高考物理热学大题题型分类专题训练

热学题型分类专项练习

题型一：单缸单活塞问题 题型二：单缸双活塞问题 题型三：双缸单活塞 题型四：双缸双活塞 题型五：单汞柱问题 题型六：双汞柱问题 题型七：非活塞汞柱问题 题型八：变质量问题

题型一：单缸单活塞问题

1、（2014年全国卷1）一定质量的理想气体被活塞封闭在竖直放置的圆柱形气缸内，气缸壁导热良好，活塞可沿气缸壁无摩擦地滑动。开始时气体压强为P ，活塞下表面相对于气缸底部的高度为h ，外界的温度为To 。现取质量为m 的沙子缓慢地倒在活塞的上表面，沙子倒完时，活塞下降了h/4.若此后外界的温度变为T ，求重新达到平衡后气体的体积。已知外界大气的压强始终保持不变，重力加速度大小为g 。 【答案】

94mghT

pT

【解析】设气缸的横截面积为S ，沙子倒在活塞上后，对气体产生的压强为Δp ，由玻意耳定律得

phS =(p +Δp )(h -1

4

h )S ① 解得

Δp =

13

p

②

外界的温度变为T 后，设活塞距底面的高度为h ′。根据盖—吕萨克定律，得

14h h S T ??- ???=h S T '

③

解得

h ′=

34T T h ④

据题意可得 Δp =

mg

S

⑤ 气体最后的体积为V =Sh ′

⑥

联立②④⑤⑥式得

V =

94mghT

pT

⑦

2.（2018年全国卷I ，33，15分★★★）如图，容积为V 的汽缸由导热材料制成，面积为S 的活塞将汽缸分成容积相等的上下两部分，汽缸上部通过细管与装有某种液体的容器相连，细管上有一阀门K 。开始时，K 关闭，汽缸内上下两部分气体的压强均为p 0， 现将K 打开，容器内的液体缓慢地流入汽缸，当流入的液体体积为8

V

时，将K 关闭，活塞平衡时其下方气体的体积减小了

6

V

，不计活塞的质量和体积，外界温度保持不变，重力加速度大小为g 。

求流入汽缸内液体的质量。

【答案解析】设活塞再次平衡后，活塞上方气体的体积为V 1，压强为p 1；下方气体的体积为V 2，压强为p 2，在活塞下移的过程中，活塞上下方气体的温度均保持不变。由玻意耳定律得

112V

p p V =① 0222V

p p V =② 由已知条件得

113

26824

V V V V V =

+-=③

2=263

V V V V =

-④ 设活塞上方液体的质量为m ，由力的平衡条件得

21p S p S mg =+⑤

联立以上各式得

01526p S

m g

=

⑥ 3.（2018年全国卷II ，33，10分★★★★★）如图，一竖直放置的气缸上端开口，气缸壁内有卡口a 和b ，a 、b 间距为h ，a 距缸底的高度为H ；活塞只能在a 、b 间移动，其下方密封有一定质量的理想气体．已知活塞质量为m ，面积为S ，厚度可忽略；活塞和汽缸壁均绝热，不计他们之间的摩擦．开始时活塞处于静止状态，上、下方气体压强均为p 0，温度均为T 0．现用电热丝缓慢加热气缸中的气体，直至活塞刚好到达b 处．求此时气缸内气体的温度以及在此过程中气体对外所做的功．重力加速度大小为g ．

答案：（1）开始时活塞位于a 处，加热后，汽缸中的气体先经历等容过程，直至活塞开始

运动．设此时汽缸中气体的温度为T 1，压强为p 1，根据查理定律有

p 0T 0 = p 1

T 1

①

根据力的平衡条件有

P 1S = p 0S + mg

②

联立①②式可得

T 1 = (1 + mg

p 0S )T 0

③

此后，汽缸中的气体经历等压过程，直至活塞刚好到达b 处，设此时汽缸中气体的温度为T 2；活塞位于a 处和b 处时气体的体积分别为V 1和V 2．根据盖·吕萨克定律有

