数学分析2重要知识小结(考研复习用)

数学分析2重要知识小结（考研及复习）

第八章 不定积分

1、基本公式

(1)),1(11-≠++=

+?αααα

c x dx x (2)?+=c x dx x

ln 1

， (3)?+=,ln c a

a dx a x

x

(4)?+=,c e dx e x x (5)?+=,sin 1

cos c x xdx αα

α (6),cos 1

sin c x dx x +-

=?αα

α

(7),tan cos 12c x dx x +=?

(8),cot sin 1

2c x dx x

+-=? (9)?+=,sec tan sec c x xdx x (10) ?+-=,csc cot csc c x xdx x (11)?+=-,arcsin 12

c x x dx (12)

?

+=-,arcsin

2

2c a

x

x a dx (13)

?+=+,arctan 12c x x dx

(14) ?+=+,arctan 2

2c a

x

x a dx

(15)?++=,tan sec ln sec c x x xdx (16)?+-=,cot csc ln csc c x x xdx (17)

,ln 222

2c a x x a x dx +±+=±?

(18)

?++-=-,ln 2122c a x a

x a a x dx

(19) ?+-=c x x xdx )1(ln ln 。

注：应会用前面的公式及方法推出公式(13)-(19)。 2、积分法

(1) 公式法:直接用上面的公式及函数和与差的积分等于积分的和与差这一性质。 (2) 第一换元法（是将一个关于x 的函数换为一个变量） 若??=))(())(()(x d x g dx x f ??，而?+=c u G du u g )()(，则 ?+=.))(()(c x G dx x f ?

看到应想到：),(sin cos x d xdx = ),

(cos sin x d xdx -=),(tan cos 2x d x

dx

= ),(cot sin 2x d x dx =- )1(2

x d x

dx =-，)(12

1x d n dx x n =-。

(3)第二换元法（将变量x 换为一个函数） 令)(t x ?=，若,)()())((c t F dt t t f +='???则

?

+=-.)]([)(1c x F dx x f ?

① 遇22x a -，令t a x sin =，t a x a cos 22=- ② 遇22x a +，令t a x tan =，t

a x a cos 22=

+

③ 遇22a x -，令t a x sec =，t a a x tan 22=-。 ④ 遇含有,m x n

x 的式子，n m ,的最小公倍数为k ，令k t x =。

(4)分部积分

设)(x G 为)(x g 的一个原函数，则

??'-=dx x G x f x G x f dx x g x f )()()()()()(。

形如

?,a r c t a n x d x ?x d x a r c s i n ，?xdx x k

ln ，,dx e x x

k ?dx e x x

βα?

cos ，dx e

x x

βα?sin 的积分必须用分部积分。

注意：能用第一换元或分部积分就不用第二换元。

(5)三角有理式的积分

①xdx x m n sin cos ?：“有奇换元一，无奇就降幂”。 降幂公式：)2cos 1(21cos 2x x +=

，)2cos 1(2

1

sin 2x x -=。 ②万能替换2tan x t =，此时,11cos 22t t x +-= ,12sin 2t t x += 2

12t

dt

dx += (6) 有理函数及简单无理函数的积分

遇c bx ax ++2或

c

bx ax ++21

，应先进行配方：

a b ac a b x a c bx ax 44)2(222

-++=++，令u a

b

x =+2，消掉一次项。

对a

b a

c au c bx ax 442

2

2

-+=++，根据情况利用三角换元进行计算。

第九章 定积分

1、定积分定义

定义：设)(x f 是定义在],[b a 上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对于任意的0>ε，存在0>δ，对于],[b a 的任意分法T 以及其上选取的点集}{i ξ,只要

,δ

εξ<-?∑=n

i i

i

J x

f 1

)(,

称函数)(x f 在],[b a 上可积，J 称为)(x f 在],[b a 上的定积分，记为 ?

b

a

dx x f )(

2定积分计算

牛顿莱布尼兹公式：设)(x F 为)(x f 的一个原函数，则

).()()(a F b F dx x f b

a

-=?

