数学研究也提出了一些有实际意义的新问题。

南京航空航天大学自动化学院的袁锁中、刘矍在《插头锥套式空中加油对接过程中受油机的飞行控制律》中，采用基于参考观测器的轨迹跟踪控制方法，实现窄中加油过程中受油插头与加油锥套的精确对接。根据受油机插头与加油锥套之间的相对位置，由参考轨迹生成模块实时生成受油机的机动轨迹．通过参考观测器实时估算出受油机期望跟踪的状态量与控制量，再采用全状态反馈控制，使受油机的受油插头与加油锥套对接。仿真结果表明系统具有良好的跟踪控制性能．

山东大学控制科学与工程学院及山东交通学院先进车辆研究所的福广、李贻斌、阮久宏、荣学文、宋锐在《基于扩张状态观测器的路面附着系数实时估计》中，对车辆动力学控制中的道路路面附着系数实时估计问题进行研究。首先使用魔术公式建立1／4车辆制动模型，即车轮制动动力学模型；然后将其中的附着系数相关项视为制动系统的扩张状态，建立其扩张状态观测器，通过轮速信号和制动力矩信号实时观测制动过程中地面与轮胎间的纵向力，进而计算出路面附着系数；最后在均匀路面和突变路面条件下进行仿真研究。结果表明，所提出的方法对车辆制动系统参数摄动和传感器噪声具有鲁棒性，可以准确地实现道路路面附着系数的实时估计，观测器与控制器设计具有一定独立性。

哈尔滨工业大学控制科学与工程系的夏晴、志远在《电动汽车动力电池荷电状态的滑模估计方法》中，也应用了线性系统理论。应用滑模观测器方法进行了荷电状态估计的研究．基于改进的，nlevenin等效电路模型建立了电池的状态空间模型，设计了一种能改善抖动问题的滑模状态观测器。为分析观测器的稳定性，对模型中的非线性项进行了分析，根据其导数有界的特性，利用拉格朗日中值定理给出了保证观测器收敛的条件，并由此确定观测器的设计参数．并且在Matlab环境下对该方法进行了仿真，与扩展卡尔曼滤波方法进行了比较，结果表明在电池的建模误差相同的情况下该方法具有更高的估计精度。所以，用滑模观测器进行荷电状态的估计可以有效地减小由模型误差引入的荷电状态估计误差。

吉林大学的赵海、陈虹等在《基于滑膜测器的汽车轮胎力估计》中对汽车轮胎力进行了分析。文中考虑汽车有大幅度的操纵行为和轮胎处于附着及现实的受力情况，设计滑膜观

测器对汽车行驶过程中的轮胎力进行估计，并与经典的扩展卡尔曼滤波方法进行了比较。

线性系统理论是实践发展的结果，同时生产实践的发展也促进了完善，可以看出在未来的发展中，线性系统理论进一步的日趋成熟，应用越来越广泛。