数列与不等式压轴大题练习题和详细分析解答(1)
数列与不等式压轴大题练习题和详细分析解答（1）
1．已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，{}n T 为等差数列，且1324a T ==，. （1）求n a ；
（2）证明：
112233
1111
ln(1)n n
n a T a T a T a T ++++
<+.
2．已知数列{}n a 满足11a =，点()11,1n n a a +++在直线2y x =上.数列{}n c 满足11c a =，
121
111n n n c a a a a -=++???+（2n ≥且n *∈N ）. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）（i ）求证：11
1n n
n n c a c a +++=（2n ≥且n N ∈）； （ii ）求证：231115
1113
n c c c ??????+
+???+<
? ? ???????.
3．已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：
①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2
i m j
a a a =； ②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k
n l
a a a =．
(Ⅰ)若(1,2,
)n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若1
2(1,2,
)n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.
4．设数列{}n a 的前n 项的积为n T ，满足1n n T a =-，*N n ∈，记222
12n n S T T T =++???+
（1）证明：数列11n a ??
??-?
?是等差数列；
（2）记1n n n d a S +=-，证明：11
32
n d <<
5．已知等差数列{}n a 的公差为1-，前n 项和为n S ，且27126a a a ++=-． （1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；
（2）将数列{}n a 的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若存在m *∈N ，使得对任意n *∈N ，总有
n m S λ 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()13a a a =≠，13n n n a S +=+，设3n n n b S =-， *n ∈N . （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求实数a 的最小值； （Ⅲ）当4a =时，给出一个新数列{}n e ，其中3,1,2 n n n e b n =?=?≥?，设这个新数列的前n 项和 为n C ，若n C 可以写成p t （t ，* p ∈N 且1t >，1p >）的形式，则称n C 为“指数型和”.问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由. 7．给定常数0c >，定义函数()24f x x c x c =++-+，数列123,,, a a a 满足 *1(),n n a f a n N +=∈. （1）若12a c =--，求2a 及3a ； （2）求证：对任意* 1,n n n N a a c +∈-≥，； （3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存 在，说明理由. 8．已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N . （1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式； （2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项； （3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小 值m ，且()2,2m M ∈-. 9．已知数列{}n a 满足1a =12 且1n a +=n a -2 n a （n ∈*N ）. （1）证明：11 2n n a a +< ≤（n ∈*N ）； （2）设数列{} 2 n a 的前项和为n S ，证明112(2)2(1) n S n n n <≤++（n ∈*N ）. 数列与不等式压轴练习题和详细分析解答（1） 1．已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，{}n T 为等差数列，且1324a T ==，. （1）求n a ； （2）证明： 112233 1111 ln(1)n n n a T a T a T a T ++++ <+. 【答案】（1）1 ,()n a n n N n *+=∈（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由等差数列求出n T ，根据12n n T a a a =即可求出n a ； （2）由（1）可得211(1)1n n n a T n n =<++，构造函数1()ln 1g x x x =--，利用导数证明1ln 1x x >-，即可得11ln ln(1)ln 1n n n n n +?? <=+- ?+?? ，利用裂项相消法即可得证. 【详解】 （1）由题意，112T a ==，34T =，且{}n T 为等差数列， 所以312T T d =+，即422d =+ 解得1d =， 所以1n T n =+， 因为12n n T a a a =，1121(2)n n T a a a n --=≥， 所以11 (2)n n n T n a n T n -+= =≥， 12a =时，也适合1 += n n a n ， 故1 ,()n a n n N n *+= ∈ （2）由（1）知，211(1)1 n n n a T n n =<++， 下面证明 11ln 1n n n +??< ?+?? ， 令 11,0,12x x n ?? =∈ ?+?? ，则11n x =-， 令1 ()ln 1g x x x =-- 则()1x g x x '= -，当10,2x ?? ∈ ???时，()0g x '>， 所以()g x 在10,2?? ??? 上单调递增， 所以()(0)0g x g >=，即1 ln 1x x >- 所以 11ln 1n n n +??< ?+?? 所以 1122331111 ln(1)ln ln ln(1)ln 2ln1n n n n n n a T a T a T a T +++?+<+-+--+?+-， 即 1133221111ln(1)n n n a T a T a T a T +++?+<+ 【点睛】 本题主要考查了等差数列的通项公式，由递推公式求数列的通项，裂项相消法求和，构造函数利用导数证明不等式，考查了推理能力，运算能力，属于难题. 2．已知数列{}n a 满足11a =，点()11,1n n a a +++在直线2y x =上.数列{}n c 满足11c a =， 121 111n n n c a a a a -=++???+（2n ≥且n *∈N ）. （1）求{}n a 的通项公式； （2）（i ）求证：11 1n n n n c a c a +++=（2n ≥且n N ∈）； （ii ）求证：231115 1113 n c c c ??????+ +???+< ? ? ???????. 【答案】(1) 21n n a =-;(2)证明见解析 【解析】 【分析】 (1)将()11,1n n a a +++代入2y x =,构造等比数列即可. (2)(i)由121111 n n n c a a a a -=++???+可得11 n n c a ++的关系,再化简证明111n n n n n c c a a a ++=+即可. (ii)利用(i)中 11 1n n n n c a c a +++=,在23111111n c c c ???? ??++???+ ? ? ??????? 中构造对应等式再换元.最后即求证 121111153 n n a a a a -++???++<,代入21n n a =-再利用等比放缩法证明即可. 【详解】 (1) 将()11,1n n a a +++代入2y x =有()1121n n a a ++=+,故数列{}1n a +是以112a +=为 首项,2为公比的等比数列.