解三角形中有关的取值范围问答
解决与三角形相关的取值范围问题
例1:在锐角ABC 中,2A B =,则c b
的取值范围是
例2:若ABC 的三边,,a b c 成等比数列,,,a b c 所对的角依次为,,A B C ,则sin cos B B +的取值范围是
例3:在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。(1)求B 的大小。 (2)若5b =,求ABC 周长的取值范围。
例4:在ABC 中,2222
3
a b c ab +=+,若ABC ,则ABC 的面积的最大值为
例5:(2008,江苏)满足2,AB AC ==的ABC 的面积的最大值
是
例6:已知角,,A B C 是ABC 三个内角,,,a b c 是各角的对边,向量
(1cos(),cos
)2A B m A B -=-+,5(,cos )82A B n -=,且9
8
m n ?= (1)求tan tan A B ?的值。 (2)求
222
sin ab C
a b c
+-的最大值。
通过以上例题,我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力,是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮助。
巩固练习
1.在ABC 中,2,1a c ==,则C ∠的取值范围为
2.若钝角三角形的三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边
长的比值为m ,则m 的取值范围是
3.在 Rt ABC 中,
2
C π
=,且,,A B C 所对的边,,a b c 满足a b xc +=,则实数x 的取值范围为
4.在锐角ABC 中,2A B =,1AC =,则BC 的取值范围是 5.在锐角ABC 中,三个内角,,A B C 成等差数列,记cos cos M A C =,则M 的取值范围是
6.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的取值范围是 7.已知ABC 外接圆的半径为6,若面积22()ABC
S
a b c =--且
4
sin sin 3
B C +=,则sin A = ,ABC
S
的最大值为
8.在ABC 中,(sin ,cos ),(cos ,sin )m A C n B A ==,且sin sin m n B C ?=+ (1)求证:ABC 为直角三角形
(2)若ABC 外接圆的半径为1,求ABC 的周长的取值范围 9.在ABC 中,,A B C 所对的边分别为,,a b c A =
(1)若222a c b mbc -=-,求实数m 的值 (2)若a =ABC 面积的最大值。
解决与三角形相关的取值范围问题
例1:在锐角ABC 中,2A B =,则c b
的取值范围是 解析:由022
2
A B C A B ππ
π<=<<=--<且0
得64B ππ<<,所以2sin sin 3sin 2cos cos 2sin 4cos 1sin sin sin c C B B B B B B b B B B
+====-,
又cos ,22B ∈所以24cos 1(1,2)c
B b
=-∈ 点评:①本题易错在求B 的范围上,容易忽视“ABC 是锐角三角形”这个条件。②本题涉及三角形边角之间的关系,考察边角互化,化多元为一元,体现了解题的通性通法。
例2:若ABC 的三边,,a b c 成等比数列,,,a b c 所对的角依次为,,A B C ,则sin cos B B +的取值范围是 解析:由题设知
2b ac
=,又余弦定理知
2222221
cos 2222
a c
b a
c ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=
所以0
3
B π<≤
,又7sin cos )4
4
4
12
B B B B πππ
π
+=+<+
<
且所以
)4
B π
+∈即sin cos B B +的取值范围是。
点评:本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来,有利于提高学生解题的综合能力。
例3:在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。(1)求B 的大小。
(2)若5b =,求ABC 周长的取值范围。 解析:(1)由题意知cos cos 2cos a C c A b B +=, 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B += 所以sin()2sin cos A C B B +=,于是1
cos ,2
3B B π
==
(2)由正弦定理
sin sin sin a b c A B C === 255sin()510sin()
36a b c A C A A A ππ
++=
++=+-+=++
又由02
A π<<
得26
6
3
A ππ
π
<+<
,所以 510sin()(10,15]6
a b c A π
++=++∈。
点评:对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公式以及恒等变换式等实施变形,达到化简、求值域的目的。
例4:在ABC 中,2222
3a b c ab +=+,若ABC ,则ABC 的面积的最大值为
解析:又2
2
2
2
3
a b c ab +=+及余弦定理得2221cos 23a b c C ab +-=
=,所以
sin 3
C =
, 又由于2sin 4c R C ==,所以2222cos c a b ab C =+-即2221623
ab a b ab +=+≥
所以12ab ≤,又由于1
sin 2
3
S ab C ab ==≤,故当且仅当a b ==时,ABC 的面积取最大值
点评:先利用余弦定理求cos A 的大小,再利用面积公式结合基本不等式,求面积的最大值,要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。
例5:(2008,江苏)满足2,AB AC ==的ABC 的面积的最大值
是
解析:设BC x =,则AC =,
根据面积公式得
1
sin 2
ABC
S
AB BC B =
?=①
由余弦定理得222222
4)4cos 244AB BC AC x x B AB BC x x
+-+--===?
