钻井布局问题

收稿日期:1999210209

作者简介:张斌武(1969-),男,新疆乌苏人,硕士,讲师,数学专业.

　

文章编号:100921130(2000)0320058205

钻　井　布　局　问　题

张斌武,　秦　榛

(河海大学常州校区数理部,江苏常州　213022)

摘要:提出了“扩展单位方格”的概念及“变步长步进法”的算法思想,较好地解决了“99创维杯全国大学生数学建模竞赛”B 题的第一问题,克服了传统的定义搜索法的繁琐、可靠性不高的缺点.本文的算法简单方便,编程计算的可操作性强.关键词:单位方格;扩展单位方格;网络结点中图分类号:O 224 文献标识码:A

0　引 言

地质勘探部门为在某地区内找矿,首先进行初步勘探,零散地在若干位置上钻井,取得了地质资料.然后进入“撒网式”的系统勘探.由于通常情况下,钻新井的费用远高于利用旧井的费用,所以如果能利用初步勘探时所打的旧井,便可以节省大量费用.

设平面上有n 个点P i ,其坐标为(a i ,b i ),i =1,2,…n ,表示已有的n 个旧井位.新的井位是一个正方形网格N 的所有结点.设每个格子的边长为1单位.整个网格可以在平面上横向和纵向移动.如一个点P i 与某个网格结点X i 的绝对距离不超过给定误差Ε(Ε=0.05单位)时认为旧井P i 可以利用,不必再在X i 处打新井.A (a 1,b 1)与B (a 2,b 2)的绝对距离为它们的横坐标之差的绝对值及纵坐标之差的绝对值的最大值.即:m ax { a 2-a 1 , b 2-b 1 }.

勘探部门要求在只考虑整个网格在平面上横向和纵向移动时,在绝对距离的意义上,如何放置网格N ,使旧井尽可能多地被利用,从而节约勘探费用.给出数值计算方法,并对给定的数据进行分析计算.

1　有关定义及定理

1.1　有关定义

a .网格纵线和横线的交叉点(即系统勘探时新井的井位)称为网格结点.b

.旧井到最近的网络结点的距离不超过给定误差,该误差为工程误差.c .旧井到最近的网格结点的距离不超过工程误差,称为旧井可利用

.d .单位方格:以边长为一个单位长度的正方形称为单位方格

.e .压缩单位方格:把旧井坐标值(a i ,b i )分别加上一个整数,使该坐标均为正纯小数

第14卷第3期2000年9月 河　海　大　学　常　州　分　校　学　报JOU RNAL O F HOHA IUN I V ERS ITY CHAN GZHOU V ol .14N o .3

Sep.2000

(a i ′,b i ′),则得到的以(a i ′,b i ′)为坐标的点P i ′在单位方格内,则该单位方格连同其内的点统称

为压缩单位方格(对坐标均为正的井点P i (a i ,b i ),只须去掉其坐标的整数部分就得到P i ′

(a i ′,b i ′).f .扩展单位方格:把所有点P i (a i ,b i )压缩到单位方格内后得到P i ′

(a i ′,b i ′),把单位方格连同其内的点P i ′(a i ′,b i ′

)向右平移一个单位,然后再向上平移一个单位,再把原单位方格向上平移一个单位,得到一个以两个单位长度为边长的正方形方格,取其中包含原有正方形方格的(1

+2Ε)长度为边长的正方形,则该正方形连同其内的点(a i ″,b i ″)称为扩展单位方格.1.2　模型假设

a .地表平坦,无起伏,即所有的井分布在同一平面上

.b

.打井不受地质条件的限制.忽略地持结构的差异对打井难易程度的影响.c .在

“撒网”时,网格的面积足够大,当移动网格时,网格仍可以覆盖所给出的旧井.d .在绝对距离的误差意义下,网格的横向和纵向是固定的,即网格不旋转;1.3　符号说明

定义中,(r i ′,s i ′)=(a i ′+1,b i ′),(u i ′,v i ′)=(a i ′,b i ′+1),(c i ′,p i ′)=(a i ′+1,b i ′+1)

将所有的扩展单位方格内的点的横坐标排序,即a i ′,r i ′,u i ′,c i ′按小到大排序得到一个序

列x 1

.表1 符号说明

Table 1　The def i n iti on of sy m bol

符号

　含义

n

旧井个数

(a i ,b i )旧井P i 的坐标

(a i ′,b i ′

)旧井P i 压缩后的点P i ′的坐标

(r i ′,s i ′)扩展单位方格内单位方格外右侧的点R i ′(r i ′,s i ′)的坐标(u i ′,v i ′)扩展单位方格内单位方格外上侧的点U i ′(u i ′,v i ′)的坐标(c i ′,p i ′

)扩展单位方格内单位方格外右侧的点C i ′(c i ′,p i ′

)的坐标Ε工程误差(Ε=0.05单位长度)(a i ″,b i ″

)扩展单位方格内所有点的坐标

1.4　有关定理

定理1　当P i 点压缩至单位方格N 0内得到点P i ′,则P i 与P i ′可利用情形是否一致.证明　P i 点是否被某个网格可利用,取决于该点与最近网格结点的绝对距离.P i (a i ,b i )被

压缩后的坐标P i ′(a i ′,b i ′),a i =k 1+a i ′,b i =k 2+b i ′,式中k 1,k 2为整数,只须考虑k 1,k 2均为非负

的情况,否则可以采用坐标平移的方法使P i (a i ,b i )在新坐标系下的坐标均为非负.