给出一个定积分，怎样计算呢？就看在不定积分中用什么方法。 但应注意：在第二换元积分中，新变量，用新限。

3定积分性质

(1)??=b

a

b

a

dx x f k dx x kf )()(，

(2)???±=±b

a

b a

b a

dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([,

(3)dx x f dx x f dx x f b

c

c a

b

a

???

+=)()()(,

(4)

)()()(b a dx x f dx x f b

a b

a

<≤??

,

(5)),()(x g x f ≤??≤b

a

b a

dx x g dx x f )()(.

(6)积分第一中值定理

若)(x f 在],[b a 上连续，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得

))(()(a b f dx x f b

a

-=?

ξ。

(7) 推广的积分第一中值定理

若)(x f 在],[b a 上连续，)(x g 在],[b a 上可积且不变号，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得

.)()()()(dx x g f dx x g x f b

a

b

a

??

=ξ

4、变限积分

(1)若)(x f 连续，则

①),())((x f dx t f x

a

='? ②),())((x f dx t f b

x

-='?

③).())(()())(())(()

()

(x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='?

几个重要积分结果：

（1）?????=--=-==??.2,2

!!!)!1(12,!!!

)!1(cos sin 2020k n n n k n n n dx x dx x n

n π

π

π

（2）??=20

20

)(cos )(sin π

π

dx x f dx x f

（3）设)(x f 是以T 为周期的周期函数，则对于任意实数a ，有

??+=T

T

a a

dx x f dx x f 0

)()(

（4）若)(x f 为奇函数，则

?-=a

a dx x f 0)(。

（5）若)(x f 为偶函数，则

??-=a a a

dx x f dx x f 0)(2)(

第十章 定积分应用

1、平面区域面积 ①在直角坐标系下

设区域由),(),(x g y x f y ==b a b x a x <==,,所围成 ?-=B

A dx x g x f S )()(。

②曲线用参数方程表示

设区域由βα≤≤==t t y y t x x ),(),(，)(αx x =，)(βx x =，x 轴所围成。 ?'=β

α.)()(dt t x t y S

③ 曲线用极坐标表示

设区域由)(θr r =，,αθ=βθ=，βα<所围成。 ?=

βαθθd r S )(2

12

。 2、截面积已知的体的体积

(1) 设体在直线l 上的投影区域为],[b a ，而过],[b a 上每一点做直线l 的垂面去截体，所得截面积为)(x A ，则该体的体积为 ?=b

a dx x A V )(

(2)旋转体的体积

由b x a x f y ≤≤=),(绕x 轴旋转一周后所得体的体积。 dx x f V b

a ?=)(2π

若曲线为参数方程：βα≤≤==t t y y t x x ),(),(绕x 轴旋转一周后所得体的体积 dt t x t y V ?'=β

απ)()(2

3、平面曲线的弧长

(1)设曲线方程为：βα≤≤==t t y y t x x ),(),(，则弧长为 dt t y t x s ?'+'=β

α

22)]([)]([。

(2)设曲线方程为：b x a x f y ≤≤=),( dx x f s b a

?

'+=2)]([1

(3)设曲线方程为：)(θr r =，βθα<< θθθβα

d r r s ?

'+=22)]([)]([

4、旋转体的侧面积

(1)旋转体是由曲线b x a x f y ≤≤=),(绕x 轴旋转一周所得

dx x f x f S b

a ?+=)(1)(22π

(2) 旋转体是由曲线βα≤≤==t t y y t x x ),(),(绕x 轴旋转一周所得 dt t y t x t y S b

a ?'+'=22)]([)]([)(2π

5、物理中的应用

(1)液体静压力 (2)引力 (3)做功 注意书中的题和练习题。

第十一章 反常积分

1、无穷积分 (1)无穷积分的定义 若?

+∞→u

a

u dx x f )(lim

存在，称此极限值为)(x f 在),[+∞a 上的无穷积分，记作

?

