北航数分往年期末复习提纲

2011-2012学年《工科数学分析II 》期末考试复习提纲

第15章 常微分方程

掌握微分方程的基本概念（常微分方程的定义、分类、通解、特解、初值条件…） 熟练掌握几类一阶微分方程的求解：变量分离方程、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性微分方程、 伯努利(Bernoulli)方程；熟练掌握二阶线性微分方程齐次和非齐次微分方程解的结构，二阶常系数线性齐次和非齐次微分方程的解法… 典型题目： 求解下列微分方程

（1）2(4)0ydx x x dy +-=

(2) 0

cos sin d sin cos d 0,4x x y y x y x y π

=+==初值条件 (3)22()d d =0x y x xy y +-

(4) (253)d (246)d =0x y x x y y -+-+- (5)2'-3-20xy y x x +-= （6）411

'(12)33

y y x y +

=- （7）3''6'9(1);x y y y x e -+=+ (8) ''2'331;y y y x --=+ (9) ''3'23;x y y y xe -++= (10) ''cos 2y y x x +=

第16章 重积分

二重积分、三重积分的定义以及性质；重积分的计算方法：化为累次积分或换元法；重积分

的物理应用：计算重心坐标、转动惯量以及万有引力。

典型例题

1. 计

算

二

重

积

分

(,)D

f x y dxdy

蝌，其中

2[0,]

D π=， cos() (,) 1 , x y x y f x y x y -≥?=?

，

. 2. 通过交换积分次序计算累次积分(1)2

1

1

y x

dx e dy ?

?

,(2)82

dx ?.

3. 计算二重积分

cos()D

x xy dxdy ??,2||

x D

xy e dxdy ??, 其中{(,)|||||1}D x y x y =+≤. 4. 通过换元计算椭圆盘2221ax bxy cy ++≤的面积. (其中2

0b ac -<) 5.

计算二重积分

2

2

2

2

4x y ππ

≤+≤??

,

2

2x y Rx

+≤??

.

6.

计算二重积分D

,其中22

22{(,)|1,0,0}x y D x y x y a b

=+≤≥≥.

7. 计算二重积分

()sin()D

x y x y dxdy -+??,其中{(,)|||||}D x y x y π=+≤.

8. 计算二重积分

2

2()D

x

y dxdy +??,其中D 由22221,2,1,2

x y x y xy xy -=-===所围而成.

9. 设(,)f x y 为一连续函数, 求极限222

2

01

lim (,)r x y r f x y dxdy r π→++≤??

.

10. 计算三重积分

V

xyzdxdydz ???,其中V 由曲面2

22,0,,1z x

y z y x y =+===所围而

成.

11. 计算三重积分2

z dxdydz Ω

???，其中Ω为椭球222

2221x y z a b c ++≤.

12. 计算三重积分222222

ln(1)

1z x y z dxdydz x y z Ω

++++++???，其中Ω为椭球2222221x y z a b c ++≤. 13. 计算三重积分2

2()I x

y dxdydz Ω

=+???，

其中Ω

由曲面z =，1z =，2z =所围而成.

14. 计算三重积分2I z d x d y d z Ω

=

???

，其中Ω由曲

面z =和曲面

z =围成.

15. 设密度为1的平面薄板由(sin )

(1cos )

x a t t y a t =-??=-?,(02)t π≤≤与x 轴围成，求它绕x 轴

旋转的转动惯量.

16. 设薄片所占的闭区域D 是介于两个圆cos ,cos r a r b θθ==之间的闭区域，求均匀薄片的重心.

17. 求密度为1的均匀球锥体对于在其顶点为以单位质量的质点的吸引力，设球的半径

为R ，而轴截面的扇形的角等于

2

π. 第17章，向量场的曲线积分与Green 公式

第一型曲线积分的概念，性质与计算，第二型曲线积分的概念，性质与计算，Green 公式，积分与路径无关的四个等价条件，判断全微分并求其原函数，曲线积分的物理应用。

典型例题

1． 求第一型曲线积分

22()C

x y ds +?

