数列与不等式的综合问题
数列与不等式的综合问
题
文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
数列与不等式的综合问题
测试时间：120分钟
满分：150分
解答题(本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1．[2016·银川一模](本小题满分15分)在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为
S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，公比为q (q ≠1)，且b 2＋S 2＝12，q ＝S 2
b 2
.
(1)求a n 与b n ；
(2)证明：13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <2
3
.
解
(1)设{a n
}的公差为d ，因为???
b 2
＋S 2
＝12，q ＝S
2b 2
，
所以???
q ＋6＋d ＝12，q ＝6＋d
q .
解得q ＝3或q ＝－4(舍)，d ＝3.(4分)
故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3n －1.(6分)
(2)证明：因为S n ＝
n ?3＋3n ?
2
，(8分)
所以1
S n ＝2n ?3＋3n ?＝23? ????1
n －
1n ＋1.(10分) 故1
S 1＋1
S 2＋…＋1
S n
＝ ＝23?
?
???1－
1n ＋1.(12分) 因为n ≥1，所以0<1n ＋1≤12，于是12≤1－1
n ＋1<1，
所以13≤23? ?
???1－
1n ＋1<23， 即13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <2
3
.(15分) 2．[2017·黄冈质检](本小题满分15分)已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n
∈N *.
(1)求证：数列????
??1a n －1为等比数列； (2)记S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1
a n
，若S n <100，求最大正整数n .
解 (1)证明：因为1
a n ＋1＝23＋13a n
， 所以
1a n ＋1
－1＝
13a n －13＝13? ??
??1
a n －1. 又因为1a 1－1≠0，所以1
a n
－1≠0(n ∈N *)，
所以数列????
??
1a n
－1为等比数列．(7分)
(2)由(1)，可得1a n －1＝23×? ??
??
13n －1，
所以1
a n ＝2×? ??
??13n ＋1.
所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1
a n ＝n ＋2? ??
??
13＋132＋…＋13n ＝n ＋2×13－1
3n ＋11－
13
＝n ＋1－1
3n ，
若S n <100，则n ＋1－1
3
n <100，所以最大正整数n 的值为99.(15分)
3．[2016·新乡许昌二调](本小题满分15分)已知{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝2，b 1＝3，a 3＋b 5＝56，a 5＋b 3＝26.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若－x 2＋3x ≤
2b n
2n ＋1
对任意n ∈N *恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)由题意，???
a 1＋2d ＋
b 1·q 4
＝56，
a 1＋4d ＋
b 1·q 2
＝26，
将a 1＝2，b 1＝3代入，得???
2＋2d ＋3·q 4
＝56，
2＋4d ＋3·q 2
＝26，
消d 得2q 4－q 2－28＝0，∴(2q 2＋7)(q 2－4)＝0，
∵{b n }是各项都为正数的等比数列，∴q ＝2，所以d ＝3，(4分)
∴a n ＝3n －1，b n ＝3·2n －1
.(8分)
(2)记c n ＝3·2
n －1
2n ＋1
，
c n ＋1－c n ＝3·2
n －1
·2n －1
?2n ＋1??2n ＋3?
>0 所以c n 最小值为c 1＝1，(12分)
因为－x 2
＋3x ≤2b n
2n ＋1
对任意n ∈N *恒成立，
所以－x 2＋3x ≤2，解得x ≥2或x ≤1， 所以x ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．(15分)
4．[2016·江苏联考](本小题满分15分)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝1，
b 1＝2，b n >0(n ∈N *)，且b 1，a 2，b 2成等差数列，a 2，b 2，a 3＋2成等比数列．
(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；
(2)设c n ＝abn ，数列{c n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＋4n
S n ＋2n >a n
＋t 对所有正整数n 恒成立，
求常数t 的取值范围．
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q >0)．
由题意，得???