+∞

a

dx x f )(

若极限不存在，称此积分发散。 (2)无穷积分收敛的判别法

定理1 无穷积分?

+∞

a

dx x f )(收敛的充要条件为：对于任意的0>ε，存在0>M ，

对于任意的M u u >''',，有

ε

'

''

u u dx x f )(。

①非负函数的无穷积分收敛判别法

定理2 对于非负函数)(),(x g x f ，若在任意区间],[u a 上可积，且)()(x g x f ≤。则 (i) 若?+∞

a dx x g )(收敛，则?

+∞a

dx x f )(收敛。

(ii)若?

+∞

a

dx x f )(发散，则?

+∞

a

dx x f )(发散。

定理3 若)(x f 为非负函数，在任意区间],[u a 上可积，且 λ=+∞

→)(lim x f x p x ， 则有

(i) 当+∞<≤λ0，1>p 时，?+∞

a

dx x f )(收敛，

(ii)当1,0≤+∞≤

a

dx x f )(发散。

②一般无穷积分的收敛判别法 定理4 绝对收敛必收敛。 定理5(阿贝尔判别法)若 (i) ?

+∞

a

dx x f )(收敛, (ii) )(x g 在),[+∞a 单调有界，

则?

+∞a

dx x g x f )()(收敛。

定理6(狄利克雷判别法)若

(i) ?=u

a dx x f u F )()(有界, (ii) )(x g 在),[+∞a 单调趋向于零，

则?

+∞

a

dx x g x f )()(收敛。

(3)重要例子

?

+∞

a p

x dx

,0>a ,则1>p 时收敛，1≤p 时发散。（应会证明） ?

+∞

-b

p

a x dx

)(，a b >，则1>p 时收敛，1≤p 时发散。（应会证明）

2瑕积分

定义：若函数)(x f 在0x 点的任何邻域内无界，称0x 为)(x f 的瑕点。瑕点一般为函数没有意义的点，然后判断在此点极限是否为∞，若为∞则是瑕点，否则不是瑕点。

(1)定义：设)(x f 在),[b a 上有定义，b 为瑕点，在任何区间],[u a 上可积，若极限

?-→u

a

b

u dx x f )(lim 存在，称此极限为)(x f 在],[b a 上的瑕积分，记作

?

b

a

dx x f )(

(2)瑕积分收敛判别法

定理1瑕积分?b

a dx x f )(（

b 为瑕点）收敛的充要条件为：对于任意的0>ε，存

在b c a <<，对于任意的b u u c <'''<,，有

ε

'

''

u u dx x f )(。

非负函数的瑕积分收敛判别法

定理2 对于非负函数)(),(x g x f ，若在任意区间],[u a 上可积，且)()(x g x f ≤。则 (i) 若?b

a dx x g )(收敛，则?b

a

dx x f )(收敛。

(ii)若?b a

dx x f )(发散，则?b

a

dx x f )(发散。

定理3 若)(x f 为非负函数，在任意区间],[u a 上可积，且 λ=-+∞

→)()(lim x f x b p x ， 则有

(i) 当+∞<≤λ0，1

a

dx x f )(收敛，

(ii)当1,0≥+∞≤

a

dx x f )(发散。

一般无穷积分的收敛判别法 定理4 绝对收敛必收敛。 定理5(阿贝尔判别法)若b 为瑕点

(i)

?

b

a

dx x f )(收敛, (ii) )(x g 在),[b a 单调有界，

则?b a

dx x g x f )()(收敛。 定理6(狄利克雷判别法)若

(i) 当b u a <≤时，?=u

a dx x f u F )()(有界, (ii) )(x g 当-→

b x 单调趋向于零，

则?b

a

dx x g x f )()(收敛。

(3)重要例子 若a 为瑕点，对于?-b

a

p

a x dx

)

