八年级上册总复习知识点归纳

第一章分式知识点归纳

一、因式分解：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解

基本方法：

（一）提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)

公因式取各项系数的组大公因数

取相同字母(因式)，取相同字母(因式)指数的最低次幂

例：8ab2+12a2b+4a2b2=4ab(2b+3a+ab)

（二）公式法

1.平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)

2.完全平方公式a2±2ab+b2=(a+b)2

（三）十字相乘法

x2 + (p+q)x + pq=(x+p)(x+q)

二次项一次项常数项

关键是找两个数，常数项是这两个数的积，依次的系数是这两个数的和

例x2+5x+6=(x+3)(x+2)中，6是2、3的积，5是2、3的和

x2-2x-8=(x-4)(x+2)中，-8是2、-4的积，-2是2、-4的和二、分式的概念

分母中含有字母的代数式叫做分式

（一）分式的值存在的条件分母不为0

（二）分式的值不存在的条件分母不为0

（三）分式的值为0的条件分子为0且分母不为0

三、分式的基本性质

分式的分子和分母都乘同一个非零整式，所得的分式与原分式相等（一）约分：分子、分母同时除以公因式

分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式

公因式取分子、分母系数的最大公因数

取分子、分母的相同字母(因数)及相同字母(因式)指数的最低次幂分式乘分式:①先把各多项式因式分解，②分子与分母约分，③分子乘分子、分母乘分母分别作积的分子、分母。

分式的除法:①先把除式分子、分母颠倒位置；②先把各多项式因式分解；③分子与分母约分；④分子乘分子、分母乘分母分别作积的分子、分母。 （二）通分：各分式化成分母相同的分式。（确定各分式的公分母） 公分母 取各分式分母系数的最小公倍数 取各分式分母相同字母(因式)及相同字母(因式)指数的最低次幂

分式的加减法

同分母分式相加减：分母不变，分子相加减。 分式的符号法则

= = -

异分母分式相加减：①因式分解；②通分化为同分母的分式；③分母不变，分子相加减。

四、整数指数幂的运算法则

a m ·a n =a m+n

（a ≠0，m ，n 是正整数）

(a m )n =a mn

（a ≠0，m ，n 是正整数）

(ab)n =a n b n

（a ≠0，b ≠0，n 是正整数）

a m

÷a n

= =a m-n （a ≠0，m ，n 是正整数） a -n = =( )n （a ≠0，n 是正整数）

( )n = （f ≠0，g ≠0，n 是正整数） a 0

=1（a ≠0） 五、分式方程

分母中含有未知数的等式叫做分式方程

根与增根

分式方程的解也叫分式方程的根

使分式方程中各分母的最简公分母的值为0的根叫作增根 解分式方程的步骤 例

= a m

1

a n 1 f g

f

n g n 3 2

解：方程两边同时乘2x(x+1) ①去分母，把分式方程两边同乘分式方程得3(x+1)=4x各分母的最简公分母，得一元一次方程

解得x=3②解一元一次方程

把x=3代入2x(x+1)，得2x(x+1)≠0 ③检验，把所得的根代入最简公分∴x=3是原方程的解母，使最简公分母为0的根是增根，舍去。

六、分式方程解应用题

列分式方程解应用题的一般步骤

①设：设未知数

②列：根据题意列分式方程

③解：解分式方程

④检验：既检验所求的解是否为原分式方程的解，还要检验所求的解是否符合实际情况

⑤作答

应用题常见的等量关系

（一）行程问题

行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。

等量关系为：①路程=速度×时间；

②速度=路程/时间；

③时间=路程/速度

（二）工程问题

1.工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。

关系式为：工作量=工作效率×工作时间；

工作时间=工作量/工作效率；工作效率=工作量/工作时间。

2.工程问题中，在工作总量不明的情况下一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为1/t。

3.常见的相等关系有两种：

①如果以工作量作相等关系，A工作量+B工作量 =总工作量。

②如果以时间作相等关系，对于同一工作：A工作时间-B工作时间=时间差

一般情况下，合作的工作效率=A工作效率+B工作效率

第二章三角形知识点归纳

一、三角形

1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。“三角形”用符号“△”表示，顶点是ABC的三角形记做“△ABC”读作“三角形ABC”。三角形基本元素（三条边、三个内角、三个顶点）