2?1＋d ?＝2＋2q ，
?2q ?2
＝?1＋d ??3＋2d ?，
解得d ＝q ＝3.(3分)
∴a n ＝3n －2，b n ＝2·3n －1.(5分) (2)c n ＝3·b n －2＝2·3n －2.(7分) ∴S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2(31＋32＋…＋3n )－2n ＝3n ＋1－2n －3.(10分)
∴S 2n ＋4n S n ＋2n ＝32n ＋1－33n ＋1－3
＝3n ＋1.(11分) ∴3n ＋1>3n －2＋t 恒成立，即t <(3n －3n ＋3)min .(12分)
令f (n )＝3n －3n ＋3，则f (n ＋1)－f (n )＝2·3n －3>0，所以f (n )单调递增．(14分) 故t 5．[2016·天津高考](本小题满分15分)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d .对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项． (1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N * ，求证：数列{c n }是等差数列； (2)设a 1＝d ，T n ＝∑2n k ＝1 (－1)k b 2 k ，n ∈N * ，求证：∑n k ＝1 1T k <12d 2. 证明 (1)由题意得b 2 n ＝a n a n ＋1，有c n ＝b 2n ＋1－b 2 n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1，(3分) 因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2 ，所以{c n }是等差数列．(6分) (2)T n ＝(－b 2 1＋b 2 2)＋(－b 2 3＋b 2 4)＋…＋(－b 2 2n －1＋b 2 2n ) ＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝2d · n ?a 2＋a 2n ? 2 ＝2d 2n (n ＋1)．(9分) 所以∑n k ＝1 1 T k ＝12d 2∑n k ＝1 1k ?k ＋1?＝1 2d 2∑n k ＝1 ? ????1k －1k ＋1(12分) ＝12d 2·? ? ???1－ 1n ＋1<12d 2.(15分) 6．[2016·德州一模](本小题满分15分)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝ n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ·2 1 a n ＝ 1 a 2n －1 (n ∈N *)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，写出T n 关于n 的表达式，并求满 足T n >5 2 时n 的取值范围． 解 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ， 所以a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n －1(n ≥2)． 两式相减得a n ＝1 n (n ≥2)，(4分) 又a 1＝1满足上式，∴a n ＝1 n (n ∈N *)，(5分) (2)由(1)知b n ＝ 2n －1 2n ，(6分) T n ＝12＋32 2＋52 3＋…＋ 2n －1 2n ， 12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1. 两式相减得 12T n ＝12＋2? ????122＋1 23＋…＋12n －2n －12 n ＋1， 12T n ＝1 2＋2×122－12n ·121－ 12 －2n －12 n ＋1，(9分) T n ＝1＋4? ?? ??12－12n －2n －12n ＝3－2n ＋3 2n ，(10分) 由T n －T n －1＝3－2n ＋32n －? ? ? ??3－2n ＋12n －1＝2n －12n ， 当n ≥2时，T n －T n －1>0，所以数列{T n }单调递增．(12分) T 4＝3－1116＝3716<5 2 ， 又T 5＝3－ 2×5＋325＝8332>8032＝5 2 ， 所以n ≥5时，T n ≥T 5>5 2， 故所求n ≥5，n ∈N *.(15分) 7．[2016·吉林二模](本小题满分20分)已知数列{a n }前n 项和S n 满足：2S n ＋a n ＝1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋1?1＋a n ??1＋a n ＋1?，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <1 4. 解 (1)因为2S n ＋a n ＝1，所以2S n ＋1＋a n ＋1＝1. 两式相减可得2a n ＋1＋a n ＋1－a n ＝0，即3a n ＋1＝a n ， 即a n ＋1a n ＝1 3 ，(4分) 又2S 1＋a 1＝1，∴a 1＝1 3 ， 所以数列{a n }是公比为1 3的等比数列．(6分) 故a n ＝13·? ????13n －1＝? ?? ??13n ， 数列{a n }的通项公式为a n ＝? ?? ??13n .(8分) (2)证明：∵b n ＝2a n ＋1 ?1＋a n ??1＋a n ＋1? ， ∴b n ＝2·3n ?3n ＋1?·?3n ＋1＋1?＝13n ＋1－1 3n ＋1＋1 ，(11分) ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝? ????131＋1－132＋1＋( 132＋1－1 33＋1 )＋…＋? ?? ??13n ＋1－13n ＋1 ＋1 ＝14－13n ＋1＋1<1 4，(18分) ∴T n <1 4 .(20分) 8．[2016·浙江高考](本小题满分20分)设数列{a n }满足? ?????a n －a n ＋12≤1，n ∈N *. (1)证明：|a n |≥2n －1(|a 1|－2)，n ∈N *； (2)若|a n |≤? ????32n ，n ∈N *，证明：|a n |≤2，n ∈N *. 证明 (1)由? ?????a n －a n ＋12≤1，得|a n |－12|a n ＋1|≤1，故 |a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1≤12 n ，n ∈N * ，(3分) 所以|a 1|21－|a n |2n ＝? ????|a 1|21 －|a 2|22＋? ????|a 2|22－|a 3|23＋…＋? ????|a n －1|2 n －1－|a n |2n ≤121＋122＋…＋1 2n －1<1，(6分) 因此|a n |≥2n －1(|a 1|－2)．(8分) (2)任取n ∈N *，由(1)知，对于任意m >n ， |a n |2n －|a m |2m ＝? ????