选修2-1 常用逻辑用语导学案加课后作业及参考答案
§1.1.1命题导学案
【学习要求】
1．了解命题的概念.
2．会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式.
【学法指导】
学习中要通过命题的一般形式把握命题，从命题的工具作用认识命题，不要过多地纠缠在判断一个语句是不是命题上，只要求能够从课本的例子中了解命题的概念就可以了.
【知识要点】
1．命题：一般地，我们把用表达的，可以的陈述句叫做命题.
2．命题的真假：判断的命题叫做真命题，判断的命题叫做假命题.
3．命题的形式：在数学中，“”是命题的常见形式，其中p叫做命题的，q叫做命题的. 【问题探究】
探究点一命题的概念及分类
问题1我们在初中已经学过许多数学命题，你能举出一些数学命题的例子吗？当时是怎么定义命题的？
问题2观察下列语句的特点：
（1）两个全等三角形的周长相等；（2）5能被2整除；
（3）对顶角相等；（4）今天天气真好啊！
（5）请把门关上！（6）2是质数吗？
（7）若x＝2，则x2＝4；（8）3＋2＝6.
回答：①以上有几个命题？
②命题必须具备什么特征？
问题3数学中的定义、公理、定理都是命题吗？
问题4怎样判断一个命题是真命题还是假命题？
例1判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由.
（1）求证3是无理数. （2）若x R
，则x2＋4x＋4≥0.
（3）你是高一的学生吗？（4）并非所有的人都喜欢苹果.
（5）若xy是有理数，则x、y都是有理数. （6）60x＋9>4.
跟踪训练1判断下列语句中哪些是命题，是真命题还是假命题？
（1）末位是0的整数能被5整除；（2）平行四边形的对角线相等且互相平分；
（3）两直线平行，则斜率相等；（4）△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；
（5）余弦函数是周期函数吗？
探究点二命题的结构
问题在数学中，命题的常见形式为“若p，则q”，除此以外，还可以写成什么形式？
例2把下列命题改写成“若p，则q”的形式：
（1）各位数数字之和能被9整除的整数，可以被9整除；
（2）斜率相等的两条直线平行；
（3）能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；
（4）钝角的余弦值是负数.
跟踪训练2指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假. （1）若整数a是偶数，则a能被2整除；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）相等的两个角正切值相等.
【当堂检测】
1．下列语句为命题的是()
A．对角线相等的四边形B．同位角相等
C．x≥2D．x2－2x－3<0
2．下列命题：
①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直. 其中假命题的个数是_______
3．把下列命题写成“若p，则q”的形式.
（1）ac>bc?a>b；（2）已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
（3）当m>
1
4时，mx
2－x＋1＝0无实数根；（4）当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0；
（5）负数的立方是负数.
【课堂小结】
1．根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可.
2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式，大前提应保持不变.
【课后作业】
一、基础过关
1．下列语句中是命题的是()
A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1
C．x2＋2x－1>0 D．梯形是不是平面图形呢？
2．下列语句中是命题的为()
①空集是任何集合的子集；②若x>1，则x>2；
③ 3比1大吗？④若平面上两条直线不相交，则它们平行；
⑤－2＝－2；⑥x>15.
A．①②⑥B．①②④C．①④⑤D．①②④⑤
3．下列说法正确的是()
A．命题“正项等差数列的公差大于零”是真命题
B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题
C．“四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
4．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是() A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥b
C．若a、b相交，则α、β相交D．若α、β相交，则a、b相交
5．下列命题：
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集.其中真命题有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．下列命题：
①若xy＝1，则x、y互为倒数；②对角线垂直的平行四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.
其中真命题的序号是________.
7．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧.若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是______________________，q是________________________.
二、能力提升
8．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
9．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中为真命题的是()
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c
10．给出下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，是真命题的是________.(填序号)
11．判断下列语句是否是命题，并说明理由.
（1）若x＋y是有理数，则x，y均为有理数.
（2）一条直线l与平面α不是平行就是相交.
（3）x2＋2x－3<0.
12．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.
（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）当x＝2或x＝4时，x2－6x＋8＝0；
（3）正方形是矩形又是菱形；（4）方程x2－x＋1＝0有两个实数根.
三、探究与拓展
13．设有两个命题：p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.
§1.1.2四种命题~§1.1.3四种命题间的相互关系导学案
【学习要求】
1．了解四种命题的概念.
2．认识四种命题的结论，会写出某命题的逆命题，否命题和逆否命题.
3．理解四种命题的关系.
4．会利用命题的等价性解决问题.
【学法指导】
在本节的学习中，不要去死记硬背形式化的定义与模式，而应多通过具体实例，发现四种命题形式间的逻辑关系，并能利用这种关系对命题真假作出判断，从而体会正难则反思想的应用.
【知识要点】
1．四种命题的概念
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的.
也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为.
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的.
也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为.
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的.
也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为.
2．四种命题的相互关系
3．四种命题的真假性之间的关系
（1）两个命题互为逆否命题，它们有的真假性.
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性.
