高三一轮复习专题训练：不等式
不等式
一、基础知识要记牢
一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．
二、经典例题领悟好
[例1] (1)(2012·重庆高考)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )
A.????－1
2，1 B.???
?－1
2，1 C.?
???－∞，－1
2∪[1，＋∞) D.?
???－∞，－1
2∪[1，＋∞) (2)(2013·安徽高考)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为112x x x ??
<->
????
或，则f (10x )>0的解集为( )
A ．{x |x <－1或x >－lg 2}
B ．{x |－1 C ．{x |x >－lg 2} D ．{x |x <－lg 2} [解析] (1)原不等式等价于(x －1)(2x ＋1)<0或x －1＝0，即－1 2 等式的解集为??? ?－1 2，1. (2)由题意知，一元二次不等式f (x )>0的解集为112x x ?? -<< ???? . 而f (10x )>0，∴－1<10x <12，解得x 2，即x <－lg 2. [答案] (1)A (2)D (1)解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再求相应一元 二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，最后根据相应二次函数图像与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解． (3)解含“f ”的不等式，首先要确定f (x )的单调性，然后根据单调性进行转化、求解． (4)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准，从而层次清晰地求解． 三、预测押题不能少 1．(1)已知f (x )＝??? －2x ＋1x 2 ，x >0， 1 x ，x <0， 则f (x )>－1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－1,0)∪(0,1) 解析：选B 当x >0时，f (x )＝－2x ＋1 x 2 >－1， ∴－2x ＋1>－x 2，即x 2－2x ＋1>0，解得x >0且x ≠1. 当x <0时，f (x )＝1 x >－1，即－x >1，解得x <－1. 故x ∈(－∞，－1)∪(0,1)∪(1，＋∞)． (2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x ) 解析：∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0， ∴b －a 24＝0，∴f (x )＝x 2＋ax ＋1 4a 2＝????x ＋12a 2. 又∵f (x ) ∴m ，m ＋6是方程x 2 ＋ax ＋a 2 4 －c ＝0的两根． 由一元二次方程根与系数的关系得????? 2m ＋6＝－a ， m (m ＋6)＝a 2 4－c ， 解得c ＝9. 答案：9 线性规划实质上是数形结合思想的一种具体体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来．它还是一种较为简捷的求最值的方法，具体步骤如下： (1)根据题意设出变量，建立目标函数； (2)列出约束条件； (3)借助图形确定函数最值的取值位置，并求出最值； (4)从实际问题的角度审查最值，进而作答． 二、经典例题领悟好 [例2] (1)(2013·陕西高考)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝ 2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值是( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2 (2)(2013·湖北高考)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元 D ．38 400元 [解析] (1)曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图阴影部分所示，当直线l ：y ＝2x 向左平移时，(2x －y )的值在逐渐变小，当l 通过点A (－2,2)时，(2x －y )min ＝－6. (2)设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为 ????? 36x ＋60y ≥900， x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ， 作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12) 时，有最小值z min ＝36 800(元)． [答案] (1)A (2)C 线性规划实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想. 需要注意的是：其一，准确无误地作出可行域；其二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错； 其三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值均在可行域的端点或边界上取得. 三、预测押题不能少 2．(1)(2013·太原模拟)已知点P (x ，y )在不等式组????? x －2≤0，y －1≤0， x ＋2y －2≥0表示的平面区域上运 动，则x －y 的取值范围是( ) A ．[－2，－1] B ．[－2,1] C ．[－1,2] D ．[1,2] 解析：选C 题中的不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，平移直线x －y ＝0，当平移到经过该平面区域内的点(0,1)时，相应直线在x 轴上的截距达到最小，此时x －y 取得最小值，最小值是x －y ＝0－1＝－1； 当平移到经过该平面区域内的点(2,0)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时x －y 取得最大值，最大值是x －y ＝2－0＝2.因此x －y 的取值范围是[－1,2]． (2)若不等式组???? ? x －y ＋2≥0，ax ＋y －2≤0， y ≥0表示的平面区域的面积为3，则实数a 的值是 ________． 解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S ＝12×???? 2a ＋2×2＝3，解得a ＝2. 答案：2 基本不等式：a ＋b 2 ≥ab . (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． (3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 二、经典例题领悟好 [例3] (1)(2013·重庆高考)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.9 2 C ．