V 1T 1 = V 2T 2

④ 式中 V 1 = SH

⑤

V2 = S(H + h) ⑥联立③④⑤⑥式解得

T2 =(1 + h

H)(1 +

mg

p0S)T0⑦

从开始加热到活塞到达b处的过程中，汽缸中的气体对外做的功为

W = (p0S + mg)h⑧4．（2020?深圳模拟）扣在水平桌面上的热杯盖有时会发生被顶起的现象，如图所示，截面积为S的热杯盖扣在水平桌面上，开始时内部封闭气体的温度为300K，压强为大气强p0．当封闭气体温度上升303K时，杯盖恰好被整体顶起，放出少许气体后又落回桌面，其内部压强立即减为p0，温度仍为303K．再经过一段时间，内部气体温度恢复到300K．整个过程中封闭气体均可视为理想气体。求：

（1）当温度上升303K且尚未放气时，封闭气体的压强；

（2）当温度恢复到303K时，竖直向上提起杯盖所需的最小力。

【解答】解：（1）以开始封闭的气体为研究对象，

由题意可知，初状态温度T0＝300 K，压强为p0，

末状态温度T1＝303 K，压强设为p1，

由查理定律得：①

代入数据得：p1＝p0②

（2）设杯盖的质量为m，刚好被顶起时，

由平衡条件得：p1S＝p0S+mg③

放出少许气体后，以杯盖内的剩余气体为研究对象，

由题意可知，初状态温度T2＝303 K，压强p2＝p0，

末状态温度T3＝300 K，压强设为p3，

由查理定律得④

设提起杯盖所需的最小力为F，

由平衡条件得F+p3S＝p0S+mg⑤

联立②③④⑤式，代入数据得：F＝p0S

答：（1）当温度上升303K且尚未放气时，封闭气体的压强为p0；

（2）当温度恢复到303K时，竖直向上提起杯盖所需的最小力为p0S。5．（2019?景德镇模拟）为了更方便监控高温锅炉外壁的温度变化，在锅炉的外壁上镶嵌一个导热性能良好的汽缸，汽缸内气体温度可视为与锅炉外壁温度相等。汽缸开口向上，用质量为m＝1kg的活塞封闭一定质量的理想气体，活塞横截面积为S＝1cm2．当汽缸内温度为300K时，活塞与汽缸底间距为L，活塞上部距活塞L处有一用轻质绳悬挂的重物M．当绳上拉力为零时，警报器报警。已知室外空气压强p0＝1.0×105Pa，活塞与器壁之间摩擦可忽略。求：

（ⅰ）当活塞刚刚碰到重物时，锅炉外壁温度为多少？

（ⅱ）若锅炉外壁的安全温度为900K，那么重物的质量应是多少？

【解答】解：（ⅰ）活塞上升过程为等压变化，则先后体积分别为：

V1＝LS

V2＝2LS

根据盖吕萨克定律列式有：

解得：T2＝600K

（ⅱ）活塞碰到重物后到绳的拉力为零是等容过程，设重物质量为M，则可知前后压强为：

p2S＝p0S+mg

p3S＝p0S+（m+M）g

根据查理定律可得：

解得：M＝1kg

答：（ⅰ）当活塞刚刚碰到重物时，锅炉外壁温度为600K；

（ⅱ）若锅炉外壁的安全温度为900K，那么重物的质量应是1kg。

6．（2019?陕西一模）如图所示，一圆柱形绝热汽缸竖直放置，通过绝热活塞封闭着一定质量的理想气体，活塞的质量为m，横截面积为S，与气缸底部相距h，此时封闭气体的温度为T．现通过电热丝缓慢加热气体，当气体吸收热量Q时，气体温度上升到2T．已知大气压强为p0，重力加速度为g，不计活塞与汽缸的摩擦。求：