【问题探究】
探究点一四种命题的概念
问题1观察下列四个命题：
（1）若两个角是对顶角，则它们相等；（2）若两个角相等，则它们是对顶角；
（3）若两个角不是对顶角，则它们不相等；（4）若两个角不相等，则它们不是对顶角.
命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
问题2若(1)为原命题，则(2)为(1)的________命题，(3)为(1)的________命题，(4)为(1)的________命题.
问题3在四种命题中，原命题是固定的吗？
例1把下列命题写成“如果p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.
（1）正数的平方根不等于0；
（2）当x＝2时，x2＋x－6＝0.
跟踪训练1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：
（1）实数的平方是非负数；
（2）若x、y都是奇数，则x＋y是偶数.
探究点二四种命题的关系
问题1通过以上学习，你认为如果原命题为真，那么它的逆命题、否命题的真假性是怎样的？
问题2原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？
问题3四种命题中，真命题的个数可能为多少？
例2下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题.
其中的真命题是__________.
跟踪训练2有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；②“若a≥b，则a2≥b2”的逆否命题；
③“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题.
其中真命题的个数是()
A．0 B．1 C．2 D．3
探究点三等价命题的应用
问题我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.你认为等价命题证明问题和反证法是不是一回事？
例3证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b R
∈，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
跟踪训练3证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
【当堂检测】
1．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
2．命题“如果x2<1，则－1 A．如果x2≥1，则x≥1，或x≤－1 B．如果－1 C．如果x>1或x<－1，则x2>1 D．如果x≥1或x≤－1，则x2≥1 3．命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是_________，它是_____命题(填“真”或“假”). 4．给出以下命题： ①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题； ③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题. 其中为真命题的是________. 5．若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则q是r的（）. A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．以上结论都不正确【课堂小结】 1．写四种命题时，可以按下列步骤进行： （1）找出命题的条件p和结论q； （2）写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q； （3）按照四种命题的结构写出所有命题. 2．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础. 【课后作业】 一、基础过关 1．命题“若α＝ π 4，则tan α＝1”的逆否命题是() A．若α≠ π 4，则tan α＝1 B．若α＝ π 4，则tan α≠1 C．若tan α≠1，则α≠ π 4D．若tan α≠1，则α＝ π 4 2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是() A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b 3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4 4．以下说法错误的是() A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题 B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题 C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数 D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题 5．“如果x、y R ∈且x2＋y2＝0，则x、y全为0”的否命题是() A．若x、y R ∈且x2＋y2≠0，则x、y全不为0 B．若x、y R ∈且x2＋y2≠0，则x、y不全为0 C．若x、y R ∈且x、y全为0，则x2＋y2＝0 D．若x、y R ∈且xy≠0，则x＋y≠0 6．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是___________________，这是________命题. 7．下列命题中： ①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等； ③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形. 其中互为逆命题的有__________；互为否命题的有__________；互为逆否命题的有________.(填序号) 8．写出命题“已知a，b R ∈，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假. 二、能力提升 9．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是() A．3 B．2 C．1 D．0 10．有下列四个命题，其中真命题有： ①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题. 其中真命题的序号为() A．①②B．②③C．①③D．③④ 11．给定下列命题： ①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根； ②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6； ③“矩形的对角线相等”的逆命题； ④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题. 其中真命题的序号是________. 12．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假. 三、探究与拓展 13．求证：如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2. §1.2.1充分条件与必要条件导学案 【学习要求】 1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义. 2．会判断某些条件之间的关系. 【学法指导】 充分条件、必要条件是常用的逻辑用语，在数学中有广泛的应用，对于理解数学有很大的帮助.在此引入概念，对于这两个概念的准确理解需要一定的时间体会和思考，对于概念的运用和掌握依赖于后续的学习，不要急于求成，而应在后续的学习中经常借助这些概念表达、阐述和分析. 【知识要点】 【问题探究】 探究点一充分条件、必要条件 问题1判断下列两个命题的真假，并思考命题(1)中条件和结论之间的关系： （1）若x>a2＋b2，则x>2ab； （2）若ab＝0，则a＝0. 问题2结合充分条件、必要条件的定义，说说你对充分条件与必要条件的理解. 问题3判断命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释. 问题4结合以上分析，请你归纳判断充分条件，必要条件有哪些方法？ 例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) （1）p：(x－2)(x－3)＝0，q：x＝2；（2）p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； （3）p：x>1，q：x2>1；（4）p：x，y不全为0，q：x＋y≠0. 