第一章 数值计算中的误差分析

数值计算第一二章答案

第一章数值计算中的误差 习题一 1.1 下列各近似数的绝对误差限是最末位的半个单位，试指出它们各有几位有效数字。 1x =-3.105 , 2x =0.001, 3x =0.100, 4x =253.40, 5x =5000, 6x =5?310. 答案：4，1，3，6，4，1. 1.2 设100>* x >10,x 是* x 的有五位有效数字的的近似数,求x 的绝对误差限。 答案：当10

数值运算的误差分析(精)

实验一 数值运算的误差分析 1.问题的提出 任何数值计算都是一种近似计算，于是研究此误差的来源及防止在整个数值计算中占非常重要的地位。首先是误差的分类、其次是估计误差的工具最后是一些避免误差产生及传播的手段。 1)模型误差： 实际问题用数学模型刻画时要忽略一些因素，从而造成数学的量和实际的量的误差称为模型误差 2)观测误差： 数学模型用到一批数它可能是观测得到的也可能是计算到的，这种数据误差造成数学量的近似。 3)截断误差： 通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差 。 例如，函数)(x f 用泰勒（Taylor ）多项式 n n n x n f x f x f f x p ! )0(!2)0(!1)0()0()(2'''++++= 近似代替，则数值方法的截断误差是： εε(,)! 1()()()()(1 )1(+++=-=n n n n x n f x p x f x R 4)舍入误差： 最后用近似的方法计算数据有误差的数学问题要用有限位数字，这就要求进行基本的四舍五入计算，由此引起的误差称为舍入误差。 例如用3.14159近似代替π，产生的误差 0000026.03014159=-=πR 为舍入误差。 2.误差与有效数字 1)绝对误差： 2)相对误差： 3)有效数字： 若近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说*x 有n 位有效数字，表示 ()() 1121*101010---?++?+?±=n n m a a a x ， 其中是),,1(n i a i =0到9中的一个数字，0≠i a ，m 为整数，且 1*102 1 +-?≤ -n m x x

数值计算中误差的传播规律

数值计算方法 实 验 报 告 实验序号：实验一 实验名称：数值计算中误差的传播规律 实验人： 专业年级： 教学班： 学号： 实验时间：

实验一 数值计算中误差的传播规律 一、实验目的 １．观察并初步分析数值计算中误差的传播； ２．观察有效数字与误差传播的关系． 二、实验内容 1．使用MATLAB 的help 命令学习MATLAB 命令digits 和vpa 的用途和使用格式； 2．在4位浮点数下解二次方程01622=++x x ； 3．计算下列５个函数在点2=x 处的近似值 （1）60)1(-=x y ， （2）61) 1(1+=x y ， （3）32)23(x y -=， （4）3 3)23(1x y +=， （5）x y 70994-=． 三、实验步骤 本次实验包含三个相对独立的内容． 1．在内容１中，请解释两个命令的格式和作用； 在matlab 中采用help 语句得到：

1、digits用于规定运算精度，比如： digits(20); 这个语句就规定了运算精度是20位有效数字。但并不是规定了就可以使用，因为实际编程中，我们可能有些运算需要控制精度，而有些不需要控制。vpa就用于解决这个问题，凡是用需要控制精度的，我们都对运算表达式使用vpa函数。 例如： digits(5); a=vpa(sqrt(2)); 这样a的值就是1.4142，而不是准确的1.4142135623730950488016887242097 又如： digits(11); a=vpa(2/3+4/7+5/9); b=2/3+4/7+5/9; a的结果为1.7936507936，b的结果为1.793650793650794......也就是说，计算a的值的时候，先对2/3，4 /7，5/9这三个运算都控制了精度，又对三个数相加的运算控制了精度。而b的值是真实值，对它取11位有效数字的话，结果为1.7936507937，与a不同，就是说vpa 并不是先把表达式的值用matlab本身的精度求出来，再取有效数字，而是每运算一次都控制精度。 2．求解方程时，分别使用求根公式和韦达定理两种方法，并比较其有效数字和相对误差； 用求根公式解得：x1=-0.015,x2=-62.00 用韦达定理解得：x11=-0.016,x22=-62.00 x22=x2,x11=1/x22