①加热后活塞到汽缸底部的距离；

②加热过程中气体的内能增加量。

【解答】解：①封闭发生等压变化，设活塞横截面积为S，

初态：体积：V1＝hS，温度：T1＝T

末态：体积：V2＝h′S，温度：T2＝2T

根据盖﹣吕萨克定律可得

解得加热后活塞到气缸底部的距离：h′＝2 h

②根据受力平衡可得封闭气体的压强：

升温过程对外做功，故：W＝﹣p（h'﹣h）S

根据热力学第一定律：△U＝W+Q

联立可得：△U＝Q﹣h（p0S+mg）

答：①加热后活塞到气缸底部的距离2h；

②加热过程中气体的内能增加量为Q﹣h（p0S+mg）。

7．（2019秋?10月份月考）两个相同的内壁光滑的薄壁型汽缸A和B，质量均为M，活塞质量均为m，横截面积都为S，且M＝2m，汽缸B的开口处有卡环可以防止活塞离开汽缸，将汽缸B的活寒跟汽缸A的缸底用细线相连后，跨过滑轮，汽缸B放在倾角为30°的粗糙斜面上，汽缸A悬在细线上，系统均处于静止状态。汽缸A、B内装有相同质量的同种气体，体积都为V0，温度都为27℃，如图，设缸内气体质量远小于活塞质量，大

气对活塞的压力等于活塞重力的2.25倍。现将斜面换成光滑材料，则系统稳定后，若汽缸A中温度不变，汽缸A中气体体积变为多少？

【解答】解：系统均静止时，对A中活塞分析，则有：P A S+mg＝P0S

解得：P A＝

当系统处于光滑斜面时，对系统分析，则有：

（M+m）g﹣（M+m）gsin30°＝2（M+m）a

解得：a＝

对A中活塞，则有：P A′S+mg﹣P0S＝ma

解得：P A′＝

由玻意耳定律，则有：P A V0＝P A′V A；

解得：V A＝

答：系统稳定后，若汽缸A中温度不变，汽缸A中气体体积变为。8．（2020?乐山模拟）绝热气缸倒扣在水平地面上（气缸顶部侧壁有一小口），缸内装有一电热丝，缸内有一光滑的绝热活塞，封闭一定质量的理想气体，活塞下吊着一重为G的重物，活塞重为G0，活塞的截面积为S，开始时封闭气柱的高为h，气体的温度为T1，大气压强为p0．现给电热丝缓慢加热，若气体吸收热量Q时，活塞下降了h，求：

①气体的温度升高多少？

②气体的内能增加多少？

【解答】解：①活塞下降的过程，气体发生的是等压膨胀

则

即，求得T2＝2T1

气体的温度升高了△T＝T2﹣T1＝T1

②气缸内气体的压强为

活塞向下运动的过程中，对外做功W＝pSh＝p0Sh﹣（G+G0）h

根据热力学第一定律可知，气体的内能增加量为

△E＝Q﹣W＝Q+（G+G0）h﹣p0Sh

答：①此时气体的温度升高了T1；

②此过程气体的内能增加了Q﹣（p0S﹣G﹣G0）h。

9．（2019?湘潭三模）如图所示，一质量为M的汽缸竖直“悬吊”。汽缸内有横截面积为S 的活塞与汽缸壁无摩擦且不漏气。活塞和汽缸内封闭有一定质量的理想气体，轻质细线的一端固定在活塞上，另一端固定在天花板上。已知大气压强为p0，气体的温度为T0，活塞到汽缸底部的距离为d，汽缸与活塞均具有良好的导热性。求：