所以12n n a +=,即21n n a =- (2) (i)证明：因为 121111 n n n c a a a a -=++???+,故1112111111n n n n n n n c c a a a a a a a ++-=++???++=+. 即 111n n n n c c a a +++=,故()111n n n n a c a c +++=?即111n n n n c a c a +++=（2n ≥且n N ∈）.证毕. (ii)由题111c a ==, 221 11c a a ==,又22213a =-=,故223c a ==.当2n ≥时 111n n n n c a c a +++=. 故322323*********n n n c c c c c c c c c ????????????+++++???+=??? ? ? ? ? ? ????????????? 331122112234134111111111=33n n n n n n n n n n c c a a c c c a c c a c c c c a a a a a ++++++++????????????+++= ?????=??????= ? ? ? ? ? ????????????? 1211211111111121212121 n n n n a a a a --= ++???++=++???++----. 即证明 12111115 212121213n n -++???++<----. 先证明 2111 2132 n n -≤?-()2,n n N +≥∈ , 即证当( )2,n n N + ≥∈时22 11132212132 n n n n --≤???≤-?- 2 2 2 32 42 12 1n n n ---?≤?-?≥显然成立.故 2111 2132 n n -≤?-()2,n n N +≥∈. 所以 1211 21111111111 (2121212133232) n n n --++???++≤++?++?---- 1 11 11132215215111132332312 n n n ---????-?? ?????????????=+ =+-=-? ????-成立. 即231115 1113 n c c c ??????+ +???+< ? ? ???????.证毕 【点睛】 本题主要考查了构造等比数列求数列通项公式的方法,同时也考查了数列的证明以及根据所给不等式利用等比放缩的方法求证数列不等式的问题,其中证明2111 2132 n n -≤?-是关键.属于难题. 3．已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质： ①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2 i m j a a a =； ②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k n l a a a =． (Ⅰ)若(1,2, )n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由； (Ⅱ)若1 2(1,2, )n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据定义验证，即可判断； (Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断； (Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明22 31 a a a =，最后，用数学归纳法证明 数列为等比数列即可. 解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得123,,a a a 成等比数列，之后证得 1234,,,a a a a 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证. 【详解】 (Ⅰ) {}232329 2,3,2 n a a a a Z a ===?∴不具有性质①； (Ⅱ) {}22* (2)1* 2,,,2,2i j i i i j n j j a a i j N i j i j N a a a a ---?∈>=-∈∴=∴具有性质①； {}2 * (2)11,3,1,2,22,k l n k n n l a n N n k n l a n a a ---?∈≥?=-=-===∴具有性质②； (Ⅲ)【解法一】 首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数： 显然()0*n a n N ≠?，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<， 第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<< ， 由①可知：存在1m ，满足12 2 10m a a a = <，存在2m ，满足22310m a a a =<， 由01N =可知 22 32 11 a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0 21 0N m a a a = <， 由0N 的定义可知：0m N ≤， 另一方面，0 00 2 21 N N m N N a a a a a a = > =，由数列的单调性可知：0m N >， 这与0N 的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号. 其次，证明2 2 31 a a a =： 利用性质②：取3n =，此时()23k l a a k l a =>， 由数列的单调性可知0k l a a >>， 而3k k k l a a a a a =? >，故3k <， 此时必有2,1k l ==，即22 31 a a a =， 最后，用数学归纳法证明数列为等比数列： 假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()1 11s s a a q s k -=≤≤， 其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似） 由①可得：存在整数m ，满足2 11 k k m k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥（*） 由②得：存在s t >，满足：21s s k s s t t a a a a a a a +==?>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+， 由()1 11s s a a q s k -=≤≤可得：2 211111s t k s k k t a a a q a a q a ---+==>=（**） 由（**）和（*）式可得：21 1111k s t k a q a q a q ---≥>， 结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-， 注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--， 代入（**）式，从而11k k a a q +=. 总上可得，数列{}n a 的通项公式为：1 1n n a a q -=. 即数列{}n a 为等比数列. 【解法二】 假设数列中的项数均为正数： 首先利用性质②：取3n =，此时()23k l a a k l a =>， 由数列的单调性可知0k l a a >>， 而3k k k l a a a a a =? >，故3k <， 此时必有2,1k l ==，即22 31 a a a =， 即123,,a a a 成等比数列，不妨设()2 2131,1a a q a a q q ==>， 然后利用性质①：取3,2i j ==，则224 331121m a a q a a q a a q ===， 即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面我们来证明3 41a a q =， 否则，由数列的单调性可知3 41a a q <， 在性质②中，取4n =，则24k k k k l l a a a a a a a ==>，从而4k <， 与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3k l k l ?