由取整函数性质可知

[a i ′+k 1+0.5]=k 1+[a i ′+0.5],　[b i ′+k 2+0.5]=k 2+[b i ′+0.5]

P i ′

点与单位方格结点最近距离 w i ′=m ax { a i ′-[a i ′+0.5] , b i ′-[b i ′+0.5] }

P i 点与相应网格结点的最近距离

w i =m ax { a i -[a i +0.5] , b i -[b i +0.5] }

=m ax { a i ′+k 1-[a i ′+k 1+0.5] , b i ′+k 2-[b i ′+k 2+0.5] }

9

5第14卷第3期 张斌武,等　钻井布局问题

06 河　海　大　学　常　州　分　校　学　报 2000年9月

=m ax{ a i′-[a i′+0.5] , b i′-[b i′+0.5] }

=w i′

所以,P i点与某个网格结点的距离同P i′点与该网格的相应某个网格结点的距离不变,则

P i点压缩后可利用的情形不变.

定理2　当某些P i点压缩后得到的P i′(a i′,b i′)所集中的区域能被以2Ε单位长的正方形覆盖,则这些点可同时被一些正方形网格利用.

证明　某些P i点压缩后得到的P i′(a i′,b i′)集中在某一可被边长为2Ε的正方形覆盖的区域内,则该区域内点P i′(a i′,b i′)的坐标满足:

m ax{(m ax{a i′}-m in{a i′}),(m ax{b i′}-m in{b i′})}≤2Ε

以点(a,b)=([m ax{a i′}-m in{a i′}] 2,[m ax{b i′}-m in{b i′}] 2)作为网络结点.则点P i′都在网格结点(a,b)的网格结点区域内,均可被网格点(a,b)利用.

由定理1可得,则点P i至少在以点(a,b)为一个网格结点的整个网格内都可利用.

2　变步长步进法的算法思想[1]

该算法的基本思想是:把旧井坐标压缩到压缩单位方格内,然后得到扩展单位方格.用边长为2Ε的小正方形扫描扩展单位方格.

具体步骤是:

a.最初小正方形的左下角的坐标为(x1,y1),如果(a i″,b i″)点满足a i″≤x1+2Ε及b i″≤y1+

2Ε,则表明该点在该小正方形内,以此计算扩展单位方格中的点落在小正主形内的个数.接着把小正方形以d1=x2-x1为步长水平向右移动,移动后的小正方形的左下角的坐标为(x2, y1),如果(a i″,b i″)点满足a i″≤x2+2Ε及b i″≤y1+2Ε,则表明该点在该小正方形内,以此计算扩展单位方格中的点落在小正方形内的个数.以此类推得:把第k个小正方形以d k=x k+1-x k为步长水平向右移动,移动后的小正方形的左下角的坐标为(x k+1,y1),如果(a i″,b i″)点满足a i″≤x k+1+2Ε及b i″≤y1+2Ε,则表明该点在该小正方形内,以此计算扩展单位方格中的点落在小正方形内的个数.如果x k+1=m ax{a i″,Πa i″<1}则不再水平向右移动.

b.用左下角的坐标为(x1,y2)的小正方形水平向右移动.依次的步长仍为d1,d2…d s,直到左下角的坐标为(x s+1,y2)满足x s+1=m ax{a i″,Πa i″<1}时则不再水平向右移动.

c.一般地:用左下角的坐标(x1,y i)的小正方形水平向右移动.依次的步长仍为d1,d2,…

d s,直到左下角的坐标为(x s+1,y i)满足x s+1=m ax{a i″,Πa i″<1}时则不再水平向右移动.当y i =m ax{b j″,b j″<1}时整个搜索停止.

d.算出扩展单位方格中落在这些小正方形内的点数的最大值,即为可利用的最多的旧井数.

3　用该算法思想对给定数据的处理[2,3]

3.1　可利用的最多的旧井数

下面就具体给定的数据进行处理.

则得当小正方形的左下角的坐标为(0.37,0.5)时,该小正方形内有4个点P2′(a2′,b2′), P4′(a4′,b4′),P5′(a5′,b5′),P10′(a10′,b10′),且不再存在比4个点更多的小正方形.