①外界温度降低为T时，活塞到汽缸底部的距离；

②若把细线剪断，保持气体的温度不变，且不计空气阻力，在汽缸未落地前活塞到汽缸

底部的距离。

【解答】解：①外界温度降低前，封闭气体体积V1＝dS，温度为：T1＝T0

外界温度降低后，封闭气体体积V2＝d′S，温度为：T2＝T

气体等压变化，根据盖吕萨克定律得：

代入数据解得：

②以气缸为研究对象，受力分析如图所示：

由平衡得：Mg+P1S＝P0S

剪断细线后，气缸与活塞、气体做自由落体运动处于完全失重，气体压强为：P2＝P0细线剪断前封闭气体体积为：V1＝dS

细线剪断后气体体积为：V3＝d′′S

气体发生等温度变化，根据玻意耳定律得：

P1V1＝P2V3

联立解得：

答：①外界温度降低为T时，活塞到汽缸底部的距离为；

②若把细线剪断，保持气体的温度不变，且不计空气阻力，在汽缸未落地前活塞到汽缸

底部的距离为。

10．在倾角为θ的光滑斜面末端固定着一个足够长的汽缸，汽缸里用活塞封闭着一定质量的理想气体，活塞的质量为m，横截面积为S，活塞的另一端用细轻杆连着一个质量为M的物体，把物体由静止释放后，汽缸内的气体被压缩．开始时活塞到缸底的距离为d，气体的压强为ρ1．已知大气压强为ρ0，重力加速度为g，活塞在运动过程中所受的摩擦力可以忽略不计，轻杆平行于斜面，气体温度保持不变，如图所示，求：

（1）刚释放物体的瞬间，物体的加速度的大小；

（2）最终稳定后活塞在汽缸内移动的距离．

【解答】解：（1）对活塞与物体整体，由牛顿第二定律得：

（M+m）gsinθ+p0S﹣p1S＝（M+m）a，

解得：a ＝gsin θ+；

（2）最终活塞停止运动，根据力的平衡条件有： （m+M ）gsin θ+p 0S ﹣p 2S ＝0， 气体温度不变，根据玻意耳定律有： p 1dS ＝p 2d'S ，解得：d ′＝

，

活塞在气缸内移动的距离：x ＝d ﹣d ′＝d ﹣；

答：（1）刚释放物体的瞬间，物体的加速度的大小为：gsin θ+；

（2）最终稳定后活塞在汽缸内移动的距离为：d ﹣

．

11.(2014·海南卷)一竖直放置、缸壁光滑且导热的柱形气缸内盛有一定量的氮气，被活塞分割成Ⅰ、Ⅱ两部分；达到平衡时，这两部分气体的体积相等，上部气体的压强为10p ，如图(a)所示。若将气缸缓慢倒置，再次达到平衡时，上下两部分气体体积之比为3∶1，如图(b)所示。设外界温度不变。已知活塞面积为S ，重力加速度大小为g ，求活塞的质量。

【答案】

g

S

p 5410 【解析】设活塞的质量为m ，气缸倒置前下部气体的压强为p 20，倒置后上下气体的压强分别为p 2和p 1，由力的平衡条件有S mg p p +

=1020 S

mg

p p +

=21 倒置过程中，两部分气体均经历等温过程，设气体的总体积为V 0，由玻意耳定律得

4201010

V p V p = 4

3202020V

p V p =

联立以上各式得g

S

p m 5410=

12.(2015·上海卷·T30)如图，气缸左右两侧气体由绝热活塞隔开，活塞与气缸光滑接触。初始时两侧气体均处于平衡态，体积之比12:1:2V V =，温度之比12:2:5T T =。先保持右侧气体温度不变，升高左侧气体温度，使两侧气体体积相同；然后使活塞导热，两侧气体最后达到平衡，求：

(1)两侧气体体积相同时，左侧气体的温度与初始温度之比； (2)最后两侧气体的体积之比。 【答案】(1)2；(2)

4

5

【解析】(1)设初始时压强为p 左侧气体满足：

111kT V

p T pV '=

右侧气体满足：V p pV '=2 解得22==V V k (2)活塞导热达到平衡 左侧气体满足：

1111T V p kT V p ''''=' 右侧气体满足：222T V p T V p '