>，满足2 4k l a a a =， 若3,2k l ==，则：2341k l a a a q a ==，与假设矛盾； 若3,1k l ==，则：243411k l a a a q a q a ==>，与假设矛盾； 若2,1k l ==，则：22413k l a a a q a a ===，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数,k l ，可见3 41a a q <不成立，从而3 41a a q =， 同理可得：45 5161,, a a q a a q ==，从而数列{}n a 为等比数列， 同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列. 由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列. 【点睛】 本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力. 4．设数列{}n a 的前n 项的积为n T ，满足1n n T a =-，*N n ∈，记22212n n S T T T =++???+ （1）证明：数列11n a ?? ? ?-? ?是等差数列； （2）记1n n n d a S +=-，证明： 11 32 n d << 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】 （1）先令n=1求出首项，再由前n 项的积的定义表示1 111n n n a a a ++-=-，进而整理化简，再由 等差数列定义得证； （2）由（1）表示数列{}n a 的通项公式，进而由放缩法放缩2 n T ，再由裂项相消法求n S ， 最后再放缩不等式得证. 【详解】 解析：（1）因为1n n T a =-，所以111a a =-，解得11 2 a =. 由题可知11 111n n n n n T a a T a +++-= =-， 所以11111n n n a a a ++=--，即()11111 11n n n a a a ++--=--，则 111111n n a a +-=--. 所以11n a ?? ??-?? 是公差为1的等差数列，且首项1121a =-. （2）由（1）可知()1121111111 n n n n n n a a a n n =+-?=+?-=?=-++，则111 n n T a n =-= +. 首先，() ()() 2 2 1 1 111212 1n T n n n n n = > = -+++++. 所以2 2 2 1111111 11123341222 n n S T T T n n n ??????=++???+>-+-+???+-=- ? ? ?+++??????， 又112n n a n ++= +，所以11111 2222 n n n n d a S n n ++=-< +-=++. 其次，() () 22 2 1 1 11 1 121 132123114 2 2 n T n n n n n n ??= < = - =- ?++??++- + +. 所以 222111111111 1222235572123323n n S T T T n n n ????????=++???+<-+-+???+-=- ? ? ? ? +++???????? . 所以111112212232322433n n n n n d a S n n n n +++??=-> -->+-= ?++++?? . 综上所述：11 32 n d <<. 【点睛】 本题考查由已知递推关系证明等差数列，还考查了由放缩法证明数列不等式以及裂项相消法 求和，属于难题. 5． 已知等差数列{}n a 的公差为1-，前n 项和为n S ，且27126a a a ++=-． （1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ； （2）将数列{}n a 的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若存在m *∈N ，使得对任意n *∈N ，总有 n m S λ 【答案】（1）5n a n =-，2 922 n n n S =-（2）29,2??-+∞ ??? 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：（1）求等差数列通项公式，一般利用待定系数法，本题已知公差，因此只需确定一项即可：由27126a a a ++=-利用等差数列性质得736a =-，72a =-，再根据等差数列广义通项公式得：()77275n a a n d n n =+-=--+=-，最后利用等差数列和项公式求前n 项和n S ，（2）先根据题意确定数列{}n a 的前四项抽取的是哪一项，再根据剩下三项，利用待定系数法求等比数列{}n b 通项，然后利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，对存在性问题及恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：()()max max n m S T λ<+，n S 为二次函数，可根据对称轴求其最大值，需注意n *∈N ，而n T 的最值，需根据数列单调性确定. 试题解析： 解：（1）{}n a 为等差数列，且27126a a a ++=-，∴736a =-，即72a =-， 又 公差1d =-，∴()77275n a a n d n n =+-=--+=-，n *∈N ． ()() 214592 2 22 n n n a a n n n n S ++-= = =-，n *∈N ． （2）由（1）知数列{}n a 的前4项为4，3，2，1， ∴等比数列{}n b 的前3项为4，2，1， ∴ ，∴()1 1452n n n a b n -??=-? ? ?? ， ∴()()01 2 1 1111443652222n n n T n n --?? ???? ?? ?? =?+?+ +-?+-??? ? ? ? ? ???????? ????，① ∴()()12 1 111114436522222n n n T n n -?? ???? ?? ?? =?+?++-?+-??? ? ? ? ? ?? ???? ?? ???? ，② ①-②得()121 1 1111444522222n n n T n -?????????? ??=-++ +--????? ? ? ? ??????? ??? ??????? ()()11 1212111645122612212 n n n n n --?? ??-?? ???????????=---?=+-? ? ?????-． ∴()1 1244122n n T n -??=+-? ???，n *∈N ． ∴()1121 4112412204222n n n n n n n n T T ---------= -= ， ∴12345T T T T T <<<=，且56n T T >>>T ， ∴*n ∈N 时，()45max 49 2 n T T T === ． 又 2 922 n n n S =-， ∴*n ∈N 时，()45max 10n S S S ===， 存在*m ∈N ，使得对任意*n ∈N ，总有n m S T λ<+成立． ∴()()max max n m S T λ<+，∴49 102 λ< +， ∴实数λ的取值范围为29,2?? -+∞ ??? ． 考点：等差数列通项及求和，错位相减法求和 【名师点睛】 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法． 用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意． (2)在写出“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式． 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()13a a a =≠，13n n n a S +=+，设3n n n b S =-， *n ∈N . （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求实数a 的最小值； （Ⅲ）当4a =时，给出一个新数列{}n e ，其中3,1 ,2 n n n e b n =?=?≥?，设这个新数列的前n 项和 为n C ，若n C 可以写成p t （t ，* p ∈N 且1t >，1p >）的形式，则称n C 为“指数型和”.问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由. 【答案】（I ）详见解析；（II ）9-；（III ）3C 为指数型和. 【解析】 【分析】 （I ）通过计算证明证得1 2n n b b +=，来证得数列{}n b 是等比数列. （II ）利用11,1 ,2 n n n S n a S S n -=?=? -≥?