圆的标准方程和一般方程(简单)
圆的标准方程和一般方程【圆的方程】
⑴圆的标准方程：
。
⑵圆的一般方程：
，
特别提醒：只有当
时，方程
才表示圆心为
，半径为
的圆
（二元二次方程
表示圆的充要条件是什么？（
且
且
））；
【点与圆的位置关系】
已知点
及圆
，
（1）点M在圆C外
；
（2）点M在圆C内
；
（3）点M在圆C上
。
【直线与圆的位置关系】
直线
和圆
有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：
相交；
相离；
相切；
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为
，则
相交；
相离；
相切。
提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。
【两圆位置关系的判定方法】
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
外离外切相交内切内含
【公共弦直线方程】
圆
与圆
的公共弦所在直线方程
【圆的切线与弦长】
(1)切线：
①过圆
上一点
圆的切线方程是：
，
过圆
上点
圆的切线方程是：
，
一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；
②从圆外一点引圆的切线一定有两条，
（2）弦长问题：常用弦心距
，弦长一半
及圆的半径
所构成的直角三角形来解：
；
例:直线
被曲线
所截得的弦长等于
；
【圆的方程】
1、过点
，
，
三点的圆的方程为___________
2、点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______
3、方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____；
4、过点
且圆心在直线
上的圆的方程是_____________
【切线和弦问题】
5、与圆
相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有___________．
6．已知两圆
和
相交于
两点，则直线
的方程
是
，线段
的垂直平分线方程是
7、若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．
解析：由题意，设圆心(x0,1)，∴
＝1，解得x0＝2或x0＝－
(舍)，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
8、已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为___________．
解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC ＝2r＝10，最短弦BD＝2
＝4
，四边形ABCD的面积为20
.
9、一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2
，求此圆的方程
分析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为
又因为直线y=x截圆得弦长为2
，则有
+
=9b2，
解得b=±1故所求圆方程为
或
【对称问题】
10、已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________________．解析：圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴
解得
圆C2的半径为11，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.
11．圆
上与直线
距离最近的点的坐标是
12、已知点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，点P关于直线x＋y －3＝0的对称点也在圆C上，则a＝________，b＝________.
解析：点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，所以2a＋b＋1＝0，点P关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，所以圆心 (－a,2)在直线x＋y－3＝0上，即－a＋2－3＝0，解得a＝－1，b＝1.
【直线与圆相交问题】
13、若圆x2＋y2－2kx＋2y＋2＝0(k>0)与两坐标轴无公共点，那么实数k
的取值范围为________．
解析：圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径r ＝
，若圆与两坐标无共点，即
，解得1 . 14、圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若 ∠APB＝90°，则实数c的值是________． 解析：当∠APB＝90°时，只需保证圆心到y轴的距离等于半径的 倍．由于圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5－c，即2＝ × ，解得c＝－3. 【综合问题】 15、如果实数 满足等式 ，那么 的最大值是 16、两圆交于点 、 ，两圆的圆心均在直线 上，则 17、曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是____________． 解析：曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l方程为x－y－1＝0，与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为( ，－ )，半径为 ，所以方程为(x－ )2＋(y＋ )2＝ .答案：(x－ )2＋(y＋ )2＝ 18、已知圆M：（x＋cos）2＋（y－sin）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题： （A）对任意实数k与，直线l和圆M相切； （B）对任意实数k与，直线l和圆M有公共点； （C）对任意实数，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切; （D）对任意实数k，必存在实数，使得直线l与和圆M相切. 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）. （B）（D）.圆心坐标为（－cos，sin）d＝ 19、若直线ax＋by＝1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是___． 解析：∵直线ax＋by＝1过点A(b，a)，∴ab＋ab＝1，∴ab＝ ，又OA＝ ，∴以O为圆心，OA长为半径的圆的面积：S＝π·OA2＝(a2＋b2)π≥2ab·π＝π，∴面积的最小值为π. 20、设实数x、y满足x2＋(y－1)2＝1，若对满足条件的x、y，不等式 ＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________． 解析：由题意，知－c≤ 恒成立，又 ＝ 表示圆上的点与定点(3,0)连线的斜率，范围为[－ ，0]，所以－c≤－ ，即c的取值范围是c≥ . 21、设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线 的距离为 ，求该圆的方程． 设圆心为 ，半径为r，由条件①： ，由条件②： ，从而有： ．由条件③： ，解方程组 可得： 或 ，所以 ．故所求圆的方程是 或 ． 圆的标准方程 1、情境设置： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离 公式让学生写出点M 适合的条件r =① 化简可得：222 ()() x a y b r -+-=② 引导学生自己证明222 ()() x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用及解题研究 例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点 12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。 