判断函数的奇偶性并给予证明
高等数学复习题
一、用数列极限的ε-N 定义证明： 3
2
4312l i m
=-+∞→n n n 。
二、证明符号函数??
?
??<-=>=0
,10,
00
1sgn x x x x ，
当0→x 时，没有极限。
三、求下列极限：
(1) )(lim 2
n n n n -+∞
→ (2) )1
41
35115131(lim 2-++++
∞
→n n
(3) n
n n n
n ???
?
??+-∞→12lim 22 (4) 0lim →x x x
x 21)31(-+ (5) 0lim →x x e x x
e x x x 2)ln()ln(sin 222-+-+ (6) 1
cos arcsin lim 0-→x x x x
(7) )1ln()cos(sin 1lim 20x x x +-→ (8) 3
sin 022lim x x x x -→
(9) 0
lim
→x x
e e x
x 32
-+- (10) x
e x
x 3sin 1lim 1-∞→
(11) 1
2arctan lim ++∞→x x x x (12) x e x
e x x x 32lim +-+∞→
(13) sin 20
lim x
x x +
→ (14) x
x x 2tan 4
)
(tan lim π
→
(15) ??--→u
x u
u dx
e dx x 0
)1()1(cos lim 2
(16)
2
2
)(lim 22)
0,0(),(y x
y x y x +→+
(17) 222
200lim lim y
x y x x y +-→→ (18)x y x xy 1
)2,0(),()1(lim +-→
四、找出函数)(x f 的间断点，并说明其类型。若是可去间断点，则补充定 义函数值后使它连续：
(1) ?
??
?
???<≠>+-=--0
3sin 1
,0212
1)(1
111
x x x x x x f x x (2) 2cos
2()(1)
x
f x x x π
=- 五、设???
??≤>-=01
0sin 1)(222
x x x k e x f x 在点x = 0处连续，求k 。
六、（1）当0→x 时，求无穷小量x x sin tan -关于x 的阶
（2）当0→x 时，)1ln(k x +与3x x +为等价无穷小量，求k 的值。
七、求导数或微分： (1) x
x
y 1sin = (2) )cos 2ln(sin x x x y +=
(3) []
2
)21sin(x y -= (4) x x
y )211(-= (5) 求x x y arctan )1(2+=的二阶导数 (6) 设2
1)(x
x x f -=
，求)()
(x f n (7) ln y x x =，求dy (8) 函数xy
e z =的全微分dz (9) 求函数(
)
1+=x f
y 的导数
dx
dy (10) 求参变量函数??
?-==t
t t y t
x cos sin cos ln 的dx dy
，2
2dx y d (11) 给定参数方程:),()
sin 1()
cos 1(∞+-∞∈?????+=-=t t e y t e x t
t
,求
dx
dy
。 (12) 求由方程33
31x y xy +-=所确定的隐函数)(x y 在0=x 处的微分.
(13) 设)(x y y =是由函数方程 1)ln(2
2-+=+y x y x 在)1,0(处所确定的隐函数，
求dy 及)
1,0(dy
.
(14) 求函数)]()([2
2x x f y ψ?+=（ψ?,,f 均可导）的导数
dx
dy (15) 求由方程x y x y x sin )ln(23
2+=+所确定的隐函数)(x y 在0=x 处的微分.
(16) 求函数222z y x u +-=在点(1,2,3)处的偏导数、全微分、梯度和沿方向l ={3，1，-2}
的方向导数。
八、设??
?
??≤+-<≤+<-=x x b x a x x e x f x 1,1)1sin(10,
0,1)(， 求a 、b 使得)(x f 在x = 0和x = 1 处可导。
九、导数应用
(1) 求函数]1,1[,4-∈+=-x e e y x x 的最大值和最小值。 (2) 求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值。
(3) 求函数32
2)2()3()(+-=x x x f 的单调区间和极值。
(4) 设函数x x x f cos 2)(+=，讨论函数在区间),0(π内的单调性与极值.