'

''=

' 平衡时21T T '=' 解得

4

5

1221==''kT T V V 13.(2010·海南卷·T17(2))如右图，体积为V 、内壁光滑的圆柱形导热气缸顶部有一质量和厚度均可忽略的活塞；气缸内密封有温度为2.4T 0、压强为1.2p 0的理想气体p 0和T 0分别为大气的压强和温度。已知：气体内能U 与温度T 的关系为U ＝αT ，α为正的常量；容器内气体的所有变化过程都是缓慢的。求

(i)气缸内气体与大气达到平衡时的体积V 1： (ii)在活塞下降过程中，气缸内气体放出的热量Q 。 【答案】(2) (ⅰ) 112V V =

；(ⅱ) 001

2

Q p V T α=+ 【解析】(2) (ⅰ)在气体由压缩01.2p p =下降到0p 的过程中，气体体积不变，温度由

02.4T T =变为1T ，由查理定律得

1p T T p

= ①

在气体温度由1T 变为0T 的过程中，体积由V 减小到1V ，气体压强不变，由着盖·吕萨克定律得

1

10

T V V T = ②

由①②式得

112

V V =

③

(ⅱ)在活塞下降过程中，活塞对气体做的功为

01()W p V V =-

④

在这一过程中，气体内能的减少为

10()U T T α?=-

⑤

由热力学第一定律得，气缸内气体放出的热量为

Q W U =+?

⑥

由②③④⑤⑥式得

001

2Q p V T α=

+

题型二：单缸双活塞问题

1.(2015·全国新课标Ⅰ卷·T33(2))如图，一固定的竖直气缸有一大一小两个同轴圆筒组成，两圆筒中各有一个活塞，已知大活塞的质量为1

2.50m kg =，横截面积为2

180.0s cm =，小活塞的质量为2 1.50m kg =，横截面积为2

240.0s cm =；两活塞用刚性轻杆连接，间距保持为

40.0l cm =，气缸外大气压强为51.0010p Pa =?，温度为303T K =。初始时大活塞与大

圆筒底部相距

2

l

，两活塞间封闭气体的温度为1495T k =，现气缸内气体温度缓慢下降，活

塞缓慢下移，忽略两活塞与气缸壁之间的摩擦，重力加速度g 取2

10/m s ，求

(i)在大活塞与大圆筒底部接触前的瞬间，缸内封闭气体的温度； (ii)缸内封闭的气体与缸外大气达到热平衡时，缸内封闭气体的压强。

【答案】(i)212

3303

T T k =

=(ii)5

2 1.0110p pa =? 【解析】(1)大小活塞缓慢下降过程，活塞外表受力情况不变，气缸内压强不变，气缸内气体为等压变化，即

12

12

v v T T = 初始112(s s )2L

v =

+ 末状态22v s L = 代入可得2123303

T T k == (2)对大小活塞受力分析则有12112211m g m g ps p s ps p s +++=+ 可得5

1 1.110p pa =?

缸内封闭的气体与缸外大气达到热平衡时，气体体积不变，为等容变化

12

12

p p T T = 可得5

2 1.0110p pa

=?

2.(2015·海南卷·T15(2))如图所示，一底面积为S 、内壁光滑的圆柱形容器竖直放置在水平地面上，开口向上，内有两个质量均为m 的相同活塞A 和B ；在A 与B 之间、B 与容器底面之间分别封有一定量的同样的理想气体，平衡时体积均为V 。已知容器内气体温度始终不变，重力加速度大小为g ，外界大气压强为O P 。现假设活塞B 发生缓慢漏气，致使B 最终与容器底面接触。求活塞A 移动的距离。

【答案】()