跟踪训练1指出下列命题中，p是q的什么条件？ （1）p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1；（2）p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； （3）p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；（4）p：sin α>sin β，q：α>β. 探究点二充分条件、必要条件与集合的关系 问题设集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A?B，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？ 例2是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由. 跟踪训练2已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q 的一个充分不必要条件，求m的取值范围. 【当堂检测】 1．a<0，b<0的一个必要条件为() A．a＋b<0 B．a－b>0 C． a b>1 D． a b<－1 2．如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的______________条件3．若“x 4．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分也不必要条件) （1）p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形； （2）p：△ABC中有两个角相等，q：△ABC是正三角形； （3）若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0. 【课堂小结】 1．充分条件、必要条件的判断方法： （1）定义法：直接利用定义进行判断. （2）等价法：“p?q”表示p等价于q，要证p?q，只需证它的逆否命题綈q?綈p即可；同理要证p?q，只需证綈q?綈p即可.所以p?q，只需綈q?綈p. （3）利用集合间的包含关系进行判断. 2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解. 【课后作业】 一、基础过关 1．“－2 ( ) A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．既不是充分条件，也不是必要条件 D ．既是充分条件，也是必要条件 2．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的 ( ) A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．既是充分条件，也是必要条件 D ．既不是充分条件，也不是必要条件 3．若綈p 是綈q 的必要条件，则q 是p 的 ( ) A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．既是充分条件，也是必要条件 D ．既不是充分条件，也不是必要条件 4．下列命题中，真命题是 ( ) A ．“x 2>0”是“x >0”的充分条件 B ．“xy ＝0”是“x ＝0”的必要条件 C ．“|a |＝|b |”是“a ＝b ”的充分条件 D ．“|x |>1”是“x 2不小于1”的必要条件 5．设a ，b 为实数，则“0 a ”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．设0 2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．设x ，y 是两个实数，命题：“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y >2 C ．x 2 ＋y 2 >2 D ．xy >1 二、能力提升 8．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分而不必要条件是－2 其中为m ⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上). 11．下列各题中，p 是q 的什么条件？说明理由. （1）p ：a 2＋b 2＝0；q ：a ＋b ＝0. （2）p ：p ≤－2或p ≥2；q ：方程x 2＋px ＋p ＋3＝0有实根. （3）p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切；q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2. 12．已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 三、探究与拓展 13．设计如下图所示的两个电路图，条件A ：“开关S 1闭合”；条件B ：“灯泡L 亮”，问A 是B 的什么条件？ §1.2.2 充要条件导学案 【学习要求】 1．理解充要条件的意义. 2．会判断、证明充要条件. 【学法指导】 在数学中，形如“p 是q 的充要条件”的命题是相当普遍的.要证明命题的条件是充要条件，就是既要证明原命题，又要证明原命题的逆命题.证明原命题即证明命题条件的充分性，证明原命题的逆命题，即证明命题条件的必要性.在本节的学习中注意体验数学的等价转化思想，增强逻辑思维能力. 【知识要点】 1．如果既有 ，又有 ，就记作p ?q ，p 是q 的充分必要条件，简称 条件. 2．概括地说，如果 ，那么p 与q 互为充要条件. 【问题探究】 探究点一 充要条件的判断 问题1 已知p ：整数a 是6的倍数，q ：整数a 是2和3的倍数，那么p 是q 的什么条件？q 又是p 的什么条件？ 问题2 结合实例说说你对充要条件的理解. 例1 下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？ （1）p ：b ＝0，q ：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数； （2）p ：x >0，y >0，q ：xy >0； （3）p ：a >b ，q ：a ＋c >b ＋c . 跟踪训练1 （1）a ，b 中至少有一个不为零的充要条件是( ) A ．ab ＝0 B ．ab >0 C ．a 2＋b 2＝0 D ．a 2＋b 2>0 （2）x >2的一个必要不充分条件是__________；x ＋y >0的一个充分不必要条件是_________________. （3）“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是________. 探究点二 充要条件的证明 例2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1. 跟踪训练2 求证：方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根均大于1的充要条件是k <－2. 跟踪训练3 求关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件. 【当堂检测】 1．“lg x >lg y ”是“x >y ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．设{a n }是等比数列，则“a 1 4．“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0与直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的___________条件. 5．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________. 6．已知p 、q 是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么 （1）s 是q 的什么条件？（2）r 是q 的什么条件？（3）p 是q 的什么条件？ 【课堂小结】 1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法. 2．充要条件的证明与探求 （1）充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别： ①p 是q 的充要条件，则由p ?q 证的是充分性，由q ?p 证的是必要性； ②p 的充要条件是q ，则p ?q 证的是必要性，由q ?p 证的是充分性. （2）探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件. 【课后作业】 一、基础过关 1．