2014高考导数压轴题终极解答60930
导数解答题专项
目录
一、导数单调性、极值、最值的直接应用（3）
二、交点及根的分布（7）
三、不等式证明（8）
（一）作差证明不等式
（二）变形构造函数证明不等式
（三）替换构造不等式证明不等式
四、不等式恒成立求字母范围（13）
（一）恒成立之最值的直接应用
（二）恒成立之分离常数
（三）恒成立之讨论字母范围
五、函数及导数性质的综合运用（16）
六、导数应用题（20）
七、导数结合三角函数（21）
书中常用结论:
⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x
x
<， 其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点及原点连线斜率小于1.
⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+
⑷ln ,0x x x e x <<>.
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
1. （切线）设函数a x x f -=2)(.
（1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；
（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 及x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21.
2. （2009天津理20，极值比较讨论）
已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当2
3
a ≠时，求函数()f x 的单调区间及极值.
3. 已知函数2
21()2,()3ln .2
f x x ax
g x a x b =
+=+ ⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点，且在公共点处的切线相同，若0a >，试建立b 关于a 的函数关系式，并求b 的最大值；
⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数，求a 的取值范围。
4. （最值，按区间端点讨论）
已知函数f (x )=ln x －a x
. (1)当a>0时，判断f (x )在定义域上的单调性；
(2)若f (x )在[1,e ]上的最小值为3
2
，求a 的值.
5. （最值直接应用）
已知函数)1ln(2
1)(2
x ax x x f +--
=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.
6. （2010北京理数18）
已知函数()f x =ln (1+x )-x +2
2
x x (k ≥0). (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =()f x 在点(1,f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求()f x 的单调区间.
7. （2010山东文21，单调性）
已知函数1()ln 1()a
f x x ax a R x
-=-+
-∈ ⑴当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；
⑵当1
2
a ≤时，讨论()f x 的单调性
8. (是一道设计巧妙的好题，同时用到e 底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零
点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密) 已知函数()ln ,().x
f x x
g x e == ⑴若函数φ (x ) = f (x )－
1
1
x x ，求函数φ (x )的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 及曲线y =g (x )相切．
9. （最值应用，转换变量）
设函数221
()(2)ln (0)ax f x a x a x
+=-+<．
(1)讨论函数()f x 在定义域内的单调性；
(2)当(3,2)a ∈--时，任意12,[1,3]x x ∈，12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围．
10. （最值应用）
已知二次函数()g x 对x R ?∈都满足2(1)(1)21g x g x x x -+-=--且(1)1g =-，设函数
19
()()ln 28
f x
g x m x =+++（m R ∈，0x >）．
（Ⅰ）求()g x 的表达式；
（Ⅱ）若x R +?∈，使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）设1m e <≤，()()(1)H x f x m x =-+，求证：对于12[1,]x x m ?∈，，恒有
12|()()|1H x H x -<．
11. 设3x =是函数()()
()23,x
f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点.
（1）求a 及b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；
（2）设()2
250,4x
a g x a e ??>=+
???
，若存在[]12,0,4ξξ∈，使得()()121f g ξξ-< 成立，求a 的取值范围.
12. 2()()()x
f x x ax b e x R =++∈． （1）若2,2a b ==-，求函数()f x 的极值；
（2）若1x =是函数()f x 的一个极值点，试求出a 关于b 的关系式（用a 表示b ），并确
定()f x 的单调区间；
（3）在（2）的条件下，设0a >，函数24()(14)x g x a e +=+．若存在]4,0[,21∈λλ使得
1|)()(|21<-λλf f 成立，求a 的取值范围．
.
13. (2010山东，两边分求，最小值及最大值) 已知函数1()ln 1a
f x x ax x
-=-+-()a ∈R . ⑴当1
2
a ≤
时，讨论()f x 的单调性； ⑵设2()2 4.g x x bx =-+当1
4
a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，
求实数b 取值范围.
.
