河南省郑州市2018-2019学年高一下学期期末考试 数学(word版))

河南省郑州市2019.6.11下午14：30-16：30考试用卷

2018-2019学年下期期末考试

高一数学试题卷

注意事项：

本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡。

第I 卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．→AB ＋→BD －→AC ＝

A ．→AC

B ．→CD

C ．→AB

D ．→DB 2．sin140°cos10°＋cos40°sin350°＝

A ．12

B ．－12

C ．32

D ．－32

3．某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从815人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率

A ．不全相等

B ．均不相等

C ．都相等，且为6163

D ．都相等，且为127

4．第十一届全国少数民族传统体育运动会将于2019年9月8日至16日在郑州举行.如下图所示的茎叶图是两位选手在运动会前期选拔赛中的比赛得分，则下列说法正确的是 A ．甲的平均数大于乙的平均数 B ．甲的中位数大于乙的中位数 C ．甲的方差大于乙的方差 D ．甲的极差小于乙的极差

5．要得到函数y ＝23cos 2x ＋sin2x －3的图象，只需将函数y ＝2sin2x 的图象

A ．向左平移π3个单位

B ．向右平移π

3个单位

C ．向左平移π6个单位

D ．向右平移π

6

个单位

6．如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋1

102

的值的一个程序框图，其中判断框中应填入的是

A ．i ＞102

B ．i ≤102

C ．i ＞100

D ．i ≤100

7．如图所示，在△ABC 内随机选取一点P ，则△PBC 的面积不超过四边形ABPC 面积的概率是 A ．12 B ．14 C ．13 D ．3

4

8．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π

3

＋2α)＝

A ．13

B ．－13

C ．79

D ．－7

9

9．已知边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，点E 满足→BE ＝12

→EC ，则→AE ·→

BD 的值是

A ．－13

B ．－12

C ．－14

D ．－16

10．已知α，β∈(0，π2)，cos α＝17，cos(α＋β)＝－11

14，则β＝

A ．π6

B ．5π12

C ．π4

D ．π

3

11．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 满足应→BE ＝2→EC ，→CF ＝2→

FD ，EF 与AC 交于点G ，设→AG ＝λ→

GC ，则λ＝

A ．97

B ．74

C ．72

D ．92

12．设f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，ab ≠0，若f (x )≤|f (π

6)|对任意x ∈R 成立，则下列命题中正确的命题

个数是

(1) f (11π

12)＝0；

(2) |f (7π10)|＜|f (π5

)|；

(3) f (x )既不是奇函数又不是偶函数；

(4) f (x )的单调增区间是[k π＋π6，k π＋2π

3]（k ∈Z ）；

(5)可能存在经过点（a ，b ）的直线与函数的图象不相交 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．平面向量a ，b 的夹角为120°，若|a |＝2，|b |＝1，则|a －3b |＝______. 14．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C ＝_____.

15．水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发。市疾控中心为了调查某校高一年级

学生注射水痘疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数都不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本数据中的最大值是_______

16．如图在△ABC 中，已知|AB |＝|AC |＝1，∠A ＝120°，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且→

AE ＝α→AB ，→AF ＝β→

AC ，其中α，β∈(0，1)，且α＋4β＝1. 若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则|MN |的最小值为________

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）

已知平面向量a ＝(2，2)，b ＝(x ，－1). （I ）若a //b ，求x ；

（Ⅱ）若a ⊥(a 一2b )，求a 与b 所成夹角的余弦值.

18.（本小题满分12分）

如图所示，在平面直角坐标系中，角α与β（0＜β＜α＜π）的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于P 、Q 两点，点P 的横坐标为－4

5

.

（I ）求

sin2α＋cos2α

1＋cos 2α

；

（Ⅱ）若→OP ·→

OQ ＝33

，求sin β.