定位误差计算

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 3.2.3 定位误差的分析与计算 在成批大量生产中，广泛使用专用夹具对工件进行装夹加工。加工工艺规程设计的工序图则是设计专用夹具的主要依据。由于在夹具设计、制造、使用中都不可能做到完美精确，故当使用夹具装夹加工一批工件时，不可避免地会使工序的加工精度参数产生误差，定位误差就是这项误差中的一部分。判断夹具的定位方案是否合理可行，夹具设计质量是否满足工序的加工要求，是计算定位误差的目的所在。 1.用夹具装夹加工时的工艺基准 用夹具装夹加工时涉及的基准可分为设计基准和工艺基准两大类。设计基准是指在设计图上确定几何要素的位置所依据的基准；工艺基准是指在工艺过程中所采用的基准。与夹具定位误差计算有关的工艺基准有以下三种： （1）工序基准在工序图上用来确定加工表面的位置所依据的基准。工序基准可简单地理解为工序图上的设计基准。分析计算定位误差时所提到的设计基准，是指零件图上的设计基准或工序图上的工序基准。 （2）定位基准在加工过程中使工件占据正确加工位置所依据的基准，即为工件与夹具定位元件定位工作面接触或配合的表面。为提高工件的加工精度，应尽量选设计基准作定位基准。 （3）对刀基准（即调刀基准）由夹 具定位元件的定位工作面体现的，用于调 整加工刀具位置所依据的基准。必须指出， 对刀基准与上述两工艺基准的本质是不 同，它不是工件上的要素，它是夹具定位 元件的定位工作面体现出来的要素（平面、 轴线、对称平面等）。如果夹具定位元件是 支承板，对刀基准就是该支承板的支承工 a) 作面。在图3.3中，刀具的高度尺寸由对 导块2的工作面来调整，而对刀块2工作 面的位置尺寸7.85±0.02是相对夹具体4 的上工作面（相当支承板支承工作面）来 确定的。夹具体4的上工作面是对刀基准， 它确定了刀具在高度方向的位置，使刀具 加工出来的槽底位置符合设计的要求。图 3.3中，槽子两侧面对称度的设计基准是工 b 图3.21 钻模加工时的基准分析

计算方法的课后答案

《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称

数值分析第一章学习小结

数值分析 第1章绪论 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的数的相关容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。 而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 对于向量和矩阵的数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分容的困惑也相对较多。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于数，不明白数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 二、本章知识梳理

2.1 数值分析的研究对象 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等容。 2.2误差知识与算法知识 2.2.1误差来源

误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。 2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字 1.（1）绝对误差e指的是精确值与近似值的差值。 绝对误差： 绝对误差限： （2）相对误差是指绝对误差在原数中所占的比例。 相对误差： 相对误差限： 结论：凡是经过四舍五入而得到的近似值，其绝对误差不超过该近似值末位的半个单位。 （3）有效数字的定义 有效数字的第一种定义:设a是x的近似值，如果a的误差绝对值不超过x 的第k位小数的半个单位，即则称近似值a准确到小数点后第k位。从小数点后的第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都叫有效数字。

定位误差分析

（3）定位误差的计算 由于定位误差ΔD是由基准不重合误差和基准位移误差组合而成的，因此在计算定位误差时，先分别算出Δ B和ΔY ，然后将两者组合而得ΔD。组合时可有如下情况。 1)Δ Y ≠ 0，Δ B=O时Δ D= Δ B (4.8) 2)ΔY =O，Δ B ≠ O时Δ D= Δ Y (4.9) 3)Δ Y ≠ 0, Δ B ≠ O时 如果工序基准不在定位基面上Δ D=Δ y + Δ B (4.10) 如果工序基准在定位基面上Δ D=Δ y ±Δ B (4.11) “ + ” ，“—” 的判别方法为: ①设定位基准是理想状态，当定位基面上尺寸由最大实体尺寸变为最小实体尺寸 (或由小变大)时， 判断工序基准相对于定位基准的变动方向。 ②② 设工序基准是理想状态，当定位基面上尺寸由最大实体尺寸变为最小实体尺寸 (或由小变大) 时，判断定位基准相对其规定位置的变动方向。 ③③ 若两者变动方向相同即取“ + ” ，两者变动方向相反即取“—”。 －、定位误差及其组成 图9-21a 图9-21 工件在V 形块上的定位误差分析 工序基准和定位基准不重合而引起的基准不重合误差，以表示由于定位基准和定位元件本身的 制造不准确而引起的定位基准位移误差，以表示。定位误差是这两部分的矢量和。 二、定位误差分析计算 （一）工件以外圆在v形块上定位时定位误差计算 如图9-16a所示的铣键槽工序，工件在v 形块上定位，定位基准为圆柱轴心线。如果忽略v形块的制造误差，则定位基准在垂直方向上的基准位移误差