14. 设函数11ln )(--+
-=x
a
ax x x f ． （Ⅰ）当1=a 时，过原点的直线及函数)(x f 的图象相切于点P ，求点P 的坐标； （Ⅱ）当时，求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）当时，设函数，若对于e x ,01（∈
?]，∈?2x [0，1] 使)(1x f ≥)(2x g 成立，求实数b 的取值范围.（e 是自然对数的底，13+<
e ）
15. (2010山东，两边分求，最小值及最大值) 已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． ⑴求()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；
⑵若存在1,x e e ??∈????
（e 是常数，e ＝2.71828???）使不等式2()()f x g x ≥成立，求实数a 的取
值范围；
⑶证明对一切(0,),x ∈+∞都有12
ln x x e ex
>-成立．
16. （最值应用） 设函数()2ln q f x px x x =-
-，且()2p
f e qe e
=--，其中e 是自然对数的底数. ⑴求p 及q 的关系；
⑵若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；
⑶设2()e
g x x
=
，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得0()f x ＞0()g x 成立，求实数p 的取值范围.
17. （2011湖南文，第2问难，单调性及极值，好题） 设函数1
()ln ().f x x a x a R x =-
-∈
⑴讨论函数()f x 的单调性；
⑵若()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ,问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.
18. （构造函数，好，较难） 已知函数2
1()ln (1)(0)2
f x x ax a x a R a =-
+-∈≠，. ⑴求函数()f x 的单调增区间；
⑵记函数()F x 的图象为曲线C ，设点1122(,)(,)A x y B x y 、是曲线C 上两个不同点，如果曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得：
①；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”.试问：函数()f x 是否存在中值相依切线，请说明理由.
19. (2011天津理19，综合应用)
已知0a >，函数()2
ln f x x ax =-，0x >．(()f x 的图象连续)
⑴求()f x 的单调区间；
⑵若存在属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f
f αβ=，证明：
ln 3ln 2ln 2
53
a -≤≤．
20. （恒成立，直接利用最值）
已知函数2()ln(1), 0f x ax x ax a =++->，
⑴若2
1
=
x 是函数)(x f 的一个极值点，求a ； ⑵讨论函数)(x f 的单调区间；
⑶若对于任意的[1,2]a ∈,不等式()f x m ≤在1[,1]2
上恒成立，求m 的取值范围.
21. （最值及图象特征应用）
设R a ∈，函数e a ax e x f x
)(1(2
)(2++=-为自然对数的底数）.
⑴判断)(x f 的单调性；
⑵若]2,1[1
)(2∈>x e
x f 在上恒成立，求a 的取值范围.
22. (单调性)
已知()f x =ln(x +2)－x 2+bx +c ⑴若函数()f x 在点(1，y )处的切线及直线3x +7y +2=0垂直，且f (－1)=0，求函数()f x 在区间[0,3]上的最小值；
⑵若()f x 在区间[0,m ]上单调，求b 的取值范围.
23. （单调性，用到二阶导数的技巧） 已知函数x x f ln )(= ⑴若)()()(R a x
a
x f x F ∈+=，求)(x F 的极大值；
⑵若kx x f x G -=2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围.
二、交点及根的分布
24. （2008四川22，交点个数及根的分布）
已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． ⑴求a ；
⑵求函数()f x 的单调区间；
⑶若直线y b =及函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．
25. 已知函数()3
2
f x x ax bx c =-+++在(),0-∞上是减函数，在()0,1上是增函数，函数
()f x 在R 上有三个零点． （1）求b 的值；
（2）若1是其中一个零点，求()2f 的取值范围； （3）若()()'
213ln a g x f x x x ==++，，试问过点（2，5）可作多少条直线及曲线y=g(x )
相切？请说明理由.
26. （交点个数及根的分布）
已知函数2()8,()6ln .
f x x x
g x x m =-+=+
⑴求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t
⑵是否存在实数,m 使得()y f x =的图像及()y g x =的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。
27. （交点个数及根的分布） 已知函数.2
3)32ln()(2x x x f -+=
⑴求f (x )在[0,1]上的极值；
⑵若对任意0]3)(ln[|ln |],3
1,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围；
⑶若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.
28. (2009宁夏，利用根的分布)
已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++ ⑴如3a b ==-，求()f x 的单调区间；
⑵若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明：βα-＜6. 6.a <-于是 6.