(，1

-b

a

p

x b dx

)(，1

第十二章 数项级数

1、数项级数的一般性质

定理1(柯西收敛准则)∑∞

=1n n a 收敛的充要条件为对任意的,0>ε存在N ,当N

n >时，对任意的自然数p ，有

ε<++++++p n n n a a a 21。

定理2 去掉、添加或改变一个级数的有限项所得的新级数与原级数有相同的敛散性。

推论1 若级数∑∞

=1n n a 收敛，则0lim =∞

→n n a 。

推论2若级数∑∞

=1

n n a 收敛，则}{n a 有界。即存在0>M ,有

M a n <,),2,1( =n 2、正项级数收敛判别法

定理3 正项级数收敛的充要条件为它的部分和数列有上界，即存在0>M ，有 M a a a n <+++ 21，),2,1( =n 定理4 (比较原则)对于正项级数,

1

∑∞

=n n a ,1

∑∞

=n n b 若存在0

N

,当N n ≥时有n n b a ≤，则

(i) 当∑∞

=1n n b 收敛时，∑∞

=1

n n a 收敛，

(ii) 当∑∞

=1

n n a 发散时，∑∞

=1n n b 发散。

定理5对于正项级数,

1

∑∞

=n n a ,1∑∞

=n n b 若l a b n

n

n =∞→lim

，则 (i) 当+∞<

=1

n n a 与∑∞

=1

n n b 的敛散性相同，

(ii)当0=l 时，若∑∞=1

n n a 收敛时，则∑∞

=1n n b 也收敛，

(iii)当+∞=l 时，若∑∞

=1

n n a 发散，则∑∞

=1

n n b 也发散。

定理6 (比式判别法)对于正项级数∑∞

=1

n n a ，若l a a n

n n =+∞→1

lim

，则

(i) 若1l ，则级数发散，

(iii) 若1=l ，级数可能收敛也可能发散（此时无法用此性质判断）。 定理7(根式判别法)对于正项级数∑∞

=1n n a ，若l a n n n =∞

→lim ，则

(i) 若1l ，则级数发散，

(iii) 若1=l ，级数可能收敛也可能发散（此时无法用此性质判断）。 注：判别正项级数的敛散性常用比式判别法或根式判别法，含阶乘（!n ）常用比

式方法；含数n a 常用根式方法；若既有!n 又有n a ，常用比式方法。 定理8(积分判别法)设)(x f 在),1[+∞上非负递减，则∑)(n f 与?+∞

1

)(dx x f 具有相

同的敛散性。

3、交错级数收敛判别法

定理9 (莱布尼兹判别法)对于交错级数∑∞

=--11)1(n n n u ，若

(i),1n n u u ≤+ ,2,1=n ， (ii)0lim =∞

→n n u

则∑∞

=--1

1)1(n n n u 收敛。

4、一般级数收敛判别法 定理10 绝对收敛必收敛。

定理11(阿贝尔判别法) 若 (i)

∑∞

=1

n n

a

收敛， (ii) }{n b 单调有界，

则∑∞

=1

n n n b a 收敛。

定理12(狄利克雷判别法) 若 (i)

∑∞

=1

n n

a

的部分和序列}{n S 有界， (ii) }{n b 单调趋向于零，

则∑∞

=1

n n n b a 收敛。

5、重要级数的敛散性

(1) 等比级数(几何级数)∑∞

=1n n aq ，当1

(2)P 级数∑

∞

=11

n p

n

，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散。

第十三章 函数列与函数项级数

1、函数列

(1)基本概念：收敛点：

对于函数列),(1x f ),(2x f ),(3x f , ),(x f n , 若数列

),(01x f ),(02x f ),(03x f , ),(0x f n ,

收敛，称0x 为函数列)}({x f n 的收敛点。 收敛域：所有收敛点的集合称为收敛域。

极限函数：设收敛域为D ，定义函数)(x f ，定义域为D E ?。定义 )(lim )(x f x f n n ∞

→=，E x ∈.