表2　扩展单位方格中的井点坐标

Table2　W ellpo i n t coordi n a tes i n expandi n g un it square

P1′(a1′,b1′)(0.50,0.00)P7′(a7′,b7′)(0.72,0.24)R3′(r3′,s3′)(1.00,0.50) P2′(a2′,b2′)(0.41,0.50)P8′(a8′,b8′)(0.43,0.10)U2′(u1′,v1′)(0.50,1.00) P3′(a3′,b3′)(0.00,0.50)P9′(a9′,b9′)(0.57,0.01)U6′(u6′,v6′)(0.72,1.00) P4′(a4′,b4′)(0.37,0.51)P10′(a10′,b10′)(0.38,0.50)U8′(u8′,v8′)(0.43,1.10) P5′(a5′,b5′)(0.40,0.50)P11′(a11′,b11′)(0.98,0.41)U9′(u9′,v9′)(0.57,1.01) P6′(a6′,b6′)(0.72,0.00)P12′(a12′,b12′)(0.50,0.80)

表3　扩展单位方格内的点的横坐标及纵坐标的排序

Table3　The sorti n g of the absc iss a and verti ca l coordi n a tes of wellpo i n t i n expandi n g un it square x10.0y10.0x50.41y50.41x90.72y91.0 x20.37y20.01x60.43y60.5x100.98y101.1 x30.38y30.1x70.5y70.51x111.1y111.01 x40.40y40.24x80.57y80.8

故由定理2的证明及定理1可得当网格的某结点坐标为(0.39,0.505)时,同时可利用的旧井数最多为2、4、5、10四个点.

3.2　具体问题的稳定性分析

当所有在该边长为2Ε的正方形内的扩展压缩方格内的点均在单位方格N0内.设这些点为k个点(a i1′,b i1′),(a i2′,b i2′),…,(a ik′,b ik′),小正方形的左下角的坐标为(x i,y j),讨论(x i,y j)的变化范围,使新得到的边长为2Ε的正方形内的点仍为这k个点.

如该小正方形左下角坐标移到点(x′,y′),则(x i,y j)向上最多移动到y u=m in

1≤s≤k

{b i s′},向下

最多移动到y d=m ax

1≤s≤k {b i s′}-2Ε.故m ax

1≤s≤k

{b i s′}-2Ε≤y′≤m in

1≤s≤k

{b i s′},向右最多移动到x r=

m in 1≤s≤k {a i s′},向下最多移动到x l=m ax

1≤s≤k

{a i s′}-2Ε.故m ax

1≤s≤k

{a i s′}-2Ε≤x′≤m in

1≤s≤k

{a i s′}.

因此,当(x i,y i)移到m ax

1≤s≤k

{a i s′}-2Ε≤x′≤m in

1≤s≤k

{a i s′}与m ax

1≤s≤k

{b i s′}-2Ε≤y′≤m in

1≤s≤k

{b i s′}中的

任何一点时,该小正方形内所含的点不会改变,即:当网格的一个网格结点在m ax

1≤s≤k

{a i s′}-Ε≤x c

=x′+Ε≤m in

1≤s≤k {a i s′}+Ε与m ax

1≤s≤k

{b i s′}-Ε≤y c=y′+Ε≤m in

1≤s≤k

{b i s′}+Ε内任取时,可利用的旧井不

变且可利用的旧井仍最多.

以(0.37,0.5)为左下角的边长为2Ε=0.1的小正方形在单位方格中,且包含4个点,同时无任何一个边长为2Ε=0.1的小正方形包含扩展单位方格中4个以上的点,属于前面分析的一般情况,则小正方形的左下角坐标(x′,y′)在0.31≤x′≤0.37与0.41≤y′≤0.5变化时,可利用的旧井不变.

当网格的一个网格结点在

0.31+0.05≤x c=x′+0.05≤0.37+0.05 0.41+0.05≤y c=y′+0.05≤0.5+0.05 即:　

0.36≤x c≤0.42

0.46≤y c≤0.55

内任取时,可利用的旧井不变且可利用的旧井数仍为4个.16

第14卷第3期 张斌武,等　钻井布局问题

26 河　海　大　学　常　州　分　校　学　报 2000年9月

4　结　束　语

“变步长步进法”的算法思想还可以改进,使所搜索的小正方形的个数大大减少,但增加了一些的判定条件.而本文给出和算法比较直观,容易用程序实现.

参考文献:

[1]　邓成梁.运筹学(OR)的原理和方法[M].武汉:华中理工大学出版社,1996.1082117.

[2]　范鸣玉,张莹.最优化技术基础[M].北京:清华大学出版社,1982.55267.

[3]　杨惠连,张涛.误差理论与数据处理[M].天津:天津大学出版社,1992.59285.

The Layout of W ell D r ill i n g

ZHANG B i n-wu,　QI N Zhen

(D ep t.of M athe m atics and Physics,Hohai U n iv.,Changzhou,J iangsu213022) Abstract:In th is paper,a concep t of“expanding un it square”and an algorithm of"Change2step2 search ing m ethod"is put for w ard,w h ich s olves the first p roble m of Part B in the1999Skyworth Cup M athe m aticsM odeling Contest Fo r U n iversity Studen ts N ati on2w ide.Characteristic of being si m p le,convenien t and feasible,the m ethod m ay hel p to avo id the overelaborati on and l ow reliability caused by the traditi onal"fixed2step2search ing m ethod".

Key words:un it square;expanding un it square;m eshnode