3 D.322 (2)(2013·四川高考)已知函数f (x )＝4x ＋a x (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝ ________. [解析] (1)因－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0， ∴ (3－a )(a ＋6)≤ 3－a ＋a ＋62＝9 2 ， 当且仅当a ＝－3 2时等号成立． (2)f (x )＝4x ＋a x ≥2 4x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a 2 时等号成立，此时f (x )取得最小值4a .又由已知x ＝3时，f (x )min ＝4a ， ∴ a 2 ＝3，即a ＝36. [答案] (1)B (2)36 利用基本不等式求函数最值的关注点 (1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值． (2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等 号取得的条件)的条件． 三、预测押题不能少 3．(1)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中m ，n >0)，则1m ＋2 n 的最小值等于( ) A ．16 B ．12 C ．9 D ．8 解析：选D 依题意，点A (－2，－1)，则－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1(m >0，n >0)，∴1m ＋2 n ＝??? ?1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋????n m ＋4m n ≥4＋2n m ×4m n ＝8，当且仅当n m ＝4m n ，即n ＝2m ＝12 时取等号，即1m ＋2 n 的最小值是8. (2)若a >0，b >0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4 解析：选A 由已知得a ＋2b ＝2.又∵a >0，b >0， ∴2＝a ＋2b ≥22ab ， ∴ab ≤1 2，当且仅当a ＝2b ＝1时取等号． 近年对线性规划问题考查题目越来越灵活，与其他知识联系越来越广，常与平面向量、集合、导数、区间根等知识结合命题，考查目标函数最值、参数的值(范围)． 一、经典例题领悟好 [例1] (2013·辽宁五校联考)已知集合A ＝{(x ，y )|???? ? 2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0， x ＋y －2≤0，}，B ＝{(x ，y )|x 2 ＋(y －1)2≤m }，若A ?B ，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥1 B ．m ≥ 2 C ．m ≥2 D ．m ≥ 5 [解析] 作出可行域，如图中阴影部分所示，三个顶点到圆心(0,1)的距离分别是1,1，2，由A ?B 得三角形所有点都在圆的内部，故m ≥2，解得m ≥2. [答案] C 解决此类问题要学会集合语言的转化，明确集合A ，B 表示的几何语言，由A ?B 知三角形的所有点都在圆的内部.数形结合法是解决此类问题的常用方法，但要注意作图一定要准确，关键点要学会应用. 二、预测押题不能少 1．已知二元一次不等式组???? ? x ＋y －4≥0，x －y －2≤0， x －3y ＋4≥0 所表示的平面区域为M .若M 与圆(x －4)2 ＋(y －1)2＝a (a >0)至少有两个公共点，则实数a 的取值范围是( ) A.???? 12，5 B ．(1,5) C.????12，5 D ．(1,5] 解析：选C 如图，若使以(4,1)为圆心的圆与阴影部分区域至少有两个交点，结合图形，当圆与直线x －y －2＝0相切时，恰有一个公共点，此时a ＝?? ??122＝1 2 ，当圆的半径增大到恰好过点A (2,2)时，圆与阴影部分至少有两个公共点，此时a ＝5，故a 的取值范围是1 2 C. 2013年山东卷12题是在条件方程及已知最小值的条件下，求三元变量函数的最大值，考查基本不等式的应用，二次函数的最值等，命题角度不拘于平时一元变量、二元变量的常规问题，着重考查化归思想，创新力度较大，难度较高． 一、经典例题领悟好 [例1] (2013·山东高考)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当z xy 取得最小值时， x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0 B.98 C ．2 D.94 学审题——审条件之审视结构 条件―→z 用x ，y 表示――→代入 z xy ―→x ，y 的关系式―――――→基本不等式 最小值条件――→代入 x ＋2y －z ――→转化 关于y 的二次函数―→最大值． 用“思想”——尝试用“转化与化归思想”解题 z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)， ∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2 xy ＝x y ＋4y x －3≥ 2x y ·4y x －3＝1. 当且仅当x y ＝4y x ，即x ＝2y 时“＝”成立，此时 z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2， ∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2. ∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取得最大值2. [答案] C (1)本题利用了转化与化归思想，一次转化是\f(z,xy )表示为x y ＋4y x －3，二次转化是x ＋2y －z 表示为－2y 2＋4y . (2)在不等式中应用转化与化归思想的常见题目类型： ①已知等式求最值问题，常利用基本不等式把等式转化为一元二次不等式求解. ②求解不等式恒成立问题常用转化的方法 方法一：分离参数法，通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解. 方法二：函数思想，转化为求含参数的函数的最值问题求解. 二、预测押题不能少 2．设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 解析：∵4x 2＋y 2＋xy ＝1， ∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×? ????2x ＋y 22＋1，∴(2x ＋y )2≤8 5， ∴(2x ＋y )max ＝210 5 . 答案：2105 1．(2013·湖北八校联考)“00的解集是实数集R ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选A 当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，? ???? a >0，Δ＝4a 2 －4a <0.故ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 等价于0≤a <1.因此，“00的解集是实数集R ”的充分而不必要条件． 2．(2013·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1 b C ．a 2>b 2 D. a 3>b 3 解析：选D 当c ＝0时，选项A 不成立；当a >0，b <0时，选项B 不成立；当a ＝1， b ＝－5时，选项C 不成立；a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2 )＝(a －b ) 2 2324b b a ?? ??++?? ??????? >0，故 选D. 3．