“x ，y 均为奇数”是“x ＋y 为偶数”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．一次函数y ＝－m n x ＋1 n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 ( ) A ．m >1，且n <1 B ．mn <0 C ．m >0，且n <0 D ．m <0，且n <0 4．平面α∥平面β的一个充分条件是 ( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ?α，a ∥β C ．存在两条平行直线a 、b ，a ?α，b ?β，a ∥β，b ∥α D ．存在两条异面直线a 、b ，a ?α，b ?β，a ∥β，b ∥α 5．已知a ，b ，c R ∈，“2b ＝a ＋c ”是“a ，b ，c 成等差数列”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．在△ABC 中，“△ABC 为钝角三角形”是“AB →·AC → <0”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件. 将所有正确命题的序号填在横线上________. 二、能力提升 8．已知命题p ：集合{x |x ＝cos n π 3，n Z ∈}只有4个元素，q ：集合{y |y ＝x 2＋1，x R ∈}与集合{x |y ＝x 2＋1}相等，则新命题：①p 或q ；②p 且q ；③非p ；④非q 中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9．已知p ：1 2≤x ≤1，q ：(x －a )(x －a －1)>0，若p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________. 10．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的__________条件. 11．求不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件. 12．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 三、探究与拓展 13．设x ，y R ∈，求证|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0. §1.3.1 且(and)~1.3.2 或(or) 导学案 【学习要求】 1．了解联结词“且”“或”的含义. 2．会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假. 【学法指导】 用集合的“交”、“并”之间的关系理解由“且”、“或”构成的命题，建立命题和集合运算之间的关系，体会逻 辑用语在表述中的作用，注意逻辑联结词“或”与自然语言中的“或者”的区别与联系，以便准确地表达相关的数学知识. 【知识要点】 1．“p且q”就是用联结词“”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作. 2．“p或q”就是用联结词“”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作. 3．真值表 【问题探究】 探究点一p∧q命题 问题1观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？ 问题2分析问题1中三个命题的真假，并归纳p∧q型命题的真假和命题p，q真假的关系. 例1将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真假： （1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等； （2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分； （3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数. 跟踪训练1指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q，并判断它们的真假. （1）(n－1)·n·(n＋1) (n N ∈*)既能被2整除，也能被3整除； （2）?是{?}的元素，也是{?}的真子集. 探究点二p∨q命题 问题1观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？ 问题2分析问题1中三个命题的真假，并归纳p∨q型命题的真假与p、q真假的关系. 例2分别指出下列命题的形式及命题的真假： （1）相似三角形的面积相等或对应角相等； （2）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集； （3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等. 跟踪训练2对下列各组命题，用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断它们的真假. （1）p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0； （2）p：3>4，q：3<4； （3）p：π是整数，q：π是分数. 探究点三p∨q与p∧q的应用 问题如果p∧q为真命题，那么p∨q一定是真命题吗？反之，如果p∨q为真命题，那么p∧q一定是真命题吗？ 例3设有两个命题.命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数.如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围. 跟踪训练3本例中其它条件不变，把“p∧q为假命题，p∨q为真命题”改为“p∨q为真命题”，求a的取值范围. 【当堂检测】 1．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．给出下列命题： ①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集. 其中真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4 3．“p是假命题”是“p或q为假命题”的___________条件. 4．p： 1 x－3 <0，q：x2－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是_______________________. 【课堂小结】 1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”两个中至少选一个. 2．一个复合命题，从字面上看不一定是“或”、“且”字样，这样需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词的关系，如“或者”，“x＝±3”、“≤”的含义为“或”；“并且”，“綊”的含义为“且”. 【课后作业】 一、基础过关 1．“p是真命题”是“p∧q为真命题”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则() A．p真q假B．p∧q为真C．p∨q为假D．p假q真 3．命题“ab≠0”是指() A．a≠0且b≠0B．a≠0或b≠0 C．a、b中至少有一个不为0 D．a、b不都为0 4．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③若a>b，则a＋c>b＋c；④菱形的两条对角线互相垂直，其中假命题的个数为() A．0 B．1 C．2 D．3 5．“1不大于2”可用逻辑联结词表示为____________. 6．给定下列命题：p：0不是自然数，q：2是无理数，在命题“p∧q”“p∨q”中，真命题是__________. 二、能力提升 7．对于命题p：对任意的实数x，有－1≤sin x≤1，q：存在一个实数使sin x＋3cos x＝π成立，下列结论正确的是() A．p假q真B．p真q假C．p、q都假D．p、q都真 8．命题p：函数y＝log a(ax＋2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q：如果函数y＝f(x)的图象关于(3,0)对称，那么函数y＝f(x－3)的图象关于原点对称，则有() A．“p且q”为真B．“p或q”为假C．p真q假D．p假q真 9．用“或”、“且”填空： （1）若x∈A∪B，则x∈A________x∈B；（2）若x∈A∩B，则x∈A________x∈B； （3）若a2＋b2＝0，则a＝0________b＝0；（4）若ab＝0，则a＝0________b＝0. 10．