2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（一）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）

A. （0，1）

B. （0，3）

C. （1，2）

D. （2，3）

2.复数的共轭复数是（）

A. 1+i

B. 1-i

C. -1+i

D. -1-i

3.已知双曲线C：的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为

（）

A. B. 2 C. 2 D. 4

4.某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频

率分布直方图．若从每周使用时间在[15，20)，[20，25)，[25，30)三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25)内的学生中选取的人数为

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

5.已知角α为第三象限角，若=3，则sinα=（）

A. -

B. -

C.

D.

6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）

线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

（）

A.

B.

C.

D. 10π

7.若函数图象的两个相邻最高点的距离为π，则函数f（x）

的一个单调递增区间为（）

A. []

B. []

C. [-]

D. []

8.函数的图象大致为（）

A. B.

C. D.

9.十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一

个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A为圆O上一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，所得弦长AB大于圆O的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（）

A. B. C. D.

10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为

平面BDP与平面B1D1P的交线，以下关系中正确的是（）

A. m∥D1Q

B. m∥平面B1D1Q

C. m⊥B1Q

D. m⊥平面A BB1A1

11.己知F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点A是F1关于直

线bx+ay=ab的对称点，且AF2⊥x轴，则椭圆C的离心率为（）

A. B. C. D.

12.若函数f（x）=x-在区间（1，+∞）上存在零点，则实数a的取值范围为（）

A. （0，）

B. （，e）

C. （0，+∞）

D. （，+∞）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.设函数，则f（-3）=______．

14.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，c osc=-，sin A=2sin B，

则b=______

15.已知等边△ABC的边长为2，若点D满足，则=______

16.如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB=4，D为AB的巾点，将△ACD沿CD

折叠得到如图（2）所示的三棱锥C-A'BD，若三棱锥C-A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB=______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知数列{a n}满足a1=2，

（1）判断数列{}是否为等差数列，并说明理由；

（2）记S n为数列{a n}的前n项和，求S n．

18.某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y（单位：千件）与售价x（单位：元/

件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表：

x56789

y86 4.5 3.53

（1）统计学中用相关系数r来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若|r|∈[0.75，1]，则认为相关性很强；若|r|∈[0.3，0.75），则认为相关性一般；若|r|∈[0，0.25]，则认为相关性较弱．

请根据上表数据计算y与x之间相关系数r，并说明y与x之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）；

（2）求y关于x的线性回归方程；

（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价x定为多少，可获取最大的月销售金额？

（月销售金额=月销售量×当月售价）

附注：参考数据：≈12.85，

参考公式：相关系数r=，

线性回归过程=x，=，=．

19.在边长为的正方形中，点分别为边的中点，以和为折痕把

和折起，使点重合于点位置，连结，得到如图所示的四棱锥.

（1）在线段上是否存在一点，使与平面平行，若存在，求的值；若

不存在，请说明理由

（2）求点到平面的距离

20.设点P是直线y=-2上一点，过点P分别作抛物线C：x2=4y的两条切线PA、PB，

其中A、B为切点．

（1）若点A的坐标为（1，），求点P的横坐标；

（2）当△ABP的面积为时，求|AB|．

21.已知函数f(x) =.（其中常数e=2.71828...，是自然对数的底数）．

（1）讨论函数f ( x) 的单调性；

（2）证明：对任意的a≥1，当x >0 时，f ( x) ≥．

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数）．圆C2的

方程为（x-2）2+y2=4，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ=θ0（ρ≥0）．

（l）求曲线C1和圆C2的极坐标方程：

（2）当时，射线l与曲线C1和圆C2分别交于异于点O的M、N两点，若|ON|=2|OM|，求△MC2N的面积．

23.已知函数（m＞1）．

（1）当m＝2时，求不等式的解集；

（2）证明：．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：解：∵集合A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，

B={x|1＜x＜3}，

∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．

故选：C．

先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．

本题考查交集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.答案：A

解析：解：复数z===1-i的共轭复数=1+i．

故选：A．

利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．

本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3.答案：D

解析：解：双曲线C：的渐近线方程为，

可得a=，b=1，则c==2．

所以C的焦距为：4．

故选：D．

利用双曲线的渐近线方程求出a，然后求解双曲线的焦距．

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

4.答案：C

解析：解：由频率分布直方图可知：

5×（0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06）=1，

解得：a=0.03，

即在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生数之比为：4：3：1，

则从每周使用时间在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为=3，

故选：C．

由频率分布直方图得：5×（0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06）=1，解得：a=0.03，