βα->29. （2009天津文，利用根的分布讨论）
设函数()()()3
22113
f x x x m x x =-
++-∈R ，其中0m > ⑴当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率
⑵求函数()f x 的单调区间及极值
⑶已知函数()f x 有三个互不相同的零点120x x 、、，且12x x <，若对任意的
[]()()12,,1x x x f x f ∈>恒成立，求m 的取值范围.
30. （2007全国II 理22，转换变量后为根的分布） 已知函数3()f x x x =-．
（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；
（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<< ．
31. 已知函数()()3
2
3,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()
1,1f 处的切线方程为20y +=．
⑴求函数()f x 的解析式；
⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值；
⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．
32. （2011省模，利用⑴的结论，转化成根的分布分题）
已知a ∈R ，函数()ln 1,()(ln 1),x a
f x x
g x x e x x
=
+-=-+（其中 2.718e ≈） （I ）求函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值；
（II ）是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线及y 轴垂直？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由。
33. 已知函数x x f =)(，函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[-1，1]上的减函数. （I ）求λ的最大值；
（II ）若]1,1[1)(2-∈++ （Ⅲ）讨论关于x 的方程 m ex x x f x +-=2) (ln 2的根的个数． 三、不等式证明 作差证明不等式 34. （2010湖南，最值、作差构造函数） 已知函数x x x f -+=)1ln()(． (1)求函数)(x f 的单调递减区间； (2)若1->x ，求证：1 1 1+-x ≤)1ln(+x ≤x ． 35. （2007湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易） 已知定义在正实数集上的函数2 1()22 f x x ax = +，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． ⑴用a 表示b ，并求b 的最大值； ⑵求证：当0x >时，()()f x g x ≥． 36. （2009全国II 理21，字母替换，构造函数） 设函数()()2 ln 1f x x a x =++有两个极值点12x x 、，且12x x < ⑴求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； ⑵证明：()212ln 2 4 f x -> 变形构造函数证明不等式 37. （变形构造新函数，一次） 已知函数()(1)ln f x a x ax =+-． ⑴试讨论()f x 在定义域内的单调性； ⑵当a ＜－1时，证明：12,(0,1)x x ?∈， 1212|()()| 1|| f x f x x x ->-．求实数m 的取值范围． 38. （2011辽宁理21，变形构造函数，二次） 已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f . ⑴讨论函数)(x f 的单调性； ⑵设1- 39. （2010辽宁文21，构造变形，二次） 已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. ⑴讨论函数()f x 的单调性； ⑵设2a -≤，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x --≥. 40. （辽宁，变形构造，二次） 已知函数f (x )= 2 1x 2 －ax +(a －1)ln x ，1a >. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：若5a <，则对任意x 1,x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有 1212 ()() 1f x f x x x ->--. 41. 已知函数()1ln (0).f x x a x a =--< （1）确定函数()y f x =的单调性； （2）若对任意(]12,0,1x x ∈，且12x x ≠，都有1212 11 |()()|4| |f x f x x x -<-，求实数a 的取值范围。 42. （变形构造） 已知二次函数()2 f x ax bx c =++和“伪二次函数”()2 g x ax =+ln bx c x +（a 、b 、 ,c R ∈0abc ≠）， (I)证明：只要0a <，无论b 取何值，函数()g x 在定义域内不可能总为增函数； (II)在二次函数()2 f x ax bx c =++图象上任意取不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 中 点的横坐标为0x ，记直线AB 的斜率为k ， (i)求证：0()k f x '=； (ii)对于“伪二次函数”()2 ln g x ax bx c x =++，是否有①同样的性质?