（1）用逻辑联结词“且”将命题p和q联结成一个新命题，并判断其真假，其中p：3是无理数，q：3大于2. （2）将命题“y＝sin 2x既是周期函数，又是奇函数”改写为含有逻辑联结词“且”的命题，并判断其真假. 11．判断下列命题的真假： （1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边； （2）x＝±1是方程x2＋3x＋2＝0的根. 12．已知p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立.若p 或q为真，p且q为假，求m的取值范围. 三、探究与拓展 13．已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q” 是假命题，求实数a的取值范围. §1.3.3非(not) 导学案 【学习要求】 1．理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题. 2．逻辑联结词“或”“且”“非”的初步应用. 【学法指导】 从逻辑联结词“非”的含义理解命题的否定(非命题)，也可以利用补集来理解命题的否定，培养批判思维能力. 【知识要点】1．命题的否定 一般地，对一个命题p，就得到一个新命题，记作綈p，读作“”或“”. 2．命题綈p的真假 若p是真命题，则綈p必是；若p是假命题，则綈p必是. 【问题探究】 探究点一綈p命题 问题1观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？ （1）p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根. （2）p：y＝tan x是偶函数；q：y＝tan x不是偶函数. 问题2逻辑联结词“非”的含义是什么？ 例1写出下列命题的否定，并判断其真假. （1）p：3是有理数；（2）p：5不是75的约数；（3）p：7<8； （4）p：5＋6≠11；（5）p：空集是任何非空集合的真子集. 跟踪训练1写出下列命题的否定形式. （1）面积相等的三角形都是全等三角形； （2）若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b全为零； （3）若xy＝0，则x＝0或y＝0. 探究点二命题的否定与否命题 问题1已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定，并加以辨析. 问题2填写下表中常见词语的否定形式： 例2写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假. （1）若x、y都是奇数，则x＋y是偶数； （2）若xy＝0，则x＝0或y＝0. 跟踪训练2写出下列各命题的非(否定). （1）p：100既能被4整除，又能被5整除；（2）q：三条直线两两相交； （3）r：一元二次方程至多有两个解；（4）s：2 探究点三p∨q、p∧q、綈p命题的综合应用 问题 对涉及命题的真假且含参数的问题，参数范围怎样确定？ 例3 设命题p ：函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，命题q ：关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 3 2＝0的解集只 有一个子集.若“p 或q ”为真，“綈p 或綈q ”也为真，求实数a 的取值范围. 跟踪训练3 已知a >1，命题p ：a (x －2)＋2>0，命题q ：(x －1)2 >a (x －2)＋1.若p ∨綈q 为真，綈q 为假，求实数x 的取值范围. 【当堂检测】 1．已知命题p ：3≥3，q ：3>4，则下列判断正确的是 ( ) A ．p ∨q 为真，p ∧q 为真，綈p 为假 B ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，綈p 为真 C ．p ∨q 为假，p ∧q 为假，綈p 为假 D ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，綈p 为假 2．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是 ( ) A ．(綈p )∨q B ．p ∧q C ．(綈p )∧(綈q ) D ．(綈p )∨(綈q ) 3．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－ x 在R 上为增函数.p 2：函数y ＝2x ＋2－ x 在R 上为减函数. 则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是 ( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 4 4．若命题p ：2n －1是奇数，n Z ∈，q ：2n ＋1是偶数，n Z ∈.则p ，q ，綈p ，綈q ，p ∧綈p ，p ∨綈p ，p ∧綈q ，p ∨綈q ，綈p ∧綈q ，綈p ∨綈q 中真命题的个数是________. 【课堂小结】 1．若命题p 为真，则“綈p ”为假；若p 为假，则“綈p ”为真，类比集合知识，“綈p ”就相当于集合p 在全集U 中的补集?U p .因此(綈p )∧p 为假，(綈p )∨p 为真. 2．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别. 【课后作业】 一、基础过关 1．已知全集为R ，A ?R ，B ?R ，如果命题p ：x ∈A ∩B ，则“非p ”是 ( ) A ．x ∈A B ．x ∈ C R B C ．x ?(A ∪B ) D ．x ∈(C R A )∪(C R B ) 2．如果命题“非p 或非q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为 ( ) ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧q ”是假命题； ③命题“p ∨q ”是真命题；④命题“p ∨q ”是假命题. A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④ 3.若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x R ∈}，则P 是綈Q 的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．命题p ：x ＝π是y ＝|sin x |的一条对称轴，q ：2π是y ＝|sin x |的最小正周期，下列命题：①p 或q ，②p 且q ，③非p ，④非q ，其中真命题有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．已知命题p ：1∈{x |(x ＋2)(x －3)<0}，命题q ：?＝{0}，则下列判断正确的是 ( ) A ．p 假q 真 B ．“p 或q ”为真 C ．“p 且q ”为真 D ．“綈p ”为真 6．由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的新命题中“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真的是 ( ) A ．p ：3是偶数，q ：4是奇数 B ．p ：3＋2＝6，q ：5>3 C ．p ：a ∈{a ，b }，q ：{a }?{a ，b } D ．p ：Q ?R ，q ：N ＝N * 7．已知命题p ：函数f (x )＝|lg x |为偶函数，q ：函数g (x )＝lg |x |为奇函数，由它们构成的“p ∨q ”“p ∧q ”和“綈p ”形式的新命题中，为真命题的是________. 二、能力提升 8．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x Z ∈，若“p ∧q ”“綈q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为____________. 9．设p ：函数f (x )＝2|x － a |在区间(4，＋∞)上单调递增；q ：log a 2<1.如果“綈p ”是真命题，“p 或q ”也是真命题， 那么实数a 的取值范围是____________. 10．写出下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的 真假. （1）p ：5是有理数，q ：5是整数； （2）p ：不等式x 2－2x －3>0的解集是(－∞，－1)， q ：不等式x 2－2x －3>0的解集是(3，＋∞). 11．已知p ：x >1，或x <－15，q ：1 x 2＋4x －5>0，则綈p 是綈q 的什么条件？ 12．