|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1＋? ????|a n ＋1|2n ＋1－|a n ＋2|2n ＋2＋…＋? ????|a m －1|2 m －1 －|a m |2m ≤12n ＋12n ＋1＋…＋1 2m －1< 12n －1 ，(12分) 故|a n | ≤??????12n －1＋12m ·? ????32m ·2n ＝2＋? ?? ??34m ·2n .(15分) 从而对于任意m >n ，均有 |a n |<2＋? ?? ??34m ·2n . ① 由m 的任意性得|a n |≤2. 否则，存在n 0∈N * ，有|an 0|>2，取正整数m 0>log 34 |a n 0|－22 n 0 且m 0>n 0，则 2n 0·? ????34m 0<2n 0·? ?? ??34 log 3 4 |a n 0|－22 n 0 ＝|a n 0|－2， 与①式矛盾， 综上，对于任意n ∈N * ，均有|a n |≤2.(20分) 9．[2016·金丽衢十二校联考](本小题满分20分)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝ca n ＋1 a n (c 为正实数，n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n . (1)证明：当c ＝2时，2n ＋1－2≤S n ≤3n －1(n ∈N *)； (2)求实数c 的取值范围，使得数列{a n }是单调递减数列． 解 (1)证明：易得a n >0(n ∈N * )，由a n ＋1＝2a n ＋1 a n ，得a n ＋1a n ＝2＋1a n 2 >2，所以{a n }是递 增数列， 从而有a n ≥2，故 a n ＋1a n ≤2＋1 4 <3，(2分) 由此可得a n ＋1<3a n <32a n －1<…<3n a 1＝2·3n ， 所以S n ≤2(1＋3＋32＋…＋3n －1)＝3n －1，(4分) 又有a n ＋1>2a n >22a n －1>…>2n a 1＝2n ＋1， 所以S n ≥2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2，(6分) 所以，当c ＝2时，2n ＋1－2≤S n ≤3n －1(n ∈N *)成立．(8分) (2)由a 1＝2可得a 2＝2c ＋12<2，解得c <3 4，(10分) 若数列{a n }是单调递减数列，则a n ＋1a n ＝c ＋1 a n 2<1， 得a n > 11－c ，记t ＝1 1－c ，① 又a n ＋1－t ＝(a n －t )? ????c －1ta n ，因为a n －t (n ∈N * )均为正数，所以c －1ta n >0，即a n >1tc . ② 由①a n >0(n ∈N *)及c ，t >0可知a n ＋1－t 1 tc 因为0 1－c ， 解得c >1 2 .(14分) 下面证明：当12 4时，数列{a n }是单调递减数列． 当c >12时，由a n ＋1＝ca n ＋1a n 及a n ＝ca n －1＋1a n －1(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1－a n ＝(a n －a n －1)? ? ? ?? c － 1a n －1a n . 由a n ＋1＝ca n ＋1a n 有a n ≥2c 成立，则a n －1a n >4c >1c ，即c >1 a n －1a n . 又当c <3 4时，a 2－a 1<0成立，所以对任意的自然数n ，a n ＋1－a n <0都成立． 综上所述，实数c 的取值范围为12 4 . 基本不等式知识点归纳 1．基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时， ab b a ≥+2取等号，即.2 b a ab b a =?=+ 2．几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +，几何平均数为a b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1 +=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18. 第3讲 数列的综合问题 [考情考向分析] 1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.与数列有关的不等式的证明问题是高考考查的一个热点，也是一个难点，主要涉及到的方法有作差法、放缩法、数学归纳法等． 热点一 利用S n ，a n 的关系式求a n 1.数列{a n }中，a n 与S n 的关系 a n ＝??? ?? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 2．求数列通项的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式． (2)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n . (3)在已知数列{a n }中，满足 a n ＋1 a n ＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累乘法求数列的通项a n . (4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)． 例1 (2018·浙江)已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足 b 1＝1，数列{(b n ＋1－b n )a n }的前n 项和为2n 2＋n . (1)求q 的值； (2)求数列{b n }的通项公式． 解 (1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项， 得a 3＋a 5＝2a 4＋4， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28，解得a 4＝8. 由a 3＋a 5＝20，得8? ?? ??q ＋1q ＝20， 解得q ＝2或q ＝1 2. 因为q >1，所以q ＝2. (2)设c n ＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{c n }的前n 项和为S n . 由c n ＝? ?? ?? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n ≥2，解得c n ＝4n －1(n ∈N * )． 由(1)可得a n ＝2 n －1 ， 所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)×? ?? ??12n －1 ， 数列与不等式 一、看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) (2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足?? ?≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对 值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①?? ?≥-==-) 2()111n S S n S a n n n （；② {}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：① )(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+（4）造等差、等比数列求通项：q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12.第一节通项公式 常用方法题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ 1322 -+=n n S n ； ⑵12+=n n S .总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系： ???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ?=2 ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”； 迭乘法适用于求递推关系形如 “ ) (1n f a a n n ?=+“；⑵迭加法、迭乘法公式：① 1 1232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则2 2 2 2 2 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 222 222 2 1 2311 23112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：222 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： 1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 2 3 3 22-≥- 题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域 （1）2 2 21 3x x y += （2）)4(x x y -= 数列与不等式的综合问题 测试时间： 120分钟 满分：150分 解答题（本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 1. [2016 ?银川一模]（本小题满分15分）在等差数列｛刘中，a i = 3,其前n 项和为S, 等比数 列｛b n ｝的各项均为正数，b 1 = 1，公比为q （q z 1），且b 2+ S 2= 12, q = f 2. b 2 （1） 求 a n 与 b n ； …1 1 1 1 2 （2） 证明：3< S +§+…+ S <§. b 2 + S 2= 12 , 1 1 1 故 S +S +…+ s n = 1 —百.（12 1 1 因为n >2所以0<市三$于 1 2 1 2 所以21 —市＜2, 1 1 1 1 2 即 3= S 1 + S 2+…+ s n <2.（15 分） 3 3a 2. [2017 ?黄冈质检]（本小题满分15分）已知数列｛◎｝的首项a 1= , a n +1 = 二,n 5 2a n + 1 a 1 a 2 a n 2 1 1 （2） 记S = + — + ???+—，若$<100，求最大正整数 n . （1）设｛a n ｝的公差为d ,因为 q + 6 + d = 12, 所以 6 + d q = 解得 q = 3 或 q =— 4（舍），d = 3.（4 分） 故 a n = 3+ 3（ n — 1） = 3n , b n = 3n 1 .（6 分） ⑵证明：因为S n = n 3+ 3n （8分） 1 所以S n 3+ 3n 1 1 n n +1 .（10 分） 1 1 - 2 1 1 2- 3 1 1 3-4 + … + 1 1 n n +1 基本不等式 【知识框架】 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则22 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 2 2b a b a ab +≤ +≤≤+ 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则2 2 2 2 2 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 【题型归纳】 题型一：利用基本不等式证明不等式 题目1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 题目3、已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥ 高考专题——放缩法 一、基本方法 1.“添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证143 ＜＋＜a b 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） [变式训练]已知* 21().n n a n N =-∈求证： *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 2. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分 母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 3. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n ∈N*，求n 2n 13 12 11＜…+ ++ + 。 例5. 已知* N n ∈且)1n (n 3221a n +++?+?= ，求证：2 )1(2)1(2 +< <+n a n n n 对所有正整数n 都成立。 4. 公式放缩 利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。 例6. 已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于* N n ∈且3≥n 都有1 )(+>n n n f 。 例7. 已知2x 1)x (f +=，求证：当a b ≠时f a f b a b （）（）-<-。 数列与不等式的综合问题突破策略 类型1：求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题 求数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f (x )在定义域为D ，则当x ∈D 时，有f (x )≥M 恒成立?f (x )min ≥M ；f (x )≤M 恒成立?f (x )max ≤M ；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得. 