求得数列{}n a 的通项公式，由1n n a a +≥，10n n a a +-≥， 求得a 的最小值. （III ）先求得{}n C 的通项公式，对p 分成偶数和奇数两种情况进行分类讨论，根据“指数型和”的定义，求出符合题意的“指数型和”. 【详解】 （I ）13n n n a S +=+，*11323,n n n n n n n S S S S S n N ++-=+?=+∈.由于3n n n b S =-，当 3a ≠时，11 113233233 n n n n n n n n n n n b S S b S S ++++-+-===--，所以数列{}n b 是等比数列.1133b S a =-=-，()132n n b a -=-?. （II ）由（I ）得()1 332 n n n n b S a -=-=-?，()1 332 n n n S a -=+-?()12*12332,2,n n n n n a S S a n n N ---=-=?+-?≥∈，所以 ()12 ,1 2332,2n n n a n a a n --=?=??+-?≥? .因为1n n a a +≥，213a a a a =+>=.当2n ≥时， ()122332n n n a a --=?+-?，()112332n n n a a -+=?+-?，而1n n a a +≥，所以10n n a a +-≥， 即()()1 2123 322332n n n n a a ---???+-?-?+-??? ()12 43320n n a --=?+-?≥，化简得1 1243338322n n n a ----??? ≥+=-?+ ? ??，由于当2n ≥时，1 3832n -?? -?+ ? ?? 单调递减，最大值为 21 38312392-??-?+=-+=- ? ?? ，所以 9a ≥-，又3a ≠，所以a 的最小值为9-. （III ）由（I ）当4a =时，1 2 n n b -=，当2n ≥时， ()1212324232112 n n n n C +?-=+++ +=+ =+-.13C =也符合上式，所以对正整数n 都 有21n n C =+.由21,12p n p n t t =+-=，（* ,t p N ∈且1,1t p >>），t 只能是不小于3的奇 数. ①当p 为偶数时，221112p p p n t t t ????-=+-= ??????? ， 由于21p t +和21p t -都是大于1的正整数， 所以存在正整数,g h ，使得2212,12p p g h t t +=-=，()222,2212g h h g h --=-=，所以 22h =，且2 121,2g h h g --=?==，相应的3n =，即有233C =，3C 为“指数型和”； ②当p 为奇数时，()()2 1111p p t t t t t --=-+++ +，由于211p t t t -+++ +是p 个奇 数之和，仍为奇数，又1t -为正偶数，所以()()2 1112p n t t t t --+++ +=不成立，此时 没“指数型和”. 综上所述，{}n C 中的项存在“指数型和”，为3C . 【点睛】 本小题主要考查已知n S 求n a ，考查根据数列的单调性求参数的取值范围，考查新定义的理解和运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 7．给定常数0c >，定义函数()24f x x c x c =++-+，数列123,,, a a a 满足 *1(),n n a f a n N +=∈. （1）若12a c =--，求2a 及3a ； （2）求证：对任意* 1,n n n N a a c +∈-≥，； （3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存 在，说明理由. 【答案】见解析 【解析】 （1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()242a f a a c a c ==++-+=， 3122()2410a f a a c a c c ==++-+=+ （2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立， ()24f x x c x c x c x c ≥+?++-+≥+ 即只需证明24+x c x c x c ++≥++ 若0x c +≤，显然有24+=0x c x c x c ++≥++成立； 若0x c +>，则24+4x c x c x c x c x c ++≥++?++>+显然成立 综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥ （3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+ 故21111()248a f a a c a c a c ==++-+=++， 即111248a c a c a c ++=++++， 当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11448a c a c ++=?=--， 此时，230,8, ,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意； 综上，满足题意的1a 的取值范围是{}[,)8c c -+∞?--． 【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题． 8．已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N . （1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式； （2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项； （3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小 值m ，且 ()2,2m M ∈-. 【答案】（1）65n a n =-（2）详见解析（3）1,02?? - ??? 【解析】 【分析】 【详解】 （1）由13n n b b +-=，得16n n a a +-=， 所以{}n a 是首项为1，公差为6的等差数列， 故{}n a 的通项公式为65n a n =-，n *∈N . （2）由()112n n n n a a b b ++-=-，得1122n n n n a b a b ++-=-. 所以{}2n n a b -为常数列，1122n n a b a b -=-，即1122n n a b a b =+-. 因为0n n a a ≥，n *∈N ，所以011112222n n b a b b a b +-≥+-，即0n n b b ≥. 故{}n b 的第0n 项是最大项. （3）因为n n b λ=，所以( )1 12n n n n a a λ λ++-=-， 当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+???+-+ ()()()1122222n n n n λλλλλλλ---=-+-+???+-+ 2n λλ=-. 当1n =时，1a λ=，符合上式. 所以2n n a λλ=-. 因为0λ>，所以222n n a λ λλ=->-，21 212n n a λ λλ--=-<-. ①当1λ<-时，由指数函数的单调性知，{}n a 不存在最大、最小值； ②当1λ=-时，{}n a 的最大值为3，最小值为1-，而 ()3 2,21 ?--； ③当10λ-<<时，由指数函数的单调性知，{}n a 的最大值2 22a λλM ==-，最小值 1m a λ==，由2222λλ λ --< <及10λ-<<，得1 02 λ-<<. 综上，λ的取值范围是1,02?? - ??? . 9．已知数列{}n a 满足1a =12 且1n a +=n a -2 n a （n ∈*N ）. （1）证明：11 2n n a a +< ≤（n ∈*N ）； 数列与不等式测试题 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分；共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1. 不等式1 x x > 成立的一个充分不必要条件是（） A.x>0 B.x<0或x>1 C.x<0 D.0 7. 已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为( ). A. 12 B. 1 2 - C. 2 D. 2-8.数列{}n a 的通项为1(21)(21)n a n n = -+，前n 项和为9 19 ，则项数n 为（ ） A. 7 B.8 C. 9 D. 10 9. 