2.性质：

三角形三个内角和为180°

三角形任何两边之和大于第三边；

三角形的任何两边之差小于第三边（两点之间线段最短）★注：判断三条线段能否组成三角形，只有把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较。

3.三角形的外角及外角的性质

外角：由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角叫该三角形的外角。

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

三角形的外角和为360°

★三角形的角平分线、中线和高线

角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段就叫三角形的角平分线。三个角的角平分线的交点叫内心

∠1=∠2

线段BD是∠ABC的角平分线

中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线。三条中线交点叫重心

AD=CD

线段BD是△ABC的中线

高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)

AD⊥BC

线段AD是△ABC的高

★重要性质：

1角平分线上的点到角的两边距离相等；中线平分与它相交的边。

2一个三角形有三条角平分线、三条中线，并且都在三角形内部，交于一点。

3三种三角形都有三条高线，高线是顶点到对边所在直线的垂线段，所以垂足有可能在边的延长线上。

★同高等底的两个三角形面积相等。三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形。二、等腰三角形

等腰三角形：两条边想等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线

等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线重合（简称“三线合一”）

等腰三角形两底角相等（简称“等边对等角”）

等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（正三角形）。等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质。

等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.

等边三角形有三条对称轴，分别是三个内角的角平分线所在的直线。

三、垂直平分线

垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等；到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

四、命题与证明

定义：对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义。

命题：一般的，对某一件事做出判断的语句（陈述句）叫作命题。

判断一个语句是否为命题，一看是不是一个完整的句子；二看是否对某件事情做出肯定或否定的判断。

命题的组成：命题通常由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知的事项推断出的事项。

注意：①有一些命题的叙述，其条件和结论并不一定那么明确，我们可以把它改写成“如果……，那么……”的形式，再找出它的条件和结论；②命题的条件部分一般用“如果……”，“已知……”，“若……”等形式表述，结论一般用“那么……”，“求证……”，“则……”等形式表述。③对于有些命题，条件和结论不一定只有一个，一定要分清它们的条件和结论。

原命题、逆命题、互逆命题

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做逆命题。

注意：只要将一个命题的条件和结论互换，就可以的到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题。（互换条件和结论时，还要注意语句是否通顺）

命题的分类：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。

判断一个命题是否是真命题，需要分析题设是否能推出结论；判断一个是否为假命题可以举反例，举反例就是举出符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子。

五、三角形全等

全等三角形：能够重合的两个三角形形称为全等三角形；全等用符号“≌”表示，读做“全等于”

两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点；互相重合的边叫做全等三角形的对应边；互相重合的角叫做全等三角形的对应角。

性质：★全等三角形的对应边相等，对应角相等。

★三角形全等的条件

1. 三边对应相等的两个三角形全等（简称“边边边”或“SSS”）；

2. 有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）；

3.有两个角和这个两角的夹边对应相等的两个三角形全等（简称“角边角”或“ASA”）；

4.有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简称“角角边”或“AAS”）；

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线。

判定三角形全等的基本思路：

找夹角→ SAS

已知两边

找另一边→ SSS

边为角的对边→找任意一角→ AAS

已知一边一角找这条边上的另一角→ ASA

边就是角的一条边找这条边上的对角→ AAS

找该角的另一边→ SAS

已知两角→找任意一边→ AAS、ASA

找角相等相关知识点

公共角

内错角、同位角相等

对顶角相等

直角三角形，垂直，45°

等腰三角形底角相等

三角形外角定理

三角形内角和为180°

几个角组成平角（平角=180°）

邻补角互补

同旁内角互补

找边相等相关知识点

公共边（题目直接或间接给出边相等）

等腰三角形、等边三角形

线段的中点

垂直平分线上的点到线段两端点距离相等

间接证明

第三章实数知识点归纳

一、平方根、算数平方根和立方根

1、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

”，读作“正、负根号a”。

表示方法：正数a的平方根记做“a

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。2、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。0的算术平方根是0。表示方法：记作“a”，读作根号a。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。 3、立方根