19.（本小题满分12分）

2019年5月5日6时许，桂林市雁山区一出租房发生一起重大火灾，事故发生后，附近消防员及时赶到，控制住火情，将灾难损失降到了最低．某保险公司统计的数据表明：居民住宅区到最近消防站的距离x （单位：千米）和火灾所造成的损失数额y （单位：千元）有如下的统计资料：

统计资料：

）： （I ）相关系数r ； （Ⅱ）线性回归方程；

（Ⅲ）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米，评估一下火灾的损失

参考数据：∑6i ＝1

x i y i ＝764.36，∑6i ＝

1(x i －ˉx )(y i －ˉy )＝80.30 ∑6i ＝1

(x i －ˉx )2

＝14.30，∑6

i ＝

1

(y i －ˉy )2

≈471.65，∑6

i ＝1

(x i －ˉx )2

∑6

i ＝

1

(y i －ˉy )2

≈82.13 参考公式：相关系数r ＝

∑n i ＝1(x i －－x )( y i －－y )

∑n i ＝1

(x i －－

x )2

∑n i ＝1

(y i －－

y )

2

回归方程：y ^＝b ^x ＋a ^

中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

b ^

＝∑n i ＝1

(x i －ˉx )(y i －ˉy )

∑n

i ＝1

(x i －ˉx )2

， a ^＝ˉy －b ^

ˉx

已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π

2

）的部分图象如图所示：

（I ）求f (x )的解析式及对称中心坐标；

（Ⅱ)将f (x )的图象向右平移π

6个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将

图象向上平移1个单位，得到函数g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在x ∈[0，7π

6]上的单调区间及最值

21.（本小题满分12分）

近年来，郑州经济快速发展，跻身新一线城市行列，备受全国瞩目.无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右.为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a ＝4b

（I ）求a ，b 的值；

（Ⅱ）求被调查的市民的满意程度的平均数，众数，中位数；

（Ⅲ）若按照分层抽样从[50，60)，[60，70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50，60）的概率。

已知向量a ＝(3cos ωx ，cos ωx )，b ＝(sin ωx ，－cos ωx )，ω＞0且函数f (x )＝a ·b 的两个对称中心之间的最小距离为π2

(I)求f (x )的解析式及f (π

3

)的值；

(Ⅱ)若函数g (x )＝a ＋1－2f (x

2)在x ∈[0，π]上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.

2018—2019学年下期期末考试 高中一年级 数学 参考答案

一、选择题

1—5 BACCC 6—10 BDDAD 11—12 CB 二、填空题

13

14.π

3 15.10

三、计算题

17.解：（1）∵,a b ∴1221-=0x y x y 可得x ＝﹣1．……………………（4分） （2）依题意a ﹣2＝（2﹣2x ，4）．∵a ⊥（a ﹣2）， ∴a ?（a ﹣2）＝0，即4﹣4x +8＝0，

解得x ＝3，∴b ＝（3，﹣1）．……………………（8分） 设向量a 与的夹角为θ，∴5

cos 5

a b a b

θ=

=

．……………………（10分） 18.解：（1）由题意可得cos α＝－45，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－3

4，……（2分）

∴

＝

＝

＝﹣

．

……（6分）

（2）若

?

＝|OP |?|OQ |?cos （α﹣β）＝cos （α﹣β）＝

，即 cos （α﹣β）＝

，

∴sin （α﹣β）＝＝

． ……（9分）

∴sin β＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sin αcos （α﹣β

）﹣cos αsin （α﹣β）＝

﹣（﹣）?

＝

．

……（12分）

19.解：Ⅰ)∑∑∑

===----=

n

i n

i i

i

n

i i

i

y y

x x y y x x r 1

1

2

21)()()

(）（=

. ……………………（2分）

Ⅱ依题意得

,

∑

==

--6

1

30.80)(i i

i

y y x x ）（，∑==-6

1

2

30.14i i x x ）（,

所以6

1

6

2

1

()()

80.30

? 5.6214.30

()

i

i

i i

i x x y y b

x x ==--==

≈-∑∑. 又因为??