(2013·合肥质检)点(x ，y )满足???? ? x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0， x ≤a ，若目标函数z ＝x －2y 的最大值为1， 则实数a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．3 解析：选A 由题意可知，目标函数经过点(a,1－a )时达到最大值1，即a －2(1－a )＝1，解得a ＝1. 4．(2013·重庆高考)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.5 2 B.72 C.154 D. 152 解析：选A 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝5 2 . 5．(2013·湖北七市模拟)不等式x 2＋2x a 对任意a ， b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数 x 的取值范围是( ) A ．(－2,0) B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C ．(－4,2) D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞) 解析：选C 不等式x 2＋2x a 对任意a ， b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于x 2＋ 2x ≥2 a b ·16b a ＝8(a ＝4b 时等号成立)， ∴x 2＋2x <8，解得－4 6．已知点A (a ，b )与点B (1,0)在直线3x －4y ＋10＝0的两侧，给出下列说法： ①3a －4b ＋10>0； ②当a >0时，a ＋b 有最小值，无最大值； ③ a 2＋ b 2>2； ④当a >0且a ≠1，b >0时，b a －1 的取值范围为????－∞，－52∪????34，＋∞. 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B 因为点A (a ，b )，B (1,0)在直线3x －4y ＋10＝0的两侧，所以(3a －4b ＋10)(3－0＋10)<0， 即3a －4b ＋10<0，故①错误； 因为a >0时，点(a ，b )对应的平面区域如图(不含边界)， 所以a ＋b 既没有最小值，也没有最大值，故②错误； 因为原点到直线3x －4y ＋10＝0的距离为????105＝2， 而点(a ，b )在直线3x －4y ＋10＝0的左上方， 所以 a 2＋ b 2>2，故③正确； b a －1 的几何意义是点(a ，b )与(1,0)的连线的斜率， 由图可知，取值范围是????－∞，－52∪??? ?3 4，＋∞，故④正确． 7．(2013·银川部分中学联考)不等式(x －1) ·x 2－x －2≥0的解集为________． 解析：原不等式等价于(x －1) x 2－x －2>0①或(x －1)· x 2－x －2＝0②，解①，由 ? ???? x －1>0， x 2 －x －2>0得x >2；解②，由x 2－x －2＝0或x －1＝0且x 2－x －2有意义，得x ＝－1或x ＝2. 综上可知，原不等式的解集是{x |x ≥2或x ＝－1}． 答案：{x |x ≥2或x ＝－1} 8．(2013·北京高考)设D 为不等式组???? ? x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点 与点(1,0)之间的距离的最小值为________． 解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0) 到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22 ＋1 ＝255，故最小距离为25 5. 答案：255 9．(2013·天津高考)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a | b 取得最小值. 解析：因为 12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a | ＋2b 4|a |·|a |b ＝a 4|a |＋1≥－14＋1＝34 ，当且仅当b 4|a |＝|a |b ，a ＜0，即a ＝－2，b ＝4时取等号，故12|a |＋|a | b 取最小值时，a ＝－2. 答案：－2 10．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域， 集合C 为不等式? ???ax －1 a (x ＋4)≤0的解集． (1)求A ∩B ； (2)若C ??R A ，求a 的取值范围． 解：(1)由－x 2－2x ＋8>0得－4 即A ＝{x |－4 1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1 －1，当x ＋1>0，即x >－1时，y ≥2－1＝1，此时x ＝0，符合题意；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3，此时x ＝－2，符合题意．所以B ＝{x |x ≤－3或x ≥1}，所以A ∩B ＝{x |－4 (2)????ax －1a (x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2. 当a >0时，C ＝214x x a ?? -≤≤ ???? ，不可能有C ??R A ； 当a <0时，C ＝214x x x a ??≤-≥ ??? ? 或， 若C ??R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤12，∴－2 2≤a <0. 故a 的取值范围为? ?? ? － 22，0. 11．(2013·湖南五市十校联考)某化工企业2012年底投入100万元购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单元：万元)． (1)用x 表示y ； (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．求该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备． 解：(1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋(2＋4＋6＋…＋2x ) x ， 即y ＝x ＋100 x ＋1.5(x ∈N *)． (2)由基本不等式得： y ＝x ＋100 x ＋1.5≥2 x ·100 x ＋1.5＝21.5， 当且仅当x ＝100 x ，即x ＝10时取等号． 故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备． 12．已知函数f (x )＝13x 3＋1 2 ax 2＋bx . (1)若a ＝2b ，试问函数f (x )能否在x ＝－1处取到极值？若有可能，求出实数a ，b 的值；否则说明理由． (2)若函数f (x )在区间(－1,2)，(2,3)内各有一个极值点，试求w ＝a －4b 的取值范围． 解：(1)由题意f ′(x )＝x 2＋ax ＋b ， ∵a ＝2b ，∴f ′(x )＝x 2＋2bx ＋b . 