（9-3） 对于9-16中的三种尺寸标注，下面分别计算其定位误差。当尺寸标注为B1时，工序基准和定位基准重合，故基准不重合误差ΔB=0。所以B1尺寸的定位误差为 （9-4） 当尺寸标注为B2时，工序基准为上母线。此时存在基准不重合误差 所以△D应为△B与Δy的矢量和。由于当工件轴径由最大变到最小时，和Δy都是向下变化的，所以，它们的矢量和应是相加。故 （9-5） 当尺寸标注为B3时，工序基准为下母线。此时基准不重合误差仍然是，但当Δy向下变化时，ΔB 是方向朝上的，所以，它们的矢量和应是相减。故 （9-6） 通过以上分析可以看出：工件以外圆在V形块上定位时，加工尺寸的标注方法不同，所产生的定位误差也不同。所以定位误差一定是针对具体尺寸而言的。在这三种标注中，从下母线标注的定位误差最小，从上母线标注的定位误差最大。 四．计算题：（共 10 分） 如图所示套类工件铣键槽，要求保证尺寸94－0.20，分别采用图(b)所示的定位销定位方案和图(c)所示的V形槽定位方案，分别计算定位误差。

数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) * * * 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：

*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=

定位误差计算方法

定位误差的计算方法： （1）合成法 为基准不重合误差和基准位移误差之和； （2）极限位置法 工序基准相对于刀具（机床）的两个极限位置间的距离就是定位误差； （3）微分法 先用几何方法找出工序基准到定位元件上某一固定点的距离，然后对其全微分，用微小增量代替微分，将尺寸误差视为微小增量代入，就可以得到某一加工尺寸的定位误差。 注：基准不重合误差和基准位移误差它们在工序尺寸方向上的投影之和即为定位误差。 例如：用V 型块定位铣键槽，键槽尺寸标注是轴的中心到键槽底面的尺寸H 。T D 为工件定位外圆的公差；α为V 型块夹角。 1. 工序基准为圆柱体的中心线。 表示一批工件依次放到V 型块上定位时所处的两个极端位置情形，当工件外圆直径尺寸为极大和极小时，其工件外圆中心线分别出于点 O '和点O ''。 因此工序基准的最大位置变动量O O '''，便是对加工尺寸 H 1所产生的定位误差： 故得： O E O E H H O O 11DH 1 ''-'='-''='''=ε O A E Rt 1''?中： max 1 D 2 1A O ='' 2 sin A O O E 1α''= ' O A E Rt 1''''?中：min 1 D 2 1 A O ='''' 2 sin A O O E 1α''''= '' 2 sin 2T 2sin 2T 2sin A O A O O E O E D D 11DH 1 α=α=α''''-''=''-'=ε 2. 工序基准为圆柱体的下母线：

工件加工表面以下母线C 为其工序基准时，工序基准的极限位置变动量 C C '''就是加工尺寸H2所产生的定位误差。 C S C S C O O O H H 22DH 2 '-''=''-'''='-''=ε C O C O O O ) C O O S ()C O O S (' '-''''+'''=''+'-'''+'= 而 2 sin 2T O O D α= ''' min D 2 1C O ='''' max D 2 1C O ='' 所以： C O C O O O 2 DH ''-''''+'''=ε ) 12 sin 1(2T 2T 2sin 2T 2D D 2 sin 2T )D (21 )D (212sin 2T D D D max min D max min D DH 2 -α=-α=-+ α=-+α=ε 3. 工序基准为上母线 如果键槽的位置尺寸采用上母线标注时，上母线K 的极限位置变动量为 K K '''，就是对加工尺寸H 3 所产生的定位误差。