探究：点00(,)M x y 及圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程 师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在 :10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置及半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 及A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 及直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。 （教师板书解题过程） 1. 圆的标准方程 1、已知圆心为),(b a C ，半径为r ， 如何求的圆的方程？ 运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出： 222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程 2、圆的标准方程 ：222)()(r b y a x =-+- 若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是222r y x =+ 3、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径 圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要r b a ,,三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定r b a ,,，可以根据条件，利用待定系数法来解决 三、讲解范例： 例1 求以C(1,3)为圆心，并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程 例2已知圆的方程2 22r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程 例3．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程 例4．一圆过原点O 和点(1,3)P ，圆心在直线2y x =+上，求此圆的方程 例5．已知一圆与y 轴相切，在直线y x =上截得的弦AB 长为，圆心在直线30 x y -=上，求此圆的方程． 2. 圆的一般方程 1．圆的一般方程 将标准方程222 ()()x a y b r -+-=展开，整理， 得22222220x y ax by a b r +--++-=， 将①配方得：22224()()224 D E D E F x y +-+++=． ② 把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出： （1）当2240D E F +->时，方程①表示以(,)22D E - -为半径的圆； （2）当2240D E F +-=时，方程①表示一个点(,)22D E - -； （3）当2240D E F +-<时，方程①不表示任何图形． 结论：当22 40D E F +->时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程． 圆的标准方程与一般方程 知识要点： 1. 平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆，定点是圆心，定长是半径。 2.以()b a C ,为圆心，r 为半径的圆的标准方程 是： 。 3. 过圆222r y x =+上一点()00,y x P 的圆的切线是：200r y y x x =+。 4.圆的一般方程：()0402222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ； 5.点与圆的位置关系： 点在圆上： 圆内： 圆外： 例1. 已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P （2，-1），且截x 轴的正半轴所得的弦的 长为8， 求此圆的标准方程. ()()253522=-+-y x 例2、求过点A （2，-3）、B （-2，-5）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程. ()()102122=+++y x 例3、求过三点A （1，1）B （3，1）和C （5，3）的圆的方程.0108422=+--+y x y x 一、选择题 1、若一圆的标准方程为（x-1）2+（y+5）2=3，则此圆的的圆心和半径分别为 （b ） A.(-1,5),3 B.(1,-5), 3 C.(-1,5),3 D.(1,-5),3 2、圆13)2()3(22=++-y x 的周长是( b ) A.π13 B. π132 C. π2 D. π32 3、圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为（-2，3）半径为4，则D ，E ，F 分别是（ d ） A.-4、-6、3 B.-4、6、3 C.-4、6、–3 D. 4、-6、-3 4、已知圆的方程是 122=+y x ，则它的在y 轴上的截距为2的切线方程是(c) A 、02=+-y x B 、02=-+y x C 、02=+-y x 与02=-+y x D 、02=++y x 与02=-+y x 5.点)5,(2m 与圆 2422=+y x 的位置关系是(A) A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不能确定 6. 已知直线l 的方程为34250x y +-=，则圆221x y +=上的点到直线l 的距离的最小值是(B) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7.已知圆 :M 2)2()3(22=-+-y x ，直线03:=-+y x l ，点)1,2(P ，那么(C) A.点P 在直线l 上，但不在圆M 上 B. 点P 在圆M 上，但不在直线l 上 C. 点P 既在圆M 上，又在直线l 上 D. 点P 既不在圆M 上，又不在直线l 上 8．过两点P(2,2),Q(4,2) 且圆心在直线0x y -=上的圆的标准方程是(A) A ．22(3)(3)2x y -+-= B. 22(3)(3)2x y +++= C. 22(3)(3)2x y -+-= D. 22(3)(3)2x y +++= 圆的方程 一、圆的标准方程 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式写出点M r = ① 化简可得：222 ()()x a y b r -+-= ② 自己证明为圆的方程，得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程 例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 二、探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2 r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2 r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2 r ，点在圆内 例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 三、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式 圆心在原点 ()222 0x y r r +=≠ 过原点 ()()()2 2 2 2 2 20x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上 ()()2 2 2 0x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2 2 2 0x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x y b b b +-=≠ 与x 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a b -+-==≠ 圆的标准方程与一般方程(总 12页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 圆的标准方程 1、情境设置： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢什么叫圆在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢如果能，这个方程又有什么特征呢 探索研究： 2、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M r = ① 化简可得：222()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用与解题研究 例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点 12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。 探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 一、圆的方程的三种形式 圆的方程有两种形式，分为标准方程、一般方程。圆的标准方程形式为：（xa）^2+（yb）^2=r^2。圆的一般方程形式为：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比来看，其实D=2a，E=2b，F=a^2+b^2r^2。 二、圆的标准方程和一般方程 圆的标准方程：（xa）²+（yb）²=R²。圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²4F＞0）。 标准方程 圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。如果已知：(1)圆半径长R；(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定(如下图)。根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。结论如下：（xa）²+（yb）²=R² 当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R² 圆的一般方程 圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y的降幂排列，得： x²+y²2ax2by+a²+b²R²=0 设D=2a，E=2b，F=a²+b²R²；则方程变成： x²+y²+Dx+Ey+F=0 任意一个圆的方程都可写成上述形式。把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：(1)x2项和y2项的系数相等且不为0(在这里为1)；(2)没有xy的乘积项。 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 圆的端点式： 若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（xa1）（xa2）+（yb1）（yb2）=0 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。 经过圆x²+y²=r²上一点M（a0，b0）的切线方程为a0·x+b0·y=r² 在圆（x²+y²=r²）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0·x+b0·y=r²。 圆的方程形式 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a,b）为圆心，以r 为半径的圆的标准方程是（xa）^2+（yb）^2=r^2。 圆的标准方程和一般方程【圆的方程】 ⑴圆的标准方程： 。 ⑵圆的一般方程： ， 特别提醒：只有当 时，方程 才表示圆心为 ，半径为 的圆 （二元二次方程 表示圆的充要条件是什么？（ 且 且 ））； 【点与圆的位置关系】 已知点 及圆 ， （1）点M在圆C外 ； （2）点M在圆C内 ； （3）点M在圆C上 。 【直线与圆的位置关系】 直线 和圆 有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断： （1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）： 相交； 相离； 相切； （2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为 ，则 相交； 相离； 相切。 提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。 【两圆位置关系的判定方法】 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2， 外离外切相交内切内含 【公共弦直线方程】 圆 与圆 的公共弦所在直线方程 【圆的切线与弦长】 (1)切线： ①过圆 上一点 圆的切线方程是： ， 过圆 上点 圆的切线方程是： ， 一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）； ②从圆外一点引圆的切线一定有两条， （2）弦长问题：常用弦心距 ，弦长一半 及圆的半径 所构成的直角三角形来解： ； 例:直线 被曲线 所截得的弦长等于 ； 【圆的方程】 1、过点 ， ， 三点的圆的方程为___________ 2、点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______ 3、方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____； 4、过点 且圆心在直线 上的圆的方程是_____________ 【切线和弦问题】 5、与圆 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有___________． 6．已知两圆 和 相交于 两点，则直线 的方程 是 ，线段 圆的标准方程与一般方程 圆的标准方程 1、情境设置： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 22()()x a y b r -+-= ① 化简可得：222() ()x a y b r -+-= ② 6 42 -2 -4 -55 M A 引导学生自己证明222() ()x a y b r -+-=为圆的方程，得 出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用与解题研究 例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(5,1)M M ---是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。 探究：点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2 r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2 r ，点在圆内 例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程 师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 圆的标准方程与一般方程的特点与分析 圆的标准方程与一般方程各具特点，但都是我们所需要掌握的重要内容。通过标准方程能够对一般方程进行推导，能够让我们更好地理解圆的特点和相关知识。