甘肃省兰州一中2015届高三上学期9月月考数学试卷(Word版含解析)
甘肃省兰州一中2015届高三上学期9月月考数学试卷
一、选择题:(本大题共有12道小题,每小题5分,共60分)
1.(5分)已知集合A={x|x2﹣4x﹣12<0},B={x|log2(x﹣1)<0},则A∩B=()
A.{x|x<6} B.{x|1<x<2} C.{x|﹣6<x<2} D.{x|x<2}
2.(5分)下列函数中既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是()
A.y=sinx B.y=﹣x2+C.y=x3+3x D.y=e|x|
3.(5分)下列命题中错误的是()
A.命题“若p则q”与命题“若¬q则¬p”互为逆否命题
B.命题p:?x∈,e x≥1,命题q:?x∈R,x2+x+1<0,p∨q为真
C.若p∨q为假命题,则p、q均为假命题
D.“若am2=bm2”,则a<b的逆命题为真命题
4.(5分)函数f(x)=ln(x+)的图象是()
A.B.
C.D.
5.(5分)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,不等式f(x)+x?f′
(x)<0成立,若a=30.2?f(30.2),b=(logπ2)?f(logπ2),c=?f ,
则a,b,c间的大小关系()
A.c>b>a B.c>a>b C.b>a>c D.a>c>b
6.(5分)已知命题p:x2+2x﹣3>0;命题q:x>a,且?q的一个充分不必要条件是?p,则a的取值范围是()
A.a≥1 B.a≤1 C.a≥﹣1 D.a≤﹣3
7.(5分)若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点,则点P到直线y=x﹣2的最小距离为()
A.1B.C.D.
8.(5分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(4)=f(﹣2)=1,f′(x)为f(x)的导函数,且导函数y=f′(x)的图象如图所示.则不等式f(x)<1的解集是()
A.(﹣2,0)B.(﹣2,4)C.(0,4)D.(﹣∞,﹣2)∪(4,+∞)
9.(5分)设f(x)是定义域为R的偶函数,且对任意实数x,恒有f(x+1)=﹣f(x),已知x∈(0,1)时,f(x)=(1﹣x),则函数f(x)在(1,2)上()
A.是增函数,且f(x)<0 B.是增函数,且f(x)>0
C.是减函数,且f(x)<0 D.是减函数,且f(x)>0
10.(5分)已知函数f(x)=,则f=()
A.2012 B.2013 C.2014 D.2015
11.(5分)若函数f(x)=cosx+2xf′(),则f(﹣)与f()的大小关系是()
A.f(﹣)=f()B. f (﹣)>f()C.f(﹣)<f()D.不确定
12.(5分)设函数f(x)=log3在(1,2)内有零点,则实数a的取值范围是()A.(0,log32)B.(log32,1)C.(﹣1,﹣log32)D.(1,log34)
二、填空题(本大题共有4道小题,每小题5分,共20分)
13.(5分)过点A(1,1)与曲线C:y=x3相切的直线方程是.
14.如图,矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f(x)=2x2﹣2x及直线y=2x围成的,现向矩形ABCD内随机投掷一点,则该点落在阴影部分的概率为.
15.(5分)设0≤x≤2则函数的最大值是.
16.(5分)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x)且x∈时,f(x)=1﹣x2,函数g (x)=,则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间内零点的个数有个.
17.(5分)若存在区间M=(a<b)使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”.给出下列4个函数:
①f(x)=e x
②f(x)=x3
③f(x)=cos
④f(x)=lnx+1
其中存在稳定区间的函数有(写出所有正确命题的序号).
三、解答题(本大题共有5道小题,每小题12分,共60分)
18.(12分)设f(x)=(4x+4﹣x)﹣a(2x+2﹣x)+a+2(a为常数)
(1)当a=﹣2时,求f(x)最小值
(2)求所有使f(x)的值域为,e x≥1,命题q:?x∈R,x2+x+1<0,p∨q为真
C.若p∨q为假命题,则p、q均为假命题
D.“若am2=bm2”,则a<b的逆命题为真命题
考点:命题的真假判断与应用.
专题:简易逻辑.
分析:对于A:根据逆否命题的写法规则“否条件当结论,否结论当条件”进行判断;
对于B:先判断每个命题真假,再判断或命题的真假;
对于C:或命题为假则当且仅当两个命题都为假;
对于D:先写出逆命题,再判断真假.
解答:解:对于A,根据“否条件当结论,否结论当条件”,可知A是真命题;
对于B,当x≥0时,根据指数函数性质e x≥1,故p是真命题,所以p∨q为真,因此B项为真命题;
对于C,或命题为假,当且仅当两个命题都是假时才为假,因此C是真命题;
对于D,其逆命题是:若a<b,则am2=bm2,显然是假命题.
故选D.
点评:本题主要考查了命题真假的判断,要正确理解各种命题的概念基础上进行判断,特别是特称命题、全称命题及其命题的否定要引起足够的重视.
4.(5分)函数f(x)=ln(x+)的图象是()
A.B.
C.D.
考点:函数的图象.
专题:函数的性质及应用.
分析:首先根据对数函数的性质,求出函数的定义域,再很据复合函数的单调性求出f(x)的单调性,问题得以解决.
解答:解:因为x﹣>0,解得x>1或﹣1<x<0,
所以函数f(x)=ln(x﹣)的定义域为:(﹣1,0)∪(1,+∞).
所以选项A、D不正确.
当x∈(﹣1,0)时,g(x)=x﹣是增函数,
因为y=lnx是增函数,所以函数f(x)=ln(x+)是增函数.
故选B.
点评:本题主要考查了对数函数的定义域和复合函数的单调性,属于基础题.