【题1】 等比数列{a n }的公比q ＞1，第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋a n ＞ 1231111 n a a a a ++++……恒成立的正整数n 的范围. 【题1】 利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a 1与公比q 之间的关系，再利用等比数列前n 项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n 的取值范围. 【解】 由题意得：(a 1q 16)2＝a 1q 23，∴a 1q 9＝1. 由等比数列的性质知数列{ 1n a }是以11a 为首项，以1q 为公比的等比数列，要使不等式成立， 则须1(1)1n a q q --＞111(1) 11n a q q --，把a 2 1＝q -18代入上式并整理，得q -18(q n －1)＞q (1－1n q )， q n ＞q 19，∵q ＞1，∴n ＞19，故所求正整数n 的取值范围是n ≥20. 【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用. 【题2】设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a ，a n +1＝S n ＋3n ，n ∈N *． (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；（2）若a n +1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 【题2】 第（1）小题利用S n 与a n 的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件a n +1≥a n 转化为关于n 与a 的关系，再利用a ≤f (n )恒成立等价于a ≤f (n )min 求解． 【解】 (1)依题意，S n +1－S n ＝a n +1＝S n ＋3n ，即S n +1＝2S n ＋3n ， 由此得S n +1－3 n +1＝2(S n －3n )． 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2 n -1，n ∈N *, ① (2)由①知S n ＝3n ＋(a －3)2 n -1，n ∈N *， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝3n ＋(a －3)2 n -1－3n -1－(a －3)2 n -2＝2×3n -1＋(a －3)2 n -2， a n +1－a n ＝4×3 n -1＋(a －3)2 n -2＝2 n -2·[12·(32 )n -2 ＋a －3]， 当n ≥2时，a n +1≥a n ，即2 n -2·[12·(32)n -2＋a －3]≥0，12·(32 )n -2 ＋a －3≥0， ∴a ≥－9， 综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞) 【点评】 一般地，如果求条件与前n 项和相关的数列的通项公式，则可考虑S n 与a n 的关系求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视. 类型2：数列参与的不等式的证明问题 此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的. 【题3】 数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设p 、q 都是正整数，且p ≠q ，证明：S p +q ＜1 2 (S 2p ＋S 2q )． 【题3】 根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n 项公式和建立方程组即可解决第(1)小题；第(2)小题利用差值比较法就可顺利解决. 【解】 （1）设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得，??? a 1＋2d ＝74a 1＋6d ＝24，解得??? a 1＝3 d ＝2 ， 2 8 基本不等式专题辅导 2 2 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若 a,b R ,则 a b 2 ab 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若 a,b R *，则 2 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数 的和为定植时，它们的积有最小值； a b 6、柯西不等式 （1）若 a, b,c, d R ，则（a 2 b 2）（c 2 d 2） （ac bd ）2 (2) 若 a 1, a 2, a 3, bi, b 2, b 3 R ，则有： 2 2 2 2 2 2 2 (a 1 a 2 a 3 )(柑 b ? b 3 ) (aQ a ?b 2 a s b s ) (3) 设a 1,a 2, ,a n 与 db, ,b 是两组实数，则有 2 2 2 p22 2 佝 a 2 a . )(0 b 2 b n )(日山 a 2b 2 a n b n ) 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 (1)若 a,b R ，则 a 2 b 2 2ab 1、设a,b 均为正数，证明不等式：、.ab 二 (2)右 a, b R ，则 ab a,b,c 为两两不相等的实数， (2)若 a, b R ,则 ab b 2 ab bc ca 4、求最值的条件：“一正， 二定，三相等” 5、常用结论 1 (1)若 x 0，则 x — 2 （当且仅当 x 1时取“=”) x 1 (2)若 x 0,则 X - 2 （当且仅当 x 1时取 “=”) X (3)若 ab 0,则-- 2 （当且仅当 a b 时取 “=”) b a 2 2 (4)若 a, b R ，则 ab （ 旦 b)2 a b 2 2 (5)若 a, b R ，贝U 1 . a ab b a 2 b 2 v ------ 1 1 2 2 (1 已知a a,b,c a )(1 1, 求证: b)(1 c) 8abc a, b, c R 数列与不等式专题练习 一、选择题 1．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 2．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 3．12+与12-，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．2 1 4．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113 -是此数列的第（ ）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 5．在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（ ） A ．