若f (x )在x ＝－1处取极值， 则f ′(－1)＝1－2b ＋b ＝0，即b ＝1， 此时f ′(x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2≥0， 函数f (x )为单调递增函数，这与该函数能在x ＝－1处取极值矛盾， 故该函数不能在x ＝－1处取得极值． (2)∵函数f (x )＝13x 3＋1 2ax 2＋bx 在区间(－1,2)，(2,3)内分别有一个极值点， ∴f ′(x )＝x 2＋ax ＋b ＝0在(－1,2)，(2,3)内分别有一个实根， ∴???? ? f ′(－1)>0， f ′(2)<0，f ′(3)>0， ????? ? 1－a ＋b >0， 4＋2a ＋b <0，9＋3a ＋b >0， ????? ? b >a －1， b <－2a －4，b >－3a －9. 画出不等式表示的平面区域，如图所示， 当目标函数w ＝a －4b 过N (－5,6)时， 对应的w ＝－29； 当目标函数w ＝a －4b 过M (－2，－3)时， 对应的w ＝10. 故w ＝a －4b 的取值范围为(－29,10)． 第 1 页 共 7 页 不等式、推理与证明训练题（十七） 一、选择题： 1．若02522>-+-x x ，则221442 -++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．若122+x ≤()1 4 2x -，则函数2x y =的值域是（ ） A ．1[,2)8 B ．1[,2]8 C ．1 (,]8 -∞ D ．[2,)+∞ 3．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 11< B ．b a 11> C ．2a b > D ．22a b > 4．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( ) A ．最小值 21和最大值1 B ．最大值1和最小值4 3 C ．最小值4 3而无最大值 D ．最大值1而无最小值 5．如果221x y +=,则34x y -的最大值是 ( ) A ．3 B ．5 1 C ．4 D ．5 6．在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 60 2 D. 2004 7．设集合等于则B A x x B x x A ,31|,21|???? ??>=?????? <=（ ） A ．?? ? ??2131， B ．??? ??∞+，21 C ．??? ??∞+??? ??-∞-，，3131 D ．??? ??∞+??? ??-∞-，，2131 8．下列表述正确的是（ ）。①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演 绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。 A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤。 9．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图 的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中 有白色地面砖( )块. A.4n+2 B.3n+2 C.4n+1 D.3n+1 10．关于x 的不等式2 2155(2)(2)22 x x k k k k --+<-+的解集是 ( ) A ．12x > B ．12x < C ．2x > D ．2x < 11．已知函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点, 若01c <<,则a 的取值范围是 ( ) 第五部分：不等式专题（线性规划，一元二次不等式，基本不等式） 不等式是高中数学重要的知识，考试中涉及的考点也很多，从江苏目前的高中数学要求来说，除了不等式证 明以外，其他形式的考察还是很多的。就内容来说，这部分分为高一难度和高考难度；从题型上来说，包含：线性规划，基本不等式，解不等式，不等式恒（能）成立，还有一些转化为不等式问题的题型。 高一难度的不等式问题主要是线性规划，基本不等式的常规考察，解不等式（包含含参形式），涉及常规函数 的不等式恒（能）成立问题。 1、线性规划 （1）掌握好线性规划，首先需要知道，线性规划的考题特点：已知条件一般是一个不等式组或者一条曲线方程，问题一般是求解一个含有两个变量式子的范围、最值。所以，有的时候是要根据题目的条件形式和所求问题的形式，将所求解问题转化为线性规划问题。 比如：已知等差数列{}n a ，2,185≤≥a a ，则12a 的取值范围是 （2）线性规划性的常规考题相对简单一些，从问题来说有三个常见形式：（1）截距型：by ax +；（2）距离型： ()()2 2b y a x -+-；（3）斜率型： a x b y --；如果直接考这几个类型倒还好。 比如：已知y x ,满足条件?? ? ??≥≤-+≥00120y y x x ，则y x +2的最大值是 ， ()()2212-+-y x 的最小 值是 ， 3 +x y 的取值范围是 。 （3）有的时候会求解不等式组对应区域的面积等稍微活一点的题目。 比如： ① 已知),(b a P 满足不等式组?? ? ??≥++≤+≥-040202y x y x y x ,则P 所在区域的面积是 ② 已知y x ,满足条件??? ??≥≤-+≥00120y y x x ，使得y ax +取得最大值的点有无数个，则实数a 的值是 ③ 已知y x ,满足条件?? ? ??≥≤-+≥00120y y x x ，且y ax +在点（1,0）处取得最大值，则实数a 的范围是 （4）稍微难的是需要转化为这几个类型的的时候要能够看得出。 第七章不等式 知识点 最新考纲 不等关系与不等式了解不等关系，掌握不等式的基本性质. 一元二次不等式及其解法了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式. 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题. 基本不等式 ab≤a＋b 2 (a，b＞0) 掌握基本不等式ab≤ a＋b 2 (a，b＞0)及其应用. 绝对值不等式 会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式． 了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a ②a <0b >0，0 第二章 《不等式》检测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．设,,R a b c ∈,且a b >,则 （ ） A ．ac bc > B ． 11a b < C ．22 a b > D ．33 a b > 2、设01a b <<<，则下列不等式成立的是 A ．33a b > B ． 11a b < C ．1b a > D ．lg 0b a -<() 3、若122=+y x ,则y x +的取值范围是 （ ） A ．]2,0[ B ．]0,2[- C ．),2[+∞- D ．]2,(--∞ 4、设变量x , y 满足约束条件360, 20,30,x y y x y ≥--≤+-?-≤? ??? 则目标函数2z y x =-的最小值为 （ ） A ．-7 B ．-4 C ．1 D ．2 5、已知0x >，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值是 A.14 B. 1 8 C. 4 D. 8 6．已知向量a ＝(1，1－x x )，b ＝(x －1,1)，则|a ＋b |的最小值是( ) A ．1 D ．2 7、已知向量，a=(),1x z -b=()2,y z +且a ⊥b ，若变量,x y 满足约束 条件1325x y x x y ≥-?? ≥??+≤?， 则z 的最大值为 .2 C 8．