(5) 已知函数21
3
2+-=x
x y ，讨论其单调性，极值，凹凸区间，拐点和渐近线。 (6) 求曲线2ln(1)y x =+凸性区间与拐点:
(7) 求曲线1
x xe y = 的渐近线。
十、求积分 (1)
?+dx x x x )tan 21(sec
2
(2)
?
+dx x
x 2
31
(3) ?-+x
x e e dx 2 (4) ?xdx e x
3sin 2 (5)
?+x dx 2sin 1 (6)?+++22)1(2x x x dx
(7)
?
++dx x x )1ln(2
(8) ?+dx x x )21
sin(12
(9) 若)(x f 有连续的二阶导数，求?
dx x xf )("。
(10)
?
--22
2
28dx x (11)
?
--1
2
2
11sin dx x
x x
(12)
dx x x ?
-++
21
)1
2
3( (13) ?
-4ln 2
ln 1
x
e dx
(14) 设???≥<+=-0
,0
,1)(22x xe x x x f x ，求?-20
)1(dx x f .
(15) 将
?
?
--2210
dx ),(dy y y y
y x f 化为极坐标下的累次积分.
(16) 计算二重积分
??
+D
x σd )2(, 其中D 是由直线x y =及2
x y =所围成的平面区域。
十一、判断下列广义积分敛散性，若收敛，则求其值： (1)
?
∞
-0
cos dx xe x
(2)
?+-3
02231
dx x x
(3)
dx x x ?+1
0)
2ln( (4)
?
∞
1
2
ln dx x x
十二、．
，求为可微函数，又设)( cos )( )()
(5x F udu x F x x e x
'=
??
?- 十三、判别下列级数是否收敛；如果收敛，试确定是条件收敛，还是绝对收敛 (1)
()
n
n n n n n !
211
1
∑∞
=-- (2) ∑∞
=-1
!)1(n n
n
n n (3)
∑∞
=+-1
)
1(1)1(n n n n
十四、设()x x x x x k k k k
11211212
3===+=???++,,,,,，求级数 1122133255
3812
?+?+?+?+???+?+???++x x x n n n 的前项的和S n 以及级数和。 十五、求幂级数∑∞
=++01
2121n n x n 的和函数和收敛域，并计算∑∞
=++0
1
22)12(1n n n 。
十六、试判断利用 ()
23
1
92311x x x +-
≈+- ，计算305
.11的近似值时， 误差是否小于0001.0？
高中数学解题方法谈：函数奇偶性的判定方法
函数奇偶性的判定方法 函数奇偶性的判定方法较多，下面把常见的判定方法分类加以研究分析． 1．定义域判定法 例1 判定()(1)2f x x x =-- 的奇偶性． 解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥， 定义域不关于原点对称， ∴原函数是非奇非偶函数． 评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数的奇偶性． 2．定义判定法 例2 判断()f x x a x a =++-和奇偶性． 解： 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且 ()()()()f a x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数． 评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数的奇偶性． 3．等价形式判定法 例3 判定2211 ()11x x f x x x ++-=+++的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =， ∴图象过原点． 又0x ≠ 时，22 22 ()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--， (1)()f f x ∴-=-． 又(0)0f =，∴()f x 为奇函数． 评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，()([])f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性．
投标人基本情况登记表
第五章投标人基本情况登记表、投标函、法定代表人身份证明书 及授权委托书（格式） 投标人基本情况登记表（格式） 填表须知：投标人应完整填写本表，而且保证所有填写内容是真实和准确的。 一、投标人组织机构和法律地位： 1、企业名称： 2、企业（注册）日期及地点： 3、企业组织机构代码证编号： 4、企业法定代表人：姓名职务电话 5、政府采购业务联系人：姓名职务电话 6、邮政编码： 7、通信地址： 二、投标人财务状况： 1、注册资本： 2、实收资本： 3、近期资产负债表： 1)固定资产： 原值： 净值： 2)流动资金： 3)长期负债： 4)短期负债： 投投标人（公章）： 法定代表人或委托代理人签名：