513 B ．512 C ．510 D ．8 225 6．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10- 7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ． 21 8．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ） A ．1 B ．0或32 C ．32 D ．5log 2 9．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（ ） A ．15(0,)2+ B ．15(,1]2- C ．15[1,)2+ D ．)2 51,251(++- 10．在ABC ?中,tan A 是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以 13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．以上都不对 11．在等差数列{}n a 中，设n a a a S +++=...211，n n n a a a S 2212...+++=++，n n n a a a S 322123...+++=++，则,,,321S S S 关系为（ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．等差数列或等比数列 D ．都不对 12．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=（ ） A ．12 B ．10 C ．31log 5+ D ．32log 5+ 第1讲 等差数列与等比数列 [考情考向分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列的判定及综合应用也是高考考查的重点，注意基本量及定义的使用，考查分析问题、解决问题的综合能力． 热点一 等差数列、等比数列的运算 1.通项公式 等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n －1 . 2．求和公式 等差数列：S n ＝ n (a 1＋a n ) 2 ＝na 1＋ n (n －1) 2 d ； 等比数列：S n ＝????? a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1). 3．性质 若m ＋n ＝p ＋q ， 在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q . 例1 (1)(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 答案 B 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4， 得3???? ??3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3， 故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B. (2)(2018·杭州质检)设各项均为正数的等比数列{a n }中，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝________，a 5＝________. 答案 3 162 一．方法综述 数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略 类型一数列中的恒成立问题 【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】 由题意得，则，等差数列的公差， . 由， 得， 则不等式恒成立等价于恒成立， 而， 问题等价于对任意的，恒成立. 设，， 则，即， 解得或. 故选:A. 【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是由等差数列通项公式可得，进而由递推关系可得 ，借助裂项相消法得到，又 ，问题等价于对任意 的 ， 恒成立. 【举一反三】已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2 142,n n S S n n n N -++=≥∈，若 对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()3,5 B ．()4,6 C ．[)3,5 D ．[)4,6 【答案】A 类型二 数列中的最值问题 【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足 ， ，则使 的正整数的最小值是（ ） A ．2018 B ．2019 C ．2020 D ．2021 数列与不等式的综合问题 数列与不等式的综合问题 测试时间：120分钟 满分：150 分 解答题(本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1．[2016·银川一模](本小题满分15分)在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，公比为 q (q ≠1)，且b 2＋S 2＝12，q ＝S 2 b 2 . (1)求a n 与b n ； (2)证明：13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <2 3 . 解 (1)设{a n }的公差为d ，因为 ???? ? b 2＋S 2＝12，q ＝S 2 b 2 ， 所以? ???? q ＋6＋d ＝12，q ＝6＋d q .解得q ＝3或q ＝ －4(舍)，d ＝3.(4分) 故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3n －1 .(6分) (2)证明：因为S n ＝ n 3＋3n 2 ，(8分) 所以1 S n ＝2n 3＋3n ＝23? ?? ??1 n － 1n ＋1.(10分) 故1 S 1＋1 S 2＋…＋1 S n ＝ 23???? ??? ????1－12＋? ????12－13＋? ???? 13－14＋…＋? ????1n －1n ＋1 ＝23? ? ???1－ 1n ＋1.(12分) 因为n ≥1，所以0<1n ＋1≤12，于是1 2≤1－ 1 n ＋1 <1， 所以13≤23? ? ???1－ 1n ＋1<23， 即13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <2 3 .(15分) 2．[2017·黄冈质检](本小题满分15分)已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1 ，n ∈N *. (1)求证：数列???? ?? 1a n －1为等比数列； (2)记S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1 a n ，若S n <100，求最 大正整数n . 