高考数学专题十 “20题、21题”

(时间：30分钟分值：24分)

解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20．设A ，B 分别是x 轴，y 轴上的动点，点P 在直线AB 上，且AP →＝32

PB →，|AB →|＝2＋ 3.

(1)求点P 的轨迹E 的方程；

(2)已知曲线E 上的定点K (－2,0)及动点M ，N 满足KM →·KN

→＝0，试证：直线MN 必过x 轴上的定点.

[解] (1)设P (x ，y )，A (x A,0)，B (0，y B )，则AP →＝(x －x A ，y )，PB →＝(－x ，y B

－y )，由AP →＝32PB →，得x A ＝x ＋32x ，y B ＝y ＋23

y ，由|AB →|＝2＋3，即可求得点P 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2

3＝1.

(2)证明：设直线KM ：y ＝k (x ＋2)(k ≠0)与x 24＋y 2

3＝1联立，

消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0.

设M (x 1，y 1)，则－2＋x 1＝－16k 23＋4k 2，x 1＝－16k 23＋4k 2＋2＝6－8k 23＋4k 2

， y 1＝k (x 1＋2)＝12k 3＋4k 2，∴M ? ??

??6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2，设直线KN ：y ＝－1k (x ＋2)(k ≠0)，

同理可得N ? ????6k 2－83k 2＋4

，－12k 3k 2＋4， k MN ＝y M －y N x M －x N ＝－7k 4(k 2－1)

(k 2≠1)，则MN ：y －12k 3＋4k 2＝－7k 4(k 2－1)(x －6－8k 23＋4k 2

)，化简可得y ＝－7k 4(k 2－1)? ??

??x ＋27，

即直线MN 过定点? ????－27，0，另MN 斜率不存在时，也过定点? ??

??－27，0， ∴直线MN 必过定点? ??

??－27，0. 21．已知函数f (x )＝(x －1)e x ＋ax 2有两个零点．

(1)求a 的取值范围；

(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，求证：x 1＋x 2＜0.

[解] (1)f ′(x )＝x e x ＋2ax ＝x (e x ＋2a )．

(ⅰ)当a ＞0时，e x ＋2a ＞0，函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．因为f (0)＝－1＜0，f (2)＝e 2＋4a ＞0，取实数b 满足b ＜－2且b ＜ln a ，则f (b )＞a (b －1)＋ab 2＝a (b 2＋b －1)＞a (4－2－1)＞0，所以f (x )有两个零点．

(ⅱ)若a ＝0，则f (x )＝(x －1)e x ，故f (x )只有一个零点，不满足题意．

(ⅲ)若a ＜0，当a ≥－12，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又当x ≤0时，f (x )

＜0，故f (x )不存在两个零点，不满足题意；当a ＜－12，则函数f (x )在(ln(－

2a )，＋∞)上单调递增；在(0，ln(－2a ))上单调递减．又当x ≤1时，f (x )＜0，故不存在两个零点．综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．

(2)证明：不妨设x 1＜x 2.由(1)，知x 1∈(－∞，0)，x 2∈(0，＋∞)，－x 2∈(－∞，0)，则x 1＋x 2＜0等价于x 1＜－x 2.因为函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，所以x 1＜－x 2等价于f (x 1)＞f (－x 2)，即f (－x 2)＜0.由f (x 2)＝(x 2－1)e x 2＋ax 22＝0，

得ax 22＝(1－x 2)e x 2，f (－x 2)＝(－x 2－1)e －x 2＋ax 22＝(－x 2－1)e －x 2＋(1－x 2)e x

2，令g (x )＝(－x －1)e －x ＋(1－x )e x ，x ∈(0，＋∞)．则g ′(x )＝－x (e x －e －x )＜0，故g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又g (0)＝0，所以g (x )＜0.所以f (－x 2)＜0，即原命题成立，x 1＋x 2＜0.

高中数学应用题汇总

高中数学应用题汇总 1.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。解（1）如图,由题意知AC⊥BC,, 其中当时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为（2）令得所以即当时,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值（注：该题可用基本不等式求最小值。）

2.某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数k (1≤k≤3)。（1）求该企业正常生产一年的利润F(x)与出厂价x的函数关系式；（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润. （1）依题意，F(x)＝(x－3)(11－x)2－k(11－x)2＝(x－3－k)(11－x)2，x∈[7,10]. （2）因为F′(x)＝(11－x)2－2(x－3－k)(11－x)＝(11－x)(11－x －2x＋6＋2k) ＝(x－11)[3x－(17＋2k)]. 由F′(x)＝0，得x＝11(舍去)或x＝.(6分) 因为1≤k≤3，所以≤≤. ①当≤≤7，即1≤k≤2时，F′(x)在[7,10]上恒为负，则F(x)在[7,10]上为减函数，所以[F(x)]max＝F(7)＝16(4－k).(9分) ②当7<≤，即2