一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3

=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次

方根）。

表示方法：记作3a

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

二、实数的分类

无理数：无限不循环小数叫做无理数。

三、实数的倒数、相反数和绝对值

相反数

（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数；0的相反数是0；任何一个有理数都有相反数。

（2）互为相反数的两数的和为0，；互为相反数的两个点在数轴上分别位于原点两侧，并且与原点的距离相等。 绝对值

（1）数轴上表示数a 的点与原点的距离，叫做a 的绝对值，记作：｜a ｜

（2）求绝对值：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；

四、实数大小的比较

比较法则：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个负实数，绝对值大的反而小

作差法比较实数大小：对于实数a、b，若a-b＞0，则a＞b；若a-b=0，则a=b；若

a-b＜0，则a＜b

数轴比较：数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大

第四章一元一次不等式（组）

一、不等式

用不等符号（＞、＜、≥、≤、≠）连接而成的式子叫做不等式

＞：大于，表示式子左边比右边大

＜：小于，表示式子左边比右边小

≥：大于或等于、不小于、至少，表示左边不小于右边

≤：小于或等于、不大于、至多，表示左边不大于右边

≠：不等于，表示两边不相等

二、常见不等式的基本语言

a＞0，表示a是正数；a＜0，表示a是负数

a≥0，表示a是非负数；a≤0，表示a是非正数

a-b＞0，表示a大于b；a-b＜0，表示a＜b

a≥b，表示a不小于b；a≤b表示a不大于b

ab＞0，则a，b同号；ab＜，则ab异号

三、不等式的基本性质

不等式的性质1：不等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式)不等号的方向不变.

即a＞b，那么a+c＞b＋c,a-c＞b-c

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.即a＞b，c＞0，那么ac＞bc，a÷c＞b÷c

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.即a＞c，c＜0，那么ac＜bc，a÷c＜b÷c

四、一元一次不等式

含有一个未知数，且含未知数的项的次数是1的不等式，称为一元一次不等式；

注意：一元一次不等式分母中不能含有未知数

把满足不等式的未知数的每一个值，叫作这个不等式的解；

把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集；

求一个不等式的解集的过程称为解不等式.

不等式最终化成形如 x＜a或 x＞a或 x≥a或 x≤a的形式

五、一元一次不等式的解法

①去分母：不等式两边都乘所有分母的最小公倍数；乘正数时，不等号方向不变；乘负数

时，不等号方向改变

②去括号

③移项：从不等号的一边移到另一边时，一定要变号

④合并同类项

⑤系数化1：不等式两边都除以未知数的系数；除以正数时，不等号方向不变；除以负数

时，不等号方向改变

六、用数轴表示不等式的解集

七、列一元一次不等式解应用题

①审：分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，确定不等号

②设：设适当的位置数，用x表示

③列：根据题中的不等关系，列出不等式

④解：得出所列不等式的解集，并检验是否符合题意

⑤答：作答

八、一元一次不等式组

一元一次不等式组：把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来，就成了一元一次不等式组。

一元一次不等式组的两个必要条件：

（1）组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式；

（2）一元一次不等式组中的每个不等式必须含相同的未知数，即所有的不等式只能一个相同的未知数。

一般地，把几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。

解不等式组：求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组

步骤

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；

（2）求各个不等式解集的公共部分(常利用数轴)，即求出了这个不等式组的解集

由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集，可以归纳如下四种情况：同大取大、同小取小、大小小大中间找、小大大小无解了。

第五章二次根式

一、二次根式

我们把形如的式子叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数。

（1）二次根式实际上就是一个非负数的算术平方根，所以当a＜0时，没有意义

（2）被开方数a即可以是具体的数，也可以是单项式或者多项式

（3）在具体问题中，若不是求二次根式有意义的条件，就约定俗成默认为a≥0，且

≥0.即双重非负性

（4）形如b(a≥0)的式子，同样也是二次根式

二、二次根式的性质

三、积的算术平方根的性质

积的算术平方根，等于各因式的算术平方根的积

)0,0(≥≥?=b a b a ab

最简二次根式：满足以下两个条件(1)被开方数中不含开得尽方的数(或因式)；(2)被开方数不含分母.

四、二次根式乘法法则

两个二次根式相乘，等于把它们的被开方数分别相乘，根指数不变。

)0,0(≥≥=?b a ab b a

（1）此法则可以推广到多个二次根式相乘的情况；

（2）当二次根式有系数时，可以类比单项式与单项式相乘，即系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数

五、商的算术平方根

商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

)0,0(>≥=b a b

a

b a 二次根式的除法法则：两个二次根式相除，等于把它们的被开方数相除，根指数不变，即 )0,0(>≥=

b a b a

b

a

二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序跟实数的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除、最后算加减，有括号的先算括号里的；实数的运算律和去括号法则在二次根式的运算中同样适用 。