几何中的尺规作图法

第七讲尺规作图

尺规作图的基本知识

一、几何作图的含义和意义

含义：给定条件，设法作具备这些条件的图形，能据条件作出图形或作不出图形，故几何作图是存在问题的证明。

意义：建立学生具体几何观念的重要手段，是克服死记硬背定理的好办法；学以致用；为制图学提供理论基础；培养逻辑思维能力。

二、作图公法

（1）通过两个已知点可作一直线；

（2）已知圆心和半径作圆；

（3）若两已知直线相交，或一已知直线和一已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，则可作出其交点。

上面三条叫作图公法。

若一个图不能有限次根据作图公理作出图形，则叫几何作图（或尺规作图）不能问题。

三、作图成法

我们把根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图，叫做作图成法。它可以在以后的作图中直接应用。下面列举一些：

（1）任意延长已知线段。

（2）在已知射线上自端点起截一线段等于已知线段。

（3）以已知射线为一边，在指定一侧作角等于已知角。

（4）已知三边，或两边及夹角，或两角及夹边作三角形。

（5）已知一直角边和斜边，作直角三角形。

（6）作已知线段的中点。

（7）作已知线段的垂直平分线。

（8）作已知角的平分线。

（9）过已知直线上或直线外一已知点，作此直线的垂线。

（10）过已知直线外已知点，作此直线的平行线。

（11）已知边长作正方形。

（12）以定线段为弦，已知角为圆周角，作弓形弧。

（13）作已知三角形的外接圆，内切圆，旁切圆。（14）过圆上或圆外一点作圆的切线。

（15）作两已知圆的内、外公切线。

（16）作已知圆的内接（外切）正三角形、正方形，或正六边形。 （17）作一线段，使之等于两已知线段的和或差。 （18）作一线段，使之等于已知线段的n 倍或n 等分。 （19）内分或外分一已知线段，它们的比等于已知比。

（20）作已知三线段,,a b c 的第四比例项。 （21）作已知两线段,a b 的比例中项。

（22）已知线段,a b 作一线段为x =，或作一线段为)x a b =

>。

四、解作图题的步骤

① 分析：遇到不是一目了然的作图题，常假定符合条件的图已做出，研究已知件和求作件间的关系，从而得到作图的线索。这个过程就是分析，是解题重要的一步。 ②作法：利用已知作图题时，只需说明清楚，不必一一累述。 ③证明：证所作图确实具有所设条件。

④讨论：作图题解的有无，多与寡，定与不定，决定于已知条件的大小、位置及相互关系。 尺规作图法举例

一、交轨法

一个作图题的解决，往往归结到某一点的确定，而一点的确定，须用两个条件1C 和2C ，如果能求出合于条件1C 的轨迹1F 和合于条件2C 的轨迹2F ，那么1F 和2F 的交点同时满足

1C 和2C ，这种由轨迹相交以解作图题的方法，称为交轨法。

决定某一点的轨迹有若干个，选择熟知的和简易的。

例1 在已知弧AmB 上求一点M ，使弦的比为::1MA MB p q =≠。

分析：设点M 已求到，满足::MA MB p q =，则点M 既在弧AmB 上，又在一个阿氏圆上，内分、外分AB 于C 、D ，使:::AC CB AD BD p q ==，阿氏圆是以CD 为直径的圆。 作法：如分析过程定出C 、D 两点，以CD 为直径作圆，它与AmB 相交于所求点M 。图形略。