证明你的结论. 43. (变形构造，第2问用到均值不等式) 已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋4ax ＋1，g(x)＝6a2lnx ＋2b ＋1，其中a ＞0. ⑴设两曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同，用a 表示b ，并求b 的最大值； ⑵设h(x)＝f(x)＋g(x)－8x ，证明：若a ≥－1，则h(x)在(0,＋∞)上单调递增； ⑶设F(x)＝f(x)＋g(x)，求证：对任意x1,x2∈(0,＋∞)，x1＜x2有＞8. 44. 已知函数1 )(+=x a x ?，a 为正常数． ⑴若)(ln )(x x x f ?+=，且a 2 9 =，求函数)(x f 的单调增区间； ⑵在⑴中当0=a 时，函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ，()22,y x B ，线段AB 的中点为),(00y x C ，记直线AB 的斜率为k ，试证明：)(0x f k '>． ⑶若)(ln )(x x x g ?+=，且对任意的(]2,0,21∈x x ，21x x ≠，都有 1) ()(1 212-<--x x x g x g ，求a 的取值范围． 45. 已知函数2 1()ln (1)2 f x x ax a x =-+-（0 （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线C 上的不同两点．如果在曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得：①；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线 AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”．试问：函数()f x 是否存在“中值相依切线”， 请说明理由． 46. 已知函数)0)(ln()(2>=a ax x x f . （1）若2)('x x f ≤对任意的0>x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1=a 时，设函数x x f x g )()(= ，若1),1,1 (,2121<+∈x x e x x ，求证42121)(x x x x +< 47. 已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． (1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值； (2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明: 对一切(0,)x ∈+∞，都有成立． 48. （2011陕西21，变形构造，反比例） 设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1 ()f x x '=，()()()g x f x f x '=+．()g x （1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论及1()g x 的大小关系； （3）是否存在00x >，使得01 |()()|g x g x x -<对任意0x >成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由． 49. 已知函数1ln ()a x f x a R x -+= ∈， （Ⅰ）求()f x 的极值 （Ⅱ）若ln 0x kx -<在R + 上恒成立，求k 的取值范围 （Ⅲ）已知10x >，20x >且12x x e +<，求证1212x x x x +> 50. 已知函数x x x f ln )(=的图象为曲线C , 函数b ax x g +=21)(的图象为直线l . (Ⅰ) 当3,2-==b a 时, 求)()()(x g x f x F -=的最大值; (Ⅱ) 设直线l 及曲线C 的交点的横坐标分别为21,x x , 且21x x ≠, 求证: 2)()(2121>++x x g x x . 51. 已知函数211 ()ln()4f x x x x a a = -++，其中常数0.a > ⑴若()1f x x =在处取得极值，求a 的值； ⑵求()f x 的单调递增区间； ⑶已知若1212,(,),x x a a x x ∈-≠，且满足12'()'()0f x f x +=，试比较12'()'(0)f x x f +与的大小，并加以证明。 替换构造不等式证明不等式 52. （第3问用第2问）已知217 ()ln ,()(0)22 f x x g x x mx m == ++<，直线l 及函数(),()f x g x 的图像都相切，且及函数()f x 的图像的切点的横坐标为1。 （I ）求直线l 的方程及m 的值； （II ）若()(1)'()()h x f x g x =+-其中g'(x)是g(x)的导函数，求函数()h x 的最大值。 （III ）当0b a <<时，求证：()(2).2b a f a b f a a -+-< 53. 