解 (1)证明：因为1 a n ＋1＝23＋1 3a n ， 所以1 a n ＋1－1＝13a n －13＝13? ?? ??1 a n －1. 又因为1a 1－1≠0，所以1 a n －1≠0(n ∈N * )， 所以数列???? ?? 1a n －1为等比数列．(7分) 专题1.4 数列与不等式 总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______ 一、选择题（12*5=60分） 一、单选题 1．【2018届四川省成都外国语学校高三11 月月考】已知全集为R ,集合 2{|0.51},{|680}x A x B x x x =≤=-+≤,则C A B ?=R A. (],0∞- B. []2,4 C. [)()0,24,∞?+ D. ][() 0,24,∞?+ 【答案】C 2．在等比数列{}n a 中,151,4a a =-=-,则3a = A. 2± B. 2± C. 2 D. 2- 【答案】D 【解析】由等比数列的性质可得2 3154a a a ==,因为151,4a a =-=-,所以3 2.a =-选D. 3．【2018届天津市滨海新区大港油田第一中学高三上期中】若a 、b 、c∈R，则下列命题中正确的是（ ） A. 若ac>bc ，则a>b B. 若a 2 >b 2 ，则a>b C. 若 11 a b <，则a>b D. 若a b >，则a>b 【答案】D 【解析】若ac>bc ，则c>0时 a>b ；若2 a >2 b ，则|a|>|b|；若11 a b <，则a>b 或a<0 4．【2018届山东省枣庄市第三中学高三一调】已知均为正实数，且，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 5．【2018届北京丰台二中高三上期中】若n S 是数列{} 2n 的前n 项和，则83S S -=（）． A. 504 B. 500 C. 498 D. 496 【答案】D 【解析】83S S - 45678a a a a a =++++ 458222=+++L 163264128256=++++ 496=． 故选D ． 6．关于x y 、的不等式组360, {20, 40, x y x y x y +-≥--≤+-≤则2z x y =+的最大值是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】作可行域，如图，则直线2z x y =+过点A （1,3）取最大值7,选C. 数列与不等式的题型分类.解题策略 题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题 求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D ，则当x∈D 时，有f(x)≥M 恒成立f(x)min ≥M；f(x)≤M 恒成立f(x)max ≤M；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得. 【例1】 等比数列{a n }的公比q ＞1，第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋a n ＞1a 1＋1a 2＋…＋1 a n 恒成立的正整数n 的取值范围. 【分析】 利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a 1与公比q 之间的关系，再利用等比数列前n 项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n 的取值范围. 【解】 由题意得：(a 1q 16)2 ＝a 1q 23 ，∴a 1q 9 ＝1. 由等比数列的性质知：数列{1a n }是以1a 1为首项，以1q 为公比的等比数列，要使不等式成立， 则须a 1(q n －1)q －1＞1a 1[1－(1q )n ]1－1q ，把a 21＝q 18代入上式并整理，得q 18(q n －1)＞q(1－1q n )， q n ＞q 19 ，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整数n 的取值范围是n≥20. 【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用. 【例2】 （08·全国Ⅱ）设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a ，a n+1＝S n ＋3n ，n∈N*．(Ⅰ) 设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n ，n∈N*，求a 的取值范围． 【分析】 第（Ⅰ）小题利用S n 与a n 的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件a n+1≥a n 转化为关于n 与a 的关系，再利用a≤f(n)恒成立等价于a≤f(n)min 求解． 【解】 (Ⅰ)依题意，S n+1－S n ＝a n+1＝S n ＋3n ，即S n+1＝2S n ＋3n ， 线性规划与基本不等式 1．若222x y x y ????+? ≤，≤，≥，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ） Ａ．[26]， Ｂ．[25]， Ｃ．[36]， Ｄ．[35]， 2．已知x y ，满足约束条件5003x y x y x -+??+??? ≥，≥，≤．则24z x y =+的最大值为（ ） Ａ．5 Ｂ．38- Ｃ．10 Ｄ．38 3．若变量x ，y 满足约束条件30101x y x y y -+≤??-+≥??≥? ，则z ＝2x ＋y －4的最大值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．5 4．已知目标函数2z x y =+中变量x y ，满足条件4335251x y x y x --??+取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ） Ａ．14 Ｂ．35 Ｃ．4 Ｄ．53 8．已知0x >，0y >，且231x y +=，则23 x y +的最小值为（ ) 数列与不等式专题 一．高考说明剖析 高考数学考试大纲，对于《不等式》一章的考试内容及考试要求为：(1）理解不等式的性质及其证明。(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。(4)掌握简单不等式的解法。(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。对于《数列》一章的考试内容及考试要求为：(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。这同江苏省2004年高考数学考试大纲对这两部分内容的要求完全一样。据此我们判断：稳定是江苏省高考自主命题的指导思想之一。 传统的数学高考，重点考查的内容有五大块：函数与方程、不等式、数列、直线和平面、圆锥曲线。而新高考，重点考查的内容则有八大块：函数与方程、不等式、数列、导数、概率、平面向量、圆锥曲线、直线与平面。