第一节 一元二次方程概念

第一节 一元二次方程

【教科书重点】

1.理解并掌握一元二次方程的定义.

2.正确识别一元二次方程的二次项、一次项、常数项及各项的系数.

【提分必旨】

1.一元二次方程的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次项的次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般式

一元二次方程的一般式为：()002≠=++a c bx ax .其中，2ax 叫二次项，bx 叫一次项，a 叫二次项系数，b 叫一次项系数，c 叫常数项.

【例题讲解】

例1 指出下列方程中哪些一元一次方程.

（1）x x 5262=- （2）02=-x

（3）y x 732= （4）()124362-=-x x x

（5）352

=x

（6）()()261253x x x =+-

例2 把下更方程化成一元二次方程的一般形成，再写出二次项、一次项、常规项. （1）x x 3252=- （2）015622=--x x

（3）()()52713-+=+y y y （4）()()

()m m m m m m 5722

-=-+-+

（5）()()2

2

3415-=-a a

例3 下列关于x 的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出二次项系数、一次项系数及常数项；

（1）nx x 6132= （2）()0472≠=+m x mx

（3）()a ax x a 3612+=+ （4）()9122-=++k kx x k

例4 已知关于x 的方程()1222-=--x ax x a 是一元二次方程，求a 的取值范围.

【课堂练习】

一、选择题.

1.x x 5322=-化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常项分别为（ ）. （A ）2，-5，-3 （B ）2，-3，-5 （C ）2，5，-3 （D ）2，-5，3

2.若方程()0122=++-m x x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）. （A ）0≠m （B ）1≠m 5 （C ）11-≠≠m m 或 （D ）1≠m 且1-≠m

3.下列方程中是一元二次方程的有（ ）.

①2

97x x = ②2

83

y = ③()()3131y y y y -=+ ④2260x y -+=

⑤)21x += ⑥

24

10x x

--= （A ）①②③ （B ）①③⑤ （C ）①②⑤ （D ）①⑤⑥

4.一元二次方程()()2412351x x x +-=+化成一般式()210ax bx c a ++=≠后，a ，b ，c 的值为（ ）.

（A ）3，-10，-4 （B ）3，-12，-2 （C ）8，-10，-2 （D ）8，-12，4

5.一元二次方程()()22111x m x x x -++=+化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为-1，则m 的值为（ ）.

（A ）-1 （B ）1 （C ）-2 （D ）2 二、填空题.

1.关于y 的方程()200my ny p m --=≠中，二次项系数、一次项系数与常数项的和为 .

2.方程()2

x r q -=是关于x 的 元 次方程，其一般形式为 . 3.已知关于x 的方程()23120k x x k --+=，当k 时，方程为一元二交方程，当k 时，方程为一元二次方程.

4.若关于x 的方程221x mx m -=-有一个根为-1，则m= .

5.一元二次方程20ax bx c ++=有两个解为1和-1，则有a b c ++= ，且有a b c -+= . 三、解答题.

1.判断下列方程是不是一元二次方程，是一元二次方程的，指出它的二次项、一次项和常数项：

（3）)

213x x =- （4）11022x x ????

-+= ???????

（5）()()()2235221x x x x ---=-

2.把下列关于x 的方程化成一元二次方程的一般式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项：

（1）()20abx cx d ab =+≠ （2）()()2m n x m n m n -=+≠ （3）()222321p x kx x +-=+ （4）22341ax x ax a -+=-- （5）()222200kx k x s k k ---=≠

3.已知方程()()2

2

2x a ax -=-关于x 的一元二次方程，求a 的取值范围.

【课后作业】

1、若方程1)1(2=+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） （A ）1≠m （B ）0≥m （C ）10≠≥m m 且 （D ）m 为任意数

2、下列方程是一元二次方程的是（ ） （A ）11

=+

x

x （B ）132=-y x （C ）02=++c bx ax （D ）3252=-x x 3、判断下列方程是不是一元二次方程？如果是一元二次方程，指出他的二次项系数，一次项系数，常数项各是多少？

（1）8)5)(5(=+-x x （2）5)2()3)(2(+-=-+x x x x

（3）0222=--y xy x （x,y 均为未知数）； （4）x x x x 5)22(2=+- （5）51

12

=-x x

（6）0762=-+x mx （x 为未知数）

（7）x x =-2

5

2

4、关于x 的一元二次方程1)3()2(2--=-x m x m 的二次项系数是多少？一次项系数是多少?常数项是多少？对m 的限制是什么？

5、当a 满足什么条件时，方程024)1()1(22=-+---a x a x a 是一元二次方程？当a 为何值时，上述方程是一元一次方程？当x=0时，求a 的值.