证明：略（阿氏圆的性质知显然） 讨论：本题恒有一解。（C 在圆内而D 在圆外，两圆相交于两点，但其中一点必在阿氏圆直径CD 的另一侧，不在AmB 上）。

解法二：由角平分线性质知，∠AMB 的平分线MN 必过C 点，故不必作阿氏圆，只要定出C 和N 即可，而N 为AB 的中点，作AB 的中垂线即可。如下图所示。

例2 已知△ABC 的底边a ，顶角A 以及余二边的平方和2

2

2

b c k +=，求作这三角形。

分析：如图，设△ABC 已作成，,BC a A α==，且222

AB AC k +=。任作BC a =后，

A 的一个轨迹是以BC 为弦而内接角等于α的圆弧。若以M 表示BC 的中点，则

222221

22k AB AC AM a =+=+ （斯特瓦尔特定理）

即A 点的另一轨迹是以M A 点定。 作法：作线段BC a =，在BC 上作内接角等于α的圆弧；作221

(,22

M ；圆与圆弧的交点为所求的A 点。 证明：略。

讨论：显然a >，否则无意义；若A 为锐角，当cot 222

a a α

<<时，

221

(,

22

M 与圆弧AmB 有两交点A 与A '，但A B C AB

C '???，只算作一解；否则无解。

若A 为钝角，当

cot 222

a a α≤时有一解，否则无解。 若A 为直角，a=k 时显然有无穷多解，当a ≠k 时无解。

二、三角形奠基法

作图题中，往往可先作图形的一个三角形，从而奠定全部图形的基础，进而作出其它图形，这种三角形称为基础三角形。该方法称为三角形奠基法。 例3 已知ABC ?的三中线,,a b c m m m 的长度，求作该三角形。

分析：设ABC ?已作出，G 为重心，图中无奠基的三角形。延长GL 到K , 使LK GL =，则BGK ?三边已知，各为中线长的2/3。

作法：作BGK ?，使(2/3)a G K m =，(2/3)b GB m =，(2/3)c BK m =，作GK 的中点L ，并延长BL 到C 使LC BL =。延长LG 至A 使2GA LG =，则ABC ?即所求者。 证明：由作法，L 是BC 的中点，因而AL 是ABC ?的中线。由于2GA LG =，G 是ABC ?的重心，并且 3(3/2)a AL LG GK m ===，以M 、N 表CA 、AB 的中点，由于G 是重心，则(3/2)b BM BG m ==，(3/2)(3/2)c CN CG BK m ===，所以ABC ?合于条件。 讨论：本题有无解，取决于BGK ?是否存在，存在的条件是：

a b c m m m +>，b c a m m m +>，c a b m m m +>.

故所给三中线能构成三角形时，有一解，否则无解。

例4 已知△ABC 的,,a a a h t m ，求作该三角形。

分析：△ABC 若已作成，高a AH h =，角平分线a AT t =，中线a AM m =.

Rt AHT ?和AMH ?都可作出，取AMH ?为基础三角形，设AT 交外接圆于P ，则P 为BC

的中点，P 可由AT 及MH 在M 点的垂线相交决定。然后定圆心O ，O 在PM 上，也在AP 的中垂线上，故外接圆可作出，从而可定出B 、C 。

作法：作直角AHM ?，使90AHM ∠=，a AH h =，a AM m =.

在射线HM 上作T 点使 a AT t =，过M 作HM 的垂线与直线AT 相交于P 。作AP 的中垂线交PM 于O 。以O 为中心，以OA 为半径作圆，设其交直线HM 于B 及C ，则ABC ?即所求。

证明：因O 在AP 的中垂线上，则OP ＝OA ，从而P 是BC 的中点，从而AM 是ABC ?的中线，而AP 是BAC ∠的平分线。可见ABC ?中，有高a AH h =，中线a AM m =，平分角线a AT t =，即ABC ?合于所设条件。 讨论：

① 当,,a a a h t m 三者有两个相等时，△ABC 为等腰三角形，这时若三者不都相等无解，若

都相等便成不定问题，有无穷多解。

② 当,,a a a h t m 互不相等时，解要存在，则△AMH 存在且P 存在，并且P 和A 落在HM

的异侧（若a a m t <，则P 与A 落在MH 同侧），才能保证B 、C 存在，要保证这些事项，则必有T 介于H 和M 之间，有解的条件是：a a a h t m <<.

例5 求作△ABC ，已知,,a b c m h m .

分析：设△ABC 已作出，G 为重心，由重心的性质知1

3

BCG ABC S S ??=

，从而11

33

a GM AH h =

=，△BCG 可作。 证明：略（关键是证G 为重心，连AG 交BC 于点F ，证明N 是中点）

讨论：△ABC 能否作出决定于△BCG 能否作出。显然，GM GC <且GM GB <，即

2a b h m <且2a c h m <时有一解，否则无解。

三、合同变换法

将图形中某些元素施行适当的合同变换，然后借助于各元素的新旧位置关系发现作图的方法。常用的有对称变换、平移变换和旋转变换。

例6 求作△ABC ，已知,a a h ，两底角之差B C α∠-∠=.