投标函（格式） 致：柳州市财政局政府采购管理办公室、广西云龙招标有限公司 根据贵方柳州市静兰片区规划路网电缆沟工程项目招标文件，项目编号LZG11-239，正式授权下述委托代理人（姓名和职务）代表投标人（投标人单位名称），提交下述文件（一至五项正本一份，副本四份，共五份：二至四项电子文档一份）： 一、投标人资格证明文件；（按须知第12条要求提供） 二、投标报价明细表；（按第六章要求格式填写） 三、项目实施方案；（按招标文件第六章要求格式填写） 四、服务承诺书；（按招标文件第六章要求格式填写） 五、投标人服务合格证明文件。（按须知弟13条要求提供） 据此函，代理人兹宣布同意如下： 1、按招标文件项目要求和开标一览表（报价表），投标总造价（大写）人民币￥元），施工日期：自中标通知书要求签订合同之日起天（日历天）内全部材料进场，签订合同之日起天（日历天）内完成总工程量的50%，签订合同之日起天（日历天）内验收合格交付使用。 2、我方同意在投标人须知规定的开标日期起遵循本招标文件，并在投标人须知第14条规定的投标人有效期满之前均具有约束力，并有可能中标。 3、我方承诺已具备《中华人民共和国政府采购法》中规定的参加政府采购活动的供应商应具备的条件： 1)具有独立承担民事责任的能力； 2)具有良好的商业信誉和健全的财务会计制度； 3)具有履行合同所必需的设备和专业技术能力； 4)有依法缴纳税收和社会保障资金的良好记录； 5)参加此项采购活动前三年内，在经营活动中没有重大违法记录。 4、我方根据招标文件的规定，承担完成合同的责任和义务。 5、我方已详细阅读招标文件，我方知道必须放弃提出含糊不清或误解问题的权利。 6、我方声明在投标截止时间的投标有效期内撤回投标文件或者其他违约行为，我方的全部投标保证金贵方可不予退还。 7、我同意贵方提供可能要求的与本投标有关的任何数据或资料。 8、我方完全理解贵方不一定要接受最低报价的投标人为中标人。 9、若贵方需要，我方愿意提供所作出的一切承诺的证明材料。 10、我方严格遵守《中华人民共和国政府采购法》弟七十七条规定，供应商有下列情形之一的，处以采购金额5%以上10%以下的罚款，列入不良行为记录名单，在一至三年内禁止参加政府采购活动，有违反所得的，并处没收违法所得，情节严重的，由工商行政管机关吊销营业执照；构成犯罪的，依法追究刑事责任： 1)提供虚假材料谋取中标的； 2)采取不正当手段诋毁、排挤其他供应商的； 3)与采购人、其他供应商或者采购代理机构恶意串通的； 4)向采购人、采购代理机构行贿或者提供其他不正当利益的； 5)未经采购人同意，在采购过程中与采购人进行协商谈判的； 6)拒绝有关部门监督检查或者提供虚假情况的。
函数奇偶性的归纳总结
函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。 教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。 教学过程： 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：
奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a 第11招 如何判断函数的奇偶性？ 判断函数的奇偶性（有的还牵涉三角函数）是高考中常考的知识点，一般以选择题形式出现. 解法指导与经典范例 （一） 判断函数奇偶性的方法 1. 定义法 这是最常用的方法.其解法步骤如下：（1）确定函数的定义域是否是关于原点的对称区间.若不是，可判断该函数是非奇非偶函数.若是，再按下列步骤继续进行.（2）在定义域内任取x ，以-x 代换f(x)中的x 得f(-x).(3)依据定义得出结论. 注意：（1）既是奇函数又是偶函数的函数只能是f(x)=0. （2）若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0.(如例6证一) 【例1】函数 ()()是x x x x f +-? +=11（ ）. A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D0非奇非偶函数 解 (]()() 的奇偶性】判断函数【例原点对称的区间由于这定义域不是关于想）的定义域为函数得?????>+-<+=-≤<-≥+-00)(2. .1,19,1101122x x x x x x x f f x x x 解 当x<0时，-x>0,()()() ().)(22x f x x x x x f -=+-=-+--=-∴ 而当x>0时，-x<0,()()()()x f x x x x x f -=-=-+-=-∴22 ()()()()().,,00,为奇函数故都有对任意x f x f x f x =-+∞∞-∈∴ 【例3】2002.北京文三（22）已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b R ∈都满足：()()().a bf b af b a f +=? (1) 求f(0)、f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论. 解（1）()()()()()()=?==?+?=?=111.00000000f f f f f f ()()1111f f ?+? ()f f ∴=,12（1）=0. （2）f(x)是奇函数.证明如下： ()()()[]()()()()().01.01,1211111=-∴=--=----=-?-=f f f f f f f 而 又 ()()()()()().,11是奇函数x f x f xf x f x f x f ∴-=-+-=?-=- 2. 利用定义的等价命题来判断 ()()()()()().00是偶函数是奇函数；x f x f x f x f x f x f ?=--?=-+ 或：当()()()()()() ().110是偶函数是奇函数；时， x f x f x f x f x f x f x f ?