已知a >0，且a ≠1，设命题p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减，命题q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，若“綈p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围. 三、探究与拓展 13．给出两个命题： 命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为?，命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数. 分别求出符合下列条件的实数a 的范围. （1）甲、乙至少有一个是真命题； （2）甲、乙中有且只有一个是真命题. §1．4.1全称量词~§1．4.2存在量词导学案 【学习要求】 1．通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义． 2．会判断全称命题和特称命题的真假． 【学法指导】 通过实例体会全称命题、特称命题的形式及含义，运用类比的思想学习两个概念，找出它们的异同，体会数学、文字语言与符号语言的统一，加深对命题与量词描述客观事实和数学问题的认识. 【知识要点】 1．全称量词 定义：短语“”“”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. 全称命题：含有的命题，叫做全称命题. 形式：.读作：“对任意x属于M，有p(x)成立”. 2．存在量词 定义：短语“”“”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. 特称命题：含有的命题，叫做特称命题. 形式：.读作：“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”. 【问题探究】 探究点一全称量词与全称命题 问题1下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ （1）x>3；（2）2x＋1是整数； （3）对所有的x R ∈，x>3；（4）对任意一个x Z ∈,2x＋1是整数. 问题2怎样判定一个全称命题的真假？ 例1判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数是奇数；（2）?x R ∈，x2＋1≥1； （3）对每一个无理数x，x2也是无理数. 跟踪训练1试判断下列全称命题的真假： （1）?x R ∈，x2＋2>0；(2)?x N ∈，x4≥1. 探究点二存在量词与特称命题 问题1下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ （1）2x＋1＝3；（2）x能被2和3整除； （3）存在一个x0R ∈，使2x0＋1＝3； （4）至少有一个x0Z ∈，x0能被2和3整除. 问题2怎样判断一个特称命题的真假？ 例2判断下列特称命题的真假： （1）有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0； （2）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （3）有些整数只有两个正因数. 跟踪训练2判断下列命题的真假： （1）?x0Z ∈，x30<1；（2）存在一个四边形不是平行四边形； （3）有一个实数α，tan α无意义. 探究点三全称命题、特称命题的应用 问题不等式有解和不等式恒成立有何区别？ 例3（1）已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围； （2）令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对?x R ∈，p(x)是真命题，求实数a的取值范围. 跟踪训练3（1）对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立，求实数m的取值范围； （2）存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值范围. 【当堂检测】 1．下列命题中特称命题的个数是() ①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sin x|≤1. A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列命题中的假命题是() A．?x R ∈，lg x＝0 B．?x R ∈，tan x＝1 C．?x R ∈，x3>0 D．?x R ∈,2x>0 3．用量词符号“?”“?”表述下列命题： （1）凸n边形的外角和等于2π. （2）有一个有理数x0满足x20＝3. （3）对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. 【课堂小结】 1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断. 2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题. 3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题. 【课后作业】 一、基础过关 1．下列命题： ①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育； ③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0. 其中全称命题的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列命题中，真命题是() A．?m R ∈，使函数f(x)＝x2＋mx (x R ∈)是偶函数B．?m R ∈，使函数f(x)＝x2＋mx (x R ∈)是奇函数C．?m R ∈，使函数f(x)＝x2＋mx (x R ∈)都是偶函数D．?m R ∈，使函数f(x)＝x2＋mx (x R ∈)都是奇函数3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x>0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数.下列说法正确的是() A ．四个命题都是真命题 B ．①②是全称命题 C ．②③是特称命题 D ．四个命题中有两个假命题 4．下列全称命题中真命题的个数为 ( ) ①负数没有对数； ②对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ； ③二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点； ④?x R ∈，y R ∈，都有x 2＋|y |>0. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知命题p ：?x R ∈，x 2－x ＋1 4<0；命题q ：?x R ∈，sin x ＋cos x ＝ 2.则下列判断正确的是 ( ) A ．p 是真命题 B ．q 是假命题 C ．綈p 是假命题 D ．綈q 是假命题 6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是 ( ) A ．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α B ．存在实数x 0，使sin x 0＝π 2 C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin α D ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β 7．给出下列四个命题： ①a ⊥b ?a·b ＝0；②矩形都不是梯形；③?x ，y R ∈，x 2 ＋y 2 ≤1； ④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1. 其中全称命题是________. 二、能力提升 8．下列4个命题： p 1：?x ∈ (0，＋∞)，????12x ：?x ∈ (0,1)，log 12x >log 13x ； p 3：?x ∈ (0，＋∞)，????12x >log 12x ；p 4：?x ∈????0，13，????12x 9．四个命题：①?x R ∈，x 2－3x ＋2>0恒成立；②?x Q ∈，x 2＝2；③?x R ∈，x 2＋1＝0；④?x R ∈,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________. 10．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假. （1）对任意实数α，有sin 2α＋cos 2α＝1； （2）存在一条直线，其斜率不存在； （3）对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解； （4）存在实数x 0，使得1 x 20－x 0＋1＝2. 