5.(5分)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,不等式f(x)+x?f′
(x)<0成立,若a=30.2?f(30.2),b=(logπ2)?f(logπ2),c=?f ,
则a,b,c间的大小关系()
A.c>b>a B.c>a>b C.b>a>c D.a>c>b
考点:对数值大小的比较;对数的运算性质.
专题:函数的性质及应用.
分析:构造函数g(x)=xf(x),由于当x>0时,不等式f(x)+x?f′(x)<0成立,利用导数可得当x>0时,函数
g(x)单调递减.函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,可得函数g(x)在R上是奇函数.进而得到g(x)在R上是减函数.
解答:解:构造函数g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x).
当x>0时,不等式f(x)+x?f′(x)<0成立,
∴当x>0时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.
∵函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,
∴g(﹣x)=﹣xf(﹣x)=﹣xf(x)=﹣g(x),
∴g(x)在R上是奇函数.
∴g(x)在R上是减函数.
∵a=30.2?f(30.2),b=(logπ2)?f(logπ2),c=?f ,=﹣2.
,
∴c>b>a.
故选:A.
点评:本题考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性、对数的运算性质及其单调性,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
6.(5分)已知命题p:x2+2x﹣3>0;命题q:x>a,且?q的一个充分不必要条件是?p,则a的取值范围是()
A.a≥1 B.a≤1 C.a≥﹣1 D.a≤﹣3
考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题:规律型.
分析:先求出p的等价条件,利用?q的一个充分不必要条件是?p,即可求a的取值范围.解答:解:由x2+2x﹣3>0得x>1或x<﹣3,
即p:x>1或x<﹣3,¬p:﹣3≤x≤1,
∵q:x>a,∴¬q:x≤a,
若?q的一个充分不必要条件是?p,
则¬p?¬q成立,但¬q?¬p不成立,
∴a≥1,
故选:A.
点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的解法是解决本题的关键.熟练掌握命题的否定的形式.
7.(5分)若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点,则点P到直线y=x﹣2的最小距离为()
A.1B.C.D.
考点:点到直线的距离公式.
专题:计算题.
分析:设出切点坐标,利用导数在切点处的函数值,就是切线的斜率,求出切点,然后再求点P到直线y=x﹣2的最小距离.
解答:解:过点P作y=x﹣2的平行直线,且与曲线
y=x2﹣lnx相切,
设P(x0,x02﹣lnx0)则有
k=y′|x=x0=2x0﹣.
∴2x0﹣=1,∴x0=1或x0=﹣(舍去).
∴P(1,1),
∴d==.
故选B.
点评:本题考查点到直线的距离,导数的应用,考查计算能力,是基础题.
8.(5分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(4)=f(﹣2)=1,f′(x)为f(x)的导函数,且导函数y=f′(x)的图象如图所示.则不等式f(x)<1的解集是()
A.(﹣2,0)B.(﹣2,4)C.(0,4)D.(﹣∞,﹣2)∪(4,+∞)
考点:函数的单调性与导数的关系.
专题:导数的综合应用.
分析:由函数y=f′(x)的图象,确定函数的单调性和单调区间,然后函数的单调性即可求不等式的解集.
解答:解:由导函数y=f′(x)的图象可知,当x≥0时,f'(x)≥0,此时函数f(x)得到递增,
当x≤0时,f'(x)≤0,此时函数f(x)得到递减,
当x=0时,函数f(x)取得极小值,同时也是最小值,
∵f(4)=f(﹣2)=1,
∴不等式f(x)<1的解为﹣2<x<4,
即不等式f(x)<1的解集为(﹣2,4),
故选:B.
点评:本题主要考查不等式的解法,利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键.
9.(5分)设f(x)是定义域为R的偶函数,且对任意实数x,恒有f(x+1)=﹣f(x),已知x∈(0,1)时,f(x)=(1﹣x),则函数f(x)在(1,2)上()
A.是增函数,且f(x)<0 B.是增函数,且f(x)>0
C.是减函数,且f(x)<0 D.是减函数,且f(x)>0
考点:函数奇偶性的性质.
专题:函数的性质及应用.
分析:由f(x+1)=﹣f(x),可推出f(x+2)=f(x),因此函数为周期函数,T=2,由复合函数的单调性推出函数f(x)=(1﹣x)递增,再由周期性与奇偶性把(1,2)上
的单调性过度到(0,1)来研究.
解答:解:∵f(x+1)=﹣f(x),∴f(x+2)=f(x+1+1)=﹣f(x+1)=﹣(﹣f(x))=f (x),
∴函数为周期函数,周期T=2,
∵u=1﹣x递减,y=递减,由复合函数的单调性知函数f(x)=(1﹣x)递增,
又x∈(0,1)时,0<1﹣x<1,∴(1﹣x)>0,
∴?x∈(0,1)时,f(x)>0,
①?x∈(1,2),2﹣x∈(0,1),∴f(2﹣x)>0,
又函数为偶函数,∴f(x)=f(﹣x)=f(﹣x+2)>0,
②设1<x1<x2<2,则﹣1>﹣x1>﹣x2>﹣2,则1>2﹣x1>2﹣x2>0,
∵函数f(x)=(1﹣x)递增,
∴f(2﹣x1)>f(2﹣x2)
又f(2﹣x1)=f(x1)、f(2﹣x2)=f(x2)
∴f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)在(1,2)上是减函数
综上,选D
点评:本题综合考查函数的性质,是把函数的单调性、奇偶性、周期性相结合的题目,属于中档题.
10.(5分)已知函数f(x)=,则f=()
A.2012 B.2013 C.2014 D.2015
考点:抽象函数及其应用;函数的值.
专题:函数的性质及应用.