数值计算方法第一章

第一章 绪 论 本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题． §1.1 引 言 计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。 由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法． 这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括 (1) 非线性方程的近似求解方法； (2) 线性代数方程组的求解方法； (3) 函数的插值近似和数据的拟合近似； (4) 积分和微分的近似计算方法； (5) 常微分方程初值问题的数值解法； (6) 优化问题的近似解法；等等 从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”． 之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关． 计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差． 我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断， 从而产生截断误差． 如 +++=! 21 !111e 的计算是无穷过程，当用 ! 1 !21!111n e n ++++= 作为e 的近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了 截断误差e e n -．

数值分析误差一点总结

数值分析学习报告 邹凡峰1329010062 作为这学期的必修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的很差。 学习数值分析，我们首先得知道一个软件——MATLAB。数值分析所用的语言中，最重要的成分是函数，其一般形式为：Function[a，b，c，……]=fun(d，e，f，……)，对于数值分析这节课，我的理解是：只要学习并掌握好MATLAB，你就已经成功了。 因为学的不是很好对于后面的章节不能很好把握，就只能简单的对第一章中的误差总结下。通过第一章的学习，我们能够初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在第一章中，我们学到的是对数据误差计算，对误差的分析。以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 一．数值分析的研究对象 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。 二．误差知识与算法知识 （1）误差来源 误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值

数值分析第一章实验 误差分析

1. 计算1 1 n x n I e x e dx -=? (n=0,1,2,……)并估计误差。 由分部积分可得计算n I 的递推公式 1111 01,1,2,e 1.n n x I nI n I e dx e ---=-=???==-???……. （1） 若计算出0I ，代入（1）式，可逐次求出 1 2,,I I … 的值。要 算出0I 就要先算出1e -，若用泰勒多项式展开部分和 21 (1)(1)1(1),2!! k e k ---≈+-+++ … 并取k=7,用4位小数计算，则得10.3679e -≈，截断误差 14711 |0.3679|108!4 R e --=-≤

从表1中看到8I 出现负值，这与一切0n I >相矛盾。实际上，由积分估值得 111110001011 (im )(max)11 x n n n x x e e m e x dx I e x dx n n ---≤≤≤≤=<<=++?? （2） 因此，当n 较大时，用n I 近似n I 显然是不正确的。这里计算公式与每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就 是初值0I 有误差000E I I =- ，由此引起以后各步计算的误差n n n E I I =- 满足关系 1,1,2,n n E nE n -=-=…. 由此容易推得 0(1)!n n E n E =-， 这说明0I 有误差0E ，则n I 就是0E 的n!倍误差。例如，n=8，若 4 01||102 E -= ?，则80||8!||2E E =?>。这就说明8I 完全不能近似8I 了。它表明计算公式（A ）是数值不稳定的。 我们现在换一种计算方案。由（2）式取n=9,得 1911010 e I -<<， 我们粗略取1 *9911()0.068421010 e I I -≈+==，然后将公式（1）倒过来算，即 由*9I 算出*8I ，*7I ，…，* 0I ，公式为 * 9** 10.0684()1(1),98n n I B I I n n -?=? =?=-=?? ， ，…，1； 计算结果见表1的*n I 列。我们发现* 0I 与0I 的误差不超过410-。记

定位误差计算

定位误差计算 定位误差计算是工艺设计中经常的事。下面的几个例题属于典型定位条件下的计算。 例题一：如下图所示零件，外圆及两端面已加工好（外 圆直径0 1.050-=D ） 。现加工槽 B ，要求保证位置尺寸 L 和 H ，不考虑槽底面斜度对加工质量的影响。试求： 1）确定加工时必须限制的自由度； 2）选择定位方法和定位元件，并在图中示意画出； 3）计算所选定位方法的定位误差。 解：① 必须限制4个自由度：Z X Z Y ,,, 。 ② 定位方法如下图所示。

③ 定位误差计算： 对于尺寸H ： 工序基准是外圆下母线 定位基准是外圆下母线 限位基准是与外圆下母线重合的一条线（也可认为是一个平面） 因此： 基准不重合误差0=?B 基准位移误差0=?Y 所以定位误差0=?DW 同理，对于尺寸L 其定位误差 ：0=DW ? 例题二：如下图所示齿轮坯，内孔及外圆已加工合格（ 025 .00 35+=φD mm ，0 1.080-=φd mm ），现在插床 上以调整法加工键槽，要求保证尺寸2 .005.38+=H mm 。试计算图示定位方法的定位误差（忽略外圆与内孔同轴度误差）。