如果实数,x y 满足不等式组1, 10,220,x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22 x y +的最小值是 A ．25 B ．5 C ．4 D ．1 9、在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 ___ m . 10、已知01a <<，01x y <<≤，且· ，那么xy 的取值范围是 A ．( 20a ??， B ．(]0a ， C ．10a ? ? ?? ? ， D ．210a ?? ??? ， 11．制作一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材最少)是( ) A ．4.6 m B ．4.8 m C ．5 m D ．5.2 m 12．定义在,,f M m n p ，其中M 是ABC 内一点，m 、n 、p 分别是MBC 、MCA 、 MAB 的面积，已知中，()23,30AB AC BAC f N ?=∠==若1,,2x y ?? ??? ，则 14 x y 的最小值是 ⊿ 2019年高考数学一轮复习不等式知识点讲 解 不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。下面是不等式知识点讲解，请考生掌握。 1。解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。 2。整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学 生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可 记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 3。在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编 基本不等式 一、考试方向 1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题． 2．考查应用基本不等式解决实际问题． 二、能力要求 要求学生掌握基本不等式的使用条件：一正二定三相等； 掌握四种类型的基本不等式的应用：和定求积；积定求和；和定求和；和积 关系求和积。 三、基础知识 · 1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； ） (4)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3.最值问题： 已知y x ,是正数， ①如果积xy 是定值P ，则当y x =时，和y x +有最小值P 2； ②如果和y x +是定值S ，则当y x =时，积xy 有最大值24 1S . 利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等 号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。 四、经典题型 类型一 基本不等式适用条件的应用 】 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． 例1．已知ab ≠0，a ，b ∈R ，则下列式子总能成立的是( ) A.b a ＋a b ≥2 B.b a ＋a b ≥－2 C.b a ＋a b ≤－2 D.??????b a ＋a b ≥ 例2．下列结论正确的是 A ．当0x >且1x ≠时，1lg lg x x + 2≥ B ．0x >当时，2x x +≥ C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当x x x 1,20-≤<时无最大 例3．下列函数中，y 的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号)． ①y ＝x ＋4x (x>0)；②y ＝2(x 2＋3)x 2＋2 ；③y ＝e x ＋4e －x ；④y ＝sinx ＋4sinx . ;例4.若a>b>1，P ＝lga·lgb ，Q ＝12(l ga ＋lgb)，R ＝l g ? ?? ??a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系为________． 例5.设0 高三第一轮复习：不等式综合检测试题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 第二章 《不等式》检测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．设,,R a b c ∈,且a b >,则 （ ） A ．ac bc > B ． 11a b < C ．22a b > D ．33a b > 2、设01a b <<<，则下列不等式成立的是 A ．33a b > B ．11a b < C ．1b a > D ．lg 0b a -<() 3、若122=+y x ,则y x +的取值范围是 （ ） A ．]2,0[ B ．]0,2[- C ．),2[+∞- D ．]2,(--∞ 4、设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-?-≤? ??? 则目标函数2z y x =-的最小值为 （ ） A ．-7 B ．-4 C ．1 D ．2 5、已知0x >，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值是 A.14 B. 1 8 C. 4 D. 8 6．已知向量a ＝(1，1－x x )，b ＝(x －1,1)，则|a ＋b |的最小值是( ) A ．1 D ．2 7、已知向量，a=(),1x z -b=()2,y z +且a ⊥b ，若变量,x y 满足约束 条件1325x y x x y ≥-?? ≥??+≤? ， 则z 的最大值为 .2 C 8．如果实数,x y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22 x y +的最小值是 A ．25 B ．5 C ．4 D ．1 9、在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为___ m . 10、已知01a <<，01x y <<≤，且 · ，那么xy 的取值范围是 A ．(20a ??， B ．(]0a ， C ．10a ?? ???， D ．210a ? ? ?? ?， 11．制作一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选 择，较经济的(够用，又耗材最少)是( ) A ．4.6 m B ．4.8 m C ．5 m D ．5.2 m 12．定义在,,f M m n p ，其中M 是ABC 内一点，m 、n 、p 分别是MBC 、 MCA 、MAB 的面积，已知中， ()23,30AB AC BAC f N ?=∠==若1,,2x y ?? ??? ，则 14 x y 的最小值是 B.9 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若变量x,y 满足约束条件28, 04,03,x y x y +≤?? ≤≤??≤≤? 则x+y 的最大值为________ 14、已知函数()4(0,0)a f x x x a x =+>>在3x =时取得最小值,则a =__________. ABC ⊿ 2019-2020年高考一轮复习基本不等式及其应用教案理 知识梳理： 1、基本不等式 (1)重要不等式:如果a,b ,那么+2ab.当且仅当a=b时,等号成立. (2)基本不等式: 如果a,b>0.