分析:利用赋值法,先令x=1,求出f(1),再令x=2,求出f(2),令x=n,则f(n)﹣f(n﹣1)=1,再根据等差数列的通项求出f.
解答:解:当x=1时,f(1)=log5(5﹣1)=2,
当x>1时,f(x)=f(x﹣1)+1,
令x=2,则f(2)=f(1)+1=2+1=3,
令x=n,则f(n)﹣f(n﹣1)=1,
∴{f(n)}是以2为首项,以1为公差的等差数列,
∴f=2+×1=2015,
故选:D
点评:本题主要考查了抽象函数的问题,关键转化为{f(n)}是以2为首项,以1为公差的等差数列,属于基础题.
11.(5分)若函数f(x)=cosx+2xf′(),则f(﹣)与f()的大小关系是()A.f(﹣)=f()B. f (﹣)>f()C.f(﹣)<f()D.不确定
考点:正弦函数的单调性.
专题:计算题.
分析:利用已知条件,求出函数的导数,推出f′(),得到函数的表达式,然后比较f (﹣)与f()的大小.
解答:解:函数f(x)=cosx+2xf′(),
所以函数f′(x)=﹣sinx+2f′(),所以f′()=﹣sin+2f′()=,
f(x)=cosx+x,
则f(﹣)=cos﹣;f()=cos+,
所以f (﹣)<f().
故选C.
点评:本题是基础题,考查函数的导数应用,三角函数值的大小比较,考查计算能力.
12.(5分)设函数f(x)=log3在(1,2)内有零点,则实数a的取值范围是()A.(0,log32)B.(log32,1)C.(﹣1,﹣log32)D.(1,log34)
考点:函数零点的判定定理.
专题:函数的性质及应用.
分析:根据函数的零点的判定定理可得f(1)?f(2)<0,由此求得实数a的取值范围.解答:解:∵函数f(x)在区间(1,2)内有零点,
∴f(1)?f(2)<0,
∴(﹣a)(﹣a)<0,
解得:<x<1,
故选:B.
点评:本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,属于基础题.
二、填空题(本大题共有4道小题,每小题5分,共20分)
13.(5分)过点A(1,1)与曲线C:y=x3相切的直线方程是3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0.
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题:计算题.
分析:设切点为(x0,y0),则y0=x03,由于直线l经过点(1,1),可得切线的斜率,再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率,便可建立关于x0的方程.从而可求方程.
解答:解:若直线与曲线切于点(x0,y0)(x0≠0),则k=
.∵y′=3x2,∴y′|x=x0=3x02,∴2x02﹣x0﹣1=0,∴,
∴过点A(1,1)与曲线C:y=x3相切的直线方程为3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0,
故答案为3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0
点评:此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会根据一点坐标和斜率写出直线的方程,是一道综合题.
14.如图,矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f(x)=2x2﹣2x及直线y=2x围成的,现向矩形ABCD内随机投掷一点,则该点落在阴影部分的概率为.
考点:定积分在求面积中的应用.
专题:导数的综合应用.
分析:根据见对方的几何意义,求出两条曲线的交点,由此可得所求面积为函数f(x)=2x2﹣2x及y=2x在区间上的定积分的值,再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案.解答:解:∵f(x)=2x2﹣2x及直线y=2x的交点为C(0,0)和(2,4)
∴曲线f(x)=2x2﹣2x及直线y=2x所围图形的面积为
S===(2x2﹣)=,
矩形ABCD的面积2×=9;
∴矩形ABCD内随机投掷一点,则该点落在阴影部分的概率为;
故答案为:.
点评:本题求两条曲线围成的曲边图形的面积,着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识,属于基础题.
15.(5分)设0≤x≤2则函数的最大值是.
考点:二次函数在闭区间上的最值.
专题:函数的性质及应用.
分析:令t=2x,则原函数可转化为关于t的二次函数,配方后即可求得其最大值.
解答:解:=22x﹣1﹣3?2x+5=×22x﹣3?2x+5,
令t=2x,∵0≤x≤2,∴1≤t≤4,
则y=t2﹣3t+5=,
当t=1时,y取得最大值,为.
故答案为:.
点评:本题考查二次函数在闭区间上的最值,考查学生对问题的转化能力.
16.(5分)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x)且x∈时,f(x)=1﹣x2,函数g (x)=,则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间内零点的个数有12个.
考点:根的存在性及根的个数判断.
专题:数形结合;函数的性质及应用.
分析:由f(x+2)=f(x),知函数y=f(x)(x∈R)是周期为2的函数,进而根据f(x)=1﹣x2与函数g(x)=的图象得到交点为8个.
解答:解:因为f(x+2)=f(x),所以函数y=f(x)(x∈R)是周期为2函数,
因为x∈时,f(x)=1﹣x2,所以作出它的图象,则y=f(x)的图象如图所示:(注意拓展它的区间)
再作出函数g(x)=的图象,
容易得出到交点为12个.
故答案为:12
点评:考查答题者使用图象辅助作题的意识与能力,属于中档题.
17.(5分)若存在区间M=(a<b)使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”.给出下列4个函数:
①f(x)=e x
②f(x)=x3
③f(x)=cos
④f(x)=lnx+1
其中存在稳定区间的函数有②③(写出所有正确命题的序号).
考点:余弦函数的单调性;对数函数的单调性与特殊点.
专题:计算题;新定义.
分析:根据“稳定区间”的定义,我们要想说明函数存在“稳定区间”,我们只要举出一个符合定义的区间M即可,但要说明函数没有“稳定区间”,我们可以用反证明法来说明.由此对四个函数逐一进行判断,即可得到答案.
解答:解::①对于函数f(x)=e x 若存在“稳定区间”,由于函数是定义域内的增函数,故有e a=a,e b=b,
即方程e x=x有两个解,即y=e x和y=x的图象有两个交点,这与即y=e x和y=x的图象没有公共点相矛盾,故①不存在“稳定区间”.