已知函数()x x x f ln =、 （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若k 为正常数，设()()()g x f x f k x =+-，求函数()g x 的最小值； （Ⅲ）若0a >，0b >，证明：()()()()2f a a b ln f a b f b +++-≥、 54. （替换构造不等式） 已知函数1 )(2 ++= x b ax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . ⑴求函数()f x 的解析式； ⑵设x x g ln )(=，求证：)(x g ≥)(x f 在),1[+∞∈x 上恒成立；（反比例，变形构造） ⑶已知b a <<0，求证： 2 22ln ln b a a a b a b +>--.（替换构造） 55. （替换证明） 已知函数ln ()1x f x x =-． （1）试判断函数()f x 的单调性； （2）设0m >，求()f x 在[,2]m m 上的最大值； （3）试证明：对任意*n ∈N ，不等式11ln()e n n n n ++< 都成立（其中e 是自然对数的底数）． 56. （2010湖北，利用⑵结论构造） 已知函数0b f x ax c a x =++>（ ）（）的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. a b c ⑴用表示出、； ()ln [1)f x x a +∞≥⑵若在，上恒成立，求的取值范围；（反比例，作差构造） ⑶1111ln(1)(1)232(1)n n n n n +++???+>++≥+证明： .（替换构造） 57. 已知()22(0)b f x ax a a x =+ +->的图像在点(1,(1))f 处的切线及直线21y x =+平行. （1）求a ，b 满足的关系式； （2）若()2ln )f x x ≥∞在[1,+上恒成立，求a 的取值范围； （3）证明：11111(21)() 35 21221 n n n n n ++ +++ >++∈-+ （n ∈N *） 58. 已知函数.1)1()1ln()(+---=x k x x f （1）求函数)(x f 的极值点。 （2）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围。 （3）证明： )1,(6) 1)(4(1 ln 154ln 83ln 32ln 2>∈-+<-++++n N n n n n n . 59. (替换构造) 已知函数()ln(1)(1) 1.f x x k x =---+ ⑴求函数()f x 的单调区间； ⑵若()f x ≤0恒成立，试确定实数k 的取值范围；（一次，作差构造） ⑶证明：①当2x >时，ln(1)2x x -<-；②*1ln (1) (,1)1 4n i i n n n N n i =-<∈>+∑. 60. （2011浙江理22,替换构造） 已知函数()2ln(1)(0)f x a x x a =+->. ⑴求()f x 的单调区间和极值； ⑵求证：(1)lg lg lg 4lg lg (1)23n n n n e e e e e n n ++ ++???+>+* ()n N ∈. 61. （替换构造） 已知函数()1(0,)x f x e ax a e =-->为自然对数的底数. ⑴求函数()f x 的最小值； ⑵若()f x ≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值；（一次，作差构造） ⑶在⑵的条件下，证明：121()()( )()(*)1 n n n n n n e n n n n n e -++???++<∈-N 其中. 四、不等式恒成立求字母范围 恒成立之最值的直接应用 62. （2011北京理18倒数第3大题，最值的直接应用） 已知函数2 ()()x k f x x k e =-。 ⑴求()f x 的单调区间； ⑵若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤ 1 e ，求k 的取值范围. 63. （2008天津理20倒数第3大题，最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧） 已知函数()()0≠++=x b x a x x f ，其中R b a ∈,. ⑴若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处切线方程为13+=x y ,求函数()x f 的解析式； ⑵讨论函数()x f 的单调性； ⑶若对于任意的??????∈2,21a ，不等式()10≤x f 在?? ? ???1,41上恒成立，求b 的取值范围. 64. （转换变量，作差） 已知函数2()()x f x x a e =-. ⑴若3a =，求()f x 的单调区间； ⑵已知12,x x 是()f x 的两个不同的极值点，且1212||||x x x x +≥，若 323 3()32 f a a a a b <+-+恒成立，求实数b 的取值范围。 恒成立之分离常数 65. （分离常数） 已知函数()ln 1,.a f x x a R x = +-∈ (1) 若()y f x =在0(1,)P y 处的切线平行于直线1y x =-+，求函数()y f x =的单调区间； (2) 若0a >，且对(0,2]x e ∈时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围 66. （2011长春一模，恒成立，分离常数，二阶导数） 已知函数12 )(2 ---=ax x e x f x ,（其中∈a R ,e 为自然对数的底数）. (1)当0=a 时,求曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线方程； (2)当x ≥1时,若关于x 的不等式)(x f ≥0恒成立,求实数a 的取值范围. （改x ≥0时，)(x f ≥0恒成立.a ≤1） 67. （两边取对数的技巧）设函数1 ()(1(1)ln(1) f x x x x =>-++且0x ≠） （1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 的取值范围； （3）已知11 2(1)m x x +>+对任意(1,0)x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围。 