那么 可以表述为两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、重要结论： （1）a+2 （a）1 （2）a+2（a）1 （3）、 （4）、+ab+bc+ca （5）、（ a,b>0.） （6）、+ 3、如果a,b ,那么(不等式证明选讲内 容) 4、推广：对于n个正数它们的算术平均数不小于它们的几何平均数.即 二、题型探究 探究一：利用基本不等式求最值： 例1： （1）x,y ,x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值； （2）x,y , xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2 即：和定，积最大；积定，和最小。 应用基本不等式的条件： （1）、一正：各项为正数； （2）、二正：“和”或“积”为定值； （3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。 例2：解答下列问题 （1）已知x ，求x+ 的最小值； （2）已知0 ，求函数f(x)=x(8-3x)的最大值； （3）求函数y= （4）已知x ，且x+y=1，求+。 探究二：基本不等式的实际应用 在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： （1）、先理解意，设变量时一般把要求的最值的变量定为函数； （2）、建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； （3）、在定义域内，求出函数的最值； （4）、正确写了答案。 例3： 某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/ 平方米,房屋侧面的造价为150元/ 平方米,屋顶和地面的造价费用合计5800元，如果墙高为3米，且不房屋背面的费用。 （1）、把房屋总选价y表示为x的函数，并写出该函数的定义域； （2）、当侧面的长度为多少时？房屋的总造价最低，最低造价是多少？ 三、方法提升 基本不等式（也称均值定理）具有将“和式”，“积式”相互转化的功能，应用比较广 高三数学一轮复习——10.4 基本不等式 一、 课标要求： 1.解基本不等式及成立条件. 2.能应用基本不等式判断大小求最值. 3.应用基本不等式解决实际问题和综合问题. 二、 重难点: 1. 重点:正确应用基本不等式进行判断和计算. 2. 难点:基本不等式的变形应用. 三、 教学方法: 以启发引导,探索发现为主导.讲解练习为主线.用一题多解,一题多变突出重点,突破难点.以综合应用提高分析解 决问题的能力,培养创新能力. 四、 教学过程: (一)、学情评估,导入新课: 1.下列不等式中不一定成立的是( ) A . 222a b ab +≥ B.222()a b a b +≥- C.12a a +≥ D.2212a a +≥ 2.0,0,2m n m n >>+=，则mn 的最大值为 。 3.0,0x y >>，且191x y +=，则x y +最小值是 。 (二)、探求、归纳知识体系： 1. 基本不等式：① 222a b ab +≥（,a b R ∈x y =） ②a b +≥(0,0)a b >> ③2b a a b +≥ (0)ab > 变形：①222()22a b a b ab ++≤≤ 2a b +≤≤(,)a b R ∈ 2.基本不等式与最值：若,x y R +∈ ①和定积最大：若x y s +=，则2 4 s xy ≤ （当且仅当x y =时“=”成立） ②积定和最小：若xy p =，则x y +≥（当且仅当x y =时“=”成立） 注意一：要用此结论需满足三个条件：① ② ③ 简称：一正二定三相等 注意二：条件不足时可通过拆分与配凑创设条件。 （三）基本不等式的应用： 例一：设0,0x y >>，且440x y +=，求lg lg x y +的最值 变式训练①.若221x y +=，求(1)(1)xy xy -+的最小值。 （变形应用）②.函数y =的最大值为 。 例二：①若0x >，求12()3f x x x = +的最小值。 ②若0x <，求12()3f x x x = +的最大值。 归纳：1(0)y x x x =+≠的值域是什么？ 变式训练二:①求4()3lg lg f x x x =++ ，(1)x >的最小值。 （变形应用）②求14245y x x =-+ -，5()4 x <的最小值。 （对比应用）③若12x ≤≤，则1x x - 的最大值为 。 专题四 不等式 江苏省苏州实验中学徐贻林 【课标要求】 1．课程目标 (1) 不等关系：了解现实世界和日常生活中的一些不等关系． (2) 一元二次不等式：能从实际情境中抽象出一元二次不等式；了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；掌握一元二次不等式的解法． (3) 二元一次不等式组与简单线性规划问题：能从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题；并能加以解决（一般的最优整数解问题不作要求）． (4) ≤ 2a b +（a ≥0，b ≥0）≤2 a b +（a ≥0，b ≥0）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能 用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）． 2．复习要求 （1）不等式是作为描述、刻画现实世界中不等关系的一种数学模型介绍给学生的，复习中要淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其应用，注意不要偏重于从数学到数学的纯理论探讨． （2）求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解．复习中，应注意融入算法的思想，让学生更加清晰地认识不等式求解过程． （3）不等式有丰富的实际背景，二元一次不等式组是刻画平面区域的重要工具．刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，复习中应注意从实际背景中抽象出二元一次不等式组． （4）线性规划是优化模型之一．教师应引导学生体会线性规划的基本思想，用图解法解决一些简单的线性规划问题，不必引入过多名词．简单的线性规划问题指约束条件不超过四个（x ≥0也看作一个约束条件）的线性目标函数的最大（小）值问题．实际问题中经常会涉及最优整数解问题，复习中可向学生作一些介绍，但在训练和考查中不作要求． 3．复习建议 （1）重视数学思想方法的复习 ① 在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练力度． ② 加强分类讨论思想的复习．在解不等式或证不等式的过程中，如遇到含有参的问题，这时可能要对参数进行不重不漏的讨论． ③ 加强函数与方程思想在不等式中的应用训练． ④ 在不等式的证明中，要加强化归思想的复习． (2) 强化不等式的应用 1 / 8 基础篇 一、单变量部分 1、 求)0(1 >+ =x x x y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1 <+=x x x y 最大值-2 3、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值12 1 4、（添项）求)2(2 4 >-+=x x x y 最小值6 5、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值2 6、（取倒数或除分子）求)0(1 2 >+= x x x y 最大值21 7、（换元法）求)1(132>-+= x x x x y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值4 2 二、多变量部分 1、（凑系数或消元法）已知 041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值16 1 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求 y x 9 4+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式 1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是 ______),18[+∞_________ 2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习 1. 