称)(x f 为函数列)}({x f n 在E 上的极限函数。 注：在上式的极限中，x 看作定值，n 在变化。

一致收敛：设函数列)}({x f n 与)(x f 在I 上有定义，若对任意的0>ε，存在N ,当N n >时，对于D 中所有x 均有

,)()(ε<-x f x f n

称)}({x f n 在I 上一致收敛于)(x f 。 (2)一致收敛的判别法

定理1函数列)}({x f n 在I 上一致收敛于)(x f 的充要条件为

0)()(s u p

lim =-∈∞→x f x f n I

x n 。 其中在)()(sup x f x f n I

x -∈中，n 看作定值，x 为变量。

注：(1)若n n a x f x f ≤-)()(，且0lim =∞

→n n a ，则0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n D

x n ，

(2)若)()(x f x f n -的最大值为n a (利用导数)，且0lim =∞

→n n a ，则

0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n I

x n

(3) I 未必是收敛域，它可能是收敛域的一个子区间。 (3)一致收敛函数列的性质 定理2 若

(i) )(x f n ( ,2,1=n )在区间I 上连续, (ii) )}({x f n 在I 上一致收敛于)(x f , 则)(x f 在I 上连续。

定理3若 (i))(x f n ( ,2,1=n )在区间],[b a 上连续,

(ii) )}({x f n 在],[b a 上一致收敛于)(x f ,

则)(x f 在],[b a 上可积，且

dx x f dx x f b

a

b a

n n ?

?∞→=)(lim )(，即dx x f dx x f b a b

a

n n n n ??∞→∞

→=)(lim )(lim 。

定理4 若

(i))}({x f n 在区间I 上有一个收敛点，

(ii) ),2,1)(( ='

n x f n z 在I 上连续， (iii))}({x f n '

在I 上一致收敛。

则)}({x f n 的极限函数在I 上可导，且)(lim )(x f x f n n '='∞

→。

2函数项级数 (1) 基本概念，

对于函数项级数∑∞

=0

)(n n x u ，若∑∞

=0

0)(n n x u 收敛，称0x 为∑∞

=0

)(n n x u 的收敛点。

所有收敛点的集合称为收敛域。

和函数：设∑==n

k k n x u x S 1)()(，若)(x S n 的极限函数为)(x S ，称)(x S 为∑∞

=0

)(n n x u 的

和函数

(2) 一致收敛的判别法

定理5设∑==n

k k n x u x S 1)()(，函数项级数∑∞

=0

)(n n x u 在数集I 上一致收敛于)(x S 的

充要条件为

0)()(s u p

lim =-∈∞→x S x S n I

x n 定理6 (M 判别法或优级数判别法)对于函数项级数∑∞

=0

)(n n x u ，若在I 上

(i)n n M x u ≤)(, ,2,1=n , (ii)∑∞

=1

n n M 收敛。

则∑∞

=0

)(n n x u 在I 上一致收敛。

注：此定理非常重要，对于一般函数项级数应首先看是否可用此定理。

定理7 (阿贝尔判别法)设 (i)

∑∞

=0

)(n n

x u

在I 上一致收敛

(ii)对于给定的x ，)}({x v n (x 看作定值，n 为变量)单调，

(iii) )}({x v n 在I 上一致有界，即存在0>M ,对所有I x ∈及自然数n ，有 M x v n ≤)(.

则)()(0x v x u n n n ∑∞

=在I 上一致收敛。

定理8 (狄利克雷判别法)设 (i) ∑==n

n n n x u x S 0)()(在I 上一致有界

(ii)对于给定的x ，)}({x v n (x 看作定值，n 为变量)单调，

(iii) )}({x v n 在I 上一致收敛于0， 则)()(0x v x u n n n ∑∞

=在I 上一致收敛。

(3)一致收敛的函数项级数的性质 定理9 若

(i))(x u n ,,,2,1 =n 在I 上连续， (ii)

∑∞

=0

)(n n

x u

在I 上一致收敛于)(x S ，

则)(x S 在I 上连续，于是对于任意I x ∈0有

∑∑∑∞

=∞=→∞

=→==0

00

)()(lim )(lim

n n n n x x n n

x x x u x u x u

.