在等差数列{}n a 中，若9418,240,30n n S S a -===，则n 的值为( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，100S >并且110S =，若n k S S ≤对n N *∈恒成立，则正 整数k 构成集合为 （ ） A ．{5} B ．{6} C ．{5,6} D ．{7} 11.一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于它后面两项的和，则其公比是（ ） A. 212-12 12.若a 是12b +与12b -的等比中项，则 22ab a b +的最大值为（） A. 12 B.4 C.5 D.2 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13.公差不为0的等差数列{}n a 中，2 37 11220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b = . 数列·例题解析 【例1】 求出下列各数列的一个通项公式 (1)14(2)23，，，，，…，，，，…38516732964418635863 (3)(4)12--13181151242928252 ，，，，…，，，，… 解 (1)所给出数列前5项的分子组成奇数列，其通项公式为2n －1，而前5项的分母所组成的数列的通项公式为2×2n ，所以，已知数列的 通项公式为：．a =2n 12n n+1 - (2)从所给数列的前四项可知，每一项的分子组成偶数列，其通项公式为2n ，而分母组成的数列3，15，35，63，…可以变形为1×3，3×5，5×7，7×9，…即每一项可以看成序号n 的(2n －1)与2n ＋1的积，也即(2n －1)(2n ＋1)，因此，所给数列的通项公式为： a n n n n =-+22121()() ． (3)从所给数列的前5项可知，每一项的分子都是1，而分母所组成的数列3，8，15，24，35，…可变形为1×3，2×4，3×5，4×6，5×7，…，即每一项可以看成序号n 与n ＋2的积，也即n(n ＋2)．各项的符号，奇数项为负，偶数项为正．因 此，所给数列的通项公式为： a n n n n =-+()() 112·． (4)所给数列可改写为，，，，，…分子组成的数列为124292162252 1，4，9，16，25，…是序号n 的平方即n 2，分母均为2．因此所 给数列的通项公式为．a =n n 2 2 【例2】 求出下列各数列的一个通项公式． (1)2，0，2，0，2，… (2)10000，，，，，，，， (131517) (3)7，77，777，7777，77777，… (4)0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，… 解 (1)所给数列可改写为1＋1，－1＋1，1＋1，－1＋1，…可以看作数列1，－1，1，－1，…的各项都加1，因此所给数的通项公式a n ＝(－1)n+1＋1． 所给数列亦可看作2，0，2，0…周期性变化，因此所给数列的 通项公式为奇数为偶数这一题说明了数列的通项公式不唯一．a =2(n )0(n )n ??? (2)100012345所给数列，，，，，，，…可以改写成，，，，，，…分母组成的数列为，，，，，，，…是自然13151711021304150617 67 数列n ，分子组成的数列为1，0，1，0，1，0，…可以看 《一元一次方程》试题 【巩固练习】 一、选择题 1．下列方程中，是一元一次方程的是( )． A ．250x += B ．42x y +=- C ．162x = D ．x ＝0 2. 下列变形错误的是( ) A.由x + 7= 5得x+7－7 = 5－7 ; B.由3x －2 =2x + 1得x= 3 C.由4－3x = 4x －3得4+3 = 4x+3x D.由－2x= 3得x= － 32 3. 某书中一道方程题：213 x x ++=W ，□处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是 2.5x =-，那么□处应该是数字( )． A ．-2.5 B ．2.5 C ．5 D ．7 4. 将(3x ＋2)－2(2x －1)去括号正确的是( ) A 3x ＋2－2x ＋1 B 3x ＋2－4x ＋1 C 3x ＋2－4x －2 D 3x ＋2－4x ＋2 5. 当x=2时，代数式ax －2x 的值为4，当x=－2时，这个代数式的值为（ ） A.－8 B.－4 C.－2 D.8 6．解方程121153 x x +-=-时，去分母正确的是( )． A ．3(x+1)＝1-5(2x -1) B ．3x+3＝15-10x -5 C ．3(x+1)＝15-5(2x -1) D ．3x+1＝15-10x+5 7．某球队参加比赛，开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队获胜的场数为( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．某超市选用每千克28元的甲种糖3千克，每千克20元的乙种糖2千克，每千克12元的丙种糖5千克混合成杂拌糖后出售，在总销售额不变的情况下，这种杂拌糖平均每千克售价应是( )． A ．18元 B ．18.4元 C ．19.6元 D ．20元 二、填空题 9．在0，－1，3中， 是方程3x －9=0的解. 10．如果3x 52a -＝－6是关于x 的一元一次方程，那么a ＝ ，方程的解=x . 11．若x ＝－2是关于x 的方程324=-a x 的解，则a ＝ . 12．由3x ＝2x ＋1变为3x －2x ＝1，是方程两边同时加上 . 13．“代数式9－x 的值比代数式x 3 2－1的值小6”用方程表示为 . 三角函数、数列、不等式练习题 命题人：刁化清 一、选择题 1．对于任意的实数,,a b c ，下列命题正确的是 A ．若22bc ac >，则b a > B ．若0,≠>c b a ，则bc ac > C ．若b a >，则 b a 11< D ．若b a >，则22b c ac > 2. 设0 C ．0()0f x < D ．)(0x f 的符号不确定 7. 在等差数列｛n a ｝中，若,8171593=+++a a a a 则=11a （ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 8．已知等差数列前n 项和为n S ，且，则13S 的值为 A ．13 B ．26 C ．8 D ．162 9．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 10=2,S 30=14,则S 40等于（ ） A ．80 B ．30 C ．26 D ．16 10．在ABC ?中，角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若2cos a c B =，则ABC ?的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 {}n a 351024a a a ++= 第六章数列测试题 一，选择题 1,气象站一天各时刻测得的气温排成的一列数（ ） A 不是数列B 是数列C 是无序数列D 是有序数但不是数列 2,已知数列｛ a n ｝的通项公式为a n = n 2 +3n+2,以下四个数中，是数列｛ a . ｝中 的一项是（） A 18 3 ?数列 B54 1 22 1 32 C 102 D 156 —，二^ …的一个通项公式是（ ） 1 4 1 A , a . 1 n 2 1 an =TTE a n = n(n 2) D 以上都不对 4. A C 下列各数列中, 0,1,0,1,0,1,? -1,1,-1,1, 是等差数列的是( B 0.3, 0.33, 0.333, D 8,8,8,8, 、5 —与另一个数的等差中项，则另一个数（ ） 、3 ?、 5 6. 在等差数列 ｛a n ｝中，若 a 4 a 6 10,则 a 2 a 3 a 4 a 6 a ? 等于 9, 已知x,2x+2,3x+2是一个等比数列的前3项，贝U 等比数列的第4项是（） A -27 B 12 C -13.5 D 13.5 10. 设等比数列的首项与第2项的和为30, a s a 4 120,则a s +a 6=（） A 120 B 240 C 480 D 600 二，填空题 1. 数列 a n = （n+1） （n+2）的第 ___ 项为 110。 1 1 2 3 4 2. 数列--,0,-,-,-,-，…的一个通项公式为 ________________________ 2 4 5 6 7 3. 等差数列的第2项为-5,第6项与第4项之差为6,那么这个数列的首项是— 75 3 4. 已知 住公,？成等差数列，那么x= ______ 8 2 5. 