②对于f(x)=x3 存在“稳定区间”,如x∈时,f(x)=x3 ∈.
③对于f(x)=sin x,存在“稳定区间”,如x∈时,f(x)=sin x∈.
④对于f(x)=lnx,若存在“稳定区间”,由于函数是定义域内的增函数,故有lna=a,且lnb=b,即方程lnx=x 有两个解,
即y=lnx 和y=x的图象有两个交点,这与y=lnx 和y=x的图象没有公共点相矛盾,故④不存在“稳定区间”.
故答案为②③.
点评:本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求,在说明一个函数没有“稳定区间”时,利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键,属于中档题.
三、解答题(本大题共有5道小题,每小题12分,共60分)
18.(12分)设f(x)=(4x+4﹣x)﹣a(2x+2﹣x)+a+2(a为常数)
(1)当a=﹣2时,求f(x)最小值
(2)求所有使f(x)的值域为
19.(12分)设f(x)=ln(1+x)﹣x﹣ax2.
(1)当x=1时,f(x)取到极值,求a的值;
(2)当a满足什么条件时,f(x)在区间上有单调递增的区间.
考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
专题:分类讨论;导数的综合应用.
分析:(1)当x=1时,f(x)取到极值,即f′(1)=0,解得a的值;
(2)f(x)在区间上有单调递增的区间,即f′(x)>0时在上有解,解含参数的不等式.解答:解:(1)由题意知f(x)的定义域为(﹣1,+∞),
且f′(x)=﹣1﹣2ax=,
当x=1时,f(x)取到极值,∴f′(1)=0,解得a=﹣;
当a=﹣时,f′(x)=在(0,1)上小于0,f(x)是减函数,
f′(x)=在(1,+∞)上大于0,f(x)是增函数,
∴f(1)是函数的极小值,∴a的值为﹣;
(2)要使f(x)在区间上有单调递增的区间,
即f′(x)>0在上有解,∴2ax+(2a+1)>0;
(i)当a=0是,有1>0,上述不等式恒成立,∴a=0满足条件;
(ii)当a>0时,有x>﹣,此时只要﹣<﹣,解得:a>﹣,∴取a>0;
(iii)当a<0时,有x<﹣,此时只要﹣>﹣,解得:a>﹣1,∴取﹣1<a<0;
综上,a满足的条件是:a∈(﹣1,+∞)
点评:本题考查了利用导数判定函数的单调性、求函数的极值问题,也考查了含参数的不等式的解法问题.
20.(12分)已知函数f(x)=(x2+ax﹣2a2+3a)e x(x∈R),其中a∈R.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
(2)当a≠时,求函数y=f(x)的单调区间与极值.
考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
专题:导数的概念及应用.
分析:(1)抓住两点①切点是公共点,代入曲线方程求出f(1)的值;②切点处的导数是切点的斜率.
(2)先求导数,令导数等于零找到所有可能的极值点,再通过列表法具体判断,注意对极值点大小的讨论.
解答:解:(1)当a=0时,f(x)=x2e x,f′(x)=(x2+2x)e x,故f′(1)=3e.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.
(2)f′(x)=e x=(x+2a)?e x,
令f′(x)=0,解得x=﹣2a,或x=a﹣2,
由a≠知,﹣2a≠a﹣2.
以下分两种情况讨论:
①若a>,则﹣2a<a﹣2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (﹣∞,﹣2a)﹣2a (﹣2a,a﹣2)a﹣2 (a﹣2,+∞)f′(x)+ 0 ﹣0 +
f(x)↑极大值↓极小值↑
所以f(x)在(﹣∞,﹣2a),(a﹣2,+∞)上是增函数,在(﹣2a,a﹣2)上是减函数.函数f(x)在x=﹣2a处取得极大值为f(﹣2a),且f(﹣2a)=3ae﹣2a.
函数f(x)在x=a﹣2处取得极小值为f(a﹣2),且f(a﹣2)=(4﹣3a)e a﹣2.
②若a<,则﹣2a>a﹣2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (﹣∞,a﹣2)a﹣2 (a﹣2,﹣2a)﹣2a (﹣2a,+∞)
f′(x)+ 0 ﹣0 +
f(x)↑极大值↓极小值↑
所以f(x)在(﹣∞,a﹣2),(﹣2a,+∞)上是增函数,在(a﹣2,﹣2a)上是减函数.函数f(x)在x=a﹣2处取得极大值f(a﹣2),且f(a﹣2)=(4﹣3a)e a﹣2.
函数f(x)在x=﹣2a处取得极小值f(﹣2a),且f(﹣2a)=3ae﹣2a.
点评:切线问题是2015届高考的热点,难度不大,只要抓住切点满足的两个条件,一般都能解决问题;第二问研究极值点一般要列表来解决问题.
21.(12分)某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得).
(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域;
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?
考点:分段函数的应用.
专题:应用题.
分析:(1)利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式,写出该分段函数,是解决该题的关键,注意实际问题中的自变量取值范围;
(2)利用一次函数,二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键.注意自变量取值区间上的函数类型.应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值.
解答:解:(1)当x≤6时,y=50x﹣115,令50x﹣115>0,
解得x>2.3.
∵x∈N*,∴x≥3,∴3≤x≤6,x∈N*,
当x>6时,y=x﹣115.
令x﹣115>0,有3x2﹣68x+115<0,
上述不等式的整数解为2≤x≤20(x∈N*),
∴6<x≤20(x∈N*).
故y=,
定义域为{x|3≤x≤20,x∈N*}.
(2)对于y=50x﹣115(3≤x≤6,x∈N*).