代入①式得ABC
S
==
22x x +>+>且,所以22x <<,
故当x =
ABC
S
取得最大值
点评:本题结合函数的知识,以学生熟悉的三角形为载体,考察了面积公式、余弦定理等知识,是一道考察解三角形的好题。
例6:已知角,,A B C 是ABC 三个内角,,,a b c 是各角的对边,向量
(1cos(),cos
)2A B m A B -=-+,5(,cos )82A B n -=,且98
m n ?= (1)求tan tan A B ?的值。
(2)求
222
sin ab C
a b c
+-的最大值。 解析:由(1cos(),cos )2A B m A B -=-+,5(,cos )82A B n -=,且9
8
m n ?=得
259[1cos()]cos 828
A B A B --++=,所以4cos()5cos()A B A B -=+, 即cos cos 9sin sin A B A B =,所以1
tan tan 9
A B ?=
(2)由余弦定理得222sin sin 1
tan 2cos 2
ab C ab C C a b c ab C =
=+-,而 tan tan 993
tan()(tan tan )1tan tan 884
A B A B A B A B ++==+≥?=-
即tan()A B +有最小值3
4
,又tan tan()C A B =-+,
所以tan C 有最大值3
4
-(当且仅当1tan tan 3A B ==时取等号)
所以
222sin ab C a b c +-的最大值为3
8
-
通过以上例题,我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力,是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮助。
巩固练习
1.在ABC 中,2,1a c ==,则C ∠的取值范围为
2.若钝角三角形的三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m ,则m 的取值范围是
3.在 Rt ABC 中,
2
C π
=,且,,A B C 所对的边,,a b c 满足a b xc +=,则实数x 的取值范围为
4.在锐角ABC 中,2A B =,1AC =,则BC 的取值范围是 5.在锐角ABC 中,三个内角,,A B C 成等差数列,记cos cos M A C =,则M 的取值范围是
6.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的取值范围是 7.已知ABC 外接圆的半径为6,若面积22()ABC
S
a b c =--且
4
sin sin 3
B C +=,则sin A = ,ABC
S
的最大值为
8.在ABC 中,(sin ,cos ),(cos ,sin )m A C n B A ==,且sin sin m n B C ?=+ (1)求证:ABC 为直角三角形
(2)若ABC 外接圆的半径为1,求ABC 的周长的取值范围
9.在ABC 中,,A B C 所对的边分别为,,a b c A =
(1)若222a c b mbc -=-,求实数m 的值 (2)若a =ABC 面积的最大值。
参考答案
1.11sin sin ,(0,]2
2
6
C A C π
=≤∈
2.(2,)+∞ 3.