6、关于x 的方程05)1()1(1

2

=--+-+x k x k k

如是果一元二次方程，

那么k 满足什么条件？如果是一元一次方程，k 又满足什么条件？

7、（思考题）（1）如图1，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，b AB =，a CD =，E 为AD 边上的任意一点，EF ∥AB ，且EF 交BC 于点F ，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：

①当

1=AE DE 时，有2b

a EF +=； ②当2=AE

DE 时，有32b a EF +=；

③当

3=AE

DE

时，有43b a EF +=．当

k AE DE =时，参照上述研究结论，请你猜想用k 表示DE 的一般结论，并给出证明；

图1

（2）现有一块直角梯形田地ABCD （如图2所示），其中AB ∥CD ，AB AD ⊥，=AB 310米，=DC 170米，=AD 70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等．

请你给出具体分割方案．

图2

D

C

B

A H

G

F E D

C

B

A

第二章 一元二次方程的解法

教科书最重点

一元二次方程的解法是以降次为目的，以因式分解法、公式法等主法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解. 1.能用直接开平方法解一元二次方程.

2.会用配方法解一元二次方程.另外，配方法也是本节的难点.

3.会用配方法推导出()200ax bx c a ++=≠的求根公式，并能熟练地掌握公式法解一元二次方程.

4.能熟练运用因式分解法解一元二次方程,理解其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元二次方程.

5.会用较简便的方法解无理数系数和字母系数的一元二次方程.

提分必背

1.一元二次方程常用解法.

直接开平方法 适用于解形如2x n =或形如不完全的二次方程：20ax c +=的方程. 配方法 用于推导一元二次方程的求根公式.

公式法：一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠的求根公式为：)240x b ac =-≥.

因式分解法 当方程变形为一边是0，而另一边易于分角为两个一次因式的乘积时使用.

例1 和直接开平方法解下列方程：

（1）251250x -= （2）()2

1693289x -= （3）23610y += （4）()

2130m -=

例2 用配方法解方程：

（1）212150x x +-= （2）23560y y +-=

例3 用公式法解方程：

（1）2362x x =- （2）23p += （3）2711y y = （4）2952n n =-

例4 用因式分解法解下列方程：

（1）21

904

x -= （2）24450y y +-= （3）281030x x +-=

例5 用直接开平方法解下列方程：

（1）()2

23185x += （2)2

27x -=

例6 用配方法解方程：22103y y =+.

例7 用因式分解法解下列方程：

（1）20= （2）26x -=-

（3）()()2

5251x x -==-- （4）()()2

2232380x x x x +-+-=

例8 （1）用公式法解方程：

①24p =+ ②()()22213x x x +=--- ③④⑤

例9 用适当的方法解下列方程：

（1）(232y y += （2）()2

222122m m m m -+=-

（3）()()()6223x x x x -=-+ （4）()()2322313323

y y y y y --+=+

（5）()()2

81251443x x -=-

例10 解下列关于x 的方程：

（1）223421x a ax a +=-+ （2）()()220m n x nx m n m n ++=-+≠

（3）22220px px px pq --+= （4）()222224m n x mnx m n --=-

课堂练习

一、选择题.

1.23360x +=的根（ ）.

（A ） （B ）- （C ）± （D ）无实根 2.27180x x --=的根是（ ）.

（A ）9x = （B ）2x =- （C ）19x =，12x =- （D ）19x =-，22x = 3.方程()2

2796x -=的解为（ ）.

4.当x 的值为（ ）时，代数式21225x x -+的值为

5.

（A ）110x =- （B ）2x =- （C ）19x =，12x =- （D ）19x =-，22x = 5.2230x x --=，2430x x -+=，260x x --=中有一个公共解是（ ）. （A ）3x = （B ）2x = （C ）1x =- （D ）2x =-

6.如果关于x 的方程()23215231x a a x +-=-有一个根为-2，则a 的值为（ ）.

（A ）12- （B ）1

2 （C ）2 （D ）2-

7.已知2是关于x 的方程23

202

x a -=的一个解，则21a -的值是（ ）.

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 二、填空题.

1.方程240x -=的解是（ ）.

2.方程()2

349x -=的解是（ ）. 3.方程()24615x +=的解是（ ）.

4.方程()()()52797x x x --=-的解是（ ）.