解：工序基准是D 孔下母线；定位基准是D 轴中心线；限位基准V 型块的对称中心（垂直方向上）。定位误差计算如下： 1、基准不重合误差：T D /2； 2、基准位移误差：0.707Td 0825 .0025.05.01.07.05.07.0=?+?=?+?=?D d DW T T (mm) 例题三：a ）图工件设计图。试分别计算按b ）、c ）、d ）三种定位方式加工尺寸A 时的定位误差。

数值分析分章复习(第一章误差)

数值分析分章复习 第一章 引论 要点：误差基本概念 误差分类：截断误差；舍入误差。 误差量化：绝对误差；相对误差；有效数字 设计数值计算方法应注重的原则： 注重算法稳定性；减少运算量；避免相近数相减；避免绝对值小的数作分母 复习题： 1、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字， 试估计由这些数据计算21x x ，21x x +的绝对误差限 解：记126.1025, 80.115x x ==%% 则有1123241110, | 102|||2x x x x --≤?-≤?-%% 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤--%%%%%%%%% 341180.11610 6.1010252 20.007057-==??+≤?? 1212112243|()|||11|10100.0005522|x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+-%%%% 2、已知2.153是2.1542的近似数，问该近似数有几位有效数字？ 它的绝对误差和相对误差各是多少？ 解：记精确值12.15420.2154102x =?=，近似值 2.153x =% 因为130.00121102 x x -≤?-=%，故近似数有3位有效数字 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182, 那末x 具有多少位有效数字 解：10.271828182810e =?L 314||0.0000811110102228e x --≤?=?-=L 可见x 具有4位有效数字 4、的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取多少位有效数字 解：记精确值x =x %, 注意到14.44770.410x ==?=L L 故假设x %具有p 位有效数字，则应成立：11111101||042||8 p p x x x --≤??=?-%

定位误差计算解析

3.2.3 定位误差的分析与计算 在成批大量生产中，广泛使用专用夹具对工件进行装夹加工。加工工艺规程设计的工序图则是设计专用夹具的主要依据。由于在夹具设计、制造、使用中都不可能做到完美精确，故当使用夹具装夹加工一批工件时，不可避免地会使工序的加工精度参数产生误差，定位误差就是这项误差中的一部分。判断夹具的定位方案是否合理可行，夹具设计质量是否满足工序的加工要求，是计算定位误差的目的所在。 1.用夹具装夹加工时的工艺基准 用夹具装夹加工时涉及的基准可分为设计基准和工艺基准两大类。设计基准是指在设计图上确定几何要素的位置所依据的基准；工艺基准是指在工艺过程中所采用的基准。与夹具定位误差计算有关的工艺基准有以下三种： （1）工序基准 在工序图上用来确定加工表面的位置所依据的基准。工序基准可简单地理解为工序图上的设计基准。分析计算定位误差时所提到的设计基准，是指零件图上的设计基准或工序图上的工序基准。 （2）定位基准 在加工过程中使工件占据正确加工位置所依据的基准，即为工件与夹具定位元件定位工作面接触或配合的表面。为提高工件的加工精度，应尽量选设计基准作定位基准。 （3）对刀基准（即调刀基准） 由夹具定位元件的定位工作面体现的，用于调整加工刀具位置所依据的基准。必须指出，对刀基准与上述两工艺基准的本质是不同，它不是工件上的要素，它是夹具定位元件的定位工作面体现出来的要素（平面、轴线、对称平面等）。如果夹具定位元件是支承板，对刀基准就是该支承板的支承工作面。在图3.3中，刀具的高度尺寸由对导块2的工作面来调整，而对刀块2工作面的位置尺寸7.85±0.02是相对夹具体 4的上工作面（相当支承板支承工作面）来确定 的。夹具体4的上工作面是对刀基准，它确定了 刀具在高度方向的位置，使刀具加工出来的槽底 位置符合设计的要求。图3.3中，槽子两侧面对 称度的设计基准是工件上大孔的轴线，对刀基准 则为夹具上定位圆柱销的轴线。再如图3.21所 示，轴套件以内孔定位，在其上加工一直径为φ d 的孔，要求保证φd 轴线到左端面的尺寸L 1及孔中心线对内孔轴线的对称度要求。尺寸L 1的 设计基准是工件左端面A ′，对刀基准是定位心 轴的台阶面A ；φd 轴线对内孔轴线的对称度的 设计基准是内孔轴线，对刀基准是夹具定位心轴 2的轴线OO 。 2.定位误差的概念 用夹具装夹加工一批工件时，由于定位不准 确引起该批工件某加工精度参数（尺寸、位置） 的加工误差，称为该加工精度参数的定位误差 （简称定位误差）。定位误差以其最大误差范围 来计算，其值为设计基准在加工精度参数方向上 的最大变动量，用dw 表示。 a) b 图3.21 钻模加工时的基准分析

