【20套精选试卷合集】江苏省无锡市第一女子中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

高考模拟数学试卷

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；

2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数x

x

y -+=11log 2

的定义域是 ． 2．函数x x y 2

2

sin cos -=的最小正周期=T ．

3．已知全集R U =，集合{}|0,R A x x a x =+≥∈，{}||1|3,R B x x x =-≤∈．若U ()[2,4]C A B =-I ，则实数a 的取值范围是 ．

4．已知等差数列{}*

(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，则n

n

n S na ∞→lim

的数值是 ．

5．函数)1,0(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间是 ．

6．函数)0()(2

≤-=x x x f 的反函数是)(1

x f -，则反函数的解析式是=-)(1

x f

．

7．方程1)34(log 2+=-x x

的解=x ．

8．在ABC ?中，角C B A 、、所对的边的长度分别为c b a 、、，且ab c b a 32

2

2

=-+， 则=∠C .

9．已知i (i 11-=x 是虚数单位，以下同)是关于x 的实系数一元二次方程02=++b ax x 的一个根，则实数=a ，=b ．

10．若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是 ．

11．(文) 已知直线05301221=+-=-+y x l y x l ：，：，则直线21l l 与的夹角的大小是 ．(结

果用反三角函数值表示)

12． (文) 已知实数y x 、满足线性约束条件??

?

??≤+-≤-+≥-.053,04,

03y x y x y x 则目标函数1--=y x z 的最大值是 ．

13． (文)某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的7个乒乓球(袋中仅有白色和黄色两种颜色的球)，若从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是7

2

，则从袋中一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是 ．

14．已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当0≥x 时，?????≥<≤??? ??=2log 2

0,21)(16

x x x x f x

．

若关于x 的方程

2[()]()0f x a f x b +?+=(R)a b ∈、有且只有7个不同实数根，则

(文) b a +的值是 ．

二．选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．已知R a b ∈、，且0ab ≠，则下列结论恒成立的是 [答] ( )．

A ． ab b a 2≥+

B ．

2≥+a b b a C ．2||≥+a

b

b a D ．222a b ab +> 16．已知空间直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“α||l ”的

[答] ( )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件

17．已知2

2

R,0a b a b ∈+≠、，则直线0=+by ax l ：与圆：02

2=+++by ax y x 的位置关系是

[答] ( )．

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．不能确定

18．(文) 四棱锥S ABCD -的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如下(AB 平行于主视图投影平面)

则四棱锥S ABCD -的体积= [答]( ) ． A ．24 B ．18 C ．85

3

D ．8

三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．

19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

(文) 已知矩形11ABB A 是圆柱体的轴截面，1O O 、分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2:1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示． (1)求圆柱体的侧面积S 侧的值；

(2)若1C 是半圆弧11A B 的中点，点C 在半径OA 上，且1

2

OC OA =，异面直线1CC 与1BB 所成的角为θ，求sin θ的值．

20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题

第21题图

A

B

C

O

满分7分．

已知复数12cos i,1isin ,R z x z x x =+=-∈．

(1)求||21z z -的最小值；

(2)设21z z z ?=，记z z x f (Im Im )(=表示复数z 的虚部). 将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移

2

π

个单位长度，得到函数)(x g 的图像. 试求函数)(x g 的解析式．

21．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC 内，乙中转站建在区域AOB 内．分界线

OB 固定，且OB =(1百米，边界线AC 始

终过点B ，边界线OC OA 、满足0

75,30,45AOC AOB BOC ∠=∠=∠=． 设OA x =(36x ≤≤)百米，OC y =百米.