5.方程2680x x ++=的解是（ ）. 方程2690x x ++=的解是（ ）. 方程26100x x ++=的解是（ ）.

6.一元二次方程2460x x +-=有 个实数根，因为24b ac - 0

7.关于y 的方程22320y py p +-=有一个根是2y =，关于x 的方程23x p -=的解为 . 三、解答题. 1.解下列方程：

（1）2253240x -= （2）()21216196x -=

（3）23410y y --= （4）22x -=-

（5）2240z --= （6）2815x x +=

（7）2326160y y ++= （8)

25x =

（9）()()2

6261m m -=-- （10）()()2

2

252431y y -=+）

2.解方程：2278x x -=

3.解下列关于x 的方程：

（1）2230ax -= （2）2223x mx m n ++=

（3）22840x ax a -+= （4）()()220ax a b x b a a +-=-≠

（5）2244x bx b -=

4.解下列方程：

（1）()()()2

23122x x x --=+- （2）()()2

2273710y y y y ---=

（3）()()2

22234235x x x x +=++

5.已知()223400x xy y y +-=≠，求x y

x y

-+的值.

6.解关于x 的方程：()22bx a b x a b --=-.（需要分类讨论`）

7.若()()22221120m n m n +-+-=，求22m n +的值.

第三章 一元二次方程的应用

教科书最重点

1.列方程解应用题的一般思路和步骤.

2.列一元二次方程解有关数与数之间关系的应用题.

4.列一元二次方程解有关增长率的应用题.

5.列一元二次方程解有关盈利、亏损方面的问题.

提分必背

1.列方程解应用题的一般步骤.

·审题.

·设未知数.

·列代数式.

·列方程（组）.

·解方程（组）.

·检验.

·答题.

2.列方程必须满足的三个条件.

·方程两边表示同类量.

·方程两边的同类量单位一致.

·方程两边的数值相等.

3.设未知数，列方程

设未知数时，可直接设未知数，也可间接设未知数；可设一个未数，也可设多个示知数，一般设几个未知数，就需列几个方程.

4.几个基本量的等量关系.

·数量的和、差、倍、分.

·速度×时间=距离.

·工作效率×工作时间=工作量.

·增长量=基数×增长率.

·混合物质量×含纯净物百分比=纯净物质量.

·几何中面积公式或体积公式.

·两位数=十位数字×10+个位数字.

5.表示特殊等量关系的关键词语.

如：“多”、“少”、“快”、“慢”、“提前”、“超过”、“早到”、“迟到”、“是几倍”、“增加几倍”、“降低到”等等.

例1 三个连续奇数，两两相乘所得的乘积的和是503.求这三个数.

例2 有一块长25cm、宽15cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角截取四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面符号为231平方厘米的无盖的盒子，求这个盒子的容积.

例3 有一生产线，生产成本逐年下降，原来每件产品成本是1600元，两个月后，降至900元，问成本月平均降低百分之几？

例4 已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的边长和面积.

例5 一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数的平方和比这两位数小4，求这两位数.

例6 一个长方形桌面，长1.4m、宽0.8m，台布面积是桌面面积的2.5倍，如果铺在上面各边垂下的和度相等，求台布的长和宽.

例7 制造某种产品，原来每件的成本是500元，由于连续两次降低成本，使本成降低了180元，问平均每次降低的面分率是多少？

例8 某人把500元存入银行，定期一年到期后取出300元.将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，且利率不变.到期如果全部取出，正好是275元.这笔存款的年利率是多少？（不计利息锐）

例9 三个连续正整数的最大数的立方与最小数的立方的差比中间数的40倍大16，求这三个数.

例10 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降阶一元，商场每天可多售出2件.

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？

例11

直角三角形周长为2 1，求这个直角三角形的三边长.

例12 有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是18，如果十位数字与个位数字调换后，所得两位数乘以原来的两位数就得1855.求原来的两位数.

例13 已知：甲乙两人分别从正方表广场ABCD的顶点B、C同时发出.甲由C向D运动，乙由B向C运动.甲的速度为1千米/分，乙的速度为2千米/分.若正方形广场的周长为40千

米，问几分钟后，两个相距千米？

例14 某科技公司研制成功一种新产口，决定要银行贷款200万元资金，用于生产这种产品.签定的合同上约定两年到期时一次性还本付息，利息为本金的8%.该产口投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余72万元.若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的面分数相同，试求这个百分数.

课堂练习

1.两数之差等于4，它们的积是117，则这两个数是（ ）.