数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论 e In X* =In X * -Inx ：丄e* X* 进而有；(In X *): 2. 设X 的相对误差为2% ,求X n 的相对误差。 解：设f(χZ ,则函数的条件数为Cp=l fX+ n _1 X nχ I Xn n 又；r ((X*) n) C P 7(X *) 且 e r (χ*)为 2 .7((χ*)n ) 0.02 n 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 * * * * * 出它们是几位有效数字： X 1 =1.1021, χ2 =0.031, χ3 =385.6, χ4 = 56.430,x 5 = 7".0. . * 解：X I -1.1021是五位有效数字； X 2 = 0.031是二位有效数字； X 3 =385.6是四位有效数字； X 4 =56.430是五位有效数字； X 5 =7 1.0.是二位有效数字。 4. 利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限： (1) X 1 X 2 X 4,(2) X 1 X 2X 3 ,(3) X 2 /X 4 . 其中χl ,x 2,x 3,X 4均为第3题所给的数。 1设X 0, x 的相对误差为 解：近似值X*的相对误差为 、：，求InX 的误差。 e* X* -X 而InX 的误差为 又 f '(χ) =nx n 」 C P

解：

* 1 4 ；(x 1) 10 2 * 1 3 ;(x 2) 10 2 * 1 1 ；(x 3) 10 * 1 3 ；(x 4) 10 2 * 1 1 ；(x 5) 10 2 (1) ；(x ； x ； x *) * * * =；(%) ；(x 2) *x 4) 1 A 1 2 1 j3 10 10 10 2 2 2 -1.05 10J 3 * * * (2) S(X I X 2X 3) * * * * * * ** * =X1X 2 ￡(X 3)+ X 2X 3 ^(X J + X 1X 3 E (X 2) :0.215 ⑶；(x 2/x ；) * Il * * I * X 2 E(X 4) + X 4 &(X 2) 全 Γ"2 X 4 1-3 1 3 0.031 10 56.430 10 = ______________________ 2 56.430X56.430 -10 5 4 3 解：球体体积为V R 3 则何种函数的条件数为 1.1021 0.031 1 1θ' 2 + 0.031X385.6 x 1><10* 2 +∣ 1.1021 X 385.6 卜 -×1^3 5计算球体积要使相对误差限为 1 ,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? C P 愕'

常见定位方式定位误差的计算

常见定位方式定位误差得计算 ⑴工件以平面定位 平面为精基面 基准位移误差△基=０ 定位误差△定=△不 、⑵工件以内孔定位 ①工件孔与定位心轴（或销)采用间隙配合得定位误差计算△定= △不+ △基 工件以内孔在圆柱心轴、圆柱销上定位。由于孔与轴有配合间隙,有基准位移误差,分两种情况讨论: a、心轴（或定位销)垂直放置,按最大孔与最销轴求得孔中心线位置得

变动量为: △基= δD+ δｄ＋△min = △max =孔Dmａｘ－轴dmin (最大间隙) b、心轴(或定位销）水平放置,孔中心线得最大变动量(在铅垂方向上）即为△定 △基=OO'=1/2（δD+δｄ+△mi ｎ)=△max／2 或△基＝(Dmax/２)-(ｄmin ／２)＝△mａx/2 = (孔直径公差+轴直径公差) / ２ ②工件孔与定位心轴(销)过盈配合时(垂直或水平放置)时得定位误差

此时,由于工件孔与心轴（销)为过盈配合, 所以△基=0。 对Ｈ1尺寸:工序基准与定位基准重合,均为中心Ｏ，所以△不=0 对H2尺寸：△不＝δd/2 ⑶工件以外圆表面定位 Ａ、工件以外圆表面在V型块上定位 由于V型块在水平方向有对中作用。基准位移误差△基=0 Ｂ.工件以外圆表面在定位套上定位 定位误差得计算与工件以内孔在圆柱心轴、圆柱销上定位误差得计算相同。