已知x>0，y>0，且 18 2=+y x 则xy 的最小值_______64_______ 2. )0(13 2 4>++=k k k y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，12 2 2 =+b a ，则21b a +的最大值为_________ 4 2 3_________ 高三一轮复习 基本不等式专题练习 1、已知正数x ，y 满足 2223x y xy x y -= +，那么y 的最大值为 2、已知x ＋y ＝1，y ＞0，x ＞0，则1 2x ＋x y ＋1的最小值为____________ 3、若x ，y ，z 均为正实数，且x 2+y 2+z 2=1，则的最小值为 4、若为的三个内角，则的最小值为 .． 5、已知正实数a ，b ，c 满足 +=1，+ +=1，则实数 c 的取值范围是 . 6、若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则 x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2 的最大值为__________ 7、设实数x ，y 满足x 2 4－y 2＝1，则3x 2－2xy 的最小值是__________． 8、若实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，则当x ＋2y 取得最大值时，x y 的 值为________ 9、设，求 的最小值为____________ 10、若正实数x ，y 满足(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)，则x ＋1 2y 的最大值为__________ 11、已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab + -+ 的最小值为 . 12、在平面直角坐标系xOy 中，设点A(1，0)，B(0，1)，C(a ，b)，D(c ，d)，若不等式CD → 2≥(m －2)OC →·OD →＋m(OC →·OB →)·(OD →·OA →)对任意实数a ，b ，c ，d 都成立，则实数m 的最大值是__________ 13、已知x 、y∈R ，满足2≤y≤4－x ，x ≥1，则x 2＋y 2＋2x －2y ＋2 xy －x ＋y －1的最大值为 __________ 14、已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则a 2＋2a ＋b 2 b ＋1的最小值为____________ 15、若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2 x －y 的最小值为 __________ 16、已知正实数a ，b 满足9a 2＋b 2＝1，则 ab 3a ＋b 的最大值为____________ 17、已知正数x ，y 满足1x ＋1y ＝1，则4x x －1＋9y y －1的最小值为____________ 18、已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，c ≠0，则 b a －2c 的取值范围为_________ 19、设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是________ 20、已知实数x 、y 满足x>y>0，且x ＋y≤2，则2 x ＋3y ＋1x －y 的最小值为______ 21、已知x ，y 为正实数，则 4x 4x ＋y ＋y x ＋y 的最大值为________ 22、已知正实数x ，y 满足x ＋2 x ＋3y ＋4 y ＝10，则xy 的取值范围为________ 23、已知函数f(x)＝3x ＋a 与函数g(x)＝3x ＋2a 在区间(b ，c)上都有零点，则 a 2＋2a b ＋2a c ＋4bc b 2－2b c ＋c 2的最小值为________． 24、设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数)的导函数为f′(x)．对任意x∈R ，2 (1)2z xyz +,,A B C ABC ?41 A B C ++1a 1b 1a b 1bc 1 ca ,,a b c R +∈938432a b c b c c a a b ++ +++ 不等式的概念和性质 〖考纲要求〗掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些概念解决一些简单问题. 〖复习建议〗不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用， 要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。 〖双基回顾〗常见的性质有8条： 1、反身性（也叫对称性）：a ＞b ?b ＜a 2、传递性：a ＞b ，b ＞c ?a ＞c 3、平移性：a ＞b ?a +c ＞b +c 4、伸缩性：?? ?>>0c b a ?ac ＞bc ；???<>0 c b a ?ac ＜bc 5、乘方性：a ＞b ≥0?a n ＞b n （n ∈N ，n ≥2） 6、开方性：a ＞b ≥0?n a ＞n b （n ∈N ，n ≥2） 7、叠加性：a ＞b ，c ＞d ?a +c ＞b +d 8、叠乘性：a ＞b ≥0，c ＞d ≥0?a ·c ＞b ·d 一、知识点训练： 1、下列结论对否： ()N n bd ac d c b a n n ∈??=?,,1 （ ） ()b a c b c a ??? 2 22 （ ） ()b a a b b a 1103????且 （ ） ()bd a c d c b a ??????0,04 （ ） ()N n b a b a n n ∈???,5 （ ） ()b a b b a ??-??6 （ ） 2、b a b a 1 1?? ?成立的充要条件为 3、用“＞”“＜”“＝”填空： (1)a 高三一轮复习之基本不 等式 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 基本不等式 一、考试方向 1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题． 2．考查应用基本不等式解决实际问题． 二、能力要求 要求学生掌握基本不等式的使用条件：一正二定三相等； 掌握四种类型的基本不等式的应用：和定求积；积定求和；和定求和；和积关系求和积。 三、基础知识 1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3.最值问题： 已知y x ,是正数， ①如果积xy 是定值P ，则当y x =时，和y x +有最小值P 2； ②如果和y x +是定值S ，则当y x =时，积xy 有最大值24 1S . 