等差数列的前4项之和为30,公差是3,则a s = ___________ 6. 在等比数列｛ a n ｝中Q=9, a 6=243，则S 6= ____________ 3n 7. ___________________________________ 已知等比数列中，a n =一，则 a 1 = , q= ___________________________________ 6 1 8. 已知等比数列中，q=--，a * =1,S n =-20，则a 1 _________________________ 3 9. 110是通项公式为的a n n 1 n 2数列的第 _________________ 项 10. _________________________________________________ 首项为5,末项为 27,公差为2的等差数列共有 ________________________________ 项 三，解答题 1,已知成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上1, 3, 9后 得到的三个数成等比数列，求这三个数。 10 B 35 C 40 D 65 7, 等比数列前3项依次为、2,3.2,6 2,则第4项是（） A 1 B 1212 C 9 12 D 3 2 8 .在0与16之间插入两个数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列, 则这两个数的和等于（） A 8 B 10 C12 D 16 2.已知数列｛ a n ｝的通项公式为a n = （-1） 2n 1 n ---------- 求此数列的第 5 项。 第九章、不等式（组）单元测试题 一、 选择题（.每题3分，共30分） 1、如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )． (A)1>b a (B)b a ＜1 (C)b a 11< (D)ab ＜1 2、 a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )． (A)若a ＞b ，则a 2＞b 2 (B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b | (D)若｜a ｜≠|b |，则a ≠b 3、 若由x ＜y 可得到ax ＞ay ，应满足的条件是( )． (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a ＞0 (D)a ＜0 4、 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜1 5、 某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这种 出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ，那么x 的最大值是( )． (A)11 (B)8 (C)7 (D)5 6、 若不等式组?? ?>≤ 第8章 一元一次不等式测试卷 （满分100分，时间45分钟） 班级 学号 姓名 成绩 一、填空题:（每题4分，共28分） 1．不等式2x ≥x +3的解集是 。 2．不等式组? ??≥++ 1．（10分）解不等式3 12643-≤-x x ，并把它的解集在数抽上表示出来。 2．（10分）小芳准备用26元钱买圆珠笔和笔记本，已知一支圆珠笔2.5元，一本笔记本 1.8元，她买了8本笔记本，则她最多还可以买多少支圆珠笔？ 3．（14分）学校为家远的同学安排住宿，现每个房间住5人，则还有9人安排不下，若每间住6人，则有一间房至少还余4个床位，问学校可能有几间房可以安排同学住宿？住宿的同学可以安排多少人？ 4．（14分）某校计划在署假组织优秀学生参加夏令营，人数不少于30人，由校长一人带队，甲、乙旅行社的服务质量相同；且价格都是每人500元，学校联系时，甲旅行社还表示“如果校长买全票一张，学生则享受半价优惠”，乙旅行社表示“包括校长在内全部按6折优惠”，请你帮学校设计一种方案，使其支付的总费用最省。 数列与不等式专题练习 一、选择题 1．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 2．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 3．12+与12-，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．2 1 4．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113 -是此数列的第（ ）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 5．在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（ ） A ．513 B ．512 C ．510 D ．8 225 6．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10- 7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ． 21 8．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ） A ．1 B ．0或32 C ．32 D ．5log 2 9．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（ ） A ．15(0,)2+ B ．15(,1]2- C ．15[1,)2+ D ．)2 51,251(++- 10．在ABC ?中,tan A 是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以 13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．以上都不对 11．在等差数列{}n a 中，设n a a a S +++=...211，n n n a a a S 2212...+++=++，n n n a a a S 322123...+++=++，则,,,321S S S 关系为（ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．等差数列或等比数列 D ．都不对 12．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=（ ） A ．12 B ．10 C ．31log 5+ D ．32log 5+ 高一数学章节测试题——数列 10.已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则 使得n S 达到最大值的n 是（ ） A.21 B.20 C.19 D. 18 11.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,1==++a S S S m n m n ，那么=10a （ ） A.1 B.9 C.10 D.55 12.已知等比数列{}n a 满足0,1,2, n a n >=，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时， 2123221log log log n a a a -+++=（ ） A. (21)n n - B. 2 (1)n + C. 2 n D. 2 (1)n - 选择题答题卡： 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若972S =，则249a a a ++=_______________. 14.在等比数列{}n a 中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式 =n a _____________. 15. 设数列{}n a 中，1211++==+n a a a n n ，，则通项=n a _____________. 16. 设{}n a 为公比1>q 的等比数列，若2004a 和2006a 是方程03842 =+-x x 的两根，则 =+20072006a a _____________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知{}n a 为等比数列，3 20 ,2423=+=a a a ，求{}n a 的通项公式. 一．