⑷工件与"一面两孔"定位时得定位误差 ①“1”孔中心线在Ｘ,Y方向得最大位移为: △定（１x）=△定（1y)=δＤ１+δd １+△1mｉn=△1mａｘ(孔与销得最大间隙) ②“2”孔中心线在X,Ｙ方向得最大位移分别为: △定（2ｘ)=△定(1ｘ)+2δLd(两孔中心距公差) △定(２y)=δD2＋δd2＋△2min=△2ｍaｘ ③两孔中心连线对两销中心连线得最大转角误差：

常见定位方式定位误差的计算

常见定位方式定位误差的计算 ⑴工件以平面定位 平面为精基面 基准位移误差△基＝0 定位误差△定＝△不 .⑵工件以内孔定位 ①工件孔与定位心轴（或销）采用间隙配合的定位误差计算△定= △不+ △基

工件以内孔在圆柱心轴、圆柱销上定位。由于孔与轴有配合间隙，有基准位移误差，分两种情况讨论： a.心轴（或定位销）垂直放置，按最大孔和最销轴求得孔中心线位置的变动量为： △基= δD + δd + △min = △max =孔Dmax-轴dmin (最大间隙） b.心轴（或定位销）水平放置，孔中心线的最大变动量（在铅垂方向上）即为△定 △基=OO'=1/2(δD+δd+△min)=△max/2 或△基=(Dmax/2)-(dmin/2)=△max/2

= (孔直径公差+轴直径公差) / 2 ②工件孔与定位心轴(销)过盈配合时(垂直或水平放置)时的定位误差 此时，由于工件孔与心轴(销)为过盈配合， 所以△基=0。 对H1尺寸:工序基准与定位基准重合,均为中心O ,所以△不=0 对H2尺寸:△不=δd/2 ⑶工件以外圆表面定位 A、工件以外圆表面在V型块上定位

由于V型块在水平方向有对中作用。基准位移误差△基＝0

B．工件以外圆表面在定位套上定位定位误差的计算与工件以内孔在圆柱心轴、圆柱销上定位误差的计算相同。

⑷工件与"一面两孔"定位时的定位误差 ①“1”孔中心线在X，Y方向的最大位移为： △定（1x)=△定(1y)=δD1+δd1+△1min=△1max（孔与销的最大间隙） ②“2”孔中心线在X,Y方向的最大位移分别为: △定(2x)=△定(1x)+2δLd(两孔中心距公差) △定(2y)=δD2+δd2+△2min=△2max ③两孔中心连线对两销中心连线的最大转角误差:

计算方法第一章习题

第一章习题 2．按四舍五入原则，将下列各数舍入成5位有效数字： 816．9567 6。000015 17。32250 1．235651 93。18213 0。01523623 答案：816。96 6。0000 17。323 1．2357 93。182 0。015236 3．下列各数是按四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字？ 81．897 0。00813 6。32005 0。1800 答案：5 3 6 4 4．若1/4用0。25来表示，问有多少位有效数字？ 答案：任意多位 5．若a=1.1062 , b=0.947 是经过舍入后得到的近似值，问：a+b, ab 各有几位有效数字？ 答案：3 ， 3 因为45110211021--?=?= da 33102 11021--?=?=db 31234102 1102110211021)(----?=?≤?+?=+=+db da b a d 4)15(102110121---?=??=a d r ，2)13(1018 110921---?=??=b d r 22410181101811021)(---?≈?+?=+=b d a d ab d r r r 6．设y 1=0.9863, y 2=0.0062是经过舍入后作为x 1和x 2的近似值，求1/y 1和1/y 2的计算值与真值的相对误差限及y 1y 2和真值的相对误差限。 答案： 53)14()1(*1*111*11*1*11*11*1*1 1106.51018 110921102111 11------?=?=??=?≤-=-=-=-n y y y y y y y y y y y y y y α也可用5)14(111 121111106.5109 21111)1(1---?=??====y dy y dy y y y d y d r 同理 31)12()1(*2*22*2*2 2103.81012 11062110211 11------?=?=??=?≤-==-n y y y y y y α 3 35*2*22)1*11*2*1*2*12*12*121*2*1*2 *121104.8103.8106.5---?≈?+?≤-+-=-+-=-y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y