显然当x=6时,y max=185(元),
对于y=﹣3x2+68x﹣115=﹣3+(6<x≤20,x∈N*).
当x=11时,y max=270(元).
∵270>185,
∴当每辆自行车的日租金定在11元时,才能使一日的净收入最多.
点评:本题考查学生的函数模型意识,注意分段函数模型的应用.将每一段的函数解析式找准相应的函数类型,利用相关的知识进行解决.
22.(12分)已知函数f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R).
(1)当a=﹣1时,证明:在(1,+∞)上,f(x)+2>0;
(2)求证:??…<(n≥2,n∈N+).
考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
专题:导数的综合应用.
分析:(1)利用导数求得函数在(1,+∞)上的最小值为f(1)=﹣2,即可得出证明;(2)由(1)得﹣ln x+x﹣3+2>0,即ln x<x﹣1对一切x∈(1,+∞)恒成立.0<ln n<n
﹣1,即0<<,即可得出结论成立.
解答:解:(1)根据题意知,f′(x)=(x>0),
当a>0时,f(x)的单调递增区间为(0,1],单调递减区间为(1,+∞);
当a<0时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1];
当a=0时,f(x)不是单调函数.
所以a=﹣1时,f(x)=﹣ln x+x﹣3,在(1,+∞)上单调递增,
所以f(x)>f(1),
即f(x)>﹣2,所以f(x)+2>0.…(6分)
(2)由(1)得﹣ln x+x﹣3+2>0,即﹣ln x+x﹣1>0,
所以ln x<x﹣1对一切x∈(1,+∞)恒成立.∵n≥2,n∈N*,
则有0<lnn<n﹣1,∴0<<,
∴???…?<???…?=(n≥2,n∈N*).…(12分)
点评:本题主要考查利用导数判断函数的单调性求函数的最值知识,考查利用导数证明不等式问题,注意构造函数法的应用,属于难题.
【选修4-1:几何证明选讲】(10分)请考生在第22、23、24题任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分
23.(10分)如图,设C为线段AB的中点,BCDE是以BC为一边的正方形,以B为圆心,BD为半径的圆与AB及其延长线相交于点H及K.
(Ⅰ)求证:HC?CK=BC2;
(Ⅱ)若圆的半径等于2,求AH?AK的值.
考点:与圆有关的比例线段;圆的切线的性质定理的证明.
专题:综合题.
分析:(Ⅰ)证明△DHC∽△KDC,可得,根据DC=BC,可得结论;
(Ⅱ)连接AD,BD,则可得AD是⊙B的切线,由切割线定理可得AD2=AH?AK,从而可求AH?AK的值.
解答:(Ⅰ)证明:连接DH,DK,则DH⊥DK,
∴△DHC∽△KDC,∴,
∴DC2=HC?CK,
又DC=BC,∴BC2=HC?CK…(5分)
(Ⅱ)解:连接AD,BD,则AD⊥BD,AD=BD,
∴AD是⊙B的切线,于是AD2=AH?AK,
∵圆的半径等于2
∴AH?AK=4…(10分)
点评:本题考查几何证明选讲,考查三角形的相似,考查圆的切线性质,属于中档题.
【选修4-4:坐标系与参数方程】(共1小题,满分0分)
24.在极坐标系中,动点P(ρ,θ)运动时,ρ与成反比,动点P的轨
迹经过点(2,0)
(I)求动点P的轨迹其极坐标方程.
(II)以极点为直角坐标系原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,将(I)中极坐标方程化为直角坐标方程,并说明所得点P轨迹是何种曲线.
考点:简单曲线的极坐标方程.
专题:选作题;坐标系和参数方程.
分析:(I)设ρ=,把点(2,0)代入求得k的值,可得动点P的
轨迹的坐标方程,化简可得结果.
(II)由于ρ+ρsin θ=2根据x=ρcosθ、y=ρsinθ化为直角坐标方程,整理可得结论.
解答:解:(I)设
把点(2,0)代入可得2=,
∴k=1…(5分)
∴ρ=;
(II)∵ρ=,
∴ρ(1+sinθ)=2,
∵ρ2=x2+y2,ρsinθ=y…(7分)
∴
∴P点轨迹是开口向下,顶点为(0,1)的抛物线…(10分)
点评:本题主要考查求简单曲线的极坐标方程,把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,属于基础题.
【选修4-5:不等式选讲】(共1小题,满分0分)
25.(Ⅰ)解不等式|2+x|+|2﹣x|≤4;
(Ⅱ)a,b∈R+,证明:a2+b2≥(a+b).
考点:不等式的证明;绝对值不等式的解法.
专题:不等式的解法及应用;推理和证明.
分析:(Ⅰ)通过对自变量x的取值范围的讨论,去掉绝对值符号,再解相应的不等式,最后取其并集即可;
(Ⅱ)利用作差法,作差后化积,分析判断证明即可.
解答:解:(I)∵|2+x|+|2﹣x|=…(2分),
∴由|2+x|+|2﹣x|≤4得:
或或,
解得x=﹣2或﹣2<x≤2,
∴原不等式的解为:﹣2≤x≤2…(5分)
(II)证明:∵
=
=()()
=()()(a++b)
=(a++b)≥0,
∴a2+b2≥(a+b)…(10分)
点评:本题考查绝对值不等式的解法及不等式的证明,考查分类讨论思想与作差法证明不等式,属于中档题.