（A ）9或13 （B ）-9或-13 （C ）9和13或和-13 （D ）以上都不对 2.三个连续整数的平方和是245，则最大的一个整数为（ ）. （A ）10 （B ）9 （C ）-9 （D ）-10

3.某工厂一月份产值是5万元，三月份产值为11.25万元，则每月平均增长的百分率为（ ）%.

（A ）10 （B ）50 （C ）20 （D ）25

4.某校计划在一块长8米、宽6米的矩形草坪的中央划出百积为16平方米的矩形栽花，使这个矩形四周留地的宽度一样，则这个宽度应为（ ）.

（A （B （C （D

5.有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，且其十位数字比个位数字小2，则这个两位数是（ ）.

（A ）48 （B ）24 （C ）84 （D ）42

6.某商场一月份营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，若每月的平均增长率为x ，则由题意列方程应是（ ）.

（A ）()2

20011000x += （B ）20020021000x +?=

（C ）20020031000x +?= （D ）()()2

2001111000x x ??++++=??

7.某厂一月份生产产品a 件，二月份比一月份增加2倍，三月份是二月份的2倍，则三个月的产品总件数为（ ）.

（A ）5a （B ）7a （C ）9a （D ）10a 二、填空题.

1.两个连续奇数的积为399.则这两个奇数为 和 .

2.某工厂的产品品种两年内由原来的16种增加到25种，若年平均增长率为x ，则x 为 .

3.矩形操场的长和比宽多15米，面积为2200平方米.若设长为x 米，可列方程为 ；若设宽x 米，可列方程为 .

4.有一个两位数，它的个位数字比十位数大3，把个位数字与十位数字对调所得的新数

与两位数的积是1300，则这两位数为.

5.一个直角三角形的三边长是三个连续正整数，则这个直角三角形的面积为平方单位.

6.某饲料厂今年一月份生产饲料500吨，三月份生产饲料720吨，若二、三月份平均每月增长的百分率为x，列方程则为.

7.某工厂2000年年产量为()0

a a f元，如果每年递增10%，则2001年年产量是，2002年年产量是，这三年的总产量是.

8.某药品连续两次降价10%后的价格为m元，该药品的原价为元.

三、解答题.

1.两个数的和为60，它们的积为884，求这两个数.

2.五个连续偶数中，第一个和第五个数的乘积是308，求这五个偶数.

3.现有长方形纸片一张，长19cm、宽15cm.则该纸片需要减去边长是多少，长方形才能做成底面积为772

cm的无盖长方形纸盒.

4.某家场的粮食产量在两年内从6000吨增加到7260吨，求平均增长的百分率为多少？

cm的矩形方孔，并使剩下

5.在长40cm、宽20cm的矩形钢板中央挖出一个面积为3002

的柜架四边一样宽，求这个宽度.

6.一批上衣原价每件240元，由于滞销连续两次降价后每件售价为194.4元.若每次降价的百分率相同，试求每次降价的百分率.

7.某印刷厂第一季度共印了182万册，且一月份印750万册，那么这个印刷厂的月平均增长率是多少？

8.三个连续正整数最大数的立方与最小数的立方的差比中间一个数的40倍大16，求这三个数.

9.某工人要做一个高6cm、容积为9002

cm的无盖长方体铁盒，并使它的底面的长比宽多5，求所选用的长方形铁皮的长和宽应分别为多少？

10.一个两位数等于它的个数字的2倍的平方，且个位数字比十位数字小2，求这个两位数.

11.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元作购物用，剩下的1000元及扣利息税（利息税的税为20%）后应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后得本金和利息，扣除应缴的利息后实得1062.10元，求这两年这种存款年率是多少？

12.某化肥厂原日产量为500吨，但由于管理不善，日产量减少了10%.之后加强了管理，两个月后日产量达到了648吨，求这两个月的平均增长率是多少？

13.以墙为一边（墙长7米），再用13米长的铁丝围成一个面积为202

cm的长方形，求长方形的长、宽各为多少米？

14.甲船向正东方向航行，在A处发现乙船在它的北偏东30o方向60海里的B处，且正沿南偏西30o的方向航行.经过半小时，甲船行到D处，发现乙船恰在自己的正北方向的C处.已知甲船的速度是乙船速度的1.5倍，求甲乙两船的速度.

15.某商场于第一年年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终都将当年获得的年利润与当年年初投入资金的总和作为下一年年初投入资金，继续进行经营.如果第二年的年获利率比年一年的年获利率上升10个百分点，第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率.