68. （分离常数） 已知函数1ln ()x f x x += ． （Ⅰ）若函数在区间1 (,)2 a a +其中a >0，上存在极值，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）如果当1x ≥时，不等式()1 k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； 69. （2010湖南，分离常数，构造函数） 已知函数2()(,),f x x bx c b c =++∈R 对任意的,x ∈R 恒有()()f x f x '≤. ⑴证明：当20()();x f x x c +≥时，≤ ⑵若对满足题设条件的任意b 、c ，不等式22()()()f c f b M c b --≤恒成立，求M 的最小值。 70. （第3问不常见，有特点，由特殊到一般，先猜后证）已知函数x x n x f ) 1(11)(++= （Ⅰ）求函数f (x )的定义域 （Ⅱ）确定函数f (x )在定义域上的单调性，并证明你的结论. （Ⅲ）若x >0时1 )(+>x k x f 恒成立，求正整数k 的最大值. 71. (恒成立，分离常数，涉及整数、较难的处理) 已知函数).0() 1ln(1)(>++= x x x x f （Ⅰ）试判断函数),0()(+∞在x f 上单调性并证明你的结论； （Ⅱ）若1 )(+>x k x f 恒成立，求整数k 的最大值；（较难的处理） （Ⅲ）求证：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n (n +1)]>e 2n －3. 72. (分离常数，双参，较难)已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++，t R ∈. （１）若函数()y f x =依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值． ①求t 的取值范围；②若22a c b +=，求t 的值． （２）若存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式 ()f x x ≤恒成立．求正整数m 的最大值． 73. （2008湖南理22，分离常数，复合的超范围） 已知函数2 2 ()ln (1).1x f x x x =+-+ ⑴求函数()f x 的单调区间; ⑵若不等式1(1) n a e n ++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数），求a 的最大值. （分离常数） 74. （变形，分离常数） 已知函数x a x x f ln )(2+=(a 为实常数). (1)若2-=a ，求证：函数)(x f 在(1,+∞)上是增函数； (2)求函数)(x f 在[1,e ]上的最小值及相应的x 值； (3)若存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围. 75. （分离常数，转换变量，有技巧） 设函数2()ln f x a x bx =-. ⑴若函数()f x 在1x =处及直线1 2y =-相切： ①求实数,a b 的值；②求函数()f x 在1 [,]e e 上的最大值； ⑵当0b =时，若不等式()f x ≥m x +对所有的2 3[0,],[1,]2 a x e ∈∈都成立，求实数m 的取值 范围. 恒成立之讨论字母范围 76. （2007全国I ，利用均值，不常见） 设函数()e e x x f x -=-． ⑴证明：()f x 的导数()2f x '≥； ⑵若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． 77. 设函数f (x )=e x +sinx,g (x )=ax,F (x )=f (x )－g (x ). (Ⅰ)若x =0是F (x )的极值点,求a 的值； (Ⅱ)当 a =1时,设P (x 1,f (x 1)), Q (x 2, g (x 2))(x 1>0,x 2>0), 且PQ //x 轴,求P 、Q 两点间的最短距离； (Ⅲ):若x ≥0时,函数y =F (x )的图象恒在y =F (－x )的图象上方,求实数a 的取值范围． 78. （用到二阶导数，二次） 设函数2 ()2 x k f x e x x =- -. ⑴若0k =，求()f x 的最小值； ⑵若当0x ≥时()1f x ≥，求实数k 的取值范围. 79. (第3问设计很好，2问是单独的，可以拿掉)已知函数1ln )1()(+-+=x x x b x f ，斜率 为1的直线及)(x f 相切于(1,0)点. （Ⅰ）求()()ln h x f x x x =-的单调区间； （Ⅱ）当实数01a <<时，讨论2 1()()()ln 2 g x f x a x x ax =-++ 的极值点。 （Ⅲ）证明：(1)()0x f x -≥. 80. （2011全国I 文21，恒成立，一次，提出一部分再处理的技巧） 设函数( ) 2 ()1x f x x e ax =--. ⑴若a = 1 2 ，求()f x 的单调区间； ⑵若当x ≥0时()f x ≥0，求a 的取值范围. 81. （2011全国新理21，恒成立，反比例，提出公因式再处理的技巧，本题的创新之处是将一 般的过定点（0,0）变为过定点（1,0），如果第2问范围变为1x >则更间单） 已知函数ln ()1a x b f x x x = ++在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. ⑴求a 、b 的值； ⑵如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x > +-，求k 的取值范围。 