定理10若

(i))(x u n ,,,2,1 =n 在],[b a 上连续，(ii) ∑∞

=0

)(n n

x u

在],[b a 上一致收敛于)(x S ，

则)(x S 在],[b a 上可积，且

dx x u dx x u

n n b

a

n n

b

a

∑?∑?∞

=∞

==0

)(])([.

定理11 若

(i)∑∞

=0)(n n x u 在I 上有收敛点，

(ii) )(x u n

',,,2,1 =n 在I 上连续， (iii)

∑∞

='0

)(n n x u 在I 上一致收敛，

则∑∞

=0

)(n n x u 的和函数在I 上可导，且∑∑∞

=∞

='='0

)(])([n n

n n x u x u 第十四章 幂级数

1、幂级数的收敛半径求法

(1)对于幂级数∑=0

n n n x a ，若}{n a 中只有有限项为0。

l a a n

n n =+∞→1

lim

，或l a n n n =∞→lim ，

则收敛半径???

?

???=∞++∞=+∞<<=.0,,,0,0,1

l l l l R

(2) 若}{n a 中有无限项为0，设级数中的第n 项(不是n x 项)为)(x u n ，

)()()

(lim

1x x u x u n

n n ?=+∞→，或)()(lim x x u n n n ?=∞→，

解不等式1)(

2、幂级数的性质 定理1(阿贝尔定理)

(i) 若幂级数∑∞

=0n n n x a 在01≠x 处收敛，则此级数在),(11x x -内每一点绝对收敛。

(ii) 若幂级数∑∞=0

n n n x a 在2x 处发散，则此级数在),(),(22+∞?--∞x x 处处发散。

定理2幂级数在收敛域内内闭一致收敛。 定理3

(1)幂级数的和函数在收敛域上连续,

(2) 幂级数的和函数在收敛域内的任意闭区间上可积，且可逐项积分，即对收敛域内的闭区间],[b a 或],[x a ，有

∑??

∞

==0

)(n b a

n

n b

a

dt t a dt t S ，∑??∞

==0

)(n x

a

n n x

a

dt t a dt t S 。

(3) 幂级数的和函数在收敛区间上有任意阶导数，且

∑==0

)()

()()(n k n n k x a x S

。

定理4 幂级数经逐项积分和逐项求导后所得的新级数与原来的级数有相同的收敛半径，但收敛域未必相同。即下列三个级数的收敛半径相同。

+++++n n x a x a x a a 2210 (1) ++++-1212n n x na x a a (2)

++++++

+13

22101

32n n x n a x a x a x a (3) 3、函数的幂级数展式 六个基本展式

(i) +++++==∑∞

=!!21!20

n x x x n x e n

n n x

R x ∈ (ii) +-++-+-=-=∑

∞

=)!2()1(!6!4!21)!2()1(cos 26420

2n x x x x n x x n

n n n n R x ∈ (iii) ++-++-+-=+-=+∞

=+∑)!12()1(!7!5!3)!12()1(sin 1

27731

12n x x x x x n x x n n n n n R x ∈ (iv) +-++-+-=+-n

n x n

x x x x x 1432)1(432)1ln( ]1,1(-∈x (v) ++--+

+-++=+n x n n x x x !

)

1()1(!

2)

1(1)1(2ααααααα

(vi)

+++++=-n x x x x

2111

)1,1(-∈x (vii) +-++-+-=+n n x x x x x )1(111

32 )1,1(-∈x

4、求和函数的方法

(1) 若级数中不含阶乘(!n ),可利用逐项积分或逐项求导，除掉系数中的n ，利用公式(vi)或(vii),求得和函数。

注：若n 在分母用导数，n 在分子用积分，有时需级数中乘以2,x x 等，有时需级