本文对圆的标准方程与一般方程进行分析，以供参考。 标签：圆的标准方程圆的一般方程分析研究 一、圆的标准方程分析 圆的标准方程为。在圆的标准方程中，包含有a、b、r这三个参数，也就是圆心坐标为（a，b），只需要将a、b、r计算出来，就可以确定圆的方程。所以，在对圆方程进行确定的过程中，应当具备三个独立的条件，圆的定位条件就是圆心坐标，圓的定形条件就是其半径。[1] 1.圆的方程 当时，则圆心O的坐标为（0，0），我们将其称之为1单位的圆； 当时，则圆心O的坐标为（0，0），其半径为r； 当时，则圆心O的坐标为（a，b），其半径为r。 在对圆的方程进行确定的过程中，主要是对待定系数法这一方法进行运用，也就是将有关a、b、r的方程组列出来，将a、b、r分别计算出来，亦或是将圆心（a，b）与半径r计算出来，通常情况下，其步骤是： 依据有关题意，将圆的标准方程列出来； 依据相关已知条件，对有关a、b、r的方程组进行建构； 对所建构的方程组进行计算，分别将a、b、r的数值计算出来，将所计算的数值带入到圆的标准方程中去，进而就可以将所求圆的方程计算出来。 2.方程推导 平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（a，b），点P是圆中任意一点，其坐标为（x，y）。 圆属于平面到定点距离等于定长的所有点的集合。[2] 因此，，分别将两边平方，可以得出。 3.点与圆 关于点P（x1，y1）与圆（x-a）2+（y-b）2=r2的位置关系： 当的情况下，那么点P位于圆外； 当的情况下，那么点P位于圆上； 当的情况下，那么点P位于圆内。 4.直线与圆的位置关系 在平面图形中，在判定直线和圆的位置关系时，通常运用以下方法： 通过其中B不等于0，可以得出关于x的一元二次方程。通过判别式的符号，就可以对圆与直线的位置关系进行确定，其位置关系如下： 倘若，那么圆与直线存在两个交点，二者是相交关系； 倘若，那么圆与直线存在一个交点，二者是相切关系； 倘若，那么圆与直线不存在交点，二者是相离关系。 如果B=0，使y=b，那么就可以将两个X值x1、x2计算出来，且规定，则： 倘若或者的情况下，二者是相离关系； 倘若的情况下，二者是相交关系。 几何法： 将圆心到直线的距离d计算出来，半径为r： 倘若，则二者是相离关系； 倘若，则二者是相切关系； 倘若，则二者是相交关系。 二、圆的一般方程 1.一般方程 圆的标准方程是与x和y相关二次方程，将元的标准方程展列开来，并根据 圆标准方程和一般方程公式 圆是一种常见的几何形状，其特点是它的所有点都离某一点（称为圆心）的距离都相等。由于圆的特殊性，许多有关它的几何公式非常有用，其中有一种叫做“标准方程”的公式，可以很简洁地描述一个圆。除此之外，还有一种称为“一般方程”的公式，它也可以描述一个圆，但它更加灵活。 一、圆的标准方程 圆的标准方程是 x2+ y2 =r2，其中x和y分别是圆上任一点的横纵坐标，r是圆的半径，即定义圆的点到圆心的距离。根据这个公式可以知道，任意一个点的坐标之和的平方等于这个点和圆心的距离的平方，也就是说，任意一个点到圆心的距离都一定是定值r。 二、圆的一般方程 圆的一般方程为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2，其中a、b和r分别为圆心的横纵坐标和圆的半径。这个公式表示圆上任一点（x,y）到圆心（a, b）的距离的平方等于圆的半径平方，也就是说任一点到圆心的距离都是定值r。这是一般方程的一般形式，也就是说，只要圆心和半径单独给定，就可以求出一个圆的一般方程。 三、两种方程的比较 有了标准方程和一般方程的概念，我们可以比较这两种方程的异同点了。首先，标准方程不需要给出圆心的坐标，只用一个半径便可以描述一个圆，而一般方程则需要具体的圆心坐标。此外，由于标准方程只有一个参数（半径），因此它描述的圆只能是圆心位置固定的 某一个圆，而一般方程可以描述任意位置的圆。 四、圆的标准方程和一般方程的应用 圆的标准方程和一般方程可以应用于多种领域。在几何、数学以及许多其他学科中，它们都可以用来描述各种几何图形，如圆、椭圆、圆柱、圆锥等。此外，它们也可以用来解决各种实际问题，如矩形中心的坐标、求解圆的面积和周长等。 综上所述，圆的标准方程和一般方程非常重要，它们可以用于许多几何图形描述和实际问题的解答上，发挥着重要作用。 7.6圆的方程（1） 教学目的： 1、使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据圆心、半径准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径 2、能根据不同的条件，利用待定系数法、定义法求圆的标准方程 3、能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题 一、复习引入：1、具有什么性质的点的轨迹是圆？（圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆） 2、求曲线方程的一般步骤为： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件P 的点M 的集合；(可以省略，直接列出曲线方程) （3）用坐标表示条件P （M ），列出方程0),(=y x f ; （4）化方程0),(=y x f 为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明) 二、讲解新课： 1、已知圆心为),(b a C ，半径为r ， 如何求的圆的方程？ 运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出： 222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程 2、圆的标准方程 ：2 2 2 )()(r b y a x =-+- 若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是2 2 2 r y x =+ 3、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径 圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要r b a ,,三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定r b a , ,，可以根据条件，利用待定系数法来解决 三、讲解范例： 例1 求以C(1,3)为圆心，并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程 解：已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程。因为圆C 和直线0743=--y x 相切，所以半径r 就等于圆心C 到这条直线 的距离，根据点到直线的距离公式，得516 )4(3|73413|2 2=-+-⨯- ⨯=r 因此，所求的圆的方程是 25 256)3()1(2 2=-+-y x 变式：求以C(1,3)为圆心，且和直线0643=--y x 截得的弦长为8的圆的方程。 （注：在求圆的方程时，要注意运用圆的几何意义，使问题解决简化） 例2已知圆的方程2 2 2 r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程 分析：此题关键是求切线的斜率，为此须分两种情形讨论。 解：如图，设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为1k ， 因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是1 1k k - = ∵001x y k = ∴0 0y x k -= 经过点M 的切线方程是 )(00 0x x y x y y --=-， 整理得 2 02 000y x y y x x +=+ 因为点),(00y x M 在圆上，所以2 2 02 0r y x =+，所求切线方程是200r y y x x =+圆的标准方程与一般方程
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