4
.同例1知
6
4
B π
π
<<
,由正弦定理
sin sin 2
2cos sin sin AC A B
BC B B B
=
==∈ 5.易知2,33B A C ππ=+=,则2cos cos cos cos()3
M A C A A π
==-
21cos 111
cos cos 2sin(2)2244264
A A A A A A π+=-+=-+=-- 由于
203
A π
<<
,所以
726
6
6
A π
π
π
-
<-
<
,故
1111sin(2)(,]26424
M A π=--∈-
6.设1,3,a 所对的角分别为,,A B C ,由三角形三边关系有
13,1331a a a +>+>+>且,故24a <<,易知B A >,要保证ABC 为锐角三角形,只需cos 0,cos 0B C >>,即
222222
131********a a a +-+->>????且,解得
a <<7.由22()ABC
S
a b c =--,得222sin (
2)2A
a b c bc =++- 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,故有sin 22cos 2
A
A -=,易得A 为锐角,且22sin 42sin 4cos 4A A A -+=,即217sin 8sin 0A A -=,故有8
sin 17
A =,
则42(sin sin )12163
b c R B C +=+=?=
21sin 4256
sin ()642221717
ABC
A b c S
bc A +=≤=?=
(当且仅当8b c ==时取等号)
即ABC S
的最大值为
256
17
8.(1)由(sin ,cos ),(cos ,sin )m A C n B A ==,且sin sin m n B C ?=+ 得sin cos sin cos sin sin A B A C B C +=+, 由正弦定理得cos cos a B a C b c +=+,
由余弦定理得222222
22a c b a b c a a b c ac ab
+-+-?
+?=+ 整理得222()()0b c a b c +--=
又由于0b c +>,故222a b c =+,即ABC 是直角三角形 (或者:由sin cos sin cos sin sin A B A C B C +=+得,
sin cos sin cos sin()sin()A B A C A C A B +=+++
化简得cos (sin sin )0A B C +=,由于sin sin 0B C +>,故cos 0A =, 即ABC 是直角三角形)
(2)设ABC 内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
由于ABC 外接圆的半径为1,2
A π
=,所以2sin 2a R A ==,
所以2(sin cos )2(sin cos ))
4
b c R B B B B B π
+=+=+=+
又0
2
B π<<
,故34
4
4B ππ
π<+<
,因而)4
B π
+∈ 故42a b c <++≤+
即ABC 的周长的取值范围为(4,2+
9.(1A =
22sin 3cos A A =
即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=,解得1
cos 2
A =
由2
2
2
a c
b mb
c -=-得
22222
b c a m
bc +-= 即1
cos 22
m A =
=,所以1m =
(2)由(1)知1cos 2
A =,则sin A =
, 又
2221
22
b c a bc +-=,所以22222bc b c a bc a =+-≥-,即2bc a ≤,
故211sin 2224
ABC
S
bc A a =≤?=
解三角形中的取值范围问题.docx
解三角形中的取值范围问题 1、已知a, b, c分别为ABC 的三个内角A, B,C 的对边,且2b cosC 2a c 。( 1)求角B的大小; ( 2)若ABC的面积为 3 ,求b的长度的取值范围。 解析:( 1)由正弦定理得2sin BcosC 2sin A sin C ,在ABC 中, sin A sin( B C )sin B cosC cos B sin C ,所以 sin C (2cos B1) 0 。 又因为 0 C, sin C0 1 ,而 0B,所以B ,所以 cos B 123 (2)因为 S ABC3, 所以ac4 ac sin B 2 由余弦定理得 b2a2c22acscos B a2c2 ac ac,即 b2 4 ,所以 b 2 2、在△ABC中 , 角A, B, C所对的边分别为a, b,c,已知cosC(cos A 3 sin A) cos B 0 . (1)求角 B的大小;(2)若 a+c=1,求 b 的取值范围 【答案】解:(1) 由已知得cos(A B)cos Acos B 3 sin A cos B0即有sin Asin B 3 sin Acos B 0因为 sin A0 ,所以 sin B 3 cosB0 ,又 cos B0 ,所以 tan B 3 ,又 0B, 所以B. 1113 (2) 由余弦定理 , 有b2a2c22ac cos B .因为 a c 1,cosB, 有b23(a)2. 1,于是有1 1 224 又 0 a b21,即有b1. 42 3、已知,满足. (I )将表示为的函数,并求的最小正周期; (II )已知分别为的三个内角对应的边长,若,且,求的取值范围. 4、已知向量ur x r x 2 x ur r ( 3 sin,,f (x)m n m,1)n(cos ,cos) 44g 4 (1)若 f ( x) 1 ,求 cos(x) 的值; 3 (2)在 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,且满足 a cosC 1 c b ,求函数 f ( B) 的取值范围. 2 【解析】 解:( 1) Q f x m n3sin x cos x cos2 x 3sin x 1cos x 1sin x 6 1, 4442222222