=-?-=-≠ 函数的奇偶性 一、选择题 1．若)(x f 是奇函数，则其图象关于（ ） A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称 D ．直线x y =对称 2．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图象 上的是（ ） A ． (())a f a ，- B ． (())--a f a ， C ． (())---a f a ， D ．(())a f a ，- 3．下列函数中为偶函数的是（ ） A ．x y = B ．x y = C ．2x y = D ．13+=x y 4. 如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数，且最小值是5，那么)(x f 在[]3,7--上是（ ） A ．增函数，最小值是-5 B ．增函数，最大值是-5 C ．减函数，最小值是-5 D ．减函数，最大值是-5 5. 已知函数)(1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?= 是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 6.已知偶函数)(x f 在],0[π上单调递增，则下列关系式成立的是( ) A ．)2()2 ()(f f f >- >-π π B ．)()2 ()2(ππ ->->f f f C ．)2 ()2()(π π- >>-f f f D ．)()2()2 (ππ ->>- f f f 二、填空题 7．若函数)(x f y =是奇函数，3)1(=f ，则)1(-f 的值为____________ . 8．若函数)(x f y =)(R x ∈是偶函数，且)3()1(f f <，则)3(-f 与)1(-f 的大小关系为__________________________. 9．已知)(x f 是定义在[)2,0-?(]0,2上的奇函数，当0>x 时，)(x f 的图象如右图所示，那么f (x ) 的值域是 . x x x f 1)(+ =1 )(2+= x x x f x x f 1)(= 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴ x x x f +=2)(，（2） x x x f -=3)( （3） ()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。 各类特种设备办理使用登记需要提供的材料 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: 附件1 各类特种设备办理使用登记需要提供的材料 一、锅炉(依据《锅炉压力容器使用登记管理办法》) 办理锅炉使用登记应逐台填写《锅炉登记卡》(一式两份、附电子文档)，并逐台提交以下资料: （1)安全技术规范要求的设计文件、产品质量合格证明、安装及使用维修说明; （2)制造过程监督检验证明； （3)安装过程监督检验证明； （4)进口锅炉安全性能监督检验报告（适用于进口锅炉); （5）安装质量证明书; (6）水处理方法及水质指标（有水处理要求的需要）； (7）安全阀，压力表等安全附件有效期内检验报告； (８）使用安全管理的有关规章制度。 以上第(1)至（７）项,及第（8)项目录部分应同时提供加盖使用单位公章(或个人所有者签字按手印)的复印件。 办理下列锅炉使用登记只需提交前条第（１）至(4)项文件： (1）水容量小于50L的蒸汽锅炉; （2)额定蒸汽压力不大于0．１Ｍｐa的蒸汽锅炉； (３）额定出水温度小于12０℃且额定热功率不大于2.8ＭW的热水锅炉。 锅炉房内的分汽（水）缸随锅炉一同办理使用登记，不单独领取使用登记证。 二、压力容器(依据《压力容器使用管理规则》） 办理压力容器使用登记时，使用单位应逐台填写《使用登记表》（一式两份、附电子文档），并逐台提交以下资料： (1)使用单位组织机构代码证或者个人身份证明(适用于公民个人所有的压力容器）; （2)压力容器产品合格证(含产品数据表）； 高中数学知识点：函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠， ； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数() f x的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数() f x的解析式； f x的定义域，化简函数() （3）求() f x f x的 -与() f x之间的关系，判断函数() -，可根据() f x 奇偶性. 若() f x，则() f x是奇函数； f x -=-() 若() f x是偶函数； f x，则() -=() f x 若() f x f x既不是奇函数，也不是偶函数； ≠±，则() -() f x 若() -=-() f x既是奇函数，又 f x f x，则() f x f x -() =且() 是偶函数 【知识要点】 一、函数的奇偶性的定义 对于函数()f x ，其定义域D 关于原点对称，如果,x D ?∈恒有()()f x f x -=-，那么函数()f x 为奇函数；如果,x D ?∈恒有()()f x f x -=，那么函数()f x 为偶函数. 