2018上海高考数学大题解题技巧

上海高考数学大题解题技巧一、立体几何题 1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单； 2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系； 3.注意向量所成的角的余弦值（范围）与所求角的余弦值（范围）的关系（符号问题、钝角、锐角问题）。二、三角函数题注意归一公式、二倍角公式、诱导公式的正确性（转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式（奇变、偶不变；符号看象限）时，很容易因为粗心，导致错误！），正弦定理，余弦定理的应用。三、函数（极值、最值、不等式恒成立（或逆用求参）问题） 1.先求函数的定义域，单调区间一般不能并，用“和”或“，”隔开（知函数求单调区间，不带等号；知单调性，求参数范围，带等号）； 2.注意最后一问有应用前面结论的意识； 3.注意分论讨论的思想； 4.不等式问题有构造函数的意识； 5.恒成立问题（分离常数法、利用函数图像与根的分布法、求函数最值法）；四、圆锥曲线问题 1.注意求轨迹方程时，从三种曲线（椭圆、双曲线、抛物线）着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法； 2.注意直线的设法（法1分有斜率，没斜率；法2设x＝my+b（斜率不为零时），知道弦中点时，往往用点差法）；注意判别式；注意韦达定理；注意弦长公式；注意自变量的取值范围等等； 3.战术上整体思路要保10分，争12分，想16分。五、数列题 1.证明一个数列是等差（等比）数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差（公比）的等差（等比）数列； 2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用数列的单调性（或者放缩法）；如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法（用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证； 3.如果是新定义型，一定要严格的套定义做题（仔细理解新定义）。 4.战术上整体思路要保10分，争12分，想16分。

高考数学第21题优美解新课标

2011年全国高考数学（新课标）第21题（理）试题优美解试题（21）（本小题满分12分）已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2 x f x f e f x x -'=-+ ；（1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2 f x x ax b ≥ ++，求(1)a b +的最大值。优美解：（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得：(0)1f = 1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+ ?==?= 得：21()()()12x x f x e x x g x f x e x '=-+ ?==-+ ()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得：()f x 的解析式为21()2 x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）21()()(1)02 x f x x ax b h x e a x b ≥++?=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增，但 x →-∞时，()h x →-∞与条件()0h x ≥矛盾。 ②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+

高考数学大题题型解答技巧

高考数学大题题型解答技巧六月，有一份期待，年轻绘就畅想的星海，思想的热血随考卷涌动，灵魂的脉搏应分数澎湃，扶犁黑土地上耕耘，总希冀有一眼金黄黄的未来。下面就是小编给大家带来的高考数学大题题型解答技巧，希望大家喜欢! 高考数学大题必考题型(一) 排列组合篇 1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。 3.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。 4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。 5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。 6.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。 7.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 8.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率. 立体几何篇高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握

高考数学解答题解题技巧

高考数学解答题解题技巧大题是高考数学科目的重要组成部分，也是比分占得很重的一部分，考生需要掌握解题技巧，才能正确答题，下面学习啦小编给大家带来高考数学大题的最佳解题技巧，希望对你有帮助。一、三角函数题三角函数题是高考数学试卷的第一道解答题，试题难度一般不大，但其战略意义重大，所以稳拿该题12分对学生至关重要。主要有以下几类： 1.运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。 2.运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。 3.解三角形问题，判断三角形形状，正余弦定理的应用。注意辅助角公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用辅助角公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输! 二、数列题 1、证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;

2、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单，所以要有构造函数的意识。构造新数列思想，如“累加、累乘、错位相减、倒序相加、裂项求和”等方法的应用与创新。 3、数列自身内部问题的综合考查，如前n项和与通项公式的关系问题、递推数列问题的考查一直是高考的热点，求数列的通项与求数列的和是最常见的题目，数列求和与极限等综合性探索性问题也考查较多。全国卷的数列大题上手容易，但这不意味着容易拿满分，因为考的很广，像复习时没放在心上的冷门求和方法也会考查。因此全国卷考生复习时不能偷懒耍滑，老师讲解的各种数列解题方法都要掌握，深入复习好累加累乘法、待定系数法、错位相减法等方法。例如总能得到命题人青睐的错位相减法，因难度较大抱着侥幸心理的学生就会放低了对自己的学习要求。三、立体几何题

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=．（I ）求,a b 的值；（II ）如果当0x >，且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-，求k 的取值范围． 2019年：已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-．（Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(，求b a )1(+的最大值．

2019：一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P (0， 2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值；（Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-．（Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值，设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ，讨论()h x 零点的个数．

江苏省2020年高考数学第20题优美解

2020年高考数学（江苏）第20题优美解试题 .已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：2 2 1n n n n n b a b a a ++= +，*N n ∈，（1）设n n n a b b +=+11 ，*N n ∈，求证：数列2 n n b a ???? ?? ?? ? ?? ???? 是等差数列；（2）设n n n a b b ? = +21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．解法1：（1）∵n n n a b b + =+11，∴11222 1n n n n n n n n a a b b a ++= +?? + ??? 。 ∴ 2 111n n n n b b a a ++??=+ ??? ∴ ()2 2 2 221111*n n n n n n n n b b b b n N a a a a ++????????-=+-=∈ ? ? ? ????????? 。 ∴数列2 n n b a ?????? ?? ??????? 是以1 为公差的等差数列。（2）∵00n n a >b >，，∴ () ()2 2 222 n n n n n n a b a b 知0q >，下面用反证法证明=1q 若1,q >则2 12= 2a a 时，112n n a a q += 若01,a >q ，∴当1 1 log q n >a 时，111n n a a q <+=，与（﹡）矛盾。