(1)试将y 表示成x 的函数，并求出函数y 的解析式；

(2)当x 取何值时？整个中转站的占地面积OAC S ?最小，并求出其面积的最小值．

22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知数列{}n a 满足n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*

N n ∈)．

(1)求753a a a 、、的值； (2)求12-n a (用含n 的式子表示)；

(3) (文) 记n n n a a b 212+=-，数列{}n b *

(N )n ∈的前n 项和为n S ，求n S (用含n 的式子表示)．

23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

(

文) 已知点D 在双曲线22

221(0,0)x y C a b a b -=>>：上，且双曲线的一条渐近线的方程是

03=+y x ．

(1)求双曲线C 的方程；

(2)若过点)1,0(且斜率为k 的直线l 与双曲线C 有两个不同交点，求实数k 的取值范围；

(3)设(2)中直线l 与双曲线C 交于B A 、两个不同点，若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数

k 的值．

参考答案和评分标准()

一、填空题

1．(1,1)-； 8．

6

p ； 2．p ； 9．2,2a b =-= ；

3．4a <- ； 10．100p ；

4．2； 11． (文) arctan 7)或； 5．[1,)+?； 12．(文) 32-

；

6．1

()0)f x x -=-

?； 13． (文)

1021

； 7．2log 3x = ； 14． (文) 1-. 二、选择题： 15．C 16．B 17．B 18．D 三、解答题

19．本题满分12分．

(文) 解(1)设圆柱的底面圆的半径为R ，依据题意，有2

1124,32AA AB R R AA ==π?=π，

∴ 2R =． ∴1=232S R AA ?=ππ侧． (2) 设D 是线段11A O 的中点，联结111DC DC O C 、、，则11111,||C O A B CD BB ⊥． 因此，1C CD ∠就是异面直线1CC 与1BB 所成的角，即1C CD ∠=θ．

又2R =，0

11190CDC C O D ∠=∠=，

∴11DC CC ==

∴sin θ=

=．

20．本题满分14分

解(1)∵12cos i,1isin ,R z x z x x =+=-∈，

∴12||z z -=

=

∴当sin()14x -

=-π

，即2(Z)4

x k k π

=π-∈时，

12min ||1)z z -==.

(2)∵12z z z =?，

∴12sin cos (1sin cos )i z z z x x x x =?=++-. ∴1

()1sin cos 1sin 2(R)2

f x x x x x =-=-

∈.

将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后，得到的图像所对应的函数是11

1sin 2

y x =-

. 把函数11sin 2y x =-

的图像向右平移2π

个单位长度，得到的图像对应的函数是211sin()22y x π=--．

∴11

()1sin()1cos (R)222

g x x x x π=-

-=+∈. 21．本题满分12分．

解(1)结合图形可知，BOC AOB AOC S S S ???+=．

于是，

000111

(130(145sin 75222x y xy +=，

解得(36)2

y x x =

≤≤-． (2)由(1)

知，(36)2

y x x =

≤≤-，

因此，2011sin 75242AOC

x S xy x ?==-

4

2)4]2

x x =

-++-

2≥+当且仅当4

22

x x -=

-，即4x =时，等号成立)． 答：当400x =米时，整个中转站的占地面积OAC S ?

最小，最小面积是4

(210+?平方米. 12分

22．本题满分18分．

解(1)Q n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*

N n ∈)，

121132432

5465376(1)0,33,14,313,112,339.

a a a a a a a a a a a a ∴=+-==+==+==+==-==+=

(2)由题知，有*

21213(1)(N )n n n n a a n +--=+-∈．

112123222325121121

21122

5311313(1)3(1)(333)[(1)(1)(1)]3(1)3(1)n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----------?

∴-=+-?

-=+-?

??-=++++-+-++-??-=+-?

?-=+-?

M L L ．

∴*213(1)1(N )2n n

n a n ---=

-∈． (文) (3)由(2)可知，2213(1)(1)12

n n

n

n n a a -+-=+-=

-，*N n ∈． ∴*

21232(N )n n n n b a a n -=+=-∈．

∴123n n S b b b b =++++L 2

3

(32)(32)(32)(32)n

=-+-+-++-L

1*3(13)13

232(N )1322

n n n n n +-=

-=?--∈-． 23．本题满分18分．

(文) 解(1)

由题知，有22

12

1,a b b a

?-=????=??

解得221

,

31.a b ?=???=?

因此，所求双曲线C 的方程是

22

1113

x y -= (2) ∵直线l 过点)1,0(且斜率为k ，

∴直线l ：1y kx =+．

联立方程组2231,1

x y y kx ?-=?=+?得22

(3)220k x kx ---=．

又直线l 与双曲线C 有两个不同交点，

∴2

22

30,(2)4(3)(2)0.

k k k ?-≠???=---->??