82. (恒成立，讨论,较容易，但说明原理)已知函数x a x x f ln )1()(--=. （1）求函数)(x f 的单调区间和极值； （2）若0)(≥x f 对),1[+∞∈x 上恒成立，求实数a 的取值范围. 83. （2010新课程理21，恒成立，讨论，二次，用到结论1x e x +≥） 设函数2()1x f x e x ax =---. ⑴若0a =，求()f x 的单调区间； ⑵若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围. 84. （恒成立，2010全国卷2理数，利用⑴结论，较难的变形讨论） 设函数()1x f x e -=-． ⑴证明：当x ＞-1时，()1 x f x x ≥+； ⑵设当0x ≥时，()1 x f x ax ≤+，求a 的取值范围． 85. 已知函数，且函数()f x 是()1,-+∞上的增函数。 （1）求k 的取值范围； （2）若对任意的0x >，都有11 1+<+-x e x kx （e 是自然对数的底），求满足条件的最大整数 k 的值。 86. （2008山东卷21） 已知函数1 ()ln(1),(1) n f x a x x = +--其中n ∈N*,a 为常数. ⑴当n =2时，求函数f (x )的极值； ⑵当a =1时，证明：对任意的正整数n ,当x ≥2时，有f (x )≤x －1. 五、函数及导数性质的综合运用 87. （综合运用） 已知函数()()x f x xe x -=∈R ⑴求函数()f x 的单调区间和极值； ⑵已知函数()y g x =的图象及函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时， ()()f x g x > ⑶如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +> 88. （2010天津理数21，综合运用） 已知函数11 ()(x x f x x e --=∈R). ⑴求函数()f x 的单调区间和极值； ⑵已知函数()y g x =对任意x 满足()(4)g x f x =-，证明：当2x >时，()();f x g x > ⑶如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：12 4.x x +> 89. 已知函数1 ()x x f x e -= . (1) 求函数()f x 的单调区间和极值； (2) 若函数()y g x =对任意x 满足()(4)g x f x =-,求证：当2x >,()();f x g x > (3) 若12x x ≠，且12()()f x f x =，求证：12 4.x x +> 90. 已知函数()ln(1),()1x f x x g x e =+=-， （Ⅰ）若()()F x f x px =+，求()F x 的单调区间； （Ⅱ）对于任意的210x x >>，比较21()()f x f x -及21()g x x -的大小，并说明理由． 91. （2011辽宁理21，利用2的对称） 已知函数x a ax x x f )2(ln )(2 -+-=． ⑴讨论)(x f 的单调性； ⑵设0>a ，证明：当a x 1 0< <时，)1()1(x a f x a f ->+；（作差） ⑶若函数)(x f y =的图像及x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明： 0()0f x '<. 92. （恒成立，思路不常见） 已知函数x a x x f ln )(-= ，其中a 为实数． (1)当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程； (2)是否存在实数a ，使得对任意),1()1,0(+∞∈ x ，x x f >)(恒成立?若不存在，请说 明理由，若存在，求出a 的值并加以证明． 93. 已知函数)1,0(12)(2<≠++-=b a b ax ax x g ，在区间[]3,2上有最大值4，最小值1，设 () ()g x f x x = ． （Ⅰ）求b a ,的值； （Ⅱ）不等式02)2(≥?-x x k f 在]1,1[-∈x 上恒成立，求实数k 的范围； （Ⅲ）方程0)3| 12|2 (|)12(|=--+-x x k f 有三个不同的实数解，求实数k 的范围． 94. 已知函数1()(1)[1ln(1)]f x x x =+++， 设2 ()()g x x f x '=? (0)x > （1）是否存在唯一实数(,1)a m m ∈+，使得()0g a =，若存在，求正整数m 的值；若不存在， 说明理由。 （2）当0x >时，()f x n >恒成立，求正整数n 的最大值。 95. (第3问难想)已知函数2 ()()x f x ax x e =+，其中ｅ是自然数的底数，a R ∈。 （１） 当0a <时，解不等式()0f x >； （２） 若()f x 在［－１，１］上是单调增函数，求a 的取值范围； （３） 当0a =时，求整数ｋ的所有值，使方程()2f x x =+在［ｋ，ｋ＋１］上有解。 96. （2011高考，单调性应用，第2问难） 已知a 、b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导 函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致. （1）设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围；