0mgV

h P S

mg S ?=+

【解析】

设A 与B 之间、B 与容器底部之间的气体压强分别为P 1、P 2，漏气前，对A 分析有：

10mg P P s =+

，对B 有21mg P P s

=+ B 最终与容器底面接触后，AB 间的压强为P ，气体体积为V'，则有：0mg

P P s

=+ 因为温度不变，对于混合气体有：(P 1+P 2)?V=PV′

漏气前A 距离底面的高度为2V h S = 漏气后A 距离底面的高度为V h S

'

'=；

联立可得：()()000232P S mg V mgV

h h h V P S mg S S P S mg S

+?='-=

-=++。

【考点定位】理想气体状态方程，玻意耳定律

3．（2019年全国卷Ⅱ，33，10分★★★）如图，一容器由横截面积分别为2S 和S 的两个汽缸连通而成，容器平放在水平地面上，汽缸内壁光滑。整个容器被通过刚性杆连接的两活塞分隔成三部分，分别充有氢气、空气和氮气。平衡时，氮气的压强和体积分别为p 0和V 0，氢气的体积为2V 0，空气的压强为p 。现缓慢地将中部的空气全部抽出，抽气过程中氢气和氮气的温度保持不变，活塞没有到达两汽缸的连接处，求 （i ）抽气前氢气的压强； （ii ）抽气后氢气的压强和体积。

【解答】解：（i ）抽气前活塞静止处于平衡状态， 对活塞，由平衡条件得：（p 氢﹣p ）?2S ═（p 0﹣p ）S ， 解得，氢气的压强：p 氢＝（p 0+p ）；

（ii ）设抽气后氢气的压强与体积分别为p 1、V 1，氮气的压强和体积分别为p 2、V 2， 对活塞，由平衡条件得：p 2S ＝p 1?2S ，

气体发生等温变化，由玻意耳定律得： p 1V 1＝p 氢?2V 0 p 2V 2＝p 0V 0，

由于两活塞用刚性杆连接，由几何关系得： V 1﹣2V 0＝2（V 0﹣V 2）， 解得：p 1＝p 0+p

V 1＝；

答：（i ）抽气前氢气的压强为（p 0+p ）；

（ii ）抽气后氢气的压强为p 0+p ，体积为。

题型三：双缸单活塞

1.(2017·新课标Ⅰ卷)如图，容积均为V 的汽缸A 、B 下端有细管(容积可忽略)连通，阀门K 2位于细管的中部，A 、B 的顶部各有一阀门K 1、K 3；B 中有一可自由滑动的活塞(质量、体积均可忽略)。初始时，三个阀门均打开，活塞在B 的底部；关闭K 2、K 3，通过K 1给汽缸充气，使A 中气体的压强达到大气压p 0的3倍后关闭K 1。已知室温为27 ℃，汽缸导热。

(i)打开K 2，求稳定时活塞上方气体的体积和压强； (ii)接着打开K 3，求稳定时活塞的位置；

(iii)再缓慢加热汽缸内气体使其温度升高20 ℃，求此时活塞下方气体的压强。 【答案】(i)V/2 2p 0 (ii) 顶部 (iii)1.6 p 0

【解析】(i)设打开K 2后，稳定时活塞上方气体的压强为p 1，体积为V 1。依题意，被活塞分开的两部分气体都经历等温过程。由玻意耳定律得011p V p V =①011(3)(2)p V p V V =-②

联立①②式得12

V

V =

③102p p =④ (ii)打开K 3后，由④式知，活塞必定上升。设在活塞下方气体与A 中气体的体积之和为V 2(22V V ≤)时，活塞下气体压强为p 2，由玻意耳定律得022(3)p V p V =⑤ 由⑤式得202