高三数学9月月考试题 理2
重庆市秀山高级中学2017届高三数学9月月考试题 理 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知命题p :12,=∈?x R x ,则p ?是.....................................................................( C ) A.12,≠∈?x R x B.12,≠??x R x C.12 ,0 0≠∈?x R x D. 12 ,0 0≠??x R x 2.若集合N M x y x N y y M x 则},1{},2{-====等于.............................( C ) A.),0(+∞ B.),0[+∞ C.),1[+∞ D.),1(+∞ 3.有下列四个命题: ①“若1=xy ,则y x ,互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题; ③“若1≤m ,则有实根022 =+-m x x ”的逆否命题; ④“若B A B B A ?=则, ”的逆否命题,其中真命题是......................................( C ) A.①② B.②③ C.①②③ D.③④ 4. 已知函数???≤>=) 0(3)0(log )(2x x x x f x ,则)]41 ([f f 的值是.......................................( C ) A.9 1 - B.9- C.91 D.9 5.函数}3,2,1{}3,2,1{:→f 满足)())((x f x f f =,则这样的函数个数共有........( D ) A.1个 B.4个 C.8个 D.10个 6.设的定义域为,则)2 ()2(22lg )(x f x f x x x f +-+=..............................................( B ) A.)()(4,00,4- B.)()(4,11,4- - C.)()(2,11,2- - D.)()(4,22,4- - 7.若函数)(x f y =的值域是]3,21 [,则函数) (1 )()x f x f x F + =(的值域...............( B ) A.]3,21[ B.]310, 2[ C.]310,25[ D.]3 10,3[
广西名校届高三8月月考数学理试题-word版含答案
广西名校高三年级2015年8月月考试题 理科数学 注意事项: 1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,考试时间120分钟,试卷总分150分. 2.本试卷共8页,第1—4页为试题,第5—8页为答题卡,请将选择题、填空题的答案以及解答题的解答过程写在答题卡的相应位置上,不写、写错位置不得分.......... . 第I 卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的4个选项中,只有1个选项是符合题目要求的.) 1.设集合}2 1 21|{<<-=x x M ,}|{2x x x N ≤=,则=N M ( ) A.)21,1[- B.]1,21(- C.)21,0[ D.]0,2 1(- 2.复数z 满足i z i 2)1(=+(i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.函数 3 1 21++ -=x y x 的定义域为 ( ) A.]0,3(- B.]1,3(- C.]0,3()3,(---∞ D.]1,3()3,(---∞ 4.正项等比数列}{n a 中,2446 =-a a ,6453=a a ,则}{n a 的前8项和为 ( ) A.63 B.127 C.128 D.255 5.已知直线? ??+=+=bt y y at x x 00(t 为参数)上两点B A ,对应的参数值是21,t t ,则=||AB ( ) A.||21 t t + B.||21t t - C.||2122t t b a -+ D. 2 2 21||b a t t +- 6.设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 ( ) A.若m ∥α,n ⊥β且βα⊥,则n m ⊥ B.若m ?α,n ?β 且m ∥n ,则α∥β C.若βα⊥,m ∥n 且β⊥n ,则m ∥αD.若m ⊥α,n ⊥β且n m ⊥,则βα ⊥ 7.将函数 )62sin(3π-=x y 的图像向右平移4 π 个单位长度,所得图像对应的函数( ) A.在区间]127,12[ππ上单调递减 B.在区间]12 7,12[π π上单调递增
上海市2015届高三9月月考历史试题 Word版含答案
2014学年第一学期9月高三历史测试 一、选择题(共75分)1-30题每小题2分,共60分。每题只有一个正确选项。 1.某学生对中华文明的起源作了如下归纳,其中符合史实的是 A.距今约一万年前后,先人的食物主要依赖农耕生产 B.早期农耕聚落时期,先人们实行共同耕作按劳分配 C.中国人以炎黄子孙自居,因为炎黄传说已经被证实 D.从史前墓葬品的差别中,可以透视到社会等级存在 2.观察右图,若从历史角度研究,两者都能体现当时人的 ①价值观念②政治制度 ③建筑技术④社会经济 A.①②③B.①②④ C.①③④D.②③④ 3.雅典召开公民大会时,在会场门口有监察员审查参会者身份,能顺利入会的是 A.城郊的男性农民B.来自埃及的富商 C.首席将军的夫人D.雅典城内的妇女 4.安东尼王朝(96年—192年)被誉为罗马帝国的“黄金时代”,主要得益于 A.颁布十二铜表法,成为罗马法渊源 B.定基督教为国教,帝国价值观统一 C.版图囊括地中海,帝国国力臻于极盛 D.万民法代替公民法,罗马法实现一统 5.中世纪西欧某些地区曾先后出现过大规模农奴化和农奴重获自由的现象,与此直接相关的是A.西罗马帝国灭亡和城市复兴 B.查理·马特改革和城市复兴 C.君士坦丁堡陷落和伊斯兰教扩张 D.封建君主专制形成和大学的兴起 6.“这个帝国对外抵抗亚洲游牧民族的入侵,对内直接或间接地保存了古典文化。其后它所形成的文化至今仍存留于俄罗斯、巴尔干半岛和希腊一带。”这个帝国是 A.西罗马帝国B.拜占庭帝国 C.阿拉伯帝国D.奥斯曼帝国 7.