29.23-5.62 3.97.31a y bx

=-=?≈, 故线性回归方程???=5.62+7.31y

a bx x =+ . ……………………（9分） 当时，根据回归方程有：y

，发生火灾的某居民区

与最近的消防站相距

千米，火灾的损失

千元．………（12分）

20.解：解：（1）由图象可知，可得：A ＝2，B ＝﹣1，……………………（2分）

又由于＝﹣

，可得：T ＝π，所以

，……………………（3分）

由图象知1)12

(=π

f ，1)12

2sin(=+?

?π

，又因为3

26

3

π

?π

π

<

+<

-

所以2×

+φ＝， φ＝

，

所以f （x ）＝2sin （2x +）﹣1． ……………………（4分）

令2x +

＝k π，k ∈Z ，得x ＝

﹣

，k ∈Z ， 所以f （x ）的对称中心的坐标为（

﹣

，﹣1），k ∈Z ．…（6分）

（2）由已知的图象变换过程可得：g （x ）＝2sin x ……………………（8分）

由g （x ）＝2sin x 的图像知函数在0≤x ≤

上的单调增区间为]2

,

0[π

， 单调减区间]6

72

[π

π，……………………（10分）

当2

π

=

x 时，g （x ）取得最大值2；当6

7π

=

x 时，g （x ）取得最小值1-. ………………（12分） 21解：

（Ⅰ）依题意得（a +b +0.008+0.027+0.035）×10＝1，所以a +b ＝0.03，

又a ＝4b ，所以a ＝0.024，b ＝0.006. ………………（2分）

（Ⅱ）平均数为550.08650.24750.35850.27950.0674.9?+?+?+?+?=,

中位数为0.50.080.24

7075.14.0.035

--+

≈

众数为

7080

752

+=.………………（5分） （Ш）依题意，知分数在[50，60）的市民抽取了2人，记为a ，b ，分数在[60，70）的市民抽取了6人，记为1，2，3，4，5，6，

所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为：（a ，b ），（a ，1），（a ，2），（a ，3），（a ，4），（a ，5），（a ，6），（b ，1），（b ，2），（b ，3），（b ，4），（b ，5），（b ，6），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共28种， ……………（8分） 其中满足条件的为（a ，b ），（a ，1），（a ，2），（a ，3），（a ，4），（a ，5），（a ，6），（b ，1），（b ，2），（b ，3），（b ，4），（b ，5），（b ，6）共13种， ……………（11分） 设“至少有1人的分数在[50，60）”的事件为A ，则P （A ）＝．……………（12分）

22.解：（Ⅰ）()f x a b =＝cos ωx sin ωx ﹣cos 2ωx ＝

sin2ωx ﹣（1+cos2ωx ）

═

sin2ωx ﹣cos2ωx ﹣＝sin （2ωx ﹣）﹣， ……………（2分）

∵函数()f x a b =的两个对称中心之间的最小距离为，

∴＝

，得T ＝π，ω>0,即T ＝

＝π，得ω＝1，

即f （x ）＝sin （2x ﹣）﹣． ……………（5分） 则f （

）＝sin （2×

﹣

）﹣＝1﹣＝， ……………（6分） （Ⅱ）函数g （x ）＝a +1﹣f （）＝a +1﹣

[sin （x ﹣

）﹣]＝0，

得a ＝

sin （x ﹣

）﹣﹣1， ……………（8分） 当0≤x ≤π时，﹣≤x ﹣≤，

当

≤x ﹣

≤

且x ﹣≠

时，y ＝sin （x ﹣

）才有两个交点，

此时≤sin （x ﹣）＜1，

则，≤

sin （x ﹣）＜

， ……………（10分） 即0≤

sin （x ﹣）﹣

＜

，﹣1≤

sin （x ﹣

）﹣

﹣1＜

﹣1，

即﹣1≤a ＜﹣1，

即实数a 的取值范围是[﹣1，

﹣1）． ……………（12分）