3V

p p V =

⑥ 由⑥式知，打开K 3后活塞上升直到B 的顶部为止；此时p 2为2

032

p p '= (iii)设加热后活塞下方气体的压强为p 3，气体温度从T 1=300 K 升高到T 2=320 K 的等容过程中，由查理定律得

32

12

p p T T '=⑦ 将有关数据代入⑦式得p 3=1.6p 0⑧

题型四：双缸双活塞

1.（2014年全国卷2，33，10分★★★）如图，两气缸A 、B 粗细均匀、等高且内壁光滑。其下部由体积可忽略的细管连通；A 的直径是B 的2倍，A 上端封闭，B 上端与大气连通；两气缸除A 顶部导热外，其余部分均绝热。两气缸中各有一厚度可忽略的绝热轻活塞a 、b ，活塞下方充由氮气，活塞a 上方充有氧气。当大气压为P 0，外界和气缸内气体温度均为7℃且平衡时，活塞a 离气缸顶的距离是气缸高度的

1

4

，活塞b 在气缸正中间。 （i ）现通过电阻丝缓慢加热氮气，当活塞b 恰好升至顶部时，求氮气的温度； （ii ）继续缓慢加热，使活塞a 上升，当活塞a 上升的距离是气缸高度的1

16

时，求氧气的压强。

【答案】（i ）320K （ii ）4P 0/3

【解析】（i ）活塞b 升至顶部的过程中，活塞a 不动，活塞ab 下方的氮气经历等压过程，

设气缸A 的容积为V 0，氮气初始状态的体积为V l ，温度为T 1，末态体积V 2

，温度为

T 2，按题意，气缸B 的容积为V 0/4，由题给数据及盖吕萨克定律有：12

12

V V T T = ①

且010********

V V V V =

+

= ② 02003

44

V V V V =+= ③

由①②③式及所给的数据可得： T 2＝320K ④

（ii ）活塞b 升至顶部后，由于继续缓慢加热，活塞a 开始向上移动，直至活塞上升的距离是气缸高度的1/16时，活塞a 上方的氮气经历等温过程，设氮气初始状态的体

积为1V '，压强为1P '；末态体积为2V '，压强为2P

'，由所给数据及玻意耳定律可得 10102

013

,416

V V P P V V '''===， ⑤ 1122P V

P V ''''= ⑥ 由⑤⑥式可得： 204

3

P P '=

⑦ 2．（2018?青岛一模）如图，长度为4l 、横截面积为S 的汽缸A 、B 导热良好、内壁光滑，A 竖直固定、B 水平固定，之间由一段容积可忽略的细管相连，整个装置置于温度为20℃、大气压为p 0的环境中，活塞C 、D 的质量均为m ＝

．原长为2l 的轻弹簧，一端连

接活塞C 、另一端固定在汽缸A 底部。稳定后活塞C 距汽缸A 底部，活塞D 距汽缸

B 的底部3l 。求： （i ）弹簧的劲度系数k ；

（ii ）若在活塞D 上施加一水平向左的力缓慢推动活塞D ，使汽缸A 中弹簧恢复原长，此时活塞D 距汽缸B 底部的距离。

【解答】解：（i ）对活塞C 根据受力平衡可得：mg ＝k （2l ﹣

）

又因为：活塞的质量为：m＝

联立可得弹簧的劲度系数：k＝

（ii）汽缸A中弹簧恢复原长时，对活塞C根据受力平衡可得：mg+p0S＝pS

可得：p＝2p0

封闭气体发生等温变化，设汽缸A中弹簧恢复原长时活塞D距汽缸B底部的距离为x，根据玻意耳定律可得：p0（3l+l）S＝p（2l+x）S

解得：x＝

答：（i）弹簧的劲度系数k；

（ii）若在活塞D上施加一水平向左的力缓慢推动活塞D，使汽缸A中弹簧恢复原长，此时活塞D距汽缸B底部的距离。

3．（2019秋?肇庆月考）如图所示，两个侧壁绝热、顶部和底部都导热的相同汽缸直立放置，汽缸底部和顶部均有细管连通，顶部的细管带有阀门K．两汽缸的容积均为V0，汽缸中各有一个绝热活塞（质量不同，厚度可忽略）。开始时K关闭，两活塞下方和右活塞上方充有气体（可视为理想气体），压强分别为P0和；左活塞在汽缸正中间，其上方为真空；右活塞上方气体体积为．现使汽缸底与一恒温热源接触，平衡后左活塞升至汽缸顶部，且与顶部刚好没有接触；右活塞保持不动，然后打开K，经过一段时间，重新达到平衡。已知外界温度为T0，不计活塞与汽缸壁间的摩擦。求：