二、奇偶函数的性质 1、奇偶函数的定义域关于原点对称； 2、 偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称； 3、偶函数在对称区间的增减性相同，奇函数在对称区间的增减性相反； 4、 奇函数在原点有定义时，必有 (0)0f =. 三、判断函数的奇偶性的方法 判断函数的奇偶性的方法，一般有三种：定义法、和差判别法、作商判别法. 1、定义法 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数. 2、和差判别法 对于函数定义域内的任意一个x ，若()()0f x f x -+=，则()f x 是奇函数；若()()0f x f x --=，则()f x 是偶函数. 3、 作商判别法 对于函数定义域内任意一个x ，设()0f x -≠，若()1()f x f x =--，则()f x 是奇函数，() 1() f x f x =-，则()f x 是偶函数. 【方法讲评】 方法一 定义法 使用情景 具体函数和抽象函数都适用. 解题步骤 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关 系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否 则是非奇非偶函数. 【例1】判断下列函数的奇偶性. （1）x x x x f -+-=11)1()( （2）2lg(1) ()22 x f x x -=-- 【点评】（1）判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数. (2)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇偶函数的必要非充分条件.（3）函数的定义域求出来之后，还要注意在解题中应用，不是走一个过场和形式.第2小题就是利用求出的定义域对函数进行了化简. 【例2】 定义在实数集上的函数()f x ，对任意x y R ∈、，有()()f x y f x y ++-2()()f x f y =? 且(0)0f ≠ ①求证：(0)1f = ②求证：()y f x =是偶函数 函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (7)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (9)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一 判断函数的奇偶性 感谢你的观看 感谢你的观看注册登记证明书 注册登记证明书去当地工商管理局咨询一下吧。 可以变更名称，到工商局领个名称核准表和变更申请表，按工商局的人指示办2 (1)《企业法人营业执照》副本复印件(个人独资、合伙企业、个体工商户和报关企业跨关区分支机构提交《营业执照》副本复印件); (2)中华人民共和国青岛海关准予报关企业(跨关区分支机构)注册登记许可延续决定书(进出口货物收发货人免提交); (3)《对外贸易经营者备案登记表》复印件(法律、行政法规或者商务部规定不需要备案登记的、报关企业免提交); (4)《中华人民共和国外商投资企业批准证书》、《中华人民共和国台、港、澳、侨投资企业批准证书》复印件(限外商投资企业提交); (5)《报关单位情况登记表》;(海关提供) (6)《报关员情况登记表》(无报关员的进出口货物收发货人免提交);(海关提供) (7)《报关单位管理人员情况登记表》(海关提供) (8)海关企业管理业务操作审批单(海关提供) 以上第(1)—(7)项单证必须加盖企业公章。 (三)提交以下材料 1.自理报检单位备案更改申请表(系统中打印出的表格); 2.《企业法人营业执照》副本的复印件，加盖企业公章; 3.《组织机构代码证》副本的复印件，加盖企业公章; 4.有进出口经营权的企业须提供有关证明材料的复印件，加盖企业公章。有关证明材料为《中华人民共和国进出口企业资格证书》或《中华人民共和国外商投资企业批准证书》或《对外贸易经营者备案登记表》; 5.原有备案证书原件 三、《自理报检单位备案登记证明书》换证 《自理报检单位备案登记证明书》背面注有该证书的有效期，到期应来我局申请换证。“换证”所需手续与“备案更改”所需手续相同，提交电子申请时“更改原因”中注明“换证”。 四、补办《自理报检单位备案登记证明书》 《自理报检单位备案登记证明书》如丢失，应来我局申请补证。补证需先到《国门时报》登报挂失(电话64194025)，然后持挂失回执和其他相关材料(同“更改换证”)办理。 七、办理时限 现场办理时间为每周一、三、五，上午9：00—11：30，下午1：00—4：30。国家法定节假日除外。 提交书面材料、经审核合格后，当时即可领取备案的注册登记号，此号码24小时后生效，自理报检单位可持此号码办理相关业务。 3 x x x f 1)(+=1 )(2+= x x x f x x f 1)(=函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及 ) ()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2)(，（2）x x x f -=3)( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3)(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时，) ()(x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时，) ()(x g x f 是偶函数。 