方法综述 数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略 类型一数列中的恒成立问题 【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】 由题意得，则，等差数列的公差， . 由， 得， 则不等式恒成立等价于恒成立， 而， 问题等价于对任意的，恒成立. 设，， 则，即， 解得或. 故选:A. 【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是由等差数列通项公式可得，进而由递推关系可得 ，借助裂项相消法得到，又 ，问题等价于对任意 的 ， 恒成立. 【举一反三】已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2 142,n n S S n n n N -++=≥∈，若 对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()3,5 B ．()4,6 C ．[)3,5 D ．[)4,6 【答案】A 类型二 数列中的最值问题 【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足 ， ，则使 的正整数的最小值是（ ） A ．2018 B ．2019 C ．2020 D ．2021 《数列》单元练习试题 一、选择题 1．已知数列}{n a 的通项公式432--=n n a n （∈n N *），则4a 等于（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0 2．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ） （A ）它的首项是2-，公差是3 （B ）它的首项是2，公差是3- （C ）它的首项是3-，公差是2 （D ）它的首项是3，公差是2- 3．设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，则 =2 4a S （ ） （A ）2 （B ）4 （C ）215 （D ）217 4．设数列{}n a 是等差数列，且62-=a ，68=a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ） （A ）54S S < （B ）54S S = （C ）56S S < （D ）56S S = 5．已知数列}{n a 满足01=a ，133 1+-=+n n n a a a （∈n N *），则=20a （ ） （A ）0 （B ）3- （C ）3 （D ） 23 6．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为（ ） （A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260 7．已知1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等比数列，公比1≠q ，则（ ） （A ）5481a a a a +>+ （B ）5481a a a a +<+ （C ）5481a a a a +=+ （D ）81a a +和54a a +的大小关系不能由已知条件确定 8．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数 列有（ ） （A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项 9．设}{n a 是由正数组成的等比数列，公比2=q ，且30303212=????a a a a ，那么 30963a a a a ???? 等于（ ） 一元一次不等式 1、下列不等式中，是一元一次不等式的是 （ ） A 012>-x ； B 21<-； C 123-≤-y x ； D 532 >+y ； 2.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） A.5+4＞8 B.2x －1 C.2x ≤5 D. 1 x －3x ≥0 3. 下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） (1)2x 数列与不等式复习题（一） 1．数列 ,8,5,2,1-的一个通项公式为 （ ） A ．43-=n a n B ．43+-=n a n C ．()43)1(--=n a n n D ．()43) 1(1 --=-n a n n 2、在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 3、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为（ ） A ．15. B ．17. C ．19. D ．21 4．不等式01 31 2>+-x x 的解集是 （ ） A ．}21 31|{>- 高一数列专项典型练习题 一．选择题（共11小题） 1．（2014?天津模拟）已知函数f （x ）= （a ＞0，a≠1），数列{a n }满足a n =f （n ）（n ∈N *）， 且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围（ ） A ． [7，8） B ． ￥ （1，8） C ． （4，8） D ． （4，7） 2．（2014?天津）设{a n }的首项为a 1，公差为﹣1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1= （ ） ^ A ． 2 B ． ﹣2 C ． D ． ﹣ ， 3．（2014?河南一模）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若，则=（ ） A ． 1 B ． ﹣1 C ． : 2 D ． 4．（2014?河东区一模）阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k 的值为（ ） A ． 、 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8 ^ 5．（2014?河西区三模）设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则等于（ ） A ． 11 B ． 5 C ． ﹣8 > D ． ﹣11 6．（2014?河西区二模）数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2014=（） A．B．` ﹣ C．6D．﹣6 7．（2014?河西区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=（）— A． 9B．12C．14D．18 | 8．（2013?南开区一模）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（）A．47B．45C．| 38 D．54 9．（2013?天津一模）在等比数列{a n}中，，则a3=（） A．±9' B． 9C．±3D． 3 10．（2012?天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（） . A．8B．18C．26~ D． 80 11．（2012?天津模拟）在等差数列{a n}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数列的前14项和为（）A．20B．… 21 C．42D．84 二．填空题（共7小题） 12．（2014?天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_________． 、 课后练习 一元一次不等式 一、选择题 1. 下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个. ①x>－3；②xy≥1；③32 数列与不等式 一、看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) (2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足?? ?≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝 对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①；②（4）造等差、等比数列求通项：；②；③；④.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知为数列{}n a 的前项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ ； ⑵.