解得((k ∈U U ．

(3)设交点为1122(,)(,)A x y B x y 、，由(2)可得122

122

2,32.3k x x k x x k ?

+=??-?-?=?-?

又以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，

因此，(OA OB O ⊥u u u r u u u r

为坐标原点）．

于是，

0,OA OB ?=u u u r u u u r 即12120x x y y +=，21212(1)()10k x x k x x ++++=， 22

22

2(1)21033k k k k

-+++=--， 解得1k =±．

又1k =±满足2

30k -≠，且0?>，

所以，所求实数1k =±．

高考模拟数学试卷

数 学（理工类）

本试卷4页，共22题，其中第15、16题为选考题。满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集U ＝R ，{}|1A x x =<，{}|2B y x y =-+=，则集合?U （A ∪B ）＝( )

A ．{}|12x x ≤<

B ．{}|12x x <≤

C ．{}|1x x ≥

D ．{}|2x x ≤

2.已知i 为虚数单位，R a ∈，若

i

a i

+-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于（ ） A ．2 B ．3 C ．11 D ．6 3.()sin()(0,0)f x A x A ω?ω=+>>在1x =处取得极大值，则（ ） A ．(1)f x -一定是奇函数 B ．(1)f x -一定是偶函数 C ．(1)f x +一定是奇函数

D ．(1)f x +一定是偶函数

4.一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形。若 该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是（0，0，0）， （2，0，0），（2，2，0），（0，2，0），则第五个顶点的坐标可能为( ) A ．（1，1，1） B ．（1，1，3） C ．（1，1，2） D ．（2，2，3） 5．已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为(,)MOD n m ，其结果为n 除以m 的余数，例如(8,3)2MOD =. 下面是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为（ ）.

A ．7

B ．5

C ．6

D ．4

6.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表

示击中目标，以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.852 B ．0.8192 C ．0.8 D ．0.75

7.已知,x y 满足约束条件1

33x x y ay x ≥??+≤??≥-?

,若2x

z y =+的最小值为1,则实数a 的值是 ( )

A.4

B.

1

2

C. 2

D. 1 正视图

侧视图

俯视图

8.对任意正数,x y，不等式

3

33

x y

k

x y x y

+≤

++

恒成立，则实数k的取值范围是（

）

A．

5

,

4

??

+∞?

???B．

63

,

4

??

-

+∞?

??

??

C ．[)

1,+∞D．

3

,

2

??

+∞?

??

??

9.已知椭圆:

C

22

22

1

x y

a b

+=（0

a b

>>）的左右顶点分别为A，B，左右焦点分别为1F，2F，点O为坐标原点，线段OB的中垂线与椭圆在第一象限的交点为P，设直线PA，PB，1

PF，

2

PF的斜率分别为1k，2k，3k，4k，若12

1

4

k k?=-，则

34

k k?=( )

A．

3

B．

8

3

-C．

3

8

-D．4-

10.已知函数

??

?

?

?

>

-

≤

-

+

=

),1

(

,

1

1

)

(

x

x

f

x

x

x

x

f,则函数a

e

x

f

x

g x+

-

=)

(

)

(的零点个数不可能是（）A．3 B．0 C．2 D．1

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请

将答案填在答题卡

．．．对应题号

．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

（一）必考题（11—14题）

11.若(1,1),(2,)

a b x

→→

=-=，且a

→

在

()

a b

→→

-上的投影为1-，则x=

12.已知a＞0，(x–

2

x

a

)6的二项展开式中，常数项等于60，则(x–

2

x

a

)6的展开式中各项系数之和为（用数字作答）．

13.曲线x y

+＝1与两坐标轴所围成图形的面积是

14.图中的三角形称为希尔宾斯三角形，在下列四个三角形中，黑色三角形的个数依次构成数列{}n a的前

四项，依此着色方案继续对三角形着色.

（1）数列{}n a的通项公式n a=_____________；

（2）若数列{}n b满足1

2

()

3

n

n n

b a

+

=?，记012320

20202012022019

M C C C b C b C b

=+++?++?