分析：△ABC 已作出，先作BC a =，由于a h AH =，故A 点的一个轨迹是BC 的一条平行线XY 。现为了把α表示在图形上，延长BA 到E ，作C 关于XY 的对称点D ，则

B C EAY CAY EAY DAY α=∠-∠=∠-∠=∠-∠ ∴180BAD α∠=-，从而A 的另一轨迹是以BD 为弦内接角等于180α-的弓形弧。 作法证明：略。

讨论：以BD 为弦内接角等于180α-的弓形弧的对称弧交XY 于一点A '，但A BC '?中，

C B α∠-∠=，不符合条件，故本题只有一解。

例7 给定两平行线x 及y 和它们外侧各一点A 、B （如下图 ），求自A 至B 的最短路线，使介于x 、y 间的部分与定直线z 平行。

分析：在x 、y 上任取点X '、Y '满足//X Y z '

'，AX X Y Y B ''''++最短在于AX Y B ''+最短。现()

T MN AX CY ''???→，C

为定点（实际上，()

T MN A C ???→），且

AX BY CY BY BC ''''+=+≥.则Y 定，进而X 定。X 、Y 为所求。

作法：略。

证明：略。

讨论：本题恒有一解。

例8 给定△ABC ，求作一直线平行于BC ，交AB 、AC 于D 、E ，使AD ＝EC.

分析：如图，将()

T ED EC DF ???

→，则BAF DFA CAF ∠=∠=∠，所以AF 为A ∠的平分线。由F 定D ，然后定E 即可。恒有一解。

作法：由分析作法显然。 证明：略。

例9 给三平行线,,a b c ，求以a 上一定点A 为顶点作正三角形ABC ，使余二点分别落在b 、

c 上。

分析：设△ABC 已作好，作AH b ⊥，(,60)

R A ABH ACH '?????→?，这时，b 旋转为b '，b '

与c 的交点为C ，进而可定B 。

作法：作AH b ⊥于H ，作60HAH '∠=且AH AH '=，过H '作b AH ''⊥，b '交c 于点

C ，再作60BAC ∠=，使BAC ∠与HAH '∠有相同转向，B 是直线AB 与b 的交点。

证明：只要证明AB ＝AC 就足以保证ABC ?是正三角形。由于'BAC HAH ∠=∠，立刻推出'BAH CAH ∠=。所以两个直角三角形BAH 和 'CAH 有一直角边及一锐角对应相等，因而合同。所以AB ＝AC 。

讨论：由于(,60)

R A AH AH '????→或(,60)

R A AH AH -'''????→，所以有两解。

四、代数分析法

有的作图题，解题的关键在于一条线段的算出，这时可借助于代数计算求得该线段，此方法叫代数分析法。

例10 求作一圆，使通过两定点A 、B 并切于已知直线l 。

分析：如图 ，关键在于确定切点T 的位置，如能定，过A 、B 、T 三点的圆就为所求。 设AB 与l 交于O ，x OT =，则2

x AO OB =?，即x 是线段OA 、OB 的比例中项，即T 可确定，进而圆可定。

作法：如分析所作，见下图1。 证明：略。 讨论： ① 直线AB 与l 交于一点且A 、B 在l 的同侧时，有二解，如图1。 ② //AB l 或A 、B 之一在l 上时，有一解如图2和3。 ③ A 、B 在l 的异侧时无解。

例11 求作一直线平行于梯形的底边，且平分该面积。

分析：设图已作成，设AB 交CD 于O ，,,OA a OB b OE x ===，则

12OEF OAD ABCD S S S ??=+，1

2OEF OBC ABCD S S S ??=-

由此 1

()2OEF OAD OBC S S S ???=+，又222::::OEF OAD OBC S S S x a b ???=，

所以 222

1()2

x a b =+.故E 点定。

作法：如图。 证明：略。

讨论：恒有一解。

尺规作图可能性的判断

一、判断准则

任何能用尺规完成的图形，归结为三条作图公理的有限次组合，即由一些点作直线、作圆，再由直线和圆产生新点。在直角坐标系中，这些新点的坐标由方程0x cy d ++=或0y d '+=或220x y ex fy d ++++=三种不同组合组成的方程组的解。而方程组的解是通过方程系数之间的加、减、乘、除、开平方运算得来的，故得尺规作图准则为： 定理：一个作图题中所求线段x ，可由一次齐次式12(,,,)n x F a a a =表示，则x 能由尺规