这是总的格局，再细化一下，看2004年高考关于不等式、数列的试题配置：江苏省2004年高考数学试卷中不等式与数列所占的权重都分别考了一个填空题和一个解答题(数列为第20题，不等式为第22题)。其它省份的数学试卷以及全国数学试卷也都 在不同程度上体现了数列与不等式的重点地位。由此可以看出，不等式和数列是传统高考考查的重点内容，也是新高考考查的重点内容。还应指出的是：数列、不等式也是《新课标》必修模块5的内容。因此，我们有理由相信：不等式、数列内容仍将是今年高考考查的重点。 二．高考试题研究 例1． 设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n 。 ⑴若首项a 1＝32，公差d ＝1，求满足2 k S ＝(S k )2的正整数k ； ⑵求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2k S ＝(S k )2成立。 学生正确理解了有关符号，不难得出本题的正确结果。其中，第二句话具有高等数学的语言味道。 例2．(2004年江苏高考22题) 已知函数f(x)(x ∈R)满足下列条件：对于任意的实数x 1、x 2，都有λ(x 1－x 2)2≤(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]和｜f(x 1)－f(x 2)｜≤｜x 1－x 2｜，其中λ是大于0的常数。 设实数a 0、a 、b 满足f(a 0)＝0和b ＝a －λf(a)。 (Ⅰ)证明：λ≤1，并且不存在b 0≠a 0，使得f(b 0)＝0； (Ⅱ)证明：(b －a 0)2≤(1－λ2)(a －a 0)2； (Ⅲ)证明：[f(b)]2≤(1－λ2)[f(a)]2。 本题具有高等数学背景，字母多，函数抽象，学生无从下手，得 数列与不等式的题型分类.解题策略 题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题 求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D ，则当x ∈D 时，有f(x)≥M 恒成立?f(x)min ≥M ；f(x)≤M 恒成立?f(x)max ≤M ；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得. 【例1】 等比数列{a n }的公比q ＞1，第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋a n ＞1a 1＋1a 2＋…＋1a n 恒成立的正整数n 的取值围. 【分析】 利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a 1与公比q 之间的关系，再利用等比数列前n 项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n 的取值围. 【解】 由题意得：(a 1q 16)2＝a 1q 23，∴a 1q 9＝1. 由等比数列的性质知：数列{1a n }是以1a 1为首项，以1q 为公比的等比数列，要使不等式成立， 则须a 1(q n －1)q －1＞1a 1[1－(1q )n ]1－1q ，把a 21＝q -18代入上式并整理，得q -18(q n －1)＞q(1－1q n )， q n ＞q 19，∵q ＞1，∴n ＞19，故所求正整数n 的取值围是n ≥20. 【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用. 【例2】 （08·全国Ⅱ）设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a ，a n+1＝S n ＋3n ，n ∈N*．(Ⅰ)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n ，n ∈N*，求a 的取值围． 【分析】 第（Ⅰ）小题利用S n 与a n 的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件a n+1≥a n 转化为关于n 与a 的关系，再利用a ≤f(n)恒成立等价于a ≤f(n)min 求解． 【解】 (Ⅰ)依题意，S n+1－S n ＝a n+1＝S n ＋3n ，即S n+1＝2S n ＋3n ， 由此得S n+1－3 n+1＝2(S n －3n )． 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2 n -1，n ∈N*, ① (Ⅱ)由①知S n ＝3n ＋(a －3)2 n -1，n ∈N*， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝3n ＋(a －3)2 n -1－3n -1－(a －3)2 n -2＝2×3n -1＋(a －3)2 n -2， a n+1－a n ＝4×3 n -1＋(a －3)2 n -2＝2 n -2·[12·(32 )n -2＋a －3]， 数列与不等式压轴大题练习题和详细分析解答（1） 1．已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，{}n T 为等差数列，且1324a T ==，. （1）求n a ； （2）证明： 112233 1111 ln(1)n n n a T a T a T a T ++++ <+. 2．已知数列{}n a 满足11a =，点()11,1n n a a +++在直线2y x =上.数列{}n c 满足11c a =， 121 111n n n c a a a a -=++???+（2n ≥且n *∈N ）. （1）求{}n a 的通项公式； （2）（i ）求证：11 1n n n n c a c a +++=（2n ≥且n N ∈）； （ii ）求证：231115 1113 n c c c ??????+ +???+< ? ? ???????. 3．已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质： ①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2 i m j a a a =； ②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k n l a a a =． (Ⅰ)若(1,2, )n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由； (Ⅱ)若1 2(1,2, )n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列. 4．设数列{}n a 的前n 项的积为n T ，满足1n n T a =-，*N n ∈，记222 12n n S T T T =++???+ （1）证明：数列11n a ?? ??-? ?是等差数列； （2）记1n n n d a S +=-，证明：11 32 n d <<基本不等式知识点归纳.
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