11．已知命题p ：?x ∈ [1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：?x 0R ∈，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围. 12．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5. （1）是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x R ∈恒成立？并说明理由； （2）若存在实数x ，使不等式m －f (x )>0成立，求实数m 的取值范围. 三、探究与拓展 13．若方程cos 2x ＋2sin x ＋a ＝0有实数解，求实数a 的取值范围. §1.4.3 含有一个量词的命题的否定导学案 【学习要求】 1．能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 2．理解全称命题与特称命题之间的关系. 【学法指导】 要正确地对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否定，我们一方面要充分理解量词的含义，另一方面应充分利用原先的命题与它的否定在形式上的联系. 通过探究观察，总结规律，容易得到全称命题的否定是特称命题，以及特称命题的否定是全称命题的结论. 【知识要点】 1．全称命题的否定： 全称命题p ：?x ∈M ，p (x )，它的否定綈p ： 2．特称命题的否定： 特称命题p ：?x 0∈M ，p (x 0)，它的否定綈p ： 3．全称命题的否定是 命题.特定命题的否定是 命题. 【问题探究】 探究点一 全称命题的否定 问题1 我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”.对给定的命题p ，如何得到命题p 的否定(或綈p )，它们的真假性之间有何联系？ 问题2 你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？ （1）所有矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）?x R ∈，x 2－2x ＋1≥0. 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？ 例1 写出下列全称命题的否定： （1）p ：所有能被3整除的整数都是奇数； （2）p ：每一个四边形的四个顶点共圆； （3）p ：对任意x Z ∈，x 2的个位数字不等于3. 跟踪训练1 写出下列命题的否定： （1）三个给定产品都是次品； （2）数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数； （3）?a ，b R ∈，方程ax ＝b 都有惟一解； （4）可以被5整除的整数，末位是0. 探究点二 特称命题的否定 问题1 你能写出下列特称命题的否定吗？ （1）有些实数的绝对值是正数； （2）某些平行四边形是菱形； （3）?x 0R ∈，x 20＋1<0. 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？ 例2 写出下列特称命题的否定： （1）p ：?x 0R ∈，x 2 0＋2x 0＋2≤0； （2）p ：有的三角形是等边三角形； （3）p ：有一个素数含三个正因数. 跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假. （1）p ：?x 0>1，使x 20－2x 0－3＝0； （2）p ：若a n ＝－2n ＋10，则?n ∈N ，使S n <0. 探究点三 特称命题、全称命题的综合应用 例3 已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0.求实数p 的取值范围. 跟踪训练3 已知下列三个方程：(1)x 2＋4ax －4a ＋3＝0；(2)x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0；(3)x 2＋2ax －2a ＝0.若至少有一个方程有实数解，求实数a 的取值范围. 【当堂检测】 1．命题：对任意x R ∈，x 3－x 2＋1≤0的否定是 ( ) A ．不存在x 0R ∈，x 30－x 20＋1≤0 B ．存在x 0R ∈，x 30－x 2 0＋1≥0 C ．存在x 0R ∈，x 30－x 20＋1>0 D ．对任意x R ∈，x 3－x 2 ＋1>0 2．对下列命题的否定说法错误的是 ( ) A ．p ：能被2整除的数是偶数；綈p ：存在一个能被2整除的数不是偶数 B ．p ：有些矩形是正方形；綈p ：所有的矩形都不是正方形 C ．p ：有的三角形为正三角形；綈p ：所有的三角形不都是正三角形 D ．p ：?x R ∈，x 2 ＋x ＋2≤0；綈p ：?x R ∈，x 2 ＋x ＋2>0 3．命题“对任何x R ∈，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是____________________________ 4．命题“零向量与任意向量共线”的否定为______________________ 【课堂小结】 对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题： （1）确定命题类型，是全称命题还是特称命题. （2）改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词. （3）否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等. （4）无量词的全称命题要先补回量词再否定. 【课后作业】 一、基础过关 1．已知命题p ：?x R ∈，cos x ≤1，则 ( ) A ．綈p ：?x R ∈，cos x ≥1 B ．綈p ：?x R ∈，cos x ≥1 C ．綈p ：?x R ∈，cos x >1 D ．綈p ：?x R ∈，cos x >1 2．命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则“非p ”形式的命题是( ) A ．存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B ．不存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 D ．至多有一个实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 3．命题“一次函数都是单调函数”的否定是 ( ) A ．一次函数都不是单调函数 B ．非一次函数都不是单调函数 C ．有些一次函数是单调函数 D ．有些一次函数不是单调函数 4．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是 ( ) A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数是偶数 D ．存在一个能被2整除的数不是偶数 5．命题“某些平行四边形是矩形”的否定命题是 ( ) A ．某些平行四边形不是矩形 B ．任何平行四边形是矩形 C ．每一个平行四边形都不是矩形 D ．以上都不对 6．已知命题p ：“a ＝1”是“?x >0，x ＋a x ≥2”的充要条件，命题q ：?x 0R ∈，x 2＋x －1>0.则下列结论中正确的 是 ( ) A ．命题“p ∧q ”是真命题 B ．命题“p ∧綈q ”是真命题 C ．命题“綈p ∧q ”是真命题 D ．命题“綈p ∨綈q ”是假命题 7．已知命题p ：“?x R ∈＋ ，x > x 1 ”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“____________________”；q 的真假为________(填“真”或“假”). 二、能力提升 8．已知命题q ：“三角形有且仅有一个外接圆”，则綈q 为“____________________”. 9．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是__________. 10．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： （1）三角形的内角和为180°； （2）每个二次函数的图象都开口向下； （3）存在一个四边形不是平行四边形. 11．命题p 是“对某些实数x ，有x －a >0或x －b ≤0”，其中a 、b 是常数. （1）写出命题p 的否定； （2）当a 、b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？ 12．