L，

则M的个位数字是_________．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）

15.（选修4-1：几何证明选讲）如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若

…

AB=6,AE=1,则DF·DB=________

16. （选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C

的参数方程为,,

x t y t ?????

（t 为参数），C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，则l 的极坐标方程为

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

在等比数列{}n a 中，其前n 项和为n S ,已知233=a ,2

9

3=S . （I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）是否存在正整数n ，使得32

3

2=-+n n S S 成立，若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由.

18.（本小题满分12分）

在△ ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且

2

1

2cos cos sin()sin cos()22A B B A B B A C ---++=-

(Ⅰ)求A ；

(Ⅱ)D 为边BC 上一点，BD=3DC ，∠DAB=π

2，求tanC ．

19.（本小题满分12分）

在如图4所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，平面AEC ⊥平面ABCD ，90ACB ∠=?，

EF ∥BC ，BC EF 2

1

=

，2==BC AC ，EC AE =． （Ⅰ）求证：CF AF =．

（Ⅱ）当二面角D EC A --的平面角的余弦值为3

3

时，求三棱锥A EFC -的体积．

A

D

E

F

20.（本小题满分12分）

某通讯设备每台的销售利润与该设备的无故障使用时间Q(单位：年)有关，若Q≤1,则 销售利润为0元；若13,则销售利润为20万元.已知 每台该种设备的无故障使用时间为Q≤1,13这三种情况发生的概率分别p 1,p 2,p 3, 又知p 1, p 2是方程25x 2-15x+a=0的两个根，且p 2=p 3. (Ⅰ)求a 的值；

(Ⅱ)记两台这种设备的销售利润之和为ξ，求ξ的分布列和期望.

21.（本小题满分13分）

如图，抛物线1C ：px y 22

=与椭圆2C ：112

162

2=+y x 在第一象限的交点为B ，O 为

坐标原点，A 为椭圆的右顶点，OAB ?的面积为3

6

8. （Ⅰ）求抛物线1C 的方程；

（Ⅱ）过A 点作直线l 交1C 于C 、D 两点，射线OC 、OD 分别交2C 于E 、F 两点，记

OEF ?和OCD ?的面积分别为1S 和2S ，问是否存在直线l ，使得77:3:21=S S ？若存在，

求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

22.（本小题满分14分）

已知函数()()2*2

1

n nx ax

f x n N x -=∈+的图象在点()()0,0n f 处的切线方程为y x =-. (Ⅰ)求a 的值及1()f x 的单调区间

(Ⅱ)是否存在实数k ，使得射线()3y kx x =≥-与曲线()1y f x =有三个公共点？若存 在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由

(Ⅲ)设12,,n x x x L ，为正实数，且121n x x x +++=L ， 证明：()()()120n n n n f x f x f x +++≥L

宜昌一中2015年高考适应性考试（二）数学（理）

评 分 标 准

17.（1）设等差数列的公比为q ，依题意，有212a q =

，21112a a q a q ++=…………2分

解得 13,12a q ==或11

6,2a q ==- ………………4分 故数列{}n a 的通项公式为32n a =或1

162n n a -??

=?- ???

………………6分

（2）①当13

,12a q ==时，由32

3

2

=-+n n S S 333

(2)2232

n n ?-+=，无

解 ………………7分 ②当

116,2a q ==-

时，141()2n n S ?

?=--???

?，

D

由3232=

-+n n S S 11

()5232

n n ?-=-?= ……………11分 综合①②知，存在比为5n =，使得32

3

2=-+n n S S 成立 ……………12分 18.（Ⅰ）（过程略）A ＝2π

3．

…5分

（Ⅱ）因为∠DAB ＝

π 2，所以AD ＝BD ·sinB ，∠DAC ＝ π 6． 在△ACD 中，有AD sinC ＝CD sin ∠DAC

，又因为BD ＝3CD ，所以3sinB ＝2sinC ， 由B ＝ π 3－C 得332cosC － 3

2sinC ＝2sinC ，整理得tanC ＝

33

7

．

…12分

19．（Ⅰ）证明：因为ο

90=∠ACB ，平面AEC 平面ABCD ，所以⊥BC 平面AEC ,

又EF ∥BC ，所以⊥EF 平面AEC ，所以CE EF AE EF ⊥⊥,,又EC AE =，所以CEF ?≌

AEF ?,∴CF AF =； ………………………………………………5分

（Ⅱ）取AC 的中点O ，因为EC AE =，所以AC EO ⊥,又平面AEC 平面ABCD ，

所以⊥EO 平面ABCD , …………………………………………………6分 如图建立空间直角坐标系，则)0,0,1(C ，)0,0,1(-A ，)0,2,1(-D ,设),0,0(m E

