专题04 数列与不等式-2020届高考数学备课锦囊(人教版)

专题四 数列与不等式

目录

一、考情分析.................................................................................1 二、两年高考试题展示.....................................................................1 三、知识、方法、技能.....................................................................6 （一）数列....................................................................................6 （二）不等式.................................................................................8 四、延伸拓展.................................................................................10 （一）裂项求和大全........................................................................10 （二）斐波那契数列 (13)

一、考情分析

1.高考全国卷中数列一般有2道客观题或1道解答题，客观题一般具有小巧活的特点，解答题一般考查数列的通项与求和．

2．不等式中，不等式的性质及基本不等式一般不单独考查，常与函数、解析几何等知识交汇考查，线性规划是曾是高考热点，多以基础题形式考查，近两年有所降温.

二、两年高考试题展示

1．【2019全国卷I 】.已知集合{}

}2

42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?=

(A) }{43x x -<< (B)}{42x x -<<- (C) }{22x x -<< (D) }{23x x <<

【答案】C

【解析】由题意得，{}{}

42,23M x x N x x =-<<=-<<，则

{}22M N x x ?=-<<．故选C ．

2．【2019全国卷I 】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则

(A) 25n a n =- (B) 310n a n =- (C) 2

28n S n n =-

(D) 2

122

n S n n =

- 【答案】 A

【解析】由题知，41

514430245

d S a a a d ?

=+??=???=+=?，解得132a d =-??

=?，∴25n a n =-，故选A ． 3．【2018全国卷I 】设为等差数列的前项和，若

，

，则

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】B

【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，

整理解得

，所以

，故选B.

4．【2019全国卷II 】6.若a >b ，则 (A) ln(a ?b )>0 (B)3a <3b (C)a 3?b 3>0 (D)│a │>│b │

【答案】C

【解析】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排

除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3

y x =是增函数，a b >，

所以33a b >，故选C ．

5．【2018全国卷II 】设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = (A) (-∞，1) (B) (-2，1) (C) (-3，-1) (D) (3，+∞)

【答案】A

【解析】由题意得，{}{}

2,3,1A x x x B x x ==<或，则{}

1A B x x ?=<．故选A ．

6.【2019全国卷Ⅲ】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） (A)16

(B)8

(C) 4

(D) 2

【答案】C

【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142

11115,

34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2

a q =??=?，2

314a a q ∴==，故选C ．

7．【2018全国卷Ⅲ】设，

，则

(A) (B)

(C)

(D)

【答案】B 【解析】

，，

,即

，又

，

即，故选B.

8．【2019全国卷I 】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2

1461

3

a a a ==，，则S 5=____________．

【答案】

121

3

. 【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a =

=，所以32511

(),33

q q =又0q ≠， 所以3,q =所以

55

151

(13)

(1)12131133

a q S q --===

--． 9．【2018全国卷I 】记为数列的前项和，若，则_____________．

【答案】

【解析】根据，可得，两式相减得

，即，当

时，

，解得

，所以数列

是以-1为首项，以2为公布的等比数列，所以

，故答案是.

10．【2018全国卷I 】若，满足约束条件，则的最大值为________．

【答案】6

【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：

由

可得

，画出直线

，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B

时，z 取得最大值，

由，解得，此时，故答案为6.

11．【2018全国卷II 】若满足约束条件 则的最大值为__________．

【答案】9

【解析】不等式组表示的可行域是以

为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当

时，

.

12. 【2019全国卷Ⅲ】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则10

5

S S =___________. 【答案】4.

【解析】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以

105S S =111

1109

1010024542552

a d a a a d

?+

==?+． 13. 【2019全国卷II 】 已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.

【解析】(1)由题意可知1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-，111a b ，111a b -=，

所以1

144323442n

n n n n n n n a b a b b a a b ，即1112n n n n a b a b ，

所以数列{}n n a b +是首项为1、公比为1

2

的等比数列，1

12

n n n a b ， 因为1

1443434

448n n n n n n n n a b a b b a a b ，

所以1

1

2n

n n n a b a b ，数列{}n n a b -是首项1、公差为2的等差数列，21n n

a b n .

(2)由(1)可知，1

12

n n n a b ，21n n

a b n ，

所以1

112

2

2n

n

n n n n

a a

b a b n

，11122

2n

n n n n n

b a b a b n

.

15．【2018全国卷II 】记为等差数列的前项和，已知，

．

（1）求

的通项公式；

（2）求，并求的最小值．

【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2

–8n =（n –4）2

–16．所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16． 16.【2018全国卷Ⅲ】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；

（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．

【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=.