北京大学2016-2017学年第2 学期 高等数学A期末考试试卷

北京大学高等数学A 期末考试试卷

2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。

2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11

(1)n

p n n

∞

=-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是

（ ）

A ．2x y Ce =

B ．22x y Ce =

C ．22y y e Cx =

D ．2y e Cxy = 2．求极限

(,)(0,0)lim

x y →= （ ）

A ．

14 B ．12- C ．1

4

- D ．12

3

．直线:

327

x y z

L ==-和平面:327

80x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上

C ．直线L 垂直于平面π

D ．直线L 与平面π斜交

4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，

则D

σ= （ ）

A ．33()2

b a π

- B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π-

5．下列级数收敛的是 （ ）

A ．11(1)(4)n n n ∞

=++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D

．1

n ∞

=

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。

2. 计算二重积分22

D

x y

dxdy x y

++??

，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y

??+??。

4.求曲线积分()()L

x y dx x y dy ++-?，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆时针方

向。

5.

计算D

y ??，其中D

是由y =1x =-及1y =所围成的区域。

6

．判断级数1(1)1

n n n n ∞

=-+∑的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。

7．将函数1

(1)(2)

x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。

四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）

1．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

2. 求幂级数1

(1)(1)!n n

n nx n ∞

=-+∑的和函数。

3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数，且(0)1f =，(0)0g =，L 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L 围成的平面区域为D ，已知

[()()]()L

D

xydx yf x g x dy yg x d σ++=?

??，

求()f x 和()g x 。

参考答案

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．2{(,)|210}x y y x -+> 2．3

3．920y z --= 4．1ln ln yz yz yz yzx dx zx xdy yx xdz -++ 5．01p <≤ 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．C 2．C 3．C 4．B 5．A

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。

解：先求'0y y +=的通解，得1x y C e -=………………2分

采用常数变易法，设()x y h x e -=，得''()()x x y h x e h x e --=-………3分 代入原方程得'()()()x x x x h x e h x e h x e e ----+=………………4分

得21

()2

x h x e C =+………………5分

故通解为1

2

x x y e Ce -=+………………6分

将初始条件0x =，2y =带入得3

2

C =，故特解为1322x x y e e -=+…………7分

2. 计算二重积分22

D

x y

dxdy x y

++??

，其中22{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 解：设cos ,sin x r y r θθ==………………1分

则1

0,

12

sin cos r π

θθθ

≤≤

≤≤+………………3分

所以12

12220sin cos cos sin D

x y r r dxdy d rdr x y r π

θθθθθ+++=+????………………5分 20

(sin cos 1)d π

θθθ=+-?………………6分

42

π

-=

………………7分

3. 设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z

x y

??+??。

解：设(,,)432sin(23)F x y z x y z x y z =-+-+-………………1分

12cos(23),44cos(23),36cos(23)

x y z F x y z F x y z F x y z =-+-=--+-=++-………………4分

2cos(23)14cos(23)4

,3[12cos(23)]3[12cos(23)]y x z z F F z x y z z x y z x F x y z y F x y z ?+--?+-+=-==-=

?++-?++-……6分 所以

1z z x y

??+=??………………7分

4. 求曲线积分()()L

x y dx x y dy ++-?，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆时针

方向。

解：圆的参数方程为：cos ,

sin (0)2

x a t y a t t π

==≤≤

……………1分

220

()()(cos sin (cos sin )cos )sin L

x y dx x y dy a t a t da a t a t da t t π

π

++-=+-+??

?……3分

2

20

(cos 2sin 2)a

t t dt π

=-?

………………4分

2

2

0[sin 2cos 2]2

a t t π

=+………………6分 2a =-………………7分

（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）

5.

计算D

y ??，其中D

是由y =1x =-及1y =所围成的区域。

解：{(,)|1,11}D x y y x =≤≤-≤≤………………1分

1

1

1

D

y dx y -=???………………2分

312621

12[(1)63x y -=-?+-?………………4分

1

311(||1)9x dx -=--?………………5分

1

302(1)9x dx =--?………………6分

1

6=………………7分

6.