),2,1(),,0,1(m ED m EC --=-=∴，设平面ECD 的法向量为(1x n =则由?????=?=?0011ED n n ,即???=-+-=-020m y x m x ，得m y m x ==,)1,,(1m m n =∴ 由（Ⅰ）知⊥EF 平面AEC ，所以平面AEC 量为2(0,1,0)n FE ==u

u r u u u r

,121212cos ,||||n n n n n n ?∴<>===u u r u u r

u u r u u r u u r u u r ，

1

=∴m ,

所

13A EFC F AEC ACE V V EF S --?==?111

112323

=????= ………………12分

20．解： (1)由已知得p 1+p 2+p 3=1,∵p 2=p 3,∴p 1+2p 2=1. ∵p 1,p 2是方程25x 2-15x+a=0的两个根，∴1212312p p ,p ,p .555+=

∴== 12225

p p ∴= 故a=2 …………4分 (2)ξ的可能取值为0,10,20,30,40. P(ξ=0)=111,5525?= P(ξ=10)=124

25525

??=, P(ξ=20)=122282,555525??

+?= P(ξ=30)=2282,5525??=P(ξ=40)=224

.5525

?= 随机变量ξ的分布列为

E(ξ)= 14884

010********.2525252525

?

+?+?+?+?=…………………12分 21. 解 (Ⅰ)因为OAB ?的面积为

368,所以364=B y ，代入椭圆方程得)3

6

4,34(B ， 抛物线的方程是：x y 82= (Ⅱ) 解：显然直线l 不垂直于y 轴，故直线l 的方程可设为4x my =+，与x y 82=联立得0

3282=--my y .

设

)

,(),,(2211y x D y x C ,则

32,82121-=?=+y y m y y 12211

sin 2

1sin 2

E F OC OD COD OC OD y y S S OE OF y y OE OF EOF ∠∴===∠F E y y 32=

,由直线OC 的斜率1118y x y =,故直线OC 的方程为x y y 1

8=，与1121622=+y x 联立得1)1211664(2

12

=+?y y E ，同理1)12

1

1664(2

22

=+?y y F

， 所以2

E y ?1)12

1

1664)(1211664(2

2212

=+?+?y y y F

………8分 可得2

E y ?2

2

3625612148F

y m ?=+要使37712=S S ，只需2

2232(12148)77362563m +??= ????

………10分 即21214849121m +=?,解得11±=m ，………12分 所以存在直线l 0411=-±y x 符合条件

21. 解：（Ⅰ）因为22

()1

n nx ax

f x x -=+， 所以()()(

)

()

()

2

22

2

212()1n nx a x

nx ax x f x x -+--￠

==+因为曲线()n y f x =在点()()

0,0n f 处切线方程为即11a a

-=-?. 于是()

22

2

21

()1

n x nx f x x

+-￠

=+.由1()0f x ￠>，即

()

22

2

21

01

x x x

+->+，解得

1x <--或1x >-+

1()0f x ￠<，即

()

22

2

21

01

x x x

+-<+，解得11x --

<<-+所以

1()f x 的递增区间为((

)

,

1,1-?--+

+?

；递减区间为

(11--

-+

.……………… 5分

（Ⅱ）由22

1x x y x y kx ì?-?=?í+??=???

，消去y 得221x x kx x -=+，即x=0或211x k x -=+.

要使射线y=kx(3x ?

)与曲线1()y f x =有三个交点，只要方程

2

11

x k x -=+，即2

10kx x k -++=有两个大于或等于-3且不等于0的不等实根.