有学者认为:有制度性保证和民间习惯认可的土地流动是中华民族几千年来维持理性发展的最根本财富。 这种现象始于 A.新石器时代B.夏商时期C.西周时期D.东周时期 8.“富贵之门必出于兵,是故民闻战而相贺也,起居、饮食所歌谣者,战也。”此说若作为主流社会价值观,最早出现在 A.秦国后期B.西汉前期C.西汉后期D.宋朝前期 9.在历史发展进程中,人类社会逐步告别“小国寡民”时代,世界从分散走向整体。下列项中,与“小国寡民”相关的是 ①老子向往的理想社会②屈原追求的“美政”理想 ③罗马法的基础④雅典民主制的重要条件 A.①②③B.①③④C.①④D.③④ 10.下列对古代希腊罗马政治制度的评述,正确的是 ①古希腊民主政治中已初步体现出主权在民、集体统治和任期制等民主特征 ②古希腊的民主政治是小国寡民的产物,是一种狭隘的民主制 ③《十二铜表法》是为保护平民的利益而颁布的 ④罗马帝国之所以能维持长久统治,跟罗马法对社会关系和矛盾的有效调节有重要关系 A.③④B.②③④C.①②④D.①②③④ 11、诸子百家的思想奠定了中国文化的基础,对当时和后来社会的发展,起了巨大的推动作用。从孔子到 孟子、荀子,始终贯穿的一条思想主线是 A.从个人的道德修养入手建设一个礼乐文明的理想社会 B.人不分贫富贵贱都有受教育的资格
重庆市两江中学2015届高三9月月考数学理试题 Word版含解析
重庆市两江中学2015高三(上)9月月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={x|x2=1},集合N={x|ax=1},若N?M,a的值是() A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D.0,1或﹣1 考点:集合的包含关系判断及应用. 专题:计算题;集合. 分析:化简M,再根据N?M,分情况对参数的取值进行讨论,求出参数的取值集合. 解答:解:∵M={x|x2=1}={1,﹣1},N={x|ax=1},N?M, ∴当N是空集时,有a=0显然成立; 当N={1}时,有a=1,符合题意; 当N={﹣1}时,有a=﹣1,符合题意; 故满足条件的a的取值集合为{1,﹣1,0} 故选:D. 点评:本题考查集合关系中的参数取值问题,解题的关键是根据包含关系的定义对集合M 的情况进行正确分类,本题求解中有一易错点,就是忘记讨论N是空集的情况,分类讨论时一定注意不要漏掉情况. 2.下列命题错误的是() A.命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0” B.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题 C.对命题P:存在x∈R,使得x2+x+1<0,则¬p为:任意x∈R,均有x2+x+1≥0 D.“x>2”是“x2﹣3x+2>0”的充分不必要条件 考点:特称命题;命题的否定. 专题:计算题. 分析:利用命题与逆否命题的关系判断A的正误;复合命题的真假判断B的正误;命题的否定判断C的正误;充分必要条件判断D的正误. 解答:解:命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0”,正确,满足命题与逆否命题的关系; 若p∧q为假命题,则p,q均为假命题,由复合命题的真假判断可知p∧q中,p、q一假即假;对命题P:存在x∈R,使得x2+x+1<0,则¬p为:任意x∈R,均有x2+x+1≥0;满足特称命题与全称命题的否定关系,正确; “x>2”可以说明“x2﹣3x+2>0”,反之不成立,所以是充分不必要条件正确; 故选B. 点评:本题考查命题的否定,特称命题与全称命题,充要条件的应用,基本知识的灵活运用. 3.已知集合A={(x,y)|y=x2,x∈R},B={(x,y)|y=x,x∈R},则集合A∩B中的元素 个数为() A.0个B.1个C.2个D.无穷多个
高三数学9月月考试题 文 (3)
内蒙古临河区巴彦淖尔市第一中学2017届高三数学9月月考试题 文 说明: 1.本试卷分第I 卷和第II 卷两部分,共150分,考试时间120分钟; 2.考试结束,只交答题卡。 第I 卷(选择题 共60分) 一、选择题(5分×12=60分)每小题给出的四个选项只有一项正确 1.已知函数f (x )= x -11 定义域为M ,g (x )=ln (1+x )定义域 为N ,则M ∩N 等于( ) A .{x |x >-1} B .{x |x <1} C .{x |-1
高三历史9月月考试题
江西省新余市第四中学2019届高三历史9月月考试题 (考试时间:90分钟试卷满分:100分) 第Ⅰ卷选择题 一、选择题(本题共34小题,每小题1.5分,共51分。在每小题给出酌四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)。 1.当代哲学泰斗冯友兰认为“在中国哲学史各时期中,哲学家派别之众,其所探讨问题之多,范围之广,及其研究兴趣之浓厚,气象之蓬勃,皆以子学时代为第一”。子学时代哲学繁盛的原因是 A.统一的多民族国家建立B.儒家思想占据统治地位 C.中央集权制度最终形成D.政治经济及文化的变革 2.孔子在肯定管仲对国事贡献的同时,也批评他器用排场超过了人臣的限度。孟子认为“君有大过则谏,反复之而不听则易位”是人臣的本分。由此可见孔、孟二人 A.宣扬民本思想B.主张重构秩序C.追求仁政德治D.肯定汤武革命3.汉代,达官贵人聚居的核心经济区(渭河流域、黄河平原和淮河上游部分地区)较其他地区土地兼并现象更加普遍,却更少发生农民起义。对此,解释合理的是 A.土地兼并对农民生计影响有限 B.国家在核心经济区的赋役征调较轻 C.庄园经济有效抑制了社会矛盾D.核心经济区的经济结构更具多元性 4. 汉代的冀州是燕赵故地,并州为三晋故地,益州为巴蜀故地,荆州为荆楚故地,豫州为中州故地。这种地方区划有利于 A.加强中央政府权威B.延续汉初地方行政制度 C.增强区域文化认同D.削弱地方分裂割据势力 5.下表列举了孔子不同时期的“遭遇”。下列观点对此解释合理的是 A.“历史就是一家之言”B.“一切历史都是当代史” C.“历史都是思想史”D.“历史是任人打扮的小姑娘”