利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。 四、经典题型 类型一 基本不等式适用条件的应用 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． 例1．已知ab ≠0，a ，b ∈R ，则下列式子总能成立的是( ) A.b a ＋a b ≥2 B.b a ＋a b ≥－2 C.b a ＋a b ≤－2 D.???? ??b a ＋a b ≥ 例2．下列结论正确的是 A ．当0x >且1x ≠时，1lg lg x x +2≥ B ．0x >当时，2x x +≥ C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当x x x 1,20-≤<时无最大 例3．下列函数中，y 的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号)． ①y ＝x ＋4x (x>0)；②y ＝2(x 2＋3)x 2＋2 ；③y ＝e x ＋4e －x ；④y ＝sinx ＋4sinx . 例4.若a>b>1，P ＝lga·lgb ，Q ＝12(l ga ＋lgb)，R ＝l g ? ?? ??a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系为________．例5.设0 上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 不等式 一、选择、填空题 1、（2017上海高考）不等式 1 1x x ->的解集为 2、（2016上海高考）设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 3、（2016上海高考）设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组1 1 ax y x by +=??+=?无解，则b a +的取值范围是 ____________ 4、（宝山区2018高三上期末）不等式 x x 2 11 +>+的解集为 ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））不等式 ＜0的解是 ． 6、（黄浦区2018高三二模）不等式|1|1x ->的解集是 ． 7、（黄浦区2018高三二模）实数x y 、满足线性约束条件3, 0,0,10,x y x y x y +≤?? ≥≥??-+≥? 则目标函数23w x y =+-的 最大值是 答( )． (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2- (D ) 3 8、（普陀区2018高三二模）设变量x 、y 满足条件0220x y x y y x y m -≥??+≤? ?≥??+≤?，若该条件表示的平面区域是三角 形，则实数m 的取值范围是__________. 9、（青浦区2018高三二模）不等式|3|2x -<的解集为__________________． 10、（青浦区2018高三二模）若,x y 满足2, 10,20,x x y x y ≤?? -+≥??+-≥? 则2z x y =-的最小值为____________． 11、（青浦区2018高三上期末）不等式2 3(1) 43 122x x x ---?? > ??? 的解集为 ． 知识就是力量 高三一轮复习不等式 Prepared on 22 November 2020 第五部分：不等式专题（线性规划，一元二次不等式，基本不等式） 不等式是高中数学重要的知识，考试中涉及的考点也很多，从江苏目前的高中数学要求来说，除了不等式证明以外，其他形式的考察还是很多的。就内容来说，这部分分为高一难度和高考难度；从题型上来说，包含：线性规划，基本不等式，解不等式，不等式恒（能）成立，还有一些转化为不等式问题的题型。 高一难度的不等式问题主要是线性规划，基本不等式的常规考察，解不等式（包含含参形式），涉及常规函数的不等式恒（能）成立问题。 1、线性规划 （1）掌握好线性规划，首先需要知道，线性规划的考题特点：已知条件一般是一个不等式组或者一条曲线方程，问题一般是求解一个含有两个变量式子的范围、最值。所以，有的时候是要根据题目的条件形式和所求问题的形式，将所求解问题转化为线性规划问题。 比如：已知等差数列{}n a ，2,185≤≥a a ，则12a 的取值范围是 （2）线性规划性的常规考题相对简单一些，从问题来说有三个常见形式：（1）截距型：by ax +；（2）距离型： ()()22b y a x -+-；（3）斜率型：a x b y --；如果直接考这几个类型倒还好。 比如：已知y x ,满足条件?? ???≥≤-+≥00120y y x x ，则y x +2的最大值是 ， ()()2212-+-y x 的最小值是 ，3+x y 的取值范围是 。 （3）有的时候会求解不等式组对应区域的面积等稍微活一点的题目。 比如： ① 已知),(b a P 满足不等式组?? ???≥++≤+≥-040202y x y x y x ,则P 所在区域的面积是 ② 已知y x ,满足条件?? ???≥≤-+≥00120y y x x ，使得y ax +取得最大值的点有无数个，则实数a 的值是高三第一轮复习17----不等式、推理与证明训练题
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k52006年高考第一轮复习数学：6.4 不等式的解法(一)
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6.4
不等式的解法（一）
●知识梳理 1.一元一次不等式的解法. 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为 ax＞b（a≠0）的形式. 当 a＞0 时，解集为{x|x＞
b a
}；当 a＜0 时，解集为{x|x＜
b a
}.
2.一元二次不等式的解法. 任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为 ax2+bx+c＞0（或＜0） （其中 a＞0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”求解集. 3.简单的高次不等式、分式不等式的求解问题可采用“数轴标根法”.
思考讨论
用“数轴标根法”解高次、分式不等式时，对于偶次重根应怎样处理? ●点击双基 1.（2004 年全国Ⅳ，5）不等式 A.{x|x＜－2 或 0＜x＜3} B.{x|－2＜x＜0 或 x＞3} C.{x|x＜－2 或 x＞0} D.{x|x＜0 或 x＞3} 解析：在数轴上标出各根.
x （ x ? 2） x ? 3
＜0 的解集为
2
0
3
答案：A 2.（2003 年北京）若不等式|ax+2|＜6 的解集为（－1，2） ，则实数 a 等于 A.8 B.2 C.－4 D.－8 解析：由|ax+2|＜6 得－6＜ax+2＜6， 即－8＜ax＜4.∵不等式|ax+2|＜6 的解集为（－1，2） ，易检验 a=－4. 答案：C 3.（2003 年重庆市诊断性考试题）已知函数 f（x）是 R 上的增函数，A（0，－1） 、 B（3，1）是其图象上的两点，那么| f（x+1）|＜1 的解集是 A.（1，4） B.（－1，2） C.（－∞，1］∪［4，+∞） D.（－∞，－1］∪［2，+∞） 解析：由题意知 f（0）=－1，f（3）=1. 又| f（x+1）|＜1 ? －1＜f（x+1）＜1， 即 f（0）＜f（x+1）＜f（3）. 又 f（x）为 R 上的增函数， ∴0＜x+1＜3.∴－1＜x＜2.高三一轮复习不等式