场地使用证明样本 篇一：住所或营业场所使用证明书 住所或营业场所使用证明书 _____________工商行政管理局： 拟申请设立________________________有限公司，住所地址在___________________________________，共有使用面积_________平方米。 以上住所所有权系___________________ 所有，属有（无）偿使用，使用期限自_______年____月___日至________年____月_____日。 附件1：产权证明 附件2：租房协议书 使用单位证明单位 负责人签字负责人签字 年月日年月日 备注：证明单位为该住所的所有权人，所有权人为自然人的由本人签名，自然人以 外的所有权人应加盖公章。 企业住所（经营场所）登记表 注：１.企业（公司）设立登记时，申请人为股东（出资人）。股东是法人或其他组织的，由股东 盖章，股东是自然人的，由自然人签字。 ２.企业（公司）变更登记时，申请人由企业（公司）盖章。 （公司登记文书范本之九：房屋租赁合同） 房屋租赁合同 （仅供参考） 出租方：（以下简称甲方） 承租方：（以下简称乙方） 签订时间：年月日 签订地点： 根据及有关法律法规的规定，甲乙双方在平等、自愿、协商一致的基础上订立本合同，就房屋租赁事项达成如下协议。 第一条租赁房屋（场所）坐落在ＸＸ市ＸＸ区ＸＸ路ＸＸ号，面积平方米。 第二条租赁期限：从年月日至年月日（规定为1年以上20年以内）。 第三条租赁用途：乙方租赁该房屋作为企业住所（或生产、经营场所）使用。 第四条月租金为元人民币（大写），租金的支付期限及方式：（如乙方按每月的月初日前一次性向甲方支付租金，租金直接汇入甲方帐户，开户银行：，帐号：）。 租金变动条款：（如第一年租金为元人民币，以后每年度递增百分之 %）。 第五条定金（或押金）：乙方在签定本合同后日内须向甲方支 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2 )(，（2）x x x f -=3 )( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在(x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。 （6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。 （7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数()()[]x g f x F =；若()x g 为偶函数, ()f x 为奇（偶）函数，则()x F 都为 函数奇偶性的判定方法 山东 刘海 函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法． 1．定义域判定法 例1 判定()(1)f x x =- 解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥， 定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数． 评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性． 2．定义判定法 例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性． 解： 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ， 且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数． 评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性． 3．等价形式判定法 例3 判定()f x =的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点． 又0x ≠ 时，22 22()(1)(1)1()(1)(1) f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-． 又(0)0f =，()f x ∴为奇函数． 评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数， 试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性． 函数的奇偶性 【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：() ()()0, 1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：() ()()01(()0)() f x f x f x f x f x -+-==-≠， ； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式； （3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性. 若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数； 若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数； 若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数 要点二、判断函数奇偶性的常用方法 函数的奇偶性 1．