总结:任何一个数列，它的前项和n S 与通项n a 都存在关系：???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们 统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 例2：⑴已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知为数列{}n a 的前项和，，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如““；⑵迭加法、迭乘法公式：① ② . 题型3 构造等比数列求通项 例3已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法： ①令；② 在中令，；③由得，. 例4已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“”通过适当变形可转化为： “”或“求解. 数列求和的常用方法 高一数列练习题 一．选择题（共11小题） 1．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是单调递增 数列，则实数a的取值范围（） A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（4，7） 2．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2B．﹣2 C．D． ﹣ 3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（） A．1B．﹣1 C．2D． 4．阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（） A．5B．6C．7D．8 5．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（） A．11 B．5C．﹣8 D．﹣11 6．数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2014=（） C．6D．﹣6 A．B． ﹣ A．9B．12 C．14 D．18 8．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（） A．47 B．45 C．38 D．54 9．在等比数列{a n}中，，则a3=（） A．±9 B．9C．±3 D．3 10．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（） A．8B．18 C．26 D．80 11．在等差数列{a n}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数列的前14项和为（） A．20 B．21 C．42 D．84 二．填空题（共7小题） 12．）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_________． 13．某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*）， 等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数 1 5 7 77 2 12 8 96 3 21 12 192 4 32 16 320 5 45 32 1152 6 60 48 2496 则等级为50级需要的天数a50=_________． 14．数列{a n}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7=_________． 15．已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于_________． 第八章一元一次不等式测试题 一、选择题： 1、如果，那么下列不等式不成立的是（） A、B、C、D、 2、不等式的解集是（） A、B、C、D、 3、下列各式中，是一元一次不等式的是（） Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、 4、已知不等式，此不等式的解集在数轴上表示为（） 5、在数轴上从左至右的三个数为a，1＋a，－a，则a的取值范围是（） A、a＜ B、a＜0 C、a＞0 D、a＜－ 6、（2007年湘潭市）不等式组的解集在数轴上表示为（） 7、不等式组的整数解的个数是（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 8、在平面直角坐标系内，P（2x－6,x－5）在第四象限，则x的取值范围为（） A、3＜x＜5 B、－3＜x＜5 C、－5＜x＜3 D、－5＜x＜－3 9、方程组的解x、y满足x＞y，则m的取值范围是（） A. B. C. D. 10、、（2013?荆门）若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为（） A.≤C．D．m≤ 11、（2013?孝感）使不等式x﹣1≥2与3x﹣7＜8同时成立的x的整数值是（） A．3，4 ，5 ，4，5 D．不存在 12、某种肥皂原零售价每块2元，凡购买2块以上（包括2块）,商场推出两种优惠销售办法. 第一种：一块肥皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种：全部按原价的八折销售.你在 购买相同数量肥皂的情况下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买 （）块肥皂. 二、填空题 13、若不等式组无解，则m的取值范围是． 14、不等式组的解集为x＞2，则a的取值范围是_____________. 15、（2013?厦门）某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外的安全 区域．甲工人在转移过程中，前40米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为 米/秒，步行的速度为1米/秒，骑车的速度为4米/秒．为了确保甲工人的安全，则导火 线的长要大于米 16、（2013?白银）不等式2x+9≥3（x+2）的正整数解是． 17、（2013?宁夏）若不等式组有解，则a的取值范围是． 18、（2013?南通）关于x的方程12 -=的解为正实数，则m的取值范围是 mx x 19、（2013?包头）不等式（x﹣m）＞3﹣m的解集为x＞1，则m的值为． 三、解答题： 20、解不等式（组） (1) (2) 2x＜1－x≤x＋5 高一数学检测卷(十一) 一、选择题 1. a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞－a 3＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 3 C ．－a 3＞a 2＞－a D ．a 2＞－a ＞－a 3 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n . 若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 3．已知x ，y ∈R ＋ ，2x ＋y ＝2，c ＝xy ，那么c 的最大值为( ) A ．1 B.12 C.22 D.14 4．设{}n a （n ∈N * ）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．的是（ ） A ．d ＜0 B ．a 7＝0 C ．S 9＞S 5 D ．S 6与S 7均为S n 的最大值 5．若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100， 则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( ) A ．102 B ．101 C ．100 D ．99 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则 a 1＋a 3＋a 9 a 2＋a 4＋a 10 等于( ) A.1514 B.1213 C.1316 D.1516 8．在平面直角坐标系中，不等式组???? ? x ＋y ≥0x －y ＋4≥0 x ≤1 表示的平面区域面积是( ) A ．3 B ．6 C.9 2 D ．9数列与不等式测试题及答案
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