1. 当k=0 时，2

10kx x k -++=可化为-x+1=0,解得x=1,不符合要求；

2. 当k ≠0时，令2

()1g x kx x k =-++.

由()()30000

132kg g k ì?-?????1??íD >?????>-???，即(104)01014(1)0132k k k k k k ì?+????+????í-+>?????-???

，即2

051

11221

6

k k k k k k ì?????????

???í---+

?<???

或或

解

得112

0,225

k k -+--<<

y=kx(3x ?

)与曲线1()y f x =有三个交点，且

k

的取值范围

是

12111,0,252骣骣纟--?+珑?鼢ú珑---?鼢珑鼢?ú?珑鼢è

珑桫桫?U U ..…………… 9分 (Ⅲ)证明：因为22

()1n nx x f x x -=+，()

22221()1n x nx f x x +-￠=+， 所以1()0n f n =，2

2

1()1n n f n n

￠=+.所以曲线()n y f x =在点11,n f n n 骣骣÷琪?÷÷??÷÷??÷÷?桫桫

处的切线方程为2

2

11n y x n

n 骣÷?÷=-?÷?÷+

桫.当0

2

2

2222222111()011111

n n x nx n nx x n f x x x n n n x n x n 骣骣---鼢珑鼢--=--=?珑鼢珑鼢+++桫桫++ 故2

2

1()1n n f x x n n 骣÷

?÷??÷

?÷+

桫

. 因为0,1,2,3,,n i x i >=L ， 且121n x x x +++=L ，所以01,1,2,3,i x i <<=L n.

所以2

2

1(),1,2,.1n i i n f x x i n n

n 骣÷

?÷?=?÷÷?+

桫

L 所以212122111()()()1n n n n n n f x f x f x x x x n n n n 轾骣骣骣鼢?珑?犏鼢?+++?+-++-珑?鼢?犏珑?鼢?+桫桫桫

犏臌

L L 即2

12122

1()()()01n n n n n n f x f x f x x x x n n n 骣÷

?÷+++?++-

??÷

?÷+

桫

L L

故12()()()0n n n n f x f x f x +++?L ..…………… 14分

高考模拟数学试卷

文科数学(五)

本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分为150分，考试用时120分钟，考试结束后将答题卡交回． 注意事项：

1．答卷前，考生务必用0.5毫米规格黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上．

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米规格黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案，不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其他笔．

4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效．

第I 卷(选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设复数()1z bi b R =+∈且2z =，则复数z 的虚部为 A.

3

B. 3±

C. 1±

D. 3i ±

2.已知集合{}21log ,1,,1,2x

A y y x x

B y y x A B ??????

==>==>?=?? ???????

则

A. 10,2?

? ???

B. ()0,1

C. 1,12??

???

D. ?

3.定义22?矩阵(

)12

34

1

423a a a a a a

a a =-，若()()()(

)()sin 3cos x x f x f x ππ-+=

，则的图象向右平移3

π个单位得到的函数解析式为

A. 22sin 3

y x π??=-

??

?B. 2sin 3y x π?

?=+ ???

C. 2cos y x =

D. 2sin y x =

4.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为

A. 37π

B. 35π

C. 33π

D. 31π

5.已知,m n 为不同的直线,,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是

A. ,////m n m n αα??

B. ,m n m n αα?⊥?⊥

C. ,,////m n n m αβαβ???

D. ,n n βααβ?⊥?⊥

6.点A 是抛物线()2

1:20C y px p =>与双曲线22

222:x y C a b

-()10,0a b =>>的一条 渐近线的交点，若

点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线2C 的离心率等于

A. 2

B. 3

C. 5

D. 6

7.设,,

a b c分别是,,

ABC A B C

?∠∠∠

中所对边的连长，则直线sin0

A x ay c

?--=

sin sin0

bx B y C

+?+=

与的位置关系是

A.平行

B.重合

C.垂直

D.相交但不垂直

8.已知函数()()

2,log

x

a

f x a

g x x

-

==（其中01

a a

>≠

且），若()()

440

f g?-<，则()()

,

f x

g x在同一坐标系内的大致图象是

9.已知()()()()

11,2

f x f x f x f x

+=-=-+，方程()[]

001

f x=在，内有且只有一个根

()

1

2

x f x

==

，则在区间[]

0,2014内根的个数为

A.2014

B.2013

C.1007

D.1006

10.已知函数()32

1

2

3

f x x ax bx c

=+++有两个极值点

12

,x x，且

12

112

x x

-<<<<，则直线()130

bx a y

--+=的斜率的取值范围是

A.