由分层抽样方法得：在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生数之比为：4：3：1，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为=3，得解

本题考查了频率分布直方图及分层抽样，属简单题

5.答案：B

解析：解：∵角α为第三象限角，若=3=，∴tanα==，且sin2α+cos2α=1，sinα＜0，cosα＜0，

则sinα=-，

故选：B．

由题意利用两角和的正切公式，求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得si nα的值．

本题主要考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．

6.答案：C

解析：解：根据三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成，

圆锥的求半径为2，高为2，圆柱的底面半径为1，高为2．

所以：V=V1+V2

=，

=．

故选：C．

首先根据三视图，把几何体复原，进一步利用体积公式求出结果．

本题考查的知识要点：三视图的应用，锥体和球体的体积公式的应用．

7.答案：A

解析：解：函数图象的两个相邻最高点的距离为π，

则：T=π，

解得：ω=2，

故：．

令：（k∈Z），

解得：（k∈Z），

当k=0时，，

即：x．

故选：A．

首先利用函数的周期求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．

本题考查的知识要点：正弦型性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

8.答案：B

解析：解：由得-1＜x＜0或0＜x＜1，

函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，

当0＜x＜1时，lg|x|＜0，排除C，

当x＞0且x→0，f（x）→0，排除D，

故选：B．

求出函数的定义，判断函数的奇偶性，利用函数值符号以及极限思想进行排除即可．

本题主要考查函数图象的识别和判断，可以函数奇偶性，函数值的对应性以及极限思想，利用排除法是解决本题的关键．

9.答案：C

解析：解：设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，

以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，如所示，

则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD

恰好将圆周3等分，

故P（M）=，

故选：C．

由题意画出图形，求出满足条件的B的位置，再由测度比是弧长比得答案．

本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．

10.答案：B

解析：解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，

直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BD∥B1D1，

∴m∥BD∥B1D1，

∵m?平面B1D1Q，B1D1?平面B1D1Q，

∴m∥平面B1D1Q．

故选：B．

由直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BD∥B1D1，得到m∥BD∥B1D1，由此能得到m∥平面B1D1Q．

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

11.答案：C

解析：解：F1、F2分别是椭圆C：

的左、右焦点，点A是F1

关于直线bx+ay=ab的对称点，且AF2⊥x轴，

可得AF2的方程为x=c，AF1的方程y=，

可得A（c，），

AF1的中点为（0，），代入直线bx+ay=ab，

可得：ac=b2=c2-a2，e=＞1，

可得e2-e-1=0，

解得e=．

故选：C．

画出图形，利用已知条件求出A的坐标，然后求解AF1的中点，代入直线方程，即可求解椭圆的离心率．

本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．

12.答案：D

解析：解：当a=10时，函数f（x）=x-，x=e时，f（e）＜0，x=100时，f（100）＞0，

所以函数存在零点，所以A、B不正确；

当a=时，f（x）=x-，

f′（x）=1-，x＞1时，f′（x）＞0恒成立，

函数是增函数，f（1）=0，

所以a=时，函数没有零点，

所以C不正确，

故选：D．

利用特殊值回代验证，利用函数的导数判断函数的单调性，求解判断即可．

本题考查函数的导数的应用，函数的零点的判断，考查转化思想以及计算能力．

13.答案：4

解析：【分析】

本题考查函数值的计算，涉及分段函数解析式，属于基础题．

根据题意，由函数的解析式可得f（-3）=f（-1）=f（1），又由解析式求出f（1）的值，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数，

当x＜0时，有f（-3）=f（-1）=f（1），

当x＞0时，f（1）=1+3=4，

则f（-3）=4.