函数f （x ）=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是 （ ） A ．奇函数非偶函数 B ．偶函数非奇函数 C ．奇函数且偶函数 D ．非奇非偶函数 2. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是( ） A .奇函数 B .偶函数 C .既奇又偶函数 D .非奇非偶函数 3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数， 且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( ) A.(-∞,2) B. (2,+∞) C. (-∞,-2)?(2,+∞) D. (-2,2) 4．已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数. 当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则 当x ∈(0.+∞)时，f (x )= . 5. 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝lg (12+x -x ); (2)f (x )＝2-x +x -2 (3) f （x ）=? ? ?>+<-). 0() 1(),0()1(x x x x x x 6.已知g (x )=－x 2－3,f (x )是二次函数，当x ∈[-1,2]时，f (x )的最小值是1，且f (x )+g (x )是奇函数，求f (x )的表达式。 7.定义在（-1，1）上的奇函数f （x ）是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2 )<0,求a 的取值范围 8.已知函数21 ()(,,)ax f x a b c N bx c += ∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<且()[1,)f x +∞在上是增函数, (1)求a,b,c 的值; (2)当x ∈[-1,0)时,讨论函数的单调性. 9.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有 f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 住所或营业场所使用证明书 _____________工商行政管理局： 拟申请设立________________________有限公司，住所地址在___________________________________，共有使用面积_________平方米。 以上住所所有权系___________________ 所有，属有（无）偿使用，使用期限自_______年____月___日至________年____月_____日。 附件1：产权证明 附件2：租房协议书 使用单位证明单位 负责人签字负责人签字 年月日年月日 备注：证明单位为该住所的所有权人，所有权人为自然人的由本人签名，自然人以外的所有权人应加盖公章。 企业住所（经营场所）登记表 注：１.企业（公司）设立登记时，申请人为股东（出资人）。股东是法人或其他组织的，由股东盖章，股东是自然人的，由自然人签字。 ２.企业（公司）变更登记时，申请人由企业（公司）盖章。 （公司登记文书范本之九：房屋租赁合同） 房屋租赁合同 （仅供参考） 出租方：（以下简称甲方） 承租方：（以下简称乙方） 签订时间：年月日 签订地点： 根据《中华人民共和国合同法》及有关法律法规的规定，甲乙双方在平等、自愿、协商一致的基础上订立本合同，就房屋租赁事项达成如下协议。 第一条租赁房屋（场所）坐落在ＸＸ市ＸＸ区ＸＸ路ＸＸ号，面积平方米。 第二条租赁期限：从年月日至年月日（规定为1 年以上20年以内）。 第三条租赁用途：乙方租赁该房屋作为企业住所（或生产、经营场所）使用。 第四条月租金为元人民币（大写），租金的支付期限及方式：（如乙方按每月的月初日前一次性向甲方支付租金，租金直接汇入甲方帐户，开户银行：，帐号：）。 租金变动条款：（如第一年租金为元人民币，以后每年度递增百分之 %）。 第五条定金（或押金）：乙方在签定本合同后日内须向甲方支付元人民币（大写）作为定金（或押金）。 第六条乙方负责支付出租房屋的水费、电费、煤气费、电话费、闭 路电视收视费、卫生费、物业管理费，并承担延期支付费用、违规操作等 造成的违约责任；甲方承担租赁期间的房产税、出租所得税及附加费、水 电表立户费，但因乙方水电管理使用不善造成的损失和维修费用，由乙方 承担。 租赁期间，防火安全，门前三包，综合治理及安全、保卫等工作，乙 方应服从当地有关部门规定执行，若因此造成甲方财产等损失，乙方应承 担全部责任。 函数的奇偶性的典型例题 函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分第招 如何判断函数的奇偶性
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第07招 函数的奇偶性的判断和证明
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