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2 ＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围. 三、探究与拓展 13．已知命题p ：?m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8；命题q ：?x ，使不等式x 2＋ax ＋2<0.若p 或q 是真命题，綈q 是真命题，求a 的取值范围. §章末复习课导学案 【知识要点】 【题型解法】 题型一 等价转化思想 问题 当一个命题的真假不易判断或证明较困难时，怎么办？并说明理由. 例1 下列各题中，p 是q 的什么条件？ （1）在△ABC 中，p ：∠A ≠30°，q ：sin A ≠1 2 ； （2）p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1. 跟踪训练1 判断下列命题的真假. （1）对角线不相等的四边形不是等腰梯形； （2）若x ∈A ∩B ，则x ∈A 且x ∈B ； （3）若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |. 例2 已知p ：2x 2 －9x ＋a <0，q ：? ???? x 2－4x ＋3<0， x 2－6x ＋8<0，且綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围. 跟踪训练2 已知p ：???? 1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实 数m 的取值范围. 题型二 分类讨论思想 例3 已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数.若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围. 跟踪训练3 已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 2 0＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围. 【当堂检测】 1．已知a ，b ，c R ∈，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是 ( ) A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3 2．已知命题p ：?n N ∈,2n >1 000，则綈p 为 ( ) A ．?n N ∈,2n ≤1 000 B ．?n N ∈,2n >1 000 C ．?n N ∈,2n ≤1 000 D ．?n N ∈,2n <1 000 3．下列命题为假命题的是 ( ) A ．在△ABC 中， B ＝60°是△AB C 的三内角A 、B 、C 成等差数列的充要条件 B ．设a ，b ∈R ，则ab ≤0是|a －b |≤|a |＋|b |中等号成立的充要条件 C ．在△ABC 中，∠A ＝∠B 是sin A ＝sin B 的充要条件 D ．lg x >lg y 是x >y 的充要条件 4．设命题p ：|4x －3|≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 5．给出下列命题: p ：关于x 的不等式22(1)0x a x a --+>的解集是R ，q ：函数2lg(2)x y a a =-是增函数. （1）若p q ∨为真命题，求a 的取值范围. （2）若p q ∧为真命题，求a 的取值范围. 【课堂小结】 1．等价转化使复杂的语言简单化，隐含的条件明显化，在一些含否定词语的命题中尤其常用. 2．分类讨论思想使复杂的问题化整为零，要注意讨论中的不重不漏. 3．集合思想解题贯穿于本章的始终 . 章末检测 一、选择题 1．下列语句中，是命题的个数是 ( ) ①|x ＋2|；②－5∈Z ；③πR ?；④{0}∈N . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．若命题p ：0是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列命题中为真的是 ( ) A ．p 且q B ．p 或q C ．非p D ．非p 且非q 3．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p ：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q ：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是 ( ) A ．命题“p 且q ”为真 B ．命题“p 或綈q ”为假 C ．命题“p 或q ”为假 D ．命题“綈p 且綈q ”为假 4．下列命题，其中说法错误的是 ( ) A ．命题“若x 2 －3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2 －3x －4≠0” B ．“x 2 －3x －4＝0”是“x ＝4”的必要不充分条件 C ．若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题 D ．命题p ：?x R ∈，使得x 2 ＋x ＋1<0，则綈p ：?x R ∈，都有x 2 ＋x ＋1≥0 5．等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1>0且q >1”是“?n Z ∈＋，都有a n ＋1>a n ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．若命题p ：x ＝2且y ＝3，则綈p 为 ( ) A ．x ≠2或y ≠3 B ．x ≠2且y ≠3 C ．x ＝2或y ≠3 D ．x ≠2或y ＝3 7．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．已知命题p ：?x 1，x 2R ∈，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是 ( ) A ．?x 1，x 2R ∈，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．?x 1，x 2R ∈，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．?x 1，x 2R ∈，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．?x 1，x 2R ∈，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 9．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0 (a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．a >0 C ．a <－1 D ．a >1 10．已知a 、b R ∈，那么“0a ＋b ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 11．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像.金盒上写有命题p ：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q ：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r ：肖像不在金盒里.p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在 ( ) A ．金盒 B ．银盒 C ．铅盒 D ．无法判断 12．设集合U ＝{(x ，y )|x R ∈，y R ∈}，若A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m >0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，则点P (2,3)∈ A ∩(C U B ) 的充要条件是 ( ) A ．m >－1，n <5 B ．m <－1，n <5 C ．m >－1，n >5 D ．m <－1，n >5 二、填空题 13．命题“对任何x R ∈，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是__________________________________. 14．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为__________________. 15．设A ＝?????? x |