22

,

53

??

- ?

??

B.

23

,

52

??

- ?

??

C.

21

,

52

??

- ?

??

D.

22

,,

53

????

-∞-?+∞

? ?

????

第II卷（非选择题共100分）

注意事项：

将第II卷答案用0.5mm规格的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

11.已知函数

()

()

sin,5,

86

1,5,

x x

f

f x x

π

?

<

?

=

?

?-≥

?

则________.

12. 已知实数[]

2,30

x∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是__________.

13.已知定义在上R的函数()()

f x

g x

、满足

()

()x

f x

b

g x

=，且

()

f x

'()()()

()

()

()

()

115

,

112

f f

g x f x g x

g g

-

'

<+=

-

，若{}n a是正项等比数列，

()

()

576841268424f a a a a a a a a g ++=

+，则等于________. 14.在ABC ?中，E 为AC 上一点，且4AC AE =uuu r uu u r ,P 为BE 上一点，()0,0AP mAB nAC m n =+>>uu u r uu u r uu u r

，则

11

m n

+取最小值时，向量(),a m n =的模为_______. 15.已知命题：

①如果对于任意的()*2,430n N n a n a ∈+-++≥恒成立，则实数a 的取值范围是1,3

??

+∞????

； ②命题“2

,10x R x x ?∈++<”的否定是“2

,10x R x x ?∈++<”； ③在ABC ?中，sin sin A B >的充要条件是A B >； ④函数()sin 2036f x x ππ??

??=+

????

???

在，上为增函数. 以上命题中正确的是_______（填写所有正确命题的序号）.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）

已知函数()2

2

cos 23sin cos sin f x x x x x =+-.

（I ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；

（II ）ABC ?中，A,B,C 分别为三边,,a b c 所对的角，若()3,1,a f A b c ==+求的最大值.

17.（本小题满分12分）

已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12

. （I ）求n 的值；

（II ）从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b. ①记“23a b ≤+≤”为事件A ，求事件A 的概率；

②在区间[]0,2内任取2个实数,x y ，求事件“()2

2

2

x y a b +>-恒成立”的概率.

18. （本小题满分12分）

在24,,Rt ABF AB BF C E ?==中，分别是AB,AF 的中面AEC ⊥平

点（如图1），将此三角形沿CE 对折，使平面BCEF （如图2），已知D 是AB 的中点. （I ）求证：CD//平面AEF ； （II ）求证：平面AEF ⊥平面ABF.

（III ）求三棱锥C AEF -的体积.

19. （本小题满分12分）

已知正项数列{}n a 的前n 项和为11,2,4,n n n n S a S a a n N *

+==?∈且.

（I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）设数列21n a ??????

与的前n 项和为n T ，求证：1

442n n T n <<+.

20. （本小题满分13分）

已知椭圆2222:1x y C a b +=与双曲线

()22

11441x y υυυ

+=<<--有公共焦点，过椭圆C 的右顶点B 任意作直线l ，设直线l 交抛物线2

2y x =于P,Q 两点，且OP OQ ⊥. （I ）求椭圆C 的方程；

（II ）在椭圆C 上是否存在点(),R m n ，使得直线:1l mx my +=与圆2

2

:1O x y +=交相于不同的两点M 、

N ，且OMN ?的面积最大？若存在，求出点R 的坐标及对应OMN ?的面积；若不存在，请说明理由.

21. （本小题满分14分）

已知函数()32,1,

ln ,1

x x bx c x f x a x x ?-+++<=?≥?的图象过坐标原点O ，且在点()()1,1f --处的切线的斜率是

5-.

（I ）求实数,b c 的值；

（II ）求()f x 在区间[]1,2-上的最大值；

（III ）对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点P 、Q ，使得POQ ?是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在y 轴上？请说明理由.