，其中C 为曲线(c o s s i n )

x a t t t =+，(sin cos )y a t t t =-(02t π≤≤).

2． 求第一型曲线积分||C

y ds ?

，其中C 为双扭线22222()()x y a x y +=-.

3． 求第一形曲线积分

2C

y ds ?

，其中C 为旋轮线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-=-的一

拱.

4． 求螺线cos ,sin ,2h

x a t y a t z t π

===（02t π≤≤）对x 轴的转动惯量. 5． 求第二型曲线积分

222()2C

y z dx yzdy x dz -+-?

，其中曲线C 为依参数增加的方

向行进的曲线23

,,x t y t z t ===（01t ≤≤）.

6． 计算?

Γ

-+-+-z y x y x z x z y d )(d )(d )(2

22222,Γ为球面片1222=++z y x ，

0≥x ，0≥y ，0≥z 的边界，方向是从)0,0,1(到)0,1,0(到)1,0,0(再回到

)0,0,1(.

7． 计算曲线积分

(s i n )(

c o s )x x AmO

e y my dx e y m dy -+-?

，其中A m O 为由点

(,0)

A a 至点(0,0)O 的上半圆周22x y ax +=. 8． 计算第二型曲线积分

222L xdy ydx

x y -+?，其中L 为一条包围原点的曲线.

9． 利用格林公式计算星形线1113

3

3

x y a +=所围区域的面积. 10．

计算第二型曲线积分

(5,12)

(3,4)

?

.

11． 计算第二型曲线积分

2(2,)

2(1,)

(1cos )(sin cos )y y y y y

dx dy x x x x x

ππ-++?

.

12．

求原函数43224(4)(65)du x xy dx x y y dy =++-.

第18章，向量场的曲面积分与场论初步

第一型曲面积分的概念，性质与计算，第二型曲面积分的概念，性质与计算，Gauss 公式，

Stokes 公式，积分与路径无关的四个等价条件，判断全微分并求其原函数。梯度场，散度场，旋度场的概念以及保守场、有势场及无旋场之间的关系。

典型例题

1． 计算∑

,其中∑为椭球面2222221x y z a b c ++=.

2． 计算

2

z dS ∑

??

，其中∑为圆锥面z =被z a =截下来的那一部分. 3． 计算第二型曲面积分

yzdzdx ∑

??

，其中∑是球面2222x y z a ++=的上半部分，取

上侧. 4． 计算

()()(),,d d 2,,dzdx ,,f x y z x y z f x y z y f x y z z dxdy ∑

+++++?

?????????????,其中(),,f x y z 为连续函数, ∑为平面1x y z -+=在第四卦限部分,取下侧. 5． 使用高斯公式计算

222d d d d d d x y z y z x z x y ∑

++??，其中∑为球面()()()

222

2x a y b z c R -+-+-=,取外侧.

6． 使用高斯公式计算

(2)x z dydz zdxdy ∑

++??

，其中∑为曲面22z x y =+（01z ≤≤）,

曲面的法向量与z 轴正方向成锐角. 7． 使用Stokes 公式计算

L

ydx zdy xdz ++?

，其中L 是球面2222x y z a ++=与平面

0x y z ++=的交线，从x 轴正向看去，是逆时针方向.

8． 使用Stokes 公式计算

222222()(2)(3)L

y z dx z x dy x y dz -+-+-?

，其中L 是平面

1x y z ++=与柱面||||1x y +=的交线.

9． 计算(6,1,1)

(1,2,3)

yzdx xzdy xydz ++?

.

10． 求全微分()()()

222

222dw x yz dx y xz dy z yx dz =-+-+-的原函数.

11．

求向量场()

222

,,A x yz xy z xyz =的散度与旋度.

12．

求向量场221(1,,)y x x xy

F y z z y z

=-

++-的势函数. 13． 如何下面积分与路径无关，求()(),f x x Φ

()()()()()22

2L x y x f x y dx f x y x dy zdz ??Φ????+-++Φ+??????????????

?