（i）恒温热源的温度T；

（ii）重新达到平衡后左汽缸中活塞上方气体的体积V x。

【解答】解：（1）与恒热源接触后，在K未打开时右活塞不动，两活塞下方的气体经历

等压过程，由盖吕?萨克定律可得：…①

由①式解得：T＝1.4T0…②

（2）由初始状态的力学平衡条件可知：左活塞的质量比右活塞的大。打开K后右活塞必须升至气缸顶才能满足力学平衡条件。气缸顶部与外界接触，底部与恒热源接触，两部分气体各自经历等温过程，设在活塞上方气体压强为P，由玻意耳定律得：…③

对下方气体，由玻意耳定律得：…④

解得：V X＝0.5V0，V X＝﹣V0不合题意，舍去。

答：（i）恒温热源的温度T为1.4T0；

（ii）重新达到平衡后左汽缸中活塞上方气体的体积为0.5V0。

4．（2017?烟台二模）如图所示，在固定的气缸A和B中分别用活塞封闭了一定质量的理想气体，活塞面积之比S A：S B＝1：3，两活塞以穿过B底部的刚性细杆相连，可沿水平方向无摩擦滑动，两个气缸都不漏气。初始时活塞处于平衡状态，A、B中气体的体积均为V0，A、B中气体温度均为T0＝300K，A中气体压强p A＝1.6p0，p0是气缸外的大气压强。

（1）求初始时B中气体的压强p B；

（2）现对A中气体加热，使其中气体的压强升到p A′＝2.5p0，同时保持B中气体的温度不变，求活塞重新达到平衡状态时A中气体的温度T A′。

【解答】解：（1）初始时活塞平衡，对活塞，由平衡条件得：

p A S A+p B S B＝p0（S A+S B），已知：S B＝3S A，p A＝1.6p0，解得：p B＝0.8p0；

（2）末状态活塞平衡，由平衡条件得：

p A′S A+p B′S B＝p0（S A+S B），解得：p B′＝0.5 p0，

B中气体初、末态温度相等，气体发生等温变化，

由玻意耳定律得：p B V B＝p B′V B′，

即：0.8p0V0＝0.5p0′V B′，解得：V B′＝1.6 V0，

设A中气体末态的体积为V A′，因为两活塞移动的距离相等，

故有：＝，解得：V A′＝1.2 V0，

对A中气体，由理想气体状态方程得：＝，

即：＝，解得：T A′＝562.5K；

答：（1）初始时B中气体的压强p B为0.8p0。

（2）活塞重新达到平衡状态时A中气体的温度T A′为562.5K。

题型五：单汞柱问题

1．（2019年全国卷Ⅲ，33，10分★★★★）如图，一粗细均匀的细管开口向上竖直放置，管内有一段高度为2.0cm的水银柱，水银柱下密封了一定量的理想气体，水银柱上表面到管口的距离为2.0cm。若将细管倒置，水银柱下表面恰好位于管口处，且无水银滴落，管内气体温度与环境温度相同。已知大气压强为76cmHg，环境温度为296K。

（i）求细管的长度；

（ii）若在倒置前，缓慢加热管内被密封的气体，直到水银柱的上表面恰好与管口平齐为止，求此时密封气体的温度。

【解答】解：（i）设细管的长度为L，横截面的面积为S，水银柱高度为h；初始时，设水银柱上表面到管口的距离为h1，被密封气体的体积为V，压强为p；细管倒置时，气体体积为V1，压强为p1．由玻意耳定律有：