作出?F 仅含关于已知线段(1,2,,)i a i n =的有限次加、减、乘、除、开平方运算，并且

F 在定义域中能取实值。

二、几个古典几何作图题

1．倍立方问题：求作一立方体，使它的体积等于已知立方体的体积的2倍。

设已知立方体棱长为a ，求作的立方体的棱长为x ，则3

3

2x a =，惟一的实根为

x =，不可能由a 经过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到。不能由尺规作出。

2．三等分任意角问题：设α是任一角，求θ，使3αθ=.

由三倍角公式3

cos cos34cos 3cos αθθθ==-，令cos x θ=，则方程化为

3430x x a --= （cos a α=已知）

不妨取60α=，这时12

a =

，方程为3

8610x x --=，此方程无有理根，故不可能分解为以有理数为系数的两因式之积。不能由尺规作出。

3．化圆为方问题：求作一正方形，使面积等于已知圆的面积。

设已知圆为单位圆，正方形的边长为x ，则2

x π=，π为超越数，故x 不能作出。 4．作圆内接正多边形

①正多边形的尺规作图，归结为方程10n

x -=的n 次本原单位根的尺规作图问题。（如果某一个n 次单位根的各次幂可得出所有n 次单位根，这样的n 次单位根叫做本原单位根。 如三次单位根243

3

123,,1i i e

e

π

πωωω===中，23121,1ωωω==，可见1ω为本原单位根；同

理2ω也是本原单位根，但3ω不是。）在n 次单位根中，21i n

e

πω=必是n 次本原单位根。

②定理：圆内接正(3)n n ≥边形可用尺规作图?12

2m

r n p p p =??（2,21

h i

i m o p ≥=+

的素数或者为1，1,2,,i r =）。

当100n <可作正n 边形有24种，3,6,12,24,48n =；4,8,16,32,64n =；5,10,20,40,80n =；15,30,60n =；17,34,68n =；51n =；85n =.

例12十等分圆周（黄金分割，即内外比）

分析：设半径为R ，正十边形边长为x ，AB 为其中一边，如下图1。显然

36,72AOB OAB ∠=∠=，BC 平分角ABO ，则OAB BAC ??

∴::OA AB AB AC =，又由OC BC AB ==得::OA OC OC AC =，称点C 将线段OA 分成外内比或黄金分割，即全线段与长部分的比等于长部分与短部分的比。

∴圆内接正十边形的边长是将半径分成黄金分割所得的长部分。下面作x ，由

::OA OC OC AC =，得220x Rx R +-=，从而1)2

R

x =

，作法如下图2所示，OC 为所求x . 注：

①圆内接正十边形长101)2

R

a =.

②由弦与圆周角的关系

2AB

R =圆周角

知1sin181)4=.

④ 0.618≈，即黄金分割数，在优选法上常用，来源于黄金分割。

例13 五角星的作法

法一：将圆周十等分（例12），从第一个分点起，每隔开三个分点相连即得。 法二：将圆周五等分，从第一个分点起间点相连即得。 注：

①圆内接正十边形、五边形、半径的关系

510,,AB a AC BC a OA R ====，作OE AC ⊥于E ，交AB 于D ，则DAC

CAB ??，

∴::AD AC AC AB =，即2

AC AB AD =?，由AOB

ODB ??有

:::()AB OB OB DB OB AB AD ==-，∴2()R AB AB AD =?-，

与上两式相加即得2

2

2

AB AC R =+，

∴22222510106a a R a a =+=+，即同圆的正五边形、正六边形、正十边形的边构成直角三角形，由此得正五边形更简单的作法。

作法：PQ 、AS 为二垂直直径，M 为OQ 的中点，作MA MN =；作AN ＝AB ；则

510,AB a ON a ==.

证明：2

2

2

2

2

2

AB AN AO ON R ON ==+=+，

1022

R

ON MN OM MA MO R a =-=-=

-=，得证。