判断级数1

(1)1n n n n ∞

=-+∑的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。

解：(1)11n n n n n -=++1分 ()n n

→∞………………3分 所以级数发散。………………4分

又

(1)1(1)(111n n n n n -=--++5

分

1

n n += (6)

分 显然，交错级数1n n ∞

=

1n

n ∞

=都收敛，所以原级数收敛。因此是条件

收敛。………………7分

7. 将函数

1

(1)(2)

x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。

解：

111

(1)(2)12x x x x

=-----………………2分

而

1

,||11n n x x x ∞

==<-∑………………3分 211[1()](||2)2222x x

x x =+++<-………………4分

所以

221

11[1()](1)(2)

222

x x

x x x x =+++

-+++--………………5分

10

1(1)2

n

n n x ∞

+==-

∑………………6分 成立范围||1x <………………7分

四、 解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）

1. 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

解：设椭圆上任一点P 的坐标为(,,)P x y z ，P 点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为222x y z ++，………………1分 构造拉格朗日函数

22222()(1)F x y z x y z x y z λμ=++++-+++-………………2分

2222022020

010

x y

z

F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ=++=??=++=??=-+=??=+-=?=++-=??………………4分

解得1

(12

x =-………………5分

得两个驻点为12

1111(2(22222P P =---=---- …………………6分

………………7分

2. 求幂级数1

(1)(1)!n n

n nx n ∞

=-+∑的和函数。

解：因为0!n x

n x e n ∞

==∑，所以0

(1)!n n x

n x e n ∞-=-=∑，………………1分

00

(1)(1)(11)()(1)!(1)!n n n n

n n nx n x S x n n ∞

∞

==--+-==++∑∑………………2分

00

(1)(1)!(1)!n n n n

n n x x n n ∞

∞==--=-+∑∑………………3分

(1)!n n

x n x e n ∞

-=-=∑………………4分 110010

010(1)(1)!11(1)1(11(1)1)(1)!(1)!1(1)1(1)1!1!!n n n n n n n n n n n n n n n n n x n x x x n x n x x x x n x e x x n x x

n x n ∞

+++∞∞==∞∞=∞-===--=-++??

--=-=--????=-=+--=-∑∑∑∑∑∑ (0)

x ≠…………5分 所以

1

()(1)(0)x x S x e e x x --=--≠

故1

()(1)(0)x x S x e e x x --=--≠……6分

当0x =时，()0S x =。………7分

另解：

当0x ≠时，11110(1)1(1)1(1)(1)!(1)!(1)!n n n n x n n n n n n x x n x n x n x n d x +∞

∞∞===??

---==??++-??

?∑∑∑ 1111

001(1)1(1)(1)!(1)!n n n x n n n x x n x n x x dx x dx -∞∞==-??????--??==-??????--????????

??∑∑ 001(1)!

n x n n x n x x dx ∞=-=-∑?

00

11x

x x x

x dx e x

d e x x --=-=

??

()1

1x x e e x x

--=

+- 11x x e e x x --=+-

当0x =时，()0S x =。

3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数，且(0)1f =，(0)0g =，L 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L 围成的平面区域为D ，已知

[()()]()L

D

xydx yf x g x dy yg x d σ++=?

??，

求()f x 和()g x 。 解：由格林公式得

['()'()]()D

D

yf x g x x dxdy yg x dxdy +-=????………………2分

即['()'()()]0D

yf x g x x yg x dxdy +--=??………………3分

由于区域的任意性，'()'()()0yf x g x x yg x +--=………………4分 又由于y 的任意性，有'()()f x g x =，'()g x x =……………5分

又由(0)1f =，(0)0g =得， 2

()2x g x =………………6分

所以3

()16

x f x =+………………7分