故答案为4．

14.答案：1

解析：解：∵sin A=2sin B，

∴由正弦定理可得：a=2b，

又∵c=，c osc=-，

∴由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C，可得：6=a2+b2-2×=4b2+b2+×2b2，解得：

b=1．

故答案为：1．

由已知利用正弦定理可求a=2b，进而根据余弦定理即可计算得解．

本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

15.答案：

解析：解：等边△ABC的边长为2，若点D满足，

则=（+）=+=+=．

故答案为：．

利用已知条件，转化斜率的数量积求解即可．

本题考查斜率的数量积的应用，平面向量的加减运算，是基本知识的考查．

16.答案：

解析：

解：球是三棱锥C-A'BD的外接球，所以球心O到各顶

点的距离相等，如图．

根据题意，CD⊥平面A'BD，

取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，

因为A'D=BD，CD⊥平面A'BD，

所以A'和B关于平面CDG对称，

在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O

在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过

O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，

则OF⊥平面A'BD，且OF=DE=1，

因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，

即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'=R=，

∴A'F===2，

所以，BF=2，

所以四边形A'DBF为菱形，

又知OD=R，三角形ODE为直角三角形，

∴OE===2，

∴三角形A'DF为等边三角形，

∴∠A'DF=，

故∠A'DB=，

故填：．

根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可解决．

本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于难题．

17.答案：解：（1）数列{a n}满足a1=2，，

∴（a n+1-2n+1）-（a n-2n）=2．

a1-2=0，

∴数列{}为等差数列，首项为0，公差为2．

（2）由（1）可得：=0+2（n-1），

可得：a n=2n+2（n-1），

∴S n=+2×

=2n+1-2+n2-n．

解析：（1）数列{a n}满足a1=2，，证明（a n+1-2n+1）-（a n-2n）为常数即可得出．

（2）由（1）可得：=0+2（n-1），可得：a n=2n+2（n-1），利用求和公式即可得

出．

本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18.答案：解：（1）由表中数据和附注中的参考数据得：=7，=5．