6.黄仁宇说:“过去曾有不少读史者,以光绪帝不能毅然下决心清算慈禧太后为憾。殊不知皇帝之存在,并非因籍之以富国强兵,而是君临天下,作忠臣孝子的表率。要是他放弃了传统的使命,也等于否定了本身所扮演的角色。”据此判断制约光绪不能清算慈禧太后的主要因素是 A.宗法观念 B.君主制度 C.内忧外患 D.优柔寡断 7.下图是某考古资料对秦汉时期的墓葬村落遗址和冶铁遗址出土的铁制农具的统计情况。 该图客观上反映了秦汉时期 A.农业生产的精耕细作 B.冶铁业以生产农具为主 C.官营手工冶铁业发达 D.铁器巳得到全面的推广 8对下表解读正确的是 表:中国历代官民比例表 朝代西汉东汉唐元明清 比例1:79451:74641:29271:26131:22991:911 A.国家机构日益膨胀B.阶级矛盾日趋尖锐C.行政效率不断下降D.冗官问题由来已久9.钱穆在评唐朝的三省制时指出:“一切政府法令,须用皇帝诏书名义颁布者,事先由政事堂开会议决。送进皇宫画一敕字,然后由政事堂盖印中书、门下之章发下。没有政事堂盖印,即算不得诏书,在法律上没有合法地位。”由此可见,唐朝的政事堂 A.使三省体制走向完备 B.是尚书省的代替机构 C.发挥重要的决策作用 D.有利于提高行政效率 10.唐代初年,统治者在文化上颁布五经定本和新的五礼来垄断儒家经典话语的解释权,推定“三教”次序以提升政治权力在思想界的权威。该历史现象主要表明 A. 三教合流趋势开始出现 B. 政治需求影响文化政策 C. 儒学主流地位空前强化 D. 儒学危机推动儒学复兴
2019-2020年高三9月月考数学试题含答案
2019-2020年高三9月月考数学试题含答案 xx.9.29 一. 填空题 1. 不等式的解为 2. 已知集合,,则 3. 已知奇函数,当时,,则时, 4. 函数,的值域为 5. 若,则的最小值为 6. 若是关于的一元二次方程的一个虚根,且,则实数 的值为 7. 设集合,,若,则最大值是 8. 若二项式展开式中含有常数项,则的最小取值是 9. 已知方程有两个虚根,则的取值范围是 10. 从集合中任取两个数,要使取到的一个数大于,另一个数小 于(其中)的概率是,则 11. 已知命题或,命题或,若是的充分非必要 条件,则实数的取值范围是 12. 已知关于的不等式组有唯一实数解,则实数的取值是 13. 不等式有多种解法,其中有一种方法如下:在同一直角坐标系 中作出和的图像,然后进行求解,请类比求解以下问题:设 ,若对任意,都有,则 14. 设是定义在上的奇函数,且对于任意的,恒成立,当 时,,若关于的方程有5个不同的解,则实数的取值范 围是 二. 选择题 15. 若,,则下列不等式成立的是() A. B. C. D. 16. 集合,,则下列结论正确的是() A. B. C. D. 17. 对任意复数,为虚数单位,则下列结论正确的是() A. B. C. D. 18. 已知函数(为常数,且),对于定义域内的任意两个实数 、,恒有成立,则正整数可以取的值有()个 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
三. 解答题 19. 设复数,若是纯虚数,求的取值范围; 20. 已知函数; (1)若关于的方程在上有解,求实数的最大值; (2)是否存在,使得成立?若存在,求出,若不存在,说明理由; 21. 某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”:商场内所有商品按标价的八折出售,折后价格每满500元再减100元,如某商品标价为1500元,则购买该商品的实际付款额为(元),购买某商品得到的实际折扣率=,设某商品标 价为元,购买该商品得到的实际折扣率为; (1)写出当时,关于的函数解析式,并求出购买标价为1000元商品得到 的实际折扣率; (2)对于标价在的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到的实际折扣 率低于? 22. 已知函数; (1)当时,若,求的取值范围; (2)若定义在上奇函数满足,且当时,, 求在上的反函数; (3)对于(2)中的,若关于的不等式在上恒成立,求实 数的取值范围; 23. 设是由个有序实数构成的一个数组,记作,其中
2021届辽宁省锦州市黑山中学2018级高三上学期9月月考数学试卷及答案
2021届辽宁省锦州市黑山中学2018级高三上学期9月月考 数学试卷 ★祝考试顺利★ (含答案) 一、单选题 1.设2{|430}A x x x =-+,{|(32)0}B x ln x =-<,则 ) A .3(1,)2 B .(1,3] C .3(,)2 -∞ D .3 (2,3] 2.已知命题“21,4(2)04 x R x a x ?∈+-+”是假命题,则实数a 的取值范围为( ) A .(),0-∞ B .[]0,4 C .[)4,+∞ D .()0,4 3.已知集合(){} lg 2A x y x ==-,(],B a =-∞,若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,则实数a 的取值范围为( ) A .2a < B .2a > C .2a ≥ D .2a ≤ 4.设0.40.580.5,log 0.3,log 0.4a b c ===,则,,a b c 的大小关系是( ) A .a b c << B .c b a << C .c a b << D .b c a << 5.若,,2παβπ??∈ ???,且5sin 5α=,()10sin 10 αβ-=-,则sin β=( ) A .7210 B .22 C .12 D .110
6.函数4x x x y e e -=+的图象大致是( ) A . B . C . D . 7.要得到函数2sin 2y x x =+,只需将函数2sin 2y x =的图象( ) A .向左平移3 π个单位 B .向右平移3π个单位 C .向左平移6π 个单位 D .向右平移6π个单位 8.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =,则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=( ) A .50- B .0 C .2 D .50 二、多选题 9.如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示,则下述判断正确的是( ) A .函数()y f x =在区间13,2??-- ?? ?内单调递增 B .函数()y f x =在区间1,32??- ??? 内单调递减 C .函数()y f x =在区间()4,5内单调递增