（x i-）2=10，（y i-）2=16.5，

（x i-）（y i-）=-l2.5，r≈≈-0.97，

∵|r|≈|-0.97|∈[0.75，1]，说明y与x的线性相关性很强．

（2）由（1）可知===-1.25，

=-=5-（-1.25）×7=13.75，

∴=-1.25x+13.75．

（3）由题意可知，月销售额的预报值=1000x=-1250x2+13750x，（元），或者

=x=-1.25x2+13.75x（千元），

则当x=5.5时，取到最大值，即该店主将售价定为5.5元/件时，可使网店的月销售额最大．

解析：（1）根据表格数据以及参考公式计算，的值，结合相关系数r的大小进行判

断即可

（2）根据线性回归方程计算出相应的系数即可．

（3）结合回归方程，进行预报计算即可．

本题主要考查线性回归方程的求解，结合参考数据进行计算求出相应系数是解决本题的关键．考查学生的计算能力．

19.答案：解：（1）假设PC上存在点G使得PA∥平面

EFG，

连接EF交AC于O，

∵四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD的中点，

∴OA=AC，

∵PA∥平面EFG，PA?平面PAC，平面PAC∩平面

EFG=OG，

∴PA∥OG，

∴==．

∴线段PC上存在一点G，使PA与平面EFG平行，且=．

（2）∵PC⊥PE，PC⊥PF，PE∩PF=P，

∴PC⊥平面PEF，∴PC⊥PO，PC⊥EF，

∵E，F是正方形AB，AD的中点，∴EF⊥AC，

又PC∩AC=C，∴EF⊥平面PAC，

∵OC=AC=3，PC=4，∴PO==，

∴sin∠PCA==，

∴S△PAC==．

又OE=EF=，

∴V E-PAC==，

又S△PCE===4，设A到平面PCE的距离为h，

则V A-PCE==，解得h=．

∴点A到平面PEC的距离为．

解析：（1）假设存在点G符合条件，利用线面平行的性质可得PA∥OG，故而可得的

值；

（2）根据V E-PAC=V A-PCE列方程求出点A到平面PEC的距离．

本题考查了线面平行的性质，棱锥的体积计算，考查空间距离的计算，属于中档题. 20.答案：解：（1）∵y=x2，∴y′=x，∴k PA=，

∴直线PA的方程为y-=（x-1），即2x-y-1=0，

∴P（-，-2），

点P的横坐标为-．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，

-2），

则直线PA的方程为x1x=4×，即

x1x-2y-2y1=0，

因为（x0，-2）在PA上，所以x1x0+4-2y1=0，即x0x1-2y1+4=0，

同理可得x0x2-2y2+4=0，

∴直线AB的方程为x0x-2y+4=0，

联立消去y得x2-2x0x-8=0，

∴x1+x2=2x0，x1x2=-8，

∴|AB|==，

又点P到直线AB的距离d==，

∴S△ABP=d|AB=××|=（x02+4）=，

解得，x02=5，|AB|==3．

解析：（1）求出切线PA的方程后，将P的纵坐标代入可求得横坐标；

（2）利用抛物线x2=2py的切线方程xx0=2p×可得PA，PB的切线方程，可得切点弦

AB方程：x0x-2y+4=0，再利用弦长公式和点到直线距离可得面积，从而可得P的横坐标和|AB|．

本题考查了直线与抛物线的综合，属难题．

21.答案：（1）解：由f（x）=ae x+2x-1，得f′（x）=ae x+2．

①当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；

②当a＜0时，由f′（x）＞0，解得x＜ln（-），由f′（x）＜0，解得x＞ln（-），故f（x）在（-∞，ln（-））上单调递增，在（ln（-），+∞）上单调递减．

综上所述，当a≥0时，函数f（x）在R上单调递增；

当a＜0时，f（x）在（-∞，ln（-））上单调递增，在（ln（-），+∞）上单调递减．（2）证明：f（x）≥（x+ae）x?．

令g（x）=，则g′（x）=．

当a≥1时，ae x-x-1≥e x-x-1．

令h（x）=e x-x-1，则当x＞0时，h′（x）=e x-1＞0．

∴当x＞0时，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）=0．

∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x=1时，g′（x）=0；当x＞1时，g′（x）＞0．∴g（x）≥g（1）=0．

即，故f（x）≥（x+ae）x．

解析：（1）由f（x）=ae x+2x-1，得f′（x）=ae x+2．可得当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；当a＜0时，分别由导函数大于0和小于0求解原函数的单调区间；

（2）f（x）≥（x+ae）x?．令g（x）=，利用导数求其

最小值得证．

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属中档题．

22.答案：解：（1）由，得C1的普通方程为+y2=1，

把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得+（ρsinθ）2=1，

即ρ2==，

所以C1的极坐标方程为ρ2=，

由（x-2）2+y2=4，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得ρ=4cosθ，

所以C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．

（2）把θ=θ0代入ρ2=，得ρM2=，

把θ=θ0代入ρcosθ，得=4cosθ0，

则|ON|=2|OM|，得ρN=2ρM，则=4，

即（4cosθ0）2=，解得sin2θ0=，cos2θ0=，又0＜θ0＜，

所以ρM==，ρN=4cosθ0=，

所以△MC2N的面积S=S-S=|OC2|（ρN-ρM）sinθ0=××=．

解析：（1）由，得C1的普通方程为+y2=1；把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得+（ρsinθ）2=1，再化简可得；

（2）利用极径的几何意义和三角形的面积公式可得．

本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．

23.答案：解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=|x-2|+|x+|；

①当x≤-时，原不等式等价于（2-x）-（x+）＞3，解得x；

②当-时，原不等式等价于＞3，不等式无解；

③当x≥2时，原不等式等价于（x-2）+（x+）＞3，解得x＞，

综上，不等式f（x）＞3的解集为（-∞，-）∪（，+∞）．

（Ⅱ）证明：由题f（x）=|x-m|+|x+|，

∵m＞0，

∴|m+|=m+，

所以f（x）≥m+，当且仅当x∈[-，m]时等号成立，

∴f（x）+≥m++=m+=（m-1）++1，

∵m＞1，m-1＞0，∴（m-1）++1≥2+1=3，

∴f（x）+≥3．当m=2，且x∈[-，2]时等号成立．

解析：（Ⅰ）分3段去绝对值解不等数组，再相并；

（Ⅱ）由题f（x）=|x-m|+|x+|，∵m＞0，∴|m+|=m+，